HSC 물리학의 등가속도 운동 방정식

자동차가 \(12\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 움직이고 있다. 3초 후에는 \(21\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 움직이고 있다. 이 두 값을 서로 관련 없는 두 번의 속도 측정값으로 볼 수도 있다. 하지만 그 사이에 가속도가 일정하게 유지되었다면, 짧은 식 하나로 그 사이의 모든 속도를 예측할 수 있다.

\[
v = u + at
\]

문자들의 의미를 따지기 전에 먼저 결과를 예상해 보자. 자동차의 속도가 매초 \(3\ \text{m s}^{-1}\)씩 증가한다면, 3초 후에는 어떻게 되어야 할까?

속도는 \(9\ \text{m s}^{-1}\) 증가해야 한다. 처음 속도가 \(12\ \text{m s}^{-1}\)였으므로, 최종 속도는 \(21\ \text{m s}^{-1}\)가 된다.

\(v = u + at\)가 하는 일은 바로 이것뿐이다. 이 식은 시작 속도를 기준으로 삼은 뒤, 일정한 가속도로 인해 생긴 속도 변화를 더한다.

01속도 변화에서 시작하기

가속도는 속도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타낸다.

물체의 가속도가 \(2\ \text{m s}^{-2}\)라면, 그 속도는 매초 \(2\ \text{m s}^{-1}\)씩 변한다.

따라서 처음 속도가 \(5\ \text{m s}^{-1}\)라면:

그 규칙은 다음과 같다.

\[
\text{새로운 속도} = \text{시작 속도} + \text{속도 변화}
\]

가속도가 일정할 때 속도 변화는 다음과 같다.

\[
\Delta v = at
\]

여기서:

• \(\Delta v\)는 속도의 변화량이며, 단위는 \(\text{m s}^{-1}\)이다.
• \(a\)는 일정한 가속도이며, 단위는 \(\text{m s}^{-2}\)이다.
• \(t\)는 경과 시간이며, 단위는 초이다.

처음 속도를 \(u\), 최종 속도를 \(v\)라고 하면:

\[
v = u + at
\]

여기서:

• \(u\)는 초기 속도이며, 단위는 \(\text{m s}^{-1}\)이다.
• \(v\)는 최종 속도이며, 단위는 \(\text{m s}^{-1}\)이다.
• \(a\)는 일정한 가속도이며, 단위는 \(\text{m s}^{-2}\)이다.
• \(t\)는 경과 시간이며, 단위는 초이다.

문자 자체보다 중요한 것은 식의 구조다.

\[
\boxed{\text{최종 속도} = \text{초기 속도} + \text{속도 변화}}
\]

02왜 \(at\)가 속도 변화를 나타낼까?

단위를 보면 알 수 있다.

가속도의 단위는 \(\text{m s}^{-2}\)이다. 여기에 시간을 곱하면:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

따라서 \(at\)의 단위는 속도의 단위와 같다.

예를 들어, \(4\ \text{m s}^{-2}\)의 가속도가 \(2.5\ \text{s}\) 동안 작용하면:

\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]

이것은 최종 속도가 자동으로 \(10\ \text{m s}^{-1}\)가 된다는 뜻이 아니다. 속도가 \(10\ \text{m s}^{-1}\)만큼 변했다는 뜻이다.

물체가 처음에 \(6\ \text{m s}^{-1}\)로 움직였다면 최종 속도는 \(16\ \text{m s}^{-1}\)이다.

처음 속도가 \(-8\ \text{m s}^{-1}\)였다면 최종 속도는 \(2\ \text{m s}^{-1}\)이다.

속도와 속도 변화량의 이러한 차이는 학생들이 이 식의 의미를 놓치기 쉬운 주요 지점 중 하나다.

03이 식은 어디에서 나오는가

일정한 시간 구간에서 평균 가속도는 다음과 같이 정의된다.

\[
a = \frac{v-u}{t}
\]

가속도가 일정하다면, 같은 \(a\)의 값이 그 시간 구간 전체에 적용된다.

양변에 \(t\)를 곱하면:

\[
at = v-u
\]

그다음 양변에 \(u\)를 더하면:

\[
v = u+at
\]

따라서 \(v=u+at\)는 의미 없이 따로 외워야 하는 별개의 규칙이 아니다. 일정한 가속도의 정의를 식 변형한 것이다.

이 사실은 이 식의 한계도 알려 준다. 고려하고 있는 시간 구간 동안 가속도가 일정할 때만 이 식을 직접 사용할 수 있다.

가속도가 시간에 따라 변한다면, 단순한 곱 \(at\)가 더 이상 반드시 속도 변화를 나타내지는 않는다. 이런 경우에는 가속도-시간 그래프 아래의 넓이를 고려해야 한다. 이에 대해서는 tutorgum의 가속도-시간 그래프 가이드에서 더 자세히 다룬다.

04가장 중요한 설정: 양의 방향 정하기

자전거를 탄 사람이 동쪽으로 움직이면서 속력이 줄어들고 있다고 하자.

흔히 하는 실수는 다음과 같이 말하는 것이다.

“속력이 줄어들고 있으니 속도는 반드시 음수일 거야.”

반드시 그렇지는 않다.

속도의 부호는 방향을 나타낸다. 물체의 속력이 증가하는지 감소하는지를 나타내는 것이 아니다.

계산을 하기 전에 어느 방향을 양의 방향으로 정할지 선택한다.

예를 들어 동쪽을 양의 방향으로 정하자. 그러면 동쪽으로 움직이는 자전거의 속도는 양수다. 자전거가 여전히 동쪽으로 움직이면서 속력이 줄어들고 있다면 가속도는 서쪽을 향하므로 가속도는 음수다.

예를 들어 다음과 같을 수 있다.

\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

\(3.0\ \text{s}\) 후:

\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

최종 속도가 양수라는 것은 자전거가 여전히 동쪽으로 움직이고 있음을 뜻한다. 속도의 크기가 작아졌다는 것은 속력이 줄었다는 뜻이다.

아직 부호가 있는 속도에 익숙하지 않다면, 먼저 속력과 속도의 차이를 확실히 이해하는 것이 좋다. Speed and Velocity: HSC Physics Explained Clearly를 참고하라.

05믿을 수 있는 풀이 절차

초기 속도, 최종 속도, 가속도, 시간이 포함된 일정한 가속도 문제를 보면 다음 순서를 사용하자.

1. 양의 방향을 정한다.
2. 알려진 물리량을 부호와 단위까지 포함하여 적는다.
3. 구해야 할 미지수를 확인한다.
4. \(v=u+at\)를 사용하거나, 필요하다면 식을 변형한다.
5. 식을 알맞게 정리한 뒤에 수치를 대입한다.
6. 답의 부호가 물리적으로 무엇을 의미하는지 해석한다.

마지막 단계는 단순한 장식이 아니다. 속도 문제에서는 부호를 통해 물체가 방향을 바꾸었는지 알 수 있다.

06음의 가속도가 항상 감속을 의미하는 것은 아니다

복도에서 두 사람이 서로를 향해 걷고 있다고 생각해 보자. 오른쪽을 양의 방향으로 정한다.

한 사람은 오른쪽으로 움직이므로 속도가 양수다. 다른 사람은 왼쪽으로 움직이므로 속도가 음수다. 그러나 이 부호만으로는 누가 속력을 높이고 있는지 알 수 없다.

가속도도 같은 방식으로 작용한다.

물체는 가속도가 속도와 같은 방향을 향할 때 속력이 증가한다.

가속도가 속도와 반대 방향을 향할 때 속력이 감소한다.

따라서 다음 네 가지 조합이 모두 가능하다.

세 번째 경우는 흔히 이상하게 느껴진다. 속도와 가속도가 모두 음수라면 물체는 음의 방향으로 움직이고 있고, 그와 같은 방향으로 더 가속하고 있는 것이다. 예를 들어 속도가 \(-3\ \text{m s}^{-1}\)에서 \(-7\ \text{m s}^{-1}\)로 변할 수 있다. 수치는 “더 음수”가 되었지만, 속력은 \(3\ \text{m s}^{-1}\)에서 \(7\ \text{m s}^{-1}\)로 증가했다.

마이너스 부호는 방향에 관한 것이지, 나쁜 느낌을 뜻하는 것이 아니다.

07\(v=u+at\) 식 변형하기

항상 \(v\)를 구하라는 문제만 나오는 것은 아니다.

나머지 세 물리량을 알고 있다면 같은 식을 이용해 네 물리량 중 어느 하나라도 구할 수 있다.

다음 식에서 시작하여:

\[
v=u+at
\]

다음을 얻을 수 있다.

\[
u=v-at
\]

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

그리고:

\[
t=\frac{v-u}{a}
\]

네 개의 식을 각각 외우려고 하지 말자. \(v=u+at\)에서 시작해 필요한 형태로 변형하면 된다.

마지막 형태에는 유용한 물리적 검산도 숨어 있다.

\[
t=\frac{\text{속도 변화}}{\text{초당 속도 변화}}
\]

이는 우리가 시간이라는 양에 기대하는 의미와 정확히 일치한다.

08“정지한다”라는 표현에 숨어 있는 함정

문제에서 물체가 “정지한다”고 했다고 하자.

이 말은 다음을 뜻한다.

\[
v=0
\]

하지만 자동으로 다음을 뜻하는 것은 아니다.

\[
a=0
\]

물체는 한 순간에 속도가 0이면서도 여전히 가속하고 있을 수 있다.

수직 위로 던진 공이 대표적인 예다. 최고점에서 공의 수직 속도는 순간적으로 0이지만, 중력에 의한 가속도는 여전히 아래쪽을 향하고 있다.

마찬가지로 앞의 예에서 수레는 \(2.5\ \text{s}\) 후 \(v=0\)이었지만, 가속도는 여전히 \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\)였다.

속도는 한 순간의 운동 상태를 나타낸다. 가속도는 그 순간 속도가 어떻게 변하고 있는지를 나타낸다. 둘은 서로 다른 물리량이다.

09\(v=u+at\)를 사용하면 안 되는 경우

이 식은 가속도가 일정하다고 가정한다.

어떤 자동차의 가속도가 다음과 같다고 하자.

• 첫 번째 1초 동안 \(1\ \text{m s}^{-2}\),
• 두 번째 1초 동안 \(4\ \text{m s}^{-2}\),
• 세 번째 1초 동안 \(0\ \text{m s}^{-2}\).

전체 3초 구간을 설명하는 하나의 일정한 \(a\) 값은 존재하지 않는다.

따라서 이 중 하나의 가속도를 골라 전체 시간 구간에 대해 다음과 같이 쓰는 것은 잘못이다.

\[
v=u+at
\]

가속도가 일정한 각 구간에 대해 이 식을 따로 사용할 수 있을까? 그렇다. 각 구간의 속도 변화를 차례로 계산할 수 있다.

또는 전체 속도 변화는 가속도-시간 그래프 아래의 넓이로 구할 수 있다.

이것은 \(v=u+at\)에 대해 더 깊은 사실을 보여 준다. 가속도가 일정한 가속도-시간 그래프는 수평선이다. 그 아래의 넓이는 직사각형이므로:

\[
\text{넓이}=a\times t
\]

그리고 그 넓이는:

\[
\Delta v=at
\]

이다.

따라서 이 식은 실제로 누적이라는 더 넓은 개념의 특수한 경우다.

10문제와 풀이

문제 1

스케이트보더가 동쪽으로 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 이동하고 있다. 그녀는 \(6.0\ \text{s}\) 동안 동쪽 방향으로 \(1.5\ \text{m s}^{-2}\)의 일정한 가속도로 가속한다. 최종 속도를 구하여라.

풀이 1

스케이트보더의 최종 속도는 \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{ 동쪽}}\)이다.

동쪽을 양의 방향으로 정하면:

\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]

다음 식을 사용하면:

\[
v=u+at
\]

다음을 얻는다.

\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]

양의 부호는 스케이트보더가 동쪽으로 움직이고 있다는 뜻이다. 6초 동안 속도가 \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) 증가했다.

문제 2

로봇이 직선 트랙을 따라 오른쪽으로 \(11\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 움직인다. 로봇은 왼쪽 방향으로 \(2.5\ \text{m s}^{-2}\)의 일정한 가속도를 받는다.

로봇이 순간적으로 정지하기까지 얼마나 걸리는가?

풀이 2

로봇은 \(\boxed{4.4\ \text{s}}\) 후 정지한다.

오른쪽을 양의 방향으로 정한다. 그러면:

\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]

“정지한다”는 것은 그 순간의 최종 속도가 다음과 같다는 뜻이다.

\[
v=0
\]

다음을 사용하면:

\[
v=u+at
\]

다음을 얻는다.

\[
0=11+(-2.5)t
\]

\[
2.5t=11
\]

\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]

중요한 점은 로봇이 멈추는 순간에도 가속도가 0이 아니라는 것이다. 속도는 한 순간 0이지만 왼쪽 방향의 가속도는 그대로 남아 있으므로, 가속도가 계속된다면 그다음에는 왼쪽으로 움직이기 시작할 것이다.

문제 3

어떤 물체의 초기 속도는 \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\)이고 일정한 가속도는 \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)이다.

한 학생이 “가속도가 음수이므로 물체의 속력은 반드시 줄어들고 있다”고 말한다.

\(2.0\ \text{s}\) 후 물체의 속도를 구하고, 이 학생의 주장을 평가하여라.

풀이 3

최종 속도는 \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\)이며, 물체의 속력이 증가하고 있으므로 학생의 주장은 틀렸다.

다음을 사용하면:

\[
v=u+at
\]

다음을 얻는다.

\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]

\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]

초기 속력은 \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)였다. 최종 속력은 \(13\ \text{m s}^{-1}\)이다.

속도와 가속도가 모두 음수이므로 둘은 같은 방향을 가리킨다. 따라서 가속도는 속도의 크기를 증가시킨다.

흔히 빠지기 쉬운 오개념은 음의 가속도를 “감속”으로 해석하는 것이다. 음의 부호는 선택한 좌표계에 대한 방향만 나타낸다.

문제 4

수레가 오른쪽으로 \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 움직인다. 일정한 가속도가 왼쪽 방향으로 작용한다. \(3.0\ \text{s}\) 후, 수레는 왼쪽으로 \(1.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 움직이고 있다.

수레의 가속도를 구하여라. 그런 다음 \(3.0\ \text{s}\)의 시간 구간 중 언제 방향이 바뀌었는지 구하여라.

풀이 4

수레의 가속도는 \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\)이며, 약 \(\boxed{2.7\ \text{s}}\) 후에 방향을 바꾼다.

오른쪽을 양의 방향으로 정하면:

\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]

먼저 가속도를 구한다.

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

음의 부호는 가속도가 왼쪽을 향한다는 뜻이다.

수레가 방향을 바꾼 시점을 구하려면 먼저 속도가 0을 지나야 한다는 점에 주목한다. \(v=0\)으로 두면:

\[
0=8.0+(-3.0)t
\]

\[
3.0t=8.0
\]

\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]

따라서 수레는 약 다음 시점에 순간적으로 정지한다.

\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]

그 후 남은 \(0.33\ \text{s}\) 동안 왼쪽으로 움직인다.

여기에 숨어 있는 핵심은 최종 속도가 음수라는 것이 단순히 “물체의 속력이 줄었다”는 것보다 더 많은 정보를 준다는 점이다. 속도가 연속적으로 변했다면, 물체가 \(v=0\)을 지나 방향을 반대로 바꾸었다는 것을 의미한다.

문제 5

동일한 두 수레가 모두 처음에 오른쪽으로 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\)의 같은 속도로 움직인다.

수레 A는 \(4.0\ \text{s}\) 동안 \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\)의 일정한 가속도를 받는다.

수레 B는 처음 \(2.0\ \text{s}\) 동안 \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\)의 가속도를 받은 뒤, 다음 \(2.0\ \text{s}\) 동안 \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\)의 가속도를 받는다.

한 학생이 두 수레 모두에 \(t=4.0\ \text{s}\)를 사용하여 \(v=u+at\)를 적용한다. 왜 이 방법이 수레 A에는 직접 적용되지만 수레 B에는 그렇지 않은지 설명하여라. 그런 다음 각 수레의 최종 속도를 계산하여라.

풀이 5

수레 A의 최종 속도는 \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\), 수레 B의 최종 속도는 \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\)이다. 수레 A는 전체 \(4.0\ \text{s}\) 동안 가속도가 일정하므로 \(v=u+at\)를 한 번 직접 적용할 수 있지만, 수레 B는 가속도가 변한다.

수레 A의 경우:

\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]

따라서:

\[
v=u+at
\]

\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

수레 B의 경우, 가속도가 일정한 각 시간 구간을 따로 계산한다.

처음 \(2.0\ \text{s}\) 동안:

\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

이 값이 두 번째 시간 구간의 초기 속도가 된다.

다음 \(2.0\ \text{s}\) 동안:

\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]

따라서:

\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]

함정은 식에 \(a\)라는 기호가 들어 있다는 이유만으로 가속도를 하나의 고정된 값으로 취급하는 것이다. \(v=u+at\)라는 식은 선택한 \(a\)가 해당 시간 구간 전체에서 일정하게 유지된다고 가정한다.

수레 B에서는 두 가속도 구간이 각각 다음과 같은 속도 변화를 만든다.

\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

그리고:

\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

따라서 전체 속도 변화는:

\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

이와 같은 사고방식은 자연스럽게 가속도-시간 그래프로 이어진다. 가속도-시간 그래프에서는 하나의 직사각형 \(at\)를 사용하는 대신 그래프 아래의 전체 부호 있는 넓이로 속도 변화를 구한다.