Usar s = ut + 1/2 at² em Física do HSC

Um automóvel desloca-se para este a \(12\text{ m s}^{-1}\). O condutor trava de forma constante durante \(3.0\text{ s}\). Conheces a velocidade inicial, a aceleração e o tempo, mas não sabes qual foi o deslocamento do automóvel.

Poderias sentir-te tentado a calcular \(12 \times 3 = 36\text{ m}\). Mas isso pressupõe que o automóvel continua a deslocar-se a \(12\text{ m s}^{-1}\) durante os três segundos completos. Não continua. Está a abrandar.

A equação

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

resolve exatamente este problema, desde que a aceleração seja constante.

A parte mais difícil nas questões do HSC geralmente não é substituir valores na equação. É decidir se a equação se aplica de todo e escolher corretamente os sinais de \(u\), \(a\) e \(s\).

01Que problema resolve esta equação?

Suponhamos que um objeto começa com velocidade \(u\) e depois acelera a uma taxa constante \(a\).

Podemos imaginar o seu movimento como tendo duas partes.

Primeiro, imagina que o objeto continuava a deslocar-se à sua velocidade inicial durante um tempo \(t\). Percorreria um deslocamento de

\[
ut.
\]

Mas a aceleração altera a sua velocidade enquanto se move. Essa alteração contribui com algum deslocamento adicional, ou reduz o deslocamento se a aceleração tiver sentido oposto ao movimento inicial.

Essa contribuição da aceleração é

\[
\frac{1}{2}at^2.
\]

Assim, o deslocamento total é

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2.
\]

Aqui:

• \(s\) é o deslocamento, medido em metros (\(\text{m}\))
• \(u\) é a velocidade inicial, medida em metros por segundo (\(\text{m s}^{-1}\))
• \(a\) é a aceleração constante, medida em metros por segundo ao quadrado (\(\text{m s}^{-2}\))
• \(t\) é o tempo decorrido, medido em segundos (\(\text{s}\))

Repara que \(s\) é deslocamento, não distância. Esta distinção torna-se importante sempre que um objeto muda de direção. Se esta distinção ainda não estiver clara, revê distância e deslocamento em Física do HSC antes de avançares.

02Por que existe um \(\frac{1}{2}\)?

O fator \(\frac{1}{2}\) pode parecer algo que tens simplesmente de memorizar. Não é arbitrário.

Imagina que um objeto parte do repouso e acelera constantemente a \(2\text{ m s}^{-2}\) durante \(4\text{ s}\).

A sua velocidade aumenta assim:

• aos \(0\text{ s}\): \(0\text{ m s}^{-1}\)
• ao \(1\text{ s}\): \(2\text{ m s}^{-1}\)
• aos \(2\text{ s}\): \(4\text{ m s}^{-1}\)
• aos \(3\text{ s}\): \(6\text{ m s}^{-1}\)
• aos \(4\text{ s}\): \(8\text{ m s}^{-1}\)

Prevê o deslocamento. Seria \(8 \times 4 = 32\text{ m}\)?

Não. O objeto só atinge \(8\text{ m s}^{-1}\) no fim. Durante a maior parte dos quatro segundos, desloca-se mais lentamente.

Como a velocidade aumenta uniformemente de \(0\) para \(8\text{ m s}^{-1}\), a sua velocidade média é

\[
\frac{0 + 8}{2} = 4\text{ m s}^{-1}.
\]

Assim, o seu deslocamento é

\[
s = v_{\text{méd}}t = 4 \times 4 = 16\text{ m}.
\]

Usando \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\), obtém-se o mesmo resultado:

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (0)(4) + \frac{1}{2}(2)(4^2) \\
&= 16\text{ m}.
\end{aligned}
\]

O \(\frac{1}{2}\) aparece porque, sob aceleração constante, a velocidade muda de forma contínua, em vez de saltar instantaneamente para o seu valor final.

Outra forma de visualizar isto é através de um gráfico velocidade-tempo. O termo \(ut\) corresponde à área retangular criada pela velocidade inicial. O termo \(\frac{1}{2}at^2\) corresponde à área triangular criada pela alteração da velocidade.

Esta representação é útil, mas tem um limite: o triângulo bem definido só aparece quando a aceleração é constante. Se a aceleração variar com o tempo, o gráfico velocidade-tempo geralmente não é uma linha reta, e esta equação não pode ser simplesmente utilizada ao longo de todo o intervalo.

03A condição que os alunos esquecem: a aceleração tem de ser constante

A equação pertence ao conjunto das equações do movimento com aceleração constante.

Isto significa que \(a\) tem de se manter igual durante todo o intervalo de tempo que estás a analisar.

Por exemplo, estas situações podem ser razoavelmente modeladas com aceleração constante se a questão assim o indicar:

• um objeto em queda livre perto da superfície da Terra, desprezando a resistência do ar
• um automóvel a acelerar uniformemente ao longo de uma estrada reta
• um comboio a travar a uma taxa constante
• um carrinho sujeito a aceleração constante ao longo de uma pista

Mas suponhamos que um automóvel acelera a \(2\text{ m s}^{-2}\) durante dois segundos e depois a \(5\text{ m s}^{-2}\) durante mais dois segundos.

Podes usar \(t = 4\text{ s}\) em

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

com algum valor único e conveniente de \(a\)?

Não, a menos que esse valor represente realmente uma aceleração constante ao longo de todo o intervalo. Neste exemplo, não representa.

Em vez disso, divide o movimento em intervalos. Determina o deslocamento durante o primeiro intervalo de aceleração constante, calcula a nova velocidade e depois analisa o segundo intervalo.

Um gráfico aceleração-tempo pode ajudar-te a reconhecer quando a aceleração é constante e quando o movimento tem de ser dividido em secções.

04Escolher os sinais: escolhe primeiro um sentido positivo

É aqui que muitas soluções que, de resto, estão corretas acabam por falhar.

A velocidade e a aceleração são vetores. Num movimento unidimensional, os seus sinais indicam o sentido para o qual apontam.

Antes de substituíres qualquer valor, escolhe um sentido positivo.

Para movimento horizontal, podes escolher:

\[
\text{este} = +
\]

o que significa automaticamente

\[
\text{oeste} = -.
\]

Para movimento vertical, podes escolher:

\[
\text{cima} = +
\]

o que significa

\[
\text{baixo} = -.
\]

Poderias escolher a convenção oposta e ainda assim obter a física correta. O importante é seres consistente.

Pensa na escolha do sentido positivo como decidir qual das extremidades de um corredor recebe os números positivos das salas. À Física não interessa qual extremidade escolhes. Interessa que não mudes de ideia a meio do corredor.

Os sinais não significam “bom”, “mau”, “acelerar” ou “abrandar”

Uma aceleração negativa não significa automaticamente que um objeto está a abrandar.

Significa que a aceleração aponta no sentido negativo.

Suponhamos que este é positivo.

Se um automóvel se desloca para este, então \(u > 0\).

Se a sua aceleração aponta para oeste, então \(a < 0\). A aceleração opõe-se à velocidade, por isso o automóvel abranda.

Mas suponhamos que o automóvel se desloca para oeste. Então \(u < 0\). Se a sua aceleração também aponta para oeste, então \(a < 0\), e o automóvel aumenta a sua rapidez.

Assim, uma regra útil é:

Os sinais indicam primeiro o sentido. Saber se a rapidez aumenta ou diminui resulta da comparação entre os sentidos da velocidade e da aceleração.

05Um método fiável para definir os sinais

Antes de utilizares a equação, escreve qual é o teu sentido positivo.

Depois, traduz cada grandeza vetorial para essa convenção.

Suponhamos que uma bola é lançada para cima a \(15\text{ m s}^{-1}\) e escolhes o sentido ascendente como positivo.

Então:

\[
u = +15\text{ m s}^{-1}
\]

e a aceleração gravítica é para baixo, logo

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

Se o deslocamento calculado for \(s = +6.0\text{ m}\), a bola termina \(6.0\text{ m}\) acima da sua posição inicial.

Se \(s = -6.0\text{ m}\), termina \(6.0\text{ m}\) abaixo da sua posição inicial.

Não atribuas um sinal negativo à aceleração apenas porque o objeto está a “desacelerar”. Atribui o sinal de acordo com o sentido.

08Por que \(t^2\) é importante

Por vezes, os alunos lembram-se da estrutura como “movimento inicial mais movimento devido à aceleração”, mas esquecem-se de elevar o tempo ao quadrado.

Verifica as unidades.

O primeiro termo tem unidades

\[
ut = (\text{m s}^{-1})(\text{s}) = \text{m}.
\]

O segundo termo tem unidades

\[
at^2 = (\text{m s}^{-2})(\text{s}^2) = \text{m}.
\]

Portanto, ambos os termos representam deslocamentos.

Se usasses acidentalmente \(\frac{1}{2}at\), as suas unidades seriam

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1},
\]

que corresponde a uma velocidade, não a um deslocamento.

Verificar as unidades não deteta todos os erros de Física, mas permite detetar facilmente muitos erros algébricos.

09Por que o deslocamento cresce com \(t^2\)

Suponhamos que um objeto parte do repouso com aceleração constante.

Então \(u = 0\), logo

\[
s = \frac{1}{2}at^2.
\]

Se duplicares o tempo, o que acontece ao deslocamento?

Uma previsão tentadora seria pensar que o deslocamento duplica. Mas

\[
(2t)^2 = 4t^2,
\]

por isso o deslocamento torna-se quatro vezes maior.

Por exemplo, um objeto que parte do repouso com aceleração \(3.0\text{ m s}^{-2}\) percorre

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(2.0^2) = 6.0\text{ m}
\]

em \(2.0\text{ s}\).

Após \(4.0\text{ s}\),

\[
s = \frac{1}{2}(3.0)(4.0^2) = 24\text{ m}.
\]

O dobro do tempo dá quatro vezes o deslocamento.

Porquê? Porque o objeto tem mais tempo para se mover e está a mover-se mais depressa durante a parte final desse intervalo mais longo.

10O equívoco mais tentador: deslocamento negativo significa mover-se para trás

Não necessariamente.

Suponhamos que este é positivo. Se um objeto tiver

\[
s = -5\text{ m},
\]

isso diz-te apenas que a sua posição final está \(5\text{ m}\) a oeste de onde começou.

Pode estar nesse momento a deslocar-se para oeste.

Também pode ter-se deslocado para oeste, invertido o sentido e estar agora a deslocar-se para este, permanecendo ainda \(5\text{ m}\) a oeste do seu ponto de partida.

O deslocamento descreve uma alteração de posição. A velocidade descreve a taxa e o sentido em que a posição está a mudar naquele instante.

Estas ideias estão relacionadas, mas não são intercambiáveis.

11Uma regra de decisão compacta para questões do HSC

Antes de utilizares

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

verifica quatro coisas.

1. O movimento é unidimensional ao longo do intervalo que estás a analisar?
   Escolhe um eixo e define o seu sentido positivo.

2. A aceleração é constante?
   Se não for, esta equação não pode ser aplicada a todo o intervalo em que a aceleração varia.

3. Conheces \(u\), \(a\) e \(t\), ou consegues determiná-los?
   Esta equação é particularmente útil porque a velocidade final não aparece.

4. Atribuíste os sinais de acordo com o sentido?
   Faz isto antes da substituição, não depois.

Um hábito útil é escrever uma linha como

\[
\text{sentido ascendente positivo}
\]

antes de qualquer cálculo de movimento vertical. Demora apenas alguns segundos e evita uma grande parte dos erros de sinal.

12Questões e soluções

Questão 1

Um praticante de skate desloca-se para norte a \(3.0\text{ m s}^{-1}\) e acelera uniformemente para norte a \(0.80\text{ m s}^{-2}\) durante \(5.0\text{ s}\). Calcula o deslocamento do praticante de skate durante este intervalo.

Solução 1

O praticante de skate desloca-se \(\boxed{25\text{ m para norte}}\).

Considera norte como positivo. Então

\[
u = +3.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = +0.80\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 5.0\text{ s}.
\]

Usando

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2,
\]

obtemos

\[
\begin{aligned}
s &= (3.0)(5.0) + \frac{1}{2}(0.80)(5.0^2) \\
&= 15 + 10 \\
&= 25\text{ m}.
\end{aligned}
\]

O resultado positivo significa que o deslocamento é para norte. Tanto \(u\) como \(a\) são positivos porque apontam no sentido positivo escolhido.

Questão 2

Um elevador desloca-se para cima a \(2.4\text{ m s}^{-1}\). Acelera uniformemente para baixo a \(0.60\text{ m s}^{-2}\) durante \(3.0\text{ s}\).

Calcula o seu deslocamento durante o intervalo de \(3.0\text{ s}\).

Solução 2

O deslocamento do elevador é \(\boxed{+4.5\text{ m}}\), portanto termina \(4.5\text{ m}\) acima da sua posição inicial.

Escolhe o sentido ascendente como positivo. Então

\[
u = +2.4\text{ m s}^{-1}, \qquad
a = -0.60\text{ m s}^{-2}, \qquad
t = 3.0\text{ s}.
\]

Portanto,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (2.4)(3.0) + \frac{1}{2}(-0.60)(3.0^2) \\
&= 7.2 – 2.7 \\
&= 4.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

A aceleração é negativa porque aponta para baixo, não simplesmente porque o elevador está a abrandar.

Durante estes três segundos, a velocidade para cima e a aceleração para baixo apontam em sentidos opostos, por isso a rapidez do elevador diminui.

Questão 3

Uma pequena bola é projetada verticalmente para cima a partir do nível do solo a \(14.0\text{ m s}^{-1}\). Despreza a resistência do ar e usa \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\).

Um aluno calcula o seu deslocamento após \(3.00\text{ s}\) como

\[
s = (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(9.8)(3.00^2)
\]

e obtém \(86.1\text{ m}\).

Identifica o erro, calcula o deslocamento correto e indica o significado do sinal do teu resultado.

Solução 3

O erro do aluno é utilizar o sinal errado para a aceleração gravítica. O deslocamento correto é \(\boxed{-2.1\text{ m}}\), o que significa que a bola estaria \(2.1\text{ m}\) abaixo do nível de lançamento após \(3.00\text{ s}\), se o seu movimento pudesse continuar sem qualquer obstáculo.

Se o sentido ascendente for positivo, então

\[
u = +14.0\text{ m s}^{-1}
\]

mas a gravidade aponta para baixo, logo

\[
a = -9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

Portanto,

\[
\begin{aligned}
s &= ut + \frac{1}{2}at^2 \\
&= (14.0)(3.00) + \frac{1}{2}(-9.8)(3.00^2) \\
&= 42.0 – 44.1 \\
&= -2.1\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Há também uma suposição física importante implícita no cálculo. A questão diz que a bola foi lançada a partir do nível do solo. Uma bola real atingiria o solo antes de alcançar uma posição \(2.1\text{ m}\) abaixo dele, a menos que existisse um buraco ou uma descida sob o ponto de lançamento.

Assim, a equação descreve corretamente a trajetória matemática com aceleração constante, mas a situação física pode terminar quando a bola entra em contacto com o solo. As equações não têm automaticamente em conta a existência de barreiras.

Questão 4

Um veículo de teste começa com \(+6.0\text{ m s}^{-1}\), sendo este o sentido positivo.

Durante os primeiros \(2.0\text{ s}\), tem aceleração constante de \(-2.0\text{ m s}^{-2}\). Durante os \(3.0\text{ s}\) seguintes, a sua aceleração é constante e igual a \(+1.0\text{ m s}^{-2}\).

Um aluno propõe utilizar

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

uma única vez ao longo dos \(5.0\text{ s}\) completos, com \(u = 6.0\text{ m s}^{-1}\) e uma aceleração obtida fazendo a média de \(-2.0\) e \(+1.0\).

Explica por que este método não é válido e depois calcula o deslocamento total do veículo.

Solução 4

O método de utilizar uma única equação não é válido porque a aceleração não é constante ao longo dos \(5.0\text{ s}\) completos. O deslocamento total correto é \(\boxed{19.5\text{ m para este}}\).

O movimento tem de ser dividido nos dois intervalos em que a aceleração é constante.

Para o primeiro intervalo,

\[
u_1 = +6.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_1 = -2.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_1 = 2.0\text{ s}.
\]

O deslocamento é

\[
\begin{aligned}
s_1 &= u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2 \\
&= (6.0)(2.0) + \frac{1}{2}(-2.0)(2.0^2) \\
&= 12 – 4 \\
&= 8.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Também precisamos da velocidade no final deste intervalo, porque ela se torna a velocidade inicial do segundo intervalo.

Usando

\[
v = u + at,
\]

\[
\begin{aligned}
v_1 &= 6.0 + (-2.0)(2.0) \\
&= 2.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

Para o segundo intervalo,

\[
u_2 = +2.0\text{ m s}^{-1}, \qquad
a_2 = +1.0\text{ m s}^{-2}, \qquad
t_2 = 3.0\text{ s}.
\]

Assim,

\[
\begin{aligned}
s_2 &= u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2 \\
&= (2.0)(3.0) + \frac{1}{2}(1.0)(3.0^2) \\
&= 6.0 + 4.5 \\
&= 10.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

O deslocamento total é

\[
\begin{aligned}
s_{\text{total}} &= s_1 + s_2 \\
&= 8.0 + 10.5 \\
&= 18.5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

Portanto,

\[
\boxed{s_{\text{total}} = 18.5\text{ m para este}}.
\]

A ideia importante é que fazer a média dos dois valores de aceleração não reproduz o movimento real. O momento em que cada aceleração atua é importante porque o primeiro intervalo altera a velocidade com que o veículo entra no segundo intervalo.

13Para que te prepara esta equação

A equação

\[
s = ut + \frac{1}{2}at^2
\]

é mais do que uma fórmula de substituição. Liga três ideias: o movimento inicial de um objeto, a forma como a aceleração constante altera esse movimento e o deslocamento acumulado ao longo do tempo.

Quando os sinais fizerem sentido, torna-se mais fácil organizar as outras equações do movimento com aceleração constante. A mesma convenção mantém-se: escolhe um sentido positivo, trata a velocidade e a aceleração como grandezas com sinal e pergunta o que o resultado significa fisicamente.

O próximo passo útil é aprender a relacionar estas equações com gráficos do movimento. Um gráfico pode mostrar imediatamente quando a aceleração é constante, quando um objeto muda de direção e quando uma única equação de aceleração constante deixa de ser válida.