Gráficos velocidade-tempo: declive, área e movimento explicados

Um gráfico velocidade-tempo pode parecer enganadoramente simples: uma linha sobe, desce ou permanece horizontal. Mas um único gráfico pode dizer-te se um objeto está a aumentar a rapidez, a diminuir a rapidez, a inverter o sentido do movimento, a acelerar e quanto mudou a sua posição.

Há, no entanto, um detalhe importante. É preciso ler o gráfico de duas formas diferentes. O declive dá-te informação sobre a aceleração. A área com sinal entre o gráfico e o eixo do tempo dá-te o deslocamento. Confundir estas duas ideias é uma das formas mais fáceis de perder de vista o que o gráfico está realmente a indicar.

Suponhamos que a velocidade de um automóvel aumenta de forma constante de \(2\ \text{m s}^{-1}\) para \(8\ \text{m s}^{-1}\). Antes de fazeres qualquer cálculo, prevê o seguinte: para determinar a aceleração do automóvel, observarias a altura do gráfico, o seu declive ou a área por baixo dele?

A resposta é o declive. A altura do gráfico dá a própria velocidade. O declive indica a rapidez com que essa velocidade está a mudar.

01O que um gráfico velocidade-tempo mostra realmente

Um gráfico velocidade-tempo tem:

• tempo \(t\) no eixo horizontal, normalmente medido em segundos
• velocidade \(v\) no eixo vertical, normalmente medida em metros por segundo, \(\text{m s}^{-1}\)

Cada ponto indica a velocidade do objeto num determinado instante.

Se o gráfico passa pelo ponto \((3,5)\), então, em \(t=3\ \text{s}\), a velocidade é \(5\ \text{m s}^{-1}\).

O sinal é importante. Uma velocidade de \(+5\ \text{m s}^{-1}\) significa movimento no sentido que foi definido como positivo. Uma velocidade de \(-5\ \text{m s}^{-1}\) significa movimento no sentido oposto.

Se as grandezas com sinal ainda te causam alguma dificuldade, vale a pena rever rapidez e velocidade antes de continuares.

Primeiro modelo mental: imagina que estás a olhar para o velocímetro

Imagina um automóvel com um velocímetro que também consegue mostrar o sentido do movimento.

Uma linha horizontal em \(+6\ \text{m s}^{-1}\) significa que a leitura se mantém em \(+6\ \text{m s}^{-1}\). O automóvel desloca-se com velocidade constante.

Uma linha inclinada para cima significa que a leitura da velocidade está a aumentar.

Uma linha inclinada para baixo significa que a leitura da velocidade está a diminuir.

Este modelo é útil, mas incompleto. “A velocidade está a diminuir” não significa sempre “a rapidez está a diminuir”. Se a velocidade se tornar mais negativa, o seu valor numérico diminui, enquanto a rapidez do objeto pode, na realidade, aumentar.

Voltaremos a esta armadilha.

02O declive dá-te a aceleração

A aceleração mede a rapidez com que a velocidade muda ao longo do tempo.

Para uma secção retilínea de um gráfico velocidade-tempo,

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

onde:

• \(a\) é a aceleração em \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) é a variação da velocidade em \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) é o intervalo de tempo em segundos

Esta é exatamente a fórmula do declive usada em matemática:

\[
\text{declive}=\frac{\text{variação vertical}}{\text{variação horizontal}}
\]

Num gráfico velocidade-tempo, a “variação vertical” é uma variação da velocidade e a “variação horizontal” é uma variação do tempo. Assim, o declive tem unidades

\[
\frac{\text{m s}^{-1}}{\text{s}}=\text{m s}^{-2}
\]

que são as unidades da aceleração.

O que significam diferentes declives

Tem cuidado com as expressões aceleração positiva e aumento da rapidez. Não são sinónimos.

Se um objeto tiver velocidade negativa e aceleração positiva, pode estar a diminuir a rapidez.

A aceleração indica como a velocidade varia, e não automaticamente como a rapidez varia.

03Porque é que a área dá o deslocamento

Suponhamos agora que um objeto se desloca com velocidade constante de \(5\ \text{m s}^{-1}\) durante \(4\ \text{s}\).

Já sabes determinar o seu deslocamento:

\[
\Delta x=v\Delta t=(5)(4)=20\ \text{m}
\]

Observa o que esses mesmos números formam num gráfico velocidade-tempo. O gráfico forma um retângulo com:

• altura \(5\ \text{m s}^{-1}\)
• largura \(4\ \text{s}\)

A sua área é

\[
A=(5)(4)=20
\]

As unidades são

\[
(\text{m s}^{-1})(\text{s})=\text{m}
\]

Portanto, a área tem unidades de deslocamento.

Isto não é uma coincidência. Em qualquer gráfico velocidade-tempo, a área com sinal entre o gráfico e o eixo do tempo dá o deslocamento.

Se a velocidade for constante,

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

Se a velocidade variar, a mesma ideia continua a funcionar. Divide-se a região em formas geométricas úteis ou, mais tarde em matemática e física, considera-se a área como a acumulação de muitas pequenas contribuições \(v\Delta t\).

04A palavra “com sinal” é importante

Imagina que um objeto se desloca a \(+3\ \text{m s}^{-1}\) durante \(2\ \text{s}\) e depois a \(-3\ \text{m s}^{-1}\) durante \(2\ \text{s}\).

A primeira secção dá

\[
\Delta x_1=(3)(2)=+6\ \text{m}
\]

A segunda dá

\[
\Delta x_2=(-3)(2)=-6\ \text{m}
\]

Portanto,

\[
\Delta x_{\text{total}}=+6+(-6)=0\ \text{m}
\]

O objeto percorreu uma distância, mas termina no ponto onde começou.

No gráfico, a área acima do eixo do tempo é \(+6\ \text{m}\), enquanto a área abaixo do eixo do tempo é \(-6\ \text{m}\). Elas anulam-se.

É por isso que não podes simplesmente somar todas as áreas geométricas como números positivos quando estás a determinar o deslocamento.

Isto está diretamente relacionado com a diferença entre distância e deslocamento.

Uma analogia um pouco disparatada

Pensa no deslocamento como se estivesses a registar dinheiro que tu e um amigo devem um ao outro.

Estar em \(+\$20\) significa que o teu amigo te deve dinheiro. Estar em \(-\$20\) significa que tu deves dinheiro ao teu amigo. Se ignorares os sinais simplesmente porque “vinte são vinte”, as tuas contas rapidamente deixam de fazer sentido.

As áreas num gráfico velocidade-tempo funcionam de forma semelhante. As áreas acima e abaixo do eixo representam deslocamentos em sentidos opostos.

A analogia tem limites, porque o dinheiro pode ser transferido entre pessoas de muitas maneiras, enquanto o gráfico descreve movimento ao longo de um eixo escolhido. Mas o tratamento dos sinais é semelhante.

05Cruzar o eixo do tempo significa mudar de sentido

O que acontece quando o gráfico velocidade-tempo cruza \(v=0\)?

Nesse instante, a velocidade é zero.

Se o gráfico continuar de uma velocidade positiva para uma velocidade negativa, o objeto inverte o sentido do movimento.

Por exemplo:

• antes do cruzamento, \(v>0\), portanto o objeto move-se no sentido positivo
• no cruzamento, \(v=0\), portanto está instantaneamente em repouso
• depois do cruzamento, \(v<0\), portanto move-se no sentido negativo

Um erro comum é assumir que \(v=0\) significa \(a=0\).

Não significa.

A altura do gráfico dá-te a velocidade. O declive dá-te a aceleração. Um gráfico pode cruzar \(v=0\) com um declive acentuado, por isso um objeto pode ter velocidade nula e aceleração não nula no mesmo instante.

Uma bola lançada verticalmente para cima é um exemplo conhecido. No ponto mais alto da sua trajetória, a sua velocidade instantânea é zero, mas a aceleração devida à gravidade continua dirigida para baixo.

06A aumentar ou a diminuir a rapidez: compara os sinais

Aqui está um teste útil.

Um objeto está a aumentar a rapidez quando a velocidade e a aceleração têm o mesmo sinal.

Um objeto está a diminuir a rapidez quando a velocidade e a aceleração têm sinais opostos.

Porquê?

A rapidez é o módulo da velocidade. Se um objeto tiver \(v=+5\ \text{m s}^{-1}\) e \(a=+2\ \text{m s}^{-2}\), a sua velocidade torna-se mais positiva, portanto a rapidez aumenta.

Mas se

\[
v=-5\ \text{m s}^{-1}
\]

e

\[
a=-2\ \text{m s}^{-2},
\]

então a sua velocidade torna-se mais negativa, talvez \(-5,-7,-9,\ldots\). O módulo está a aumentar, por isso também está a aumentar a rapidez.

Este segundo caso costuma confundir os alunos porque o gráfico se inclina para baixo.

Uma tabela rápida para decidir

Esta regra funciona enquanto nenhum dos sinais mudar durante o intervalo que estás a analisar.

08E se o gráfico for curvo?

Um segmento retilíneo num gráfico velocidade-tempo tem declive constante, por isso representa aceleração constante.

Um segmento curvo significa que o declive varia. Portanto, a aceleração também varia.

Num determinado instante, a aceleração é dada pelo declive da tangente à curva velocidade-tempo nesse ponto.

É a mesma ideia da velocidade instantânea num gráfico deslocamento-tempo. Nesse caso, o declive da tangente dá a velocidade. Aqui, uma derivada depois, o declive da tangente dá a aceleração.

Para HSC Physics, a ideia física importante é:

\[
\text{declive do gráfico velocidade-tempo}=\text{aceleração}
\]

Uma tangente mais inclinada significa uma maior magnitude da aceleração.

E quanto ao deslocamento sob um gráfico curvo?

A regra da área continua a funcionar.

Para secções simples formadas por linhas retas, podes usar retângulos, triângulos e trapézios. Para uma curva experimental irregular, poderá ser necessário estimar numericamente a área a partir do gráfico ou dos dados.

A física não mudou. Continuas a acumular muitas pequenas quantidades da forma

\[
v\Delta t
\]

ao longo do intervalo de tempo.

09Os trapézios são apenas a velocidade média disfarçada

Suponhamos que a velocidade varia uniformemente de \(v_i\) para \(v_f\) durante um intervalo de tempo \(\Delta t\).

A área sob a linha reta do gráfico velocidade-tempo é um trapézio:

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
\]

A quantidade

\[
\frac{v_i+v_f}{2}
\]

é a velocidade média para aceleração constante. Por isso, também podemos escrever

\[
\Delta x=v_{\text{av}}\Delta t
\]

Isto é útil porque liga o gráfico às equações de aceleração constante, em vez de fazer com que as questões sobre gráficos pareçam um tema completamente separado.

Para saberes mais sobre esta ligação, consulta velocidade média e instantânea.

10Os erros mais tentadores nos gráficos

Erro 1: interpretar a altura do gráfico como aceleração

Num gráfico velocidade-tempo, a coordenada vertical é a velocidade.

Um ponto muito acima do eixo significa uma velocidade positiva elevada, não uma aceleração elevada.

Uma linha horizontal em \(20\ \text{m s}^{-1}\) representa aceleração nula porque o seu declive é zero.

Erro 2: dizer que um declive para baixo significa sempre diminuição da rapidez

Imagina um gráfico abaixo do eixo do tempo que desce de \(-2\ \text{m s}^{-1}\) para \(-8\ \text{m s}^{-1}\).

O gráfico inclina-se para baixo, por isso a aceleração é negativa.

Mas a rapidez aumentou de \(2\ \text{m s}^{-1}\) para \(8\ \text{m s}^{-1}\).

O objeto está a aumentar a rapidez no sentido negativo.

Erro 3: usar área sem sinal para determinar o deslocamento

As áreas abaixo do eixo contribuem com deslocamento negativo.

Se considerares todas as áreas positivas, estarás a determinar a distância total percorrida.

Erro 4: pensar que regressar a \(v=0\) significa regressar à posição inicial

Uma velocidade \(v=0\) indica que o objeto está instantaneamente em repouso.

Por si só, isso não diz nada sobre a sua posição.

Para saber se o objeto regressou ao ponto de partida, analisa a área líquida com sinal desde o instante inicial. O objeto só regressa à sua posição original quando o deslocamento total é zero.

Erro 5: confundir um gráfico velocidade-tempo com um gráfico deslocamento-tempo

Vale a pena tornar explícita a distinção:

Se estás a confundir estes dois tipos de gráfico, rever gráficos deslocamento-tempo irá ajudar.

11Uma forma fiável de ler qualquer gráfico velocidade-tempo

Quando te apresentarem um gráfico desconhecido, analisa-o por esta ordem:

1. Lê os valores verticais. São velocidades.
2. Verifica os sinais. Velocidades positivas e negativas representam sentidos opostos.
3. Observa o declive. Este dá o sinal e a magnitude da aceleração.
4. Repara em qualquer cruzamento de \(v=0\). Uma mudança de sinal da velocidade significa uma mudança de sentido.
5. Usa a área com sinal para o deslocamento. A área acima do eixo é positiva e a área abaixo é negativa.
6. Usa os valores absolutos das áreas para a distância percorrida.
7. Compara os sinais de \(v\) e \(a\) se precisares de decidir se o objeto está a aumentar ou a diminuir a rapidez.

Esta sequência evita a maioria dos erros comuns de interpretação.

12Questões e soluções

Questão 1

Um carrinho desloca-se com velocidade constante de \(3.5\ \text{m s}^{-1}\) durante \(8.0\ \text{s}\).

Qual é a sua aceleração e qual é o seu deslocamento durante este intervalo?

Solução 1

A aceleração é \(0\ \text{m s}^{-2}\), e o deslocamento é \(28\ \text{m}\) no sentido positivo.

Como a velocidade é constante, o gráfico velocidade-tempo é horizontal. Portanto, o seu declive é zero:

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
=\frac{0}{8.0}
=0\ \text{m s}^{-2}
\]

O deslocamento é a área retangular sob o gráfico:

\[
\Delta x=v\Delta t
=(3.5)(8.0)
=28\ \text{m}
\]

Assim, o carrinho continua em movimento, embora a sua aceleração seja zero. Aceleração nula não significa velocidade nula.

Questão 2

Uma pessoa num skate desloca-se no sentido positivo. A sua velocidade diminui uniformemente de \(12\ \text{m s}^{-1}\) para \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) ao longo de \(4.0\ \text{s}\).

Calcula a aceleração e o deslocamento durante o intervalo. Indica se a pessoa está a aumentar ou a diminuir a rapidez.

Solução 2

A aceleração é \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\), o deslocamento é \(32\ \text{m}\), e a pessoa está a diminuir a rapidez.

Primeiro, calcula a aceleração:

\[
a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}
=\frac{4.0-12}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

A velocidade mantém-se positiva enquanto a aceleração é negativa. Como a velocidade e a aceleração têm sinais opostos, a rapidez diminui.

O deslocamento é a área do trapézio:

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{12+4.0}{2}(4.0)
=(8.0)(4.0)
=32\ \text{m}
\]

O deslocamento positivo significa que a posição final da pessoa está \(32\ \text{m}\) mais adiante no sentido positivo do que a posição inicial.

Questão 3

Um robô desloca-se ao longo de uma pista retilínea. Em \(t=0\), a sua velocidade é \(-3.0\ \text{m s}^{-1}\). A velocidade varia uniformemente para \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\) em \(t=2.0\ \text{s}\).

Um aluno afirma: “O robô está a diminuir a rapidez porque a sua velocidade está a ficar menor.”

Determina a aceleração, o deslocamento e a variação da rapidez do robô. Explica o erro no raciocínio do aluno.

Solução 3

O robô tem uma aceleração de \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\), um deslocamento de \(-12\ \text{m}\), e a sua rapidez aumenta \(6.0\ \text{m s}^{-1}\). O robô está a aumentar a rapidez, não a diminuí-la.

A aceleração é

\[
a=\frac{-9.0-(-3.0)}{2.0}
=\frac{-6.0}{2.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

O deslocamento é a área do trapézio com sinal:

\[
\Delta x
=\frac{-3.0+(-9.0)}{2}(2.0)
=(-6.0)(2.0)
=-12\ \text{m}
\]

A rapidez inicial é

\[
|v_i|=3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

e a rapidez final é

\[
|v_f|=9.0\ \text{m s}^{-1}
\]

logo,

\[
\Delta(\text{rapidez})=9.0-3.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

O erro do aluno é interpretar “mais negativo” como “mais lento”. A velocidade diminuiu numericamente de \(-3.0\) para \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\), mas a rapidez depende do módulo da velocidade. Esse módulo aumentou.

A velocidade e a aceleração são ambas negativas, por isso têm o mesmo sinal. O robô está a aumentar a rapidez no sentido negativo.

Questão 4

A velocidade de um objeto varia linearmente de \(+8.0\ \text{m s}^{-1}\) em \(t=0\) para \(-4.0\ \text{m s}^{-1}\) em \(t=6.0\ \text{s}\).

Determina:

1. a aceleração
2. o instante em que o objeto muda de sentido
3. o deslocamento total
4. a distância total percorrida

Solução 4

A aceleração é \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\), o objeto muda de sentido em \(4.0\ \text{s}\), o seu deslocamento é \(12\ \text{m}\), e a distância total percorrida é \(20\ \text{m}\).

Primeiro, calcula a aceleração:

\[
a=\frac{-4.0-8.0}{6.0}
=\frac{-12.0}{6.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

O objeto muda de sentido quando \(v=0\). Usando

\[
v=v_i+at,
\]

obtemos

\[
0=8.0+(-2.0)t
\]

logo,

\[
t=4.0\ \text{s}
\]

De \(0\) a \(4.0\ \text{s}\), o gráfico forma um triângulo acima do eixo:

\[
A_1=\frac12(4.0)(8.0)=16\ \text{m}
\]

De \(4.0\) a \(6.0\ \text{s}\), forma um triângulo abaixo do eixo:

\[
A_2=-\frac12(2.0)(4.0)=-4.0\ \text{m}
\]

Portanto, o deslocamento é

\[
\Delta x=16+(-4.0)=12\ \text{m}
\]

Para a distância, ambas as contribuições são consideradas positivas:

\[
d=16+4.0=20\ \text{m}
\]

A diferença entre \(12\ \text{m}\) e \(20\ \text{m}\) surge porque, depois de inverter o sentido, o objeto percorre \(4.0\ \text{m}\) de volta no sentido negativo.

Questão 5

Dois objetos, A e B, partem da mesma posição em \(t=0\).

O objeto A tem uma velocidade constante de \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) durante \(6.0\ \text{s}\).

O objeto B tem uma velocidade que aumenta linearmente de \(-2.0\ \text{m s}^{-1}\) em \(t=0\) para \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) em \(t=6.0\ \text{s}\).

Um aluno argumenta que B tem necessariamente de terminar à frente de A porque a velocidade final de B é muito maior.

Determina se os objetos terminam na mesma posição ou se um termina à frente do outro. Explica por que razão comparar apenas as velocidades finais não permite responder à questão.

Solução 5

Os objetos terminam na mesma posição, a \(24\ \text{m}\) do ponto onde começaram.

Para o objeto A, a velocidade é constante:

\[
\Delta x_A=v\Delta t
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

Para o objeto B, a velocidade varia uniformemente, por isso o seu deslocamento é a área do trapézio:

\[
\Delta x_B
=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{-2.0+10.0}{2}(6.0)
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

Portanto,

\[
\Delta x_A=\Delta x_B=24\ \text{m}
\]

logo, terminam na mesma posição.

O raciocínio do aluno falha porque a velocidade final descreve o movimento num único instante. A variação da posição depende da velocidade acumulada ao longo de todo o intervalo de tempo, representada pela área sob o gráfico velocidade-tempo.

O objeto B desloca-se brevemente no sentido negativo, depois acelera, passa por velocidade zero e atinge uma velocidade positiva muito maior. Mesmo assim, essas diferentes etapas produzem a mesma área líquida que a velocidade constante de \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) do objeto A.

Questão 6

O gráfico velocidade-tempo de um veículo é constituído por duas secções retilíneas.

De \(t=0\) a \(t=5.0\ \text{s}\), a velocidade aumenta uniformemente de \(0\) para \(10.0\ \text{m s}^{-1}\).

De \(t=5.0\) a \(t=9.0\ \text{s}\), a velocidade diminui uniformemente de \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) para \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

Um segundo veículo desloca-se com velocidade constante durante todos os \(9.0\ \text{s}\) e tem exatamente o mesmo deslocamento que o primeiro veículo.

Determina a velocidade constante do segundo veículo. Em seguida, explica por que razão esse valor não significa que os dois veículos tenham alguma vez tido a mesma aceleração.

Solução 6

A velocidade constante do segundo veículo é aproximadamente \(5.89\ \text{m s}^{-1}\), e um deslocamento igual não implica uma aceleração igual.

Durante os primeiros \(5.0\ \text{s}\), o deslocamento do primeiro veículo é a área triangular:

\[
\Delta x_1
=\frac12(5.0)(10.0)
=25\ \text{m}
\]

Durante os \(4.0\ \text{s}\) seguintes, o seu deslocamento é a área do trapézio:

\[
\Delta x_2
=\frac{10.0+2.0}{2}(4.0)
=(6.0)(4.0)
=24\ \text{m}
\]

Portanto, o seu deslocamento total é

\[
\Delta x=25+24=49\ \text{m}
\]

Se o segundo veículo tiver velocidade constante \(v\),

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

logo,

\[
v=\frac{49}{9.0}
\approx5.44\ \text{m s}^{-1}
\]

Portanto, a velocidade constante do segundo veículo é aproximadamente

\[
\boxed{5.44\ \text{m s}^{-1}}
\]

Como a sua velocidade é constante, a sua aceleração é

\[
a=0\ \text{m s}^{-2}
\]

O primeiro veículo tem aceleração não nula durante ambas as secções. De \(0\) a \(5.0\ \text{s}\),

\[
a_1=\frac{10.0-0}{5.0}
=2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

e de \(5.0\) a \(9.0\ \text{s}\),

\[
a_2=\frac{2.0-10.0}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Os veículos têm o mesmo deslocamento porque os seus gráficos velocidade-tempo têm a mesma área com sinal, e não porque os seus declives sejam iguais.

Essa distinção é a principal força de um gráfico velocidade-tempo: o declive e a área respondem a perguntas físicas diferentes. O declive indica como a velocidade está a mudar. A área com sinal indica como a posição mudou. Quando estas duas formas de leitura estão bem compreendidas, as equações de aceleração constante tornam-se muito mais fáceis de entender, porque consegues ver de onde vem a álgebra em vez de tratares cada equação como uma fórmula para memorizar.