Masse atomique relative à partir de la composition isotopique

Un atome de chlore présent dans la nature n’a pas toujours la même masse. Certains atomes de chlore contiennent 18 neutrons, tandis que d’autres en contiennent 20. Pourtant, le tableau périodique indique pour le chlore une masse atomique relative d’environ 35,45.

Alors, qu’est-ce qu’un atome de chlore ayant une masse de 35,45 ? Il n’en existe pas.

Ce nombre est une moyenne, mais pas une moyenne ordinaire dans laquelle chaque valeur compte de la même manière. Les isotopes les plus courants doivent contribuer davantage à la moyenne que les isotopes rares. Il faut donc apprendre à calculer cette masse atomique relative pondérée à partir des masses isotopiques et des abondances naturelles.

Avant de poursuivre votre lecture, faites cette prédiction : un élément possède deux isotopes de masses 20 et 22. Si 90 % de ses atomes correspondent à l’isotope le plus léger, sa masse atomique relative sera-t-elle plus proche de 20, de 21 ou de 22 ?

Elle devrait être plus proche de 20. Une moyenne pondérée est attirée vers la valeur qui apparaît le plus souvent.

01Commencez par les atomes, pas par la formule

Imaginez que vous recueilliez 100 atomes d’un élément.

Supposons que :

• 80 atomes ont une masse isotopique de 10
• 20 atomes ont une masse isotopique de 11

Vous pourriez déterminer leur masse moyenne en additionnant la contribution des 100 atomes :

\[
\frac{(80)(10)+(20)(11)}{100}
=
\frac{1020}{100}
=
10.2
\]

La masse atomique relative est donc de 10,2.

Remarquez ce qui s’est passé. Nous n’avons pas simplement calculé :

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

Ce calcul supposerait à tort que les deux isotopes sont présents en proportions égales.

Voici l’idée essentielle :

La contribution d’un isotope à la masse atomique relative dépend à la fois de sa masse et de son abondance.

Si vous avez besoin de revoir ce qui distingue les isotopes les uns des autres, consultez Explication des isotopes stables et instables pour la chimie du HSC.

02Ce que signifie réellement la masse atomique relative

La masse atomique relative, \(A_r\), d’un élément est la masse moyenne pondérée de ses atomes présents naturellement, rapportée à un douzième de la masse d’un atome de carbone 12.

Cette définition contient deux idées importantes.

Premièrement, il s’agit d’une moyenne pondérée, car différents isotopes peuvent avoir des abondances naturelles différentes.

Deuxièmement, elle est relative. La masse atomique relative est un rapport, elle n’a donc pas d’unité.

Pour la plupart des calculs du HSC, l’équation importante est :

\[
A_r=\sum (\text{masse isotopique})(\text{abondance fractionnaire})
\]

Ici :

• \(A_r\) est la masse atomique relative
• la masse isotopique est la masse relative d’un isotope particulier
• l’abondance fractionnaire est la proportion d’atomes correspondant à cet isotope, exprimée sous forme décimale

Par exemple, 72 % devient :

\[
72\% = 0.72
\]

Si les abondances sont données en pourcentages, vous pouvez également calculer :

\[
A_r=
\frac{\sum(\text{masse isotopique})(\text{abondance en pourcentage})}{100}
\]

Les deux méthodes sont équivalentes.

03Pourquoi la réponse n’est généralement pas un nombre entier

Les élèves regardent parfois le tableau périodique et se demandent pourquoi on y trouve des masses atomiques comme 24,305 ou 63,546 alors que les atomes contiennent des nombres entiers de protons et de neutrons.

Il y a deux raisons.

La première est la moyenne pondérée de différents isotopes.

La seconde est que les masses isotopiques réelles elles-mêmes ne sont généralement pas des nombres entiers exacts. Un atome de magnésium 24, par exemple, a une masse isotopique proche de 24, mais pas exactement égale à 24.

Dans de nombreuses questions du HSC, on peut vous donner des nombres de masse comme 24, 25 et 26 et vous demander de les utiliser comme masses isotopiques approximatives. Si des masses isotopiques plus précises sont fournies, utilisez-les à la place.

La question détermine le niveau de précision de votre modèle.

04Une représentation utile des moyennes pondérées

Imaginez deux personnes assises aux extrémités opposées d’une balançoire à bascule. Un isotope se trouve à gauche et un autre isotope à droite.

La masse atomique relative se situe quelque part entre les deux.

Mais l’abondance agit un peu comme une influence supplémentaire. Si un isotope représente 95 % des atomes, la moyenne est fortement attirée vers la masse de cet isotope.

L’analogie n’est pas exacte. Il n’y a ni force réelle ni véritable balançoire en jeu. C’est simplement une manière de visualiser pourquoi la moyenne se trouve plus près de l’isotope le plus abondant.

Cela vous donne un moyen puissant de vérifier vos résultats :

Votre masse atomique relative doit se situer entre la plus petite et la plus grande masse isotopique, et elle devrait généralement être plus proche de la masse de l’isotope le plus abondant.

Si un élément ne contient que des isotopes de masses 35 et 37, une réponse de 38,1 est impossible.

Une réponse de 21 l’est également.

06L’erreur la plus fréquente : faire directement la moyenne des masses isotopiques

Supposons qu’un élément soit constitué à 99 % de l’isotope X-10 et à 1 % de l’isotope X-11.

Un élève pourrait calculer :

\[
\frac{10+11}{2}=10.5
\]

Pourquoi cela peut-il sembler raisonnable ? Parce que lorsque nous entendons « moyenne », nous pensons souvent « additionner les valeurs et diviser par le nombre de valeurs ».

Mais cette méthode répond à la mauvaise question. Elle calcule la moyenne de deux masses isotopiques, en considérant que les isotopes sont présents en proportions égales.

Le véritable calcul est :

\[
A_r=(10)(0.99)+(11)(0.01)=10.01
\]

Cela a un sens physique. Si 99 atomes sur 100 correspondent à l’isotope le plus léger, la moyenne doit être extrêmement proche de 10.

Une règle de décision utile est la suivante :

08Lorsqu’une abondance manque

Il n’est souvent pas nécessaire que toutes les abondances soient données explicitement.

Si un élément ne possède que deux isotopes présents naturellement et que l’un a une abondance de 73 %, l’autre doit avoir :

\[
100\%-73\%=27\%
\]

Pour trois isotopes ou davantage, le même principe s’applique. Les abondances naturelles doivent totaliser 100 %, à condition que la question inclue tous les isotopes présents dans l’échantillon.

Soyez prudent avec cette hypothèse. Si une question indique que les trois isotopes énumérés sont les seuls isotopes présents naturellement, vous pouvez sans risque soustraire leur abondance de 100 %. Si la liste est incomplète, vous ne le pouvez pas.

C’est le genre d’hypothèse implicite qui devient important dans les questions plus difficiles.

09L’abondance relative n’est pas toujours donnée sous forme de pourcentage

Un spectre de masse peut présenter les pics isotopiques en utilisant plutôt une intensité relative.

Supposons que deux pics isotopiques aient des intensités relatives de 3 et 1. Cela ne signifie pas 3 % et 1 %.

Cela signifie que leur rapport d’abondance est :

\[
3:1
\]

Il y a quatre parts au total, donc leurs abondances fractionnaires sont :

\[
\frac{3}{4}=0.75
\]

et

\[
\frac{1}{4}=0.25
\]

Si leurs masses isotopiques étaient de 34 et 36, la masse atomique relative pondérée serait :

\[
A_r=(34)(0.75)+(36)(0.25)=34.5
\]

L’idée importante n’est pas « toujours diviser par 100 ». C’est « convertir chaque abondance en sa fraction du total ».

10Vous pouvez aussi effectuer le calcul à l’envers

Parfois, les masses isotopiques et la masse atomique relative sont connues, mais une abondance manque.

Supposons qu’un élément possède deux isotopes de masses 79 et 81, et que sa masse atomique relative soit de 79,6.

Soit \(x\) la fraction correspondant à l’isotope de masse 79.

Comme il n’y a que deux isotopes, la fraction correspondant à l’isotope de masse 81 doit être \(1-x\).

Alors :

\[
79x+81(1-x)=79.6
\]

Développons :

\[
79x+81-81x=79.6
\]

\[
-2x=-1.4
\]

\[
x=0.70
\]

Les abondances sont donc :

• isotope de masse 79 : 70 %
• isotope de masse 81 : 30 %

Là encore, le résultat satisfait la vérification physique. La moyenne de 79,6 est plus proche de 79, donc l’isotope de masse 79 devrait être plus abondant.

11Masse atomique relative et nombre de masse

Ces grandeurs sont faciles à confondre.

Par exemple, le chlore 35 a un nombre de masse de 35 parce que son noyau contient au total 35 nucléons.

Cela ne signifie pas que la masse atomique relative du chlore doit être égale à 35. Le chlore est présent naturellement sous forme de plusieurs isotopes, donc la valeur indiquée dans le tableau périodique est une moyenne pondérée.

La configuration électronique est une idée distincte. Modifier le nombre de neutrons produit un isotope différent, tandis que modifier le nombre d’électrons produit un ion. Si vous avez besoin de revoir cette distinction, Configuration électronique pour la chimie du HSC : atomes et ions constitue une bonne étape suivante.

12Questions et solutions

Question 1

Un élément possède deux isotopes de masses 50,0 et 52,0. Leurs abondances naturelles sont respectivement de 84,0 % et 16,0 %. Calculez la masse atomique relative.

Solution 1

La masse atomique relative est \(\boxed{50.32}\).

La masse atomique relative est une moyenne pondérée, donc la masse de chaque isotope doit être multipliée par son abondance fractionnaire.

Convertissez les pourcentages :

\[
84.0\%=0.840,\qquad16.0\%=0.160
\]

Puis :

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(50.0)(0.840)+(52.0)(0.160)\\
&=42.0+8.32\\
&=50.32
\end{aligned}
\]

La réponse est plus proche de 50,0 parce que l’isotope de masse 50 est beaucoup plus abondant.

Faire simplement la moyenne de 50,0 et 52,0 pour obtenir 51,0 reviendrait à considérer à tort que les deux isotopes ont la même abondance.

Question 2

Un élément contient trois isotopes avec la composition suivante :

Calculez sa masse atomique relative.

Solution 2

La masse atomique relative est approximativement \(\boxed{70.03}\).

Convertissez les abondances en fractions :

\[
0.600,\qquad0.250,\qquad0.150
\]

Leur somme est égale à 1,000, donc les données d’abondance sont cohérentes entre elles.

Calculez maintenant la moyenne pondérée :

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(68.93)(0.600)+(70.92)(0.250)+(71.92)(0.150)\\
&=41.358+17.730+10.788\\
&=69.876
\end{aligned}
\]

Donc :

\[
\boxed{A_r=69.88}
\]

La moyenne est plus proche de 68,93 que de l’un ou l’autre des isotopes plus lourds parce que l’isotope le plus léger représente 60 % de l’échantillon.

Question 3

Un élément possède exactement deux isotopes présents naturellement. Un isotope a une masse de 106,9 et une abondance de 51,8 %. Le second isotope a une masse de 108,9.

Calculez la masse atomique relative.

Solution 3

La masse atomique relative est approximativement \(\boxed{107.86}\).

Comme il existe exactement deux isotopes, leurs abondances doivent totaliser 100 %. Le second isotope a donc une abondance de :

\[
100.0\%-51.8\%=48.2\%
\]

Convertissez les deux abondances en fractions :

\[
0.518,\qquad0.482
\]

Calculez maintenant :

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(106.9)(0.518)+(108.9)(0.482)\\
&=55.3742+52.4898\\
&=107.864
\end{aligned}
\]

Donc :

\[
\boxed{A_r\approx107.86}
\]

La réponse se situe presque à mi-chemin entre les deux masses isotopiques parce que leurs abondances sont assez similaires. Elle est légèrement plus proche de 106,9 parce que cet isotope est légèrement plus abondant.

Question 4

Un spectre de masse d’un élément présente deux pics isotopiques aux masses 84 et 86. Leurs intensités relatives sont respectivement de 5 et 3.

Calculez la masse atomique relative de l’élément.

Solution 4

La masse atomique relative est \(\boxed{84.75}\).

Les nombres 5 et 3 représentent un rapport, et non des pourcentages. Ensemble, ils représentent :

\[
5+3=8
\]

parts égales d’abondance.

Les abondances fractionnaires sont donc :

\[
\frac{5}{8}=0.625
\]

et

\[
\frac{3}{8}=0.375
\]

Calculez maintenant la moyenne pondérée :

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(84)(0.625)+(86)(0.375)\\
&=52.5+32.25\\
&=84.75
\end{aligned}
\]

L’erreur tentante consiste à traiter 5 et 3 comme 5 % et 3 %. Ce sont des intensités relatives, elles doivent donc d’abord être converties en fractions de leur total.

Question 5

Un élément possède exactement deux isotopes présents naturellement, dont les masses isotopiques sont 112,0 et 115,0. Sa masse atomique relative mesurée est de 114,1.

Déterminez l’abondance en pourcentage de chaque isotope.

Solution 5

L’isotope de masse 112,0 a une abondance de \(\boxed{30.0\%}\), et l’isotope de masse 115,0 a une abondance de \(\boxed{70.0\%}\).

Soit \(x\) l’abondance fractionnaire de l’isotope de masse 112.

Comme il n’existe que deux isotopes, l’abondance fractionnaire de l’isotope de masse 115 est \(1-x\).

Utilisez l’équation de la moyenne pondérée :

\[
112.0x+115.0(1-x)=114.1
\]

Développez et résolvez :

\[
\begin{aligned}
112.0x+115.0-115.0x&=114.1\\
-3.0x&=-0.9\\
x&=0.300
\end{aligned}
\]

Donc :

\[
112.0:\quad0.300\times100\%=30.0\%
\]

et :

\[
115.0:\quad100.0\%-30.0\%=70.0\%
\]

Le résultat est également logique avant même d’effectuer l’algèbre. La masse atomique relative, 114,1, est beaucoup plus proche de 115,0 que de 112,0, donc l’isotope le plus lourd devrait être plus abondant.

Question 6

On indique à un élève qu’un élément possède trois isotopes présents naturellement, de masses 40, 42 et 44. Deux abondances mesurées sont de 70 % pour la masse 40 et de 20 % pour la masse 42.

L’élève calcule que l’abondance de l’isotope de masse 44 est de 10 %, puis obtient :

\[
A_r=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(44)(0.10)=40.8
\]

Une deuxième expérience montre ensuite que l’échantillon contient également une petite quantité d’un quatrième isotope de masse 43, qui avait été omis des données initiales.

Expliquez pourquoi le calcul numérique de l’élève ne peut plus être accepté, même si le calcul arithmétique lui-même est correct.

Solution 6

Le calcul ne peut pas être accepté parce que l’hypothèse utilisée pour obtenir l’abondance de 10 % n’est plus valide.

L’élève a raisonné ainsi :

\[
100\%-70\%-20\%=10\%
\]

Cela ne serait correct que si les masses 40, 42 et 44 représentaient tous les isotopes présents dans l’échantillon.

Une fois qu’il est établi qu’un isotope de masse 43 est présent, une partie des 10 % d’abondance restants doit appartenir à cet isotope. L’abondance attribuée à la masse 44 est donc inconnue.

Par exemple, si la masse 43 avait une abondance de 2 %, la masse 44 n’aurait plus que :

\[
100\%-70\%-20\%-2\%=8\%
\]

La moyenne pondérée serait alors :

\[
\begin{aligned}
A_r
&=(40)(0.70)+(42)(0.20)+(43)(0.02)+(44)(0.08)\\
&=40.78
\end{aligned}
\]

La valeur révisée exacte dépend de l’abondance de l’isotope de masse 43.

Le piège important est qu’un calcul arithmétique correct peut tout de même conduire à une conclusion scientifique invalide si l’hypothèse sur laquelle reposent les nombres est incorrecte.

13Ce à quoi mène ensuite ce calcul

La masse atomique relative pondérée relie l’idée microscopique des isotopes à un nombre utilisé dans toute la chimie.

Une fois que vous savez passer avec assurance des masses isotopiques aux abondances et à \(A_r\), et inversement, les spectres de masse deviennent beaucoup plus faciles à interpréter. Vous pouvez utiliser la position des pics pour identifier les masses isotopiques, leur taille pour déduire les abondances relatives, et ces deux informations ensemble pour expliquer pourquoi le tableau périodique attribue à un élément la masse atomique indiquée.

Cette même structure atomique intervient ensuite dans la configuration électronique, les liaisons chimiques et les tendances périodiques. Le noyau détermine de quel élément il s’agit, les isotopes modifient son nombre de neutrons et sa masse, et ses électrons déterminent une grande partie de ses propriétés chimiques.