속도-시간 그래프: 기울기, 넓이와 운동 이해하기

속도-시간 그래프는 얼핏 보면 아주 단순해 보일 수 있습니다. 선이 위로 올라가거나, 아래로 내려가거나, 수평으로 이어질 뿐입니다. 하지만 하나의 그래프만으로도 물체가 빨라지는지, 느려지는지, 방향을 바꾸는지, 가속하고 있는지, 그리고 위치가 얼마나 변했는지 알 수 있습니다.

여기서 중요한 점이 있습니다. 그래프를 두 가지 서로 다른 방식으로 읽어야 합니다. 기울기는 가속도에 대한 정보를 줍니다. 그래프와 시간축 사이의 부호가 있는 넓이는 변위를 알려 줍니다. 이 두 개념을 혼동하면 그래프가 실제로 무엇을 말하는지 놓치기 쉽습니다.

자동차의 속도가 \(2\ \text{m s}^{-1}\)에서 \(8\ \text{m s}^{-1}\)까지 일정하게 증가한다고 해 봅시다. 계산하기 전에 먼저 예상해 보세요. 자동차의 가속도를 구하려면 그래프의 높이, 기울기, 아니면 아래쪽 넓이 중 무엇을 봐야 할까요?

정답은 기울기입니다. 그래프의 높이는 속도 자체를 나타냅니다. 기울기는 그 속도가 얼마나 빠르게 변하는지를 알려 줍니다.

01속도-시간 그래프가 실제로 보여 주는 것

속도-시간 그래프에는 다음이 표시됩니다.

• 가로축에는 시간 \(t\)가 있으며, 보통 초 단위로 측정합니다.
• 세로축에는 속도 \(v\)가 있으며, 보통 초당 미터, 즉 \(\text{m s}^{-1}\) 단위로 측정합니다.

각 점은 특정 순간의 물체 속도를 나타냅니다.

그래프가 \((3,5)\)를 지난다면, \(t=3\ \text{s}\)일 때 속도는 \(5\ \text{m s}^{-1}\)입니다.

부호가 중요합니다. \(+5\ \text{m s}^{-1}\)의 속도는 양의 방향으로 정해진 방향으로 움직인다는 뜻입니다. \(-5\ \text{m s}^{-1}\)의 속도는 그 반대 방향으로 움직인다는 뜻입니다.

부호가 있는 물리량이 아직 헷갈린다면, 계속하기 전에 속력과 속도를 복습해 보는 것이 좋습니다.

첫 번째 사고 모델: 속도계를 보고 있다고 상상하기

방향까지 표시할 수 있는 자동차 속도계를 떠올려 보세요.

\(+6\ \text{m s}^{-1}\)에서 수평인 선은 표시값이 계속 \(+6\ \text{m s}^{-1}\)로 유지된다는 뜻입니다. 자동차는 일정한 속도로 움직이고 있습니다.

위로 기울어진 선은 속도값이 증가하고 있다는 뜻입니다.

아래로 기울어진 선은 속도값이 감소하고 있다는 뜻입니다.

이 모델은 유용하지만 완전하지는 않습니다. “속도가 감소한다”는 말이 항상 “속력이 감소한다”는 뜻은 아닙니다. 속도가 더 큰 음수가 되면 수치 자체는 감소하지만, 물체의 속력은 오히려 증가할 수 있습니다.

이 함정은 뒤에서 다시 살펴보겠습니다.

02기울기는 가속도를 알려 준다

가속도는 속도가 시간에 따라 얼마나 빠르게 변하는지를 나타냅니다.

속도-시간 그래프의 직선 구간에서는,

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

여기서:

• \(a\)는 \(\text{m s}^{-2}\) 단위의 가속도입니다.
• \(\Delta v\)는 \(\text{m s}^{-1}\) 단위의 속도 변화량입니다.
• \(\Delta t\)는 초 단위의 시간 간격입니다.

이것은 수학에서 사용하는 기울기 공식과 정확히 같습니다.

\[
\text{기울기}=\frac{\text{세로 변화량}}{\text{가로 변화량}}
\]

속도-시간 그래프에서 “세로 변화량”은 속도의 변화이고, “가로 변화량”은 시간의 변화입니다. 따라서 기울기의 단위는

\[
\frac{\text{m s}^{-1}}{\text{s}}=\text{m s}^{-2}
\]

가 되며, 이는 가속도의 단위입니다.

서로 다른 기울기가 의미하는 것

양의 가속도와 속력이 증가함이라는 표현을 혼동하지 않도록 주의하세요. 이 둘은 같은 뜻이 아닙니다.

물체의 속도가 음수이고 가속도가 양수라면, 물체는 느려지고 있을 수 있습니다.

가속도는 속도가 어떻게 변하는지를 알려 줄 뿐, 속력이 어떻게 변하는지를 자동으로 알려 주는 것은 아닙니다.

03넓이가 변위를 나타내는 이유

이제 어떤 물체가 \(5\ \text{m s}^{-1}\)의 일정한 속도로 \(4\ \text{s}\) 동안 움직인다고 해 봅시다.

변위를 구하는 방법은 이미 알고 있습니다.

\[
\Delta x=v\Delta t=(5)(4)=20\ \text{m}
\]

이 같은 수치들이 속도-시간 그래프에서 어떤 모양을 만드는지 살펴봅시다. 그래프는 다음과 같은 직사각형을 만듭니다.

• 높이 \(5\ \text{m s}^{-1}\)
• 너비 \(4\ \text{s}\)

넓이는

\[
A=(5)(4)=20
\]

입니다.

단위는

\[
(\text{m s}^{-1})(\text{s})=\text{m}
\]

입니다.

따라서 이 넓이의 단위는 변위의 단위와 같습니다.

이것은 우연이 아닙니다. 어떤 속도-시간 그래프에서도 그래프와 시간축 사이의 부호가 있는 넓이는 변위를 나타냅니다.

속도가 일정하다면,

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

입니다.

속도가 변하더라도 같은 원리가 적용됩니다. 영역을 계산하기 쉬운 도형들로 나누거나, 이후 수학과 물리에서 배우게 되듯이 넓이를 아주 작은 \(v\Delta t\) 기여량들이 누적된 것으로 생각할 수 있습니다.

04“부호가 있는”이라는 말이 중요한 이유

어떤 물체가 \(+3\ \text{m s}^{-1}\)로 \(2\ \text{s}\) 동안 움직인 뒤, \(-3\ \text{m s}^{-1}\)로 \(2\ \text{s}\) 동안 움직인다고 해 봅시다.

첫 번째 구간에서는

\[
\Delta x_1=(3)(2)=+6\ \text{m}
\]

입니다.

두 번째 구간에서는

\[
\Delta x_2=(-3)(2)=-6\ \text{m}
\]

입니다.

따라서,

\[
\Delta x_{\text{total}}=+6+(-6)=0\ \text{m}
\]

입니다.

물체는 실제로 이동했지만 출발한 위치로 돌아옵니다.

그래프에서는 시간축 위쪽 넓이가 \(+6\ \text{m}\)이고, 시간축 아래쪽 넓이는 \(-6\ \text{m}\)입니다. 둘은 서로 상쇄됩니다.

따라서 변위를 구할 때 모든 기하학적 넓이를 단순히 양수로 더하면 안 됩니다.

이것은 거리와 변위의 차이와 직접 연결됩니다.

조금 우스운 비유

변위를 친구와의 돈 계산이라고 생각해 봅시다.

\(+\$20\)라는 것은 친구가 나에게 돈을 갚아야 한다는 뜻이고, \(-\$20\)라는 것은 내가 친구에게 돈을 갚아야 한다는 뜻이라고 해 봅시다. “어차피 20은 20이지”라며 부호를 무시하면 금방 계산이 말이 안 되게 됩니다.

속도-시간 그래프의 넓이도 같은 방식으로 작동합니다. 축 위와 아래의 넓이는 서로 반대 방향의 변위를 나타냅니다.

물론 이 비유는 완벽하지 않습니다. 돈은 사람들 사이에서 여러 방식으로 오갈 수 있지만, 그래프는 정해진 한 축을 따라 일어나는 운동을 나타내기 때문입니다. 하지만 부호를 관리하는 방식은 비슷합니다.

05시간축을 가로지르면 방향이 바뀐다

속도-시간 그래프가 \(v=0\)을 가로지르면 어떤 일이 일어날까요?

그 순간 속도는 0입니다.

그래프가 양의 속도에서 음의 속도로 계속 이어진다면, 물체는 운동 방향을 바꿉니다.

예를 들어:

• 교차하기 전에는 \(v>0\)이므로 물체는 양의 방향으로 움직입니다.
• 교차하는 순간에는 \(v=0\)이므로 순간적으로 정지해 있습니다.
• 교차한 뒤에는 \(v<0\)이므로 물체는 음의 방향으로 움직입니다.

흔한 실수 중 하나는 \(v=0\)이면 \(a=0\)이라고 생각하는 것입니다.

그렇지 않습니다.

그래프의 높이는 속도를 알려 줍니다. 그래프의 기울기는 가속도를 알려 줍니다. 그래프가 큰 기울기를 가진 채 \(v=0\)을 가로지를 수 있으므로, 어떤 물체는 같은 순간에 속도가 0이면서 가속도는 0이 아닐 수 있습니다.

수직으로 위쪽으로 던진 공이 익숙한 예입니다. 공이 궤적의 가장 높은 지점에 있을 때 순간 속도는 0이지만, 중력에 의한 가속도는 여전히 아래쪽을 향합니다.

06빨라지는가, 느려지는가: 부호를 비교하라

다음은 유용한 판단 방법입니다.

물체의 속도와 가속도의 부호가 같으면 물체는 속력이 증가합니다.

물체의 속도와 가속도의 부호가 반대이면 물체는 속력이 감소합니다.

왜 그럴까요?

속력은 속도의 크기입니다. 물체가 \(v=+5\ \text{m s}^{-1}\)이고 \(a=+2\ \text{m s}^{-2}\)라면 속도는 더 큰 양수가 되므로 속력이 증가합니다.

하지만

\[
v=-5\ \text{m s}^{-1}
\]

이고

\[
a=-2\ \text{m s}^{-2},
\]

라면 속도는 더 큰 음수가 되어, 예를 들어 \(-5,-7,-9,\ldots\)처럼 변합니다. 속도의 크기는 증가하므로 이 경우에도 속력이 증가합니다.

두 번째 경우는 그래프가 아래로 기울어져 있기 때문에 학생들이 자주 헷갈립니다.

빠른 판단표

이 규칙은 살펴보는 시간 구간 동안 어느 부호도 바뀌지 않을 때 적용됩니다.

08그래프가 곡선이면 어떻게 할까?

직선인 속도-시간 그래프 구간은 기울기가 일정하므로 일정한 가속도를 나타냅니다.

곡선 구간에서는 기울기가 변합니다. 따라서 가속도도 변합니다.

특정 순간의 가속도는 그 점에서 속도-시간 곡선에 그은 접선의 기울기로 주어집니다.

이것은 변위-시간 그래프에서의 순간 속도와 같은 개념입니다. 그 경우에는 접선의 기울기가 속도를 나타냅니다. 여기서는 한 번 더 미분한 물리량인 가속도를 접선의 기울기가 나타냅니다.

HSC Physics에서 중요한 물리적 개념은 다음과 같습니다.

\[
\text{속도-시간 그래프의 기울기}=\text{가속도}
\]

접선이 더 가파를수록 가속도의 크기가 더 큽니다.

곡선 그래프 아래의 변위는 어떻게 구할까?

넓이 규칙은 여전히 적용됩니다.

단순한 직선 구간에서는 직사각형, 삼각형, 사다리꼴을 사용할 수 있습니다. 불규칙한 실험 곡선의 경우에는 그래프나 데이터로부터 넓이를 수치적으로 추정해야 할 수도 있습니다.

물리적 원리는 변하지 않았습니다. 여전히 시간 구간 전체에 걸쳐

\[
v\Delta t
\]

형태의 작은 양들을 계속 누적하고 있는 것입니다.

09사다리꼴은 사실 평균 속도의 또 다른 모습이다

속도가 \(v_i\)에서 \(v_f\)까지 시간 \(\Delta t\) 동안 일정하게 변한다고 해 봅시다.

직선인 속도-시간 그래프 아래의 넓이는 사다리꼴입니다.

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
\]

여기서

\[
\frac{v_i+v_f}{2}
\]

는 가속도가 일정할 때의 평균 속도입니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

\[
\Delta x=v_{\text{av}}\Delta t
\]

이 관계는 그래프 문제를 완전히 별개의 주제로 느끼게 하지 않고, 그래프를 등가속도 운동 방정식과 연결해 주기 때문에 유용합니다.

이 연결에 대해 더 알고 싶다면 평균 속도와 순간 속도를 참고하세요.

10가장 쉽게 빠지는 그래프 해석 실수

실수 1: 그래프의 높이를 가속도로 생각하기

속도-시간 그래프에서 세로 좌표는 속도입니다.

축보다 훨씬 위에 있는 점은 큰 양의 속도를 뜻하는 것이지, 큰 가속도를 뜻하는 것은 아닙니다.

\(20\ \text{m s}^{-1}\)에서 수평인 선은 기울기가 0이므로 가속도도 0입니다.

실수 2: 아래로 기울어진 선은 항상 느려지는 운동이라고 말하기

시간축 아래에서 속도가 \(-2\ \text{m s}^{-1}\)에서 \(-8\ \text{m s}^{-1}\)로 내려가는 그래프를 생각해 봅시다.

그래프가 아래로 기울어져 있으므로 가속도는 음수입니다.

하지만 속력은 \(2\ \text{m s}^{-1}\)에서 \(8\ \text{m s}^{-1}\)로 증가했습니다.

물체는 음의 방향으로 움직이면서 속력이 증가하고 있습니다.

실수 3: 변위를 구하면서 부호 없는 넓이를 사용하기

축 아래의 넓이는 음의 변위에 기여합니다.

모든 넓이를 양수로 처리하면 변위가 아니라 총 이동 거리를 구하게 됩니다.

실수 4: 다시 \(v=0\)이 되면 출발 위치로 돌아온 것이라고 생각하기

속도 \(v=0\)은 물체가 순간적으로 정지해 있다는 뜻입니다.

그 사실만으로는 물체의 위치에 대해 아무것도 알 수 없습니다.

물체가 출발 위치로 돌아왔는지 알려면 출발 시각 이후의 순 부호 넓이를 살펴봐야 합니다. 전체 변위가 0일 때만 원래 위치로 돌아온 것입니다.

실수 5: 속도-시간 그래프와 변위-시간 그래프를 혼동하기

두 그래프의 차이를 명확히 해 두는 것이 좋습니다.

두 그래프 유형이 자꾸 혼동된다면 변위-시간 그래프를 복습하면 도움이 됩니다.

11어떤 속도-시간 그래프든 안정적으로 읽는 방법

익숙하지 않은 그래프가 주어졌다면 다음 순서로 분석하세요.

1. 세로축 값을 읽습니다. 이 값들은 속도입니다.
2. 부호를 확인합니다. 양의 속도와 음의 속도는 서로 반대 방향을 나타냅니다.
3. 기울기를 봅니다. 기울기는 가속도의 부호와 크기를 알려 줍니다.
4. \(v=0\)을 가로지르는 지점이 있는지 확인합니다. 속도의 부호가 바뀌면 운동 방향도 바뀝니다.
5. 변위를 구할 때는 부호가 있는 넓이를 사용합니다. 축 위의 넓이는 양수이고 축 아래의 넓이는 음수입니다.
6. 이동 거리를 구할 때는 넓이의 절댓값을 사용합니다.
7. 물체가 빨라지는지 느려지는지 판단해야 한다면 \(v\)와 \(a\)의 부호를 비교합니다.

이 순서를 따르면 흔한 해석 오류 대부분을 피할 수 있습니다.

12문제와 해설

문제 1

한 수레가 \(3.5\ \text{m s}^{-1}\)의 일정한 속도로 \(8.0\ \text{s}\) 동안 움직입니다.

이 시간 구간 동안의 가속도와 변위를 구하세요.

해설 1

가속도는 \(0\ \text{m s}^{-2}\)이고, 변위는 양의 방향으로 \(28\ \text{m}\)입니다.

속도가 일정하므로 속도-시간 그래프는 수평입니다. 따라서 기울기는 0입니다.

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
=\frac{0}{8.0}
=0\ \text{m s}^{-2}
\]

변위는 그래프 아래 직사각형의 넓이입니다.

\[
\Delta x=v\Delta t
=(3.5)(8.0)
=28\ \text{m}
\]

따라서 수레는 가속도가 0이어도 계속 움직입니다. 가속도가 0이라는 것이 속도도 0이라는 뜻은 아닙니다.

문제 2

한 스케이트보더가 양의 방향으로 움직이고 있습니다. 속도가 \(4.0\ \text{s}\) 동안 \(12\ \text{m s}^{-1}\)에서 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\)까지 일정하게 감소합니다.

이 구간 동안의 가속도와 변위를 계산하세요. 또한 스케이트보더의 속력이 증가하는지 감소하는지 말하세요.

해설 2

가속도는 \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\), 변위는 \(32\ \text{m}\)이며, 스케이트보더의 속력은 감소합니다.

먼저 가속도를 계산합니다.

\[
a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}
=\frac{4.0-12}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

속도는 계속 양수인 반면 가속도는 음수입니다. 속도와 가속도의 부호가 반대이므로 스케이트보더의 속력은 감소합니다.

변위는 사다리꼴의 넓이입니다.

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{12+4.0}{2}(4.0)
=(8.0)(4.0)
=32\ \text{m}
\]

양의 변위는 스케이트보더의 최종 위치가 시작 위치보다 양의 방향으로 \(32\ \text{m}\) 더 앞에 있다는 뜻입니다.

문제 3

한 로봇이 직선 트랙을 따라 움직입니다. \(t=0\)일 때 속도는 \(-3.0\ \text{m s}^{-1}\)입니다. 속도는 일정하게 변하여 \(t=2.0\ \text{s}\)에서 \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\)가 됩니다.

한 학생이 “로봇의 속도가 점점 작아지고 있으므로 로봇은 느려지고 있다”고 말합니다.

로봇의 가속도, 변위, 속력의 변화를 구하세요. 또한 학생의 추론에서 잘못된 점을 설명하세요.

해설 3

로봇의 가속도는 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\), 변위는 \(-12\ \text{m}\)이며, 속력은 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) 증가합니다. 로봇은 느려지는 것이 아니라 속력이 증가하고 있습니다.

가속도는

\[
a=\frac{-9.0-(-3.0)}{2.0}
=\frac{-6.0}{2.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

입니다.

변위는 부호가 있는 사다리꼴의 넓이입니다.

\[
\Delta x
=\frac{-3.0+(-9.0)}{2}(2.0)
=(-6.0)(2.0)
=-12\ \text{m}
\]

처음 속력은

\[
|v_i|=3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이고, 마지막 속력은

\[
|v_f|=9.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이므로,

\[
\Delta(\text{속력})=9.0-3.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

입니다.

학생의 실수는 “더 큰 음수”를 “더 느림”으로 해석한 것입니다. 속도의 수치 자체는 \(-3.0\)에서 \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\)로 감소했지만, 속력은 속도의 크기에 의해 결정됩니다. 그 크기는 증가했습니다.

속도와 가속도가 모두 음수이므로 두 양은 같은 부호를 가집니다. 로봇은 음의 방향으로 움직이면서 속력이 증가하고 있습니다.

문제 4

한 물체의 속도가 \(t=0\)에서 \(+8.0\ \text{m s}^{-1}\)이고, \(t=6.0\ \text{s}\)에서 \(-4.0\ \text{m s}^{-1}\)가 되도록 선형적으로 변합니다.

다음을 구하세요.

1. 가속도
2. 물체가 방향을 바꾸는 시각
3. 전체 변위
4. 총 이동 거리

해설 4

가속도는 \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\), 물체가 방향을 바꾸는 시각은 \(4.0\ \text{s}\), 변위는 \(12\ \text{m}\), 총 이동 거리는 \(20\ \text{m}\)입니다.

먼저 가속도를 계산합니다.

\[
a=\frac{-4.0-8.0}{6.0}
=\frac{-12.0}{6.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

물체는 \(v=0\)일 때 방향을 바꿉니다. 다음 식을 사용하면,

\[
v=v_i+at,
\]

\[
0=8.0+(-2.0)t
\]

이므로

\[
t=4.0\ \text{s}
\]

입니다.

\(0\)에서 \(4.0\ \text{s}\)까지 그래프는 축 위쪽에 삼각형을 만듭니다.

\[
A_1=\frac12(4.0)(8.0)=16\ \text{m}
\]

\(4.0\)에서 \(6.0\ \text{s}\)까지는 축 아래쪽에 삼각형을 만듭니다.

\[
A_2=-\frac12(2.0)(4.0)=-4.0\ \text{m}
\]

따라서 변위는

\[
\Delta x=16+(-4.0)=12\ \text{m}
\]

입니다.

이동 거리를 구할 때는 두 넓이를 모두 양수로 처리합니다.

\[
d=16+4.0=20\ \text{m}
\]

\(12\ \text{m}\)와 \(20\ \text{m}\)의 차이는 물체가 방향을 바꾼 후 음의 방향으로 \(4.0\ \text{m}\)를 되돌아갔기 때문에 생깁니다.

문제 5

두 물체 A와 B가 \(t=0\)에서 같은 위치에서 출발합니다.

물체 A는 \(6.0\ \text{s}\) 동안 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\)의 일정한 속도로 움직입니다.

물체 B의 속도는 \(t=0\)일 때 \(-2.0\ \text{m s}^{-1}\)에서 \(t=6.0\ \text{s}\)일 때 \(10.0\ \text{m s}^{-1}\)까지 선형적으로 증가합니다.

한 학생은 B의 최종 속도가 훨씬 크기 때문에 B가 반드시 A보다 앞에서 끝날 것이라고 주장합니다.

두 물체가 같은 위치에서 끝나는지, 아니면 어느 한 물체가 더 앞에서 끝나는지 구하세요. 또한 최종 속도만 비교해서는 이 질문에 답할 수 없는 이유를 설명하세요.

해설 5

두 물체는 출발 위치에서 \(24\ \text{m}\) 떨어진 같은 위치에서 끝납니다.

물체 A의 속도는 일정합니다.

\[
\Delta x_A=v\Delta t
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

물체 B의 속도는 일정하게 변하므로, 변위는 사다리꼴의 넓이입니다.

\[
\Delta x_B
=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{-2.0+10.0}{2}(6.0)
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

따라서,

\[
\Delta x_A=\Delta x_B=24\ \text{m}
\]

이므로 두 물체는 같은 위치에서 끝납니다.

학생의 추론이 틀린 이유는 최종 속도가 한 순간의 운동만을 나타내기 때문입니다. 위치의 변화는 전체 시간 구간 동안 속도가 누적된 결과이며, 이는 속도-시간 그래프 아래의 넓이로 나타납니다.

물체 B는 처음에 잠시 음의 방향으로 움직인 뒤 가속하면서 속도가 0을 지나고, 이후 훨씬 큰 양의 속도에 도달합니다. 이런 서로 다른 운동 단계들을 모두 합친 순 넓이는 여전히 A가 일정한 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\)로 움직인 경우와 같습니다.

문제 6

한 차량의 속도-시간 그래프는 두 개의 직선 구간으로 이루어져 있습니다.

\(t=0\)에서 \(t=5.0\ \text{s}\)까지 속도는 \(0\)에서 \(10.0\ \text{m s}^{-1}\)까지 일정하게 증가합니다.

\(t=5.0\)에서 \(t=9.0\ \text{s}\)까지 속도는 \(10.0\ \text{m s}^{-1}\)에서 \(2.0\ \text{m s}^{-1}\)까지 일정하게 감소합니다.

두 번째 차량은 전체 \(9.0\ \text{s}\) 동안 일정한 속도로 이동하며, 첫 번째 차량과 정확히 같은 변위를 가집니다.

두 번째 차량의 일정한 속도를 구하세요. 그런 다음 그 값만으로 두 차량이 어느 순간이라도 같은 가속도를 가졌다고 말할 수 없는 이유를 설명하세요.

해설 6

두 번째 차량의 일정한 속도는 약 \(5.89\ \text{m s}^{-1}\)이며, 변위가 같다고 해서 가속도도 같다는 뜻은 아닙니다.

첫 \(5.0\ \text{s}\) 동안 첫 번째 차량의 변위는 삼각형의 넓이입니다.

\[
\Delta x_1
=\frac12(5.0)(10.0)
=25\ \text{m}
\]

다음 \(4.0\ \text{s}\) 동안의 변위는 사다리꼴의 넓이입니다.

\[
\Delta x_2
=\frac{10.0+2.0}{2}(4.0)
=(6.0)(4.0)
=24\ \text{m}
\]

따라서 전체 변위는

\[
\Delta x=25+24=49\ \text{m}
\]

입니다.

두 번째 차량의 일정한 속도를 \(v\)라고 하면,

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

이므로,

\[
v=\frac{49}{9.0}
\approx5.44\ \text{m s}^{-1}
\]

입니다.

따라서 두 번째 차량의 일정한 속도는 약

\[
\boxed{5.44\ \text{m s}^{-1}}
\]

입니다.

속도가 일정하므로 가속도는

\[
a=0\ \text{m s}^{-2}
\]

입니다.

첫 번째 차량은 두 구간 모두에서 0이 아닌 가속도를 가집니다. \(0\)에서 \(5.0\ \text{s}\)까지는,

\[
a_1=\frac{10.0-0}{5.0}
=2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

이고, \(5.0\)에서 \(9.0\ \text{s}\)까지는,

\[
a_2=\frac{2.0-10.0}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

입니다.

두 차량의 변위가 같은 이유는 속도-시간 그래프의 부호가 있는 넓이가 같기 때문이지, 기울기가 같기 때문이 아닙니다.

바로 이 차이가 속도-시간 그래프의 핵심적인 장점입니다. 기울기와 넓이는 서로 다른 물리적 질문에 답합니다. 기울기는 속도가 어떻게 변하는지를 알려 줍니다. 부호가 있는 넓이는 위치가 어떻게 변했는지를 알려 줍니다. 이 두 가지 해석을 확실히 이해하면, 등가속도 운동 방정식도 훨씬 이해하기 쉬워집니다. 각 방정식을 외워야 할 공식으로만 보는 대신, 그 대수식이 어디에서 나오는지를 그래프를 통해 확인할 수 있기 때문입니다.