Gráficos aceleração-tempo: área e variação da velocidade

Um carro acelera a \(3.0\ \text{m s}^{-2}\) durante 4 segundos e, em seguida, a sua aceleração diminui para zero. O que mudou definitivamente após esses 4 segundos: a sua posição, a sua velocidade ou ambas?

A sua posição mudou, mas o gráfico aceleração-tempo não indica diretamente essa mudança. O que ele fornece diretamente é a variação da velocidade. Neste caso,

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Repara no que acabámos de calcular: aceleração multiplicada pelo tempo. Num gráfico aceleração-tempo, essa multiplicação aparece como uma área.

Esta é a ideia central deste guia:

A área com sinal entre um gráfico aceleração-tempo e o eixo do tempo dá a variação da velocidade.

A expressão com sinal é importante. A área acima do eixo do tempo é positiva. A área abaixo dele é negativa.

01O que um gráfico aceleração-tempo mostra realmente

Um gráfico aceleração-tempo tem:

• tempo \(t\), medido em segundos (s), no eixo horizontal
• aceleração \(a\), medida em metros por segundo ao quadrado (\(\text{m s}^{-2}\)), no eixo vertical

Suponhamos que um gráfico é uma linha horizontal em \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\).

Antes de continuar, faz uma previsão. Isso significa que o objeto se desloca com velocidade constante?

Não. Significa que a sua velocidade está a variar a uma taxa constante.

Uma aceleração de \(2.0\ \text{m s}^{-2}\) significa que, a cada segundo, a velocidade varia \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

Assim, se a velocidade começar em \(5.0\ \text{m s}^{-1}\):

• após 1 s, é \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)
• após 2 s, é \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)
• após 3 s, é \(11.0\ \text{m s}^{-1}\)

É por isso que os gráficos aceleração-tempo estão tão relacionados com os gráficos velocidade-tempo. A aceleração indica como o gráfico da velocidade está a mudar.

02Porque é que a área dá a variação da velocidade

Começa pela conhecida equação da aceleração constante:

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

Aqui:

• \(a\) é a aceleração em \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) é a variação da velocidade em \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) é o tempo decorrido em segundos

Reorganizando,

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

Agora imagina uma aceleração constante num gráfico aceleração-tempo. A região por baixo dela é um retângulo.

O retângulo tem:

• altura \(a\)
• largura \(\Delta t\)

A sua área é, portanto,

\[
\text{área} = a\Delta t
\]

Mas \(a\Delta t = \Delta v\).

Assim, a área não é apenas um truque conveniente para interpretar o gráfico. Resulta diretamente da definição de aceleração.

As unidades confirmam isso:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Estas são unidades de velocidade.

03O gráfico fornece uma variação, não automaticamente a velocidade final

Este é um ponto em que é fácil perder pontos.

Suponhamos que a área sob um gráfico aceleração-tempo é \(+8\ \text{m s}^{-1}\). Um aluno escreve:

Velocidade final \(= 8\ \text{m s}^{-1}\).

Isso só é verdade se o objeto tiver partido do repouso.

O gráfico indicou-nos

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

e não necessariamente \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\).

Em geral,

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

Se \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\), por exemplo,

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

A evolução da aceleração alterou a velocidade em \(+8\ \text{m s}^{-1}\), o suficiente, neste caso, para inverter o sentido do movimento do objeto.

04As áreas abaixo do eixo do tempo são negativas

Imagina que o gráfico da aceleração se encontra em

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

durante 2.0 s.

A sua área com sinal é

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Assim, a velocidade diminui \(8.0\ \text{m s}^{-1}\).

Tem cuidado com a expressão “a velocidade diminui”. Isso não significa sempre que o objeto abranda.

Suponhamos que um objeto começa com

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

e sofre uma variação da velocidade de

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Então,

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

A sua velocidade tornou-se mais negativa, mas o seu módulo da velocidade aumentou de \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) para \(13\ \text{m s}^{-1}\).

Aceleração negativa não significa abrandar.

O facto de um objeto aumentar ou diminuir o módulo da velocidade depende dos sinais de ambas, velocidade e aceleração. Se precisares de rever essa distinção, consulta Rapidez e velocidade: HSC Physics explicado de forma clara.

05Uma regra útil para saber se o objeto acelera ou abranda

Compara os sinais da velocidade e da aceleração.

Porquê?

A velocidade indica em que sentido o objeto se desloca. A aceleração indica em que sentido a sua velocidade está a ser alterada.

Pensa na velocidade e na aceleração como duas pessoas a discutir sobre para onde ir. Se concordarem quanto ao sentido, o módulo da velocidade aumenta. Se discordarem, o módulo diminui inicialmente.

A analogia deixa de funcionar quando a velocidade atinge zero. O objeto pode então inverter o sentido do movimento, após o que a mesma aceleração pode voltar a fazê-lo aumentar o módulo da velocidade.

06Uma aceleração variável implica áreas com formas diferentes

A aceleração não tem de ser constante.

Suponhamos que a aceleração aumenta uniformemente de \(0\) para \(6.0\ \text{m s}^{-2}\) ao longo de 4.0 s.

A região sob o gráfico é um triângulo, por isso

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

onde \(b\) é o intervalo de tempo e \(h\) é a aceleração máxima.

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Embora a aceleração tenha estado continuamente a variar, a área continua a dar a variação total da velocidade.

De forma mais geral,

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

O símbolo de integral significa “somar todas as pequenas contribuições \(a\,dt\) ao longo do intervalo de tempo”. Nos problemas de gráficos do HSC com segmentos de reta, normalmente podes determinar essa área utilizando retângulos, triângulos e trapézios em vez de efetuar cálculo integral.

07As áreas positivas e negativas podem anular-se

Considera agora um objeto com a seguinte evolução da aceleração:

• de \(0\) a \(4.0\ \text{s}\), a aceleração aumenta uniformemente de \(0\) para \(4.0\ \text{m s}^{-2}\)
• de \(4.0\) a \(6.0\ \text{s}\), a aceleração é \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)

Prevê o que acontece à velocidade ao longo dos 6.0 s completos. Aumenta, diminui ou regressa ao valor inicial?

Trabalha com as áreas com sinal.

De \(0\) a \(4.0\ \text{s}\), a área triangular positiva é

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

De \(4.0\) a \(6.0\ \text{s}\), a área retangular negativa é

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Portanto,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

A velocidade termina \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) acima do valor inicial.

A parte negativa não “apagou o movimento”. Eliminou parte do aumento anterior da velocidade.

08Aceleração nula não significa velocidade nula

Uma secção horizontal de um gráfico aceleração-tempo em \(a = 0\) pode parecer indicar que “nada está a acontecer”.

Mas algo está a acontecer. O objeto pode continuar em movimento.

Se

\[
a = 0
\]

então a velocidade não está a variar.

Assim, um objeto que se desloca a \(18\ \text{m s}^{-1}\) com aceleração nula continua a \(18\ \text{m s}^{-1}\), assumindo que o modelo unidimensional se aplica.

Um objeto que já esteja em repouso também permanece em repouso.

O gráfico da aceleração, por si só, não permite saber qual destas situações se verifica, a menos que também conheças a velocidade do objeto num determinado instante.

09Um gráfico aceleração-tempo não fornece diretamente o deslocamento

Existem duas “regras da área” diferentes que os alunos confundem frequentemente:

Porque é que a área sob um gráfico aceleração-tempo não pode fornecer o deslocamento?

Verifica as unidades:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Isto corresponde à velocidade, não ao deslocamento.

Para obter o deslocamento a partir da evolução da aceleração, precisas primeiro de informação suficiente para determinar a velocidade em função do tempo. Depois, calculas a área sob o gráfico velocidade-tempo correspondente.

É também por isso que a velocidade inicial é importante. Dois objetos podem ter gráficos aceleração-tempo idênticos, mas deslocamentos completamente diferentes, porque começaram com velocidades diferentes.

10Como passar entre gráficos aceleração-tempo e velocidade-tempo

Um gráfico aceleração-tempo indica o comportamento do declive de um gráfico velocidade-tempo.

Lembra-te de que

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

portanto, a aceleração é o gradiente de um gráfico velocidade-tempo.

Daqui resultam estas relações:

Há aqui um ponto subtil. A altura de um gráfico aceleração-tempo indica o declive do gráfico velocidade-tempo. A área do gráfico aceleração-tempo indica quanto a própria velocidade variou.

São funções diferentes.

11Um método fiável para questões de gráficos do HSC

Quando te é dado um gráfico aceleração-tempo, segue esta ordem:

1. Escolhe um sentido positivo. Normalmente, o gráfico já o definiu através dos seus sinais.
2. Regista a velocidade inicial. Se não for fornecida, tem cuidado com aquilo que é realmente possível determinar.
3. Divide o gráfico em regiões simples. Utiliza retângulos, triângulos ou trapézios, conforme apropriado.
4. Atribui um sinal a cada área. Acima do eixo do tempo é positivo. Abaixo é negativo.
5. Soma as áreas com sinal. Isto fornece \(\Delta v\).
6. Utiliza \(v_f = v_i + \Delta v\).
7. Se te perguntarem sobre o módulo da velocidade ou o sentido, analisa a velocidade em vez de apenas a aceleração.
8. Verifica as unidades. A área sob um gráfico aceleração-tempo tem de ter unidades de \(\text{m s}^{-1}\).

Esta última verificação das unidades deteta um número surpreendente de erros.

12Questões e soluções

Questão 1

Um ciclista tem uma aceleração de \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) durante 4.0 s. A velocidade do ciclista no início do intervalo é \(6.0\ \text{m s}^{-1}\).

Determina a velocidade do ciclista após 4.0 s.

Solução 1

A velocidade final do ciclista é \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\).

A área sob o gráfico aceleração-tempo fornece a variação da velocidade:

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Agora adiciona essa variação à velocidade inicial:

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

O erro comum é indicar \(6.0\ \text{m s}^{-1}\), a área, como sendo a velocidade final. Trata-se apenas da variação da velocidade.

Questão 2

Um objeto desloca-se inicialmente a \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\). Em seguida, sofre uma aceleração constante de \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) durante 5.0 s.

Calcula a sua velocidade final e indica se o sentido do movimento mudou.

Solução 2

A velocidade final é \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\), portanto o objeto mudou de sentido.

A variação da velocidade é

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

Portanto,

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Como a velocidade passou de negativa para positiva, teve necessariamente de passar por zero durante o intervalo. Nesse instante, o objeto esteve momentaneamente em repouso e depois inverteu o sentido do movimento.

O erro tentador é dizer que uma aceleração positiva significa que o objeto esteve a deslocar-se no sentido positivo durante todos os 5.0 s. A aceleração descreve como a velocidade varia, não necessariamente o sentido atual do movimento.

Questão 3

A aceleração de um objeto varia uniformemente de \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) em \(t=0\) para \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\) em \(t=4.0\ \text{s}\).

A sua velocidade inicial é \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Determina a sua velocidade em \(t=4.0\ \text{s}\).

Solução 3

A velocidade do objeto em \(4.0\ \text{s}\) é \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\).

Como a aceleração varia linearmente, a área sob o gráfico é um trapézio. A sua área é

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

onde \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\), \(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\) e \(\Delta t = 4.0\ \text{s}\).

Substituindo,

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

Depois,

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

A aceleração não é constantemente \(6.0\ \text{m s}^{-2}\), por isso multiplicar \(6.0\) pelos 4.0 s completos sobrestimaria a variação da velocidade.

Questão 4

Um robô desloca-se ao longo de um carril retilíneo. De \(t=0\) a \(t=3.0\ \text{s}\), a sua aceleração é \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\). De \(t=3.0\) a \(t=7.0\ \text{s}\), a sua aceleração é \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

Um aluno afirma:

“As partes positiva e negativa têm efeitos iguais porque \(4\times3 = 3\times4\), portanto o robô tem de terminar no ponto onde começou.”

A velocidade inicial do robô é \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Determina a velocidade final do robô e avalia a conclusão do aluno sobre a sua posição final.

Solução 4

A velocidade final do robô é \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\), mas a afirmação de que tem de terminar no ponto onde começou está incorreta.

No primeiro intervalo,

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

No segundo intervalo,

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

Portanto,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= +12 -12
= 0
\]

e

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{total}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Assim, o aluno tem razão ao afirmar que a velocidade regressa ao seu valor inicial.

No entanto, uma variação total nula da velocidade não significa deslocamento nulo. O robô esteve em movimento durante o intervalo e, durante grande parte do movimento, a sua velocidade foi superior a \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

A área sob um gráfico aceleração-tempo fornece a variação da velocidade, não o deslocamento. Para determinar a variação da posição do robô, precisaríamos de construir ou calcular a partir do seu comportamento velocidade-tempo.

Questão 5

Dois carrinhos, A e B, deslocam-se ao longo de pistas retas paralelas.

Ambos os carrinhos têm exatamente o mesmo gráfico aceleração-tempo de \(t=0\) a \(t=8.0\ \text{s}\). A área total com sinal sob esse gráfico é \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\).

O carrinho A começa com velocidade \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\), enquanto o carrinho B começa com velocidade \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\).

Um aluno afirma que, como ambos os carrinhos têm o mesmo gráfico de aceleração, têm de ter a mesma velocidade final e percorrer o mesmo deslocamento.

Avalia as duas partes da afirmação.

Solução 5

Nenhuma das partes da afirmação está correta. O carrinho A termina com \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\), o carrinho B termina com \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\), e os seus deslocamentos ao longo dos 8.0 s não são iguais.

A mesma evolução da aceleração dá a ambos os carrinhos a mesma variação da velocidade:

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Para o carrinho A,

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Para o carrinho B,

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Assim, evoluções idênticas da aceleração não produzem velocidades finais idênticas, a menos que as velocidades iniciais também sejam idênticas.

Os seus deslocamentos também são diferentes. Em cada instante, a velocidade do carrinho B é \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) maior do que a do carrinho A, porque começam separados por \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) em termos de velocidade e depois sofrem exatamente a mesma aceleração.

Ao longo de 8.0 s, essa diferença constante de velocidade produz uma diferença de deslocamento de

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

Assim, o carrinho B percorre \(64\ \text{m}\) a mais no sentido positivo do que o carrinho A durante o intervalo.

A ideia mais profunda é que um gráfico aceleração-tempo indica como a velocidade varia. Para conhecer a velocidade real, também precisas de uma velocidade inicial. Depois de conheceres a evolução da velocidade, a sua área pode então indicar-te o deslocamento. Essa sequência da aceleração para a velocidade e da velocidade para a posição é a próxima relação útil a dominar ao interpretar gráficos de movimento.