L’équation v = u + at : accélération constante en physique HSC

Une voiture se déplace à \(12\ \text{m s}^{-1}\). Trois secondes plus tard, elle se déplace à \(21\ \text{m s}^{-1}\). On pourrait considérer ces valeurs comme deux mesures de vitesse vectorielle sans lien entre elles. Mais si l’accélération est restée constante entre les deux, on peut prévoir toutes les vitesses intermédiaires à l’aide d’une seule équation simple :

\[
v = u + at
\]

Avant de vous préoccuper des lettres, faites une prédiction. Si la voiture gagne \(3\ \text{m s}^{-1}\) de vitesse vectorielle chaque seconde, que devrait-il se passer après 3 secondes ?

Elle devrait gagner \(9\ \text{m s}^{-1}\). En partant de \(12\ \text{m s}^{-1}\), on obtient donc \(21\ \text{m s}^{-1}\).

C’est tout ce que fait \(v = u + at\). L’équation prend en compte une vitesse initiale, puis lui ajoute la variation de vitesse produite par une accélération constante.

01Commencez par la variation de vitesse

L’accélération indique à quelle vitesse la vitesse vectorielle change.

Si un objet a une accélération de \(2\ \text{m s}^{-2}\), sa vitesse vectorielle change de \(2\ \text{m s}^{-1}\) chaque seconde.

Donc, s’il commence à \(5\ \text{m s}^{-1}\) :

La relation est :

\[
\text{nouvelle vitesse vectorielle} = \text{vitesse vectorielle initiale} + \text{variation de vitesse vectorielle}
\]

Pour une accélération constante, la variation de vitesse vectorielle est :

\[
\Delta v = at
\]

où :

• \(\Delta v\) est la variation de vitesse vectorielle, mesurée en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) est l’accélération constante, mesurée en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) est le temps écoulé, mesuré en secondes

Si la vitesse vectorielle initiale est \(u\) et la vitesse vectorielle finale est \(v\), alors :

\[
v = u + at
\]

Ici :

• \(u\) est la vitesse vectorielle initiale, en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v\) est la vitesse vectorielle finale, en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) est l’accélération constante, en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) est le temps écoulé, en secondes

Les lettres comptent moins que la structure :

\[
\boxed{\text{vitesse vectorielle finale} = \text{vitesse vectorielle initiale} + \text{variation de vitesse vectorielle}}
\]

02Pourquoi \(at\) donne-t-il une variation de vitesse ?

Les unités vous l’indiquent.

L’accélération s’exprime en \(\text{m s}^{-2}\). En la multipliant par le temps, on obtient :

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Ainsi, \(at\) a les unités d’une vitesse.

Par exemple, une accélération de \(4\ \text{m s}^{-2}\) agissant pendant \(2.5\ \text{s}\) produit :

\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]

Cela ne signifie pas que la vitesse vectorielle finale est automatiquement de \(10\ \text{m s}^{-1}\). Cela signifie que la vitesse vectorielle a changé de \(10\ \text{m s}^{-1}\).

Si l’objet avait une vitesse initiale de \(6\ \text{m s}^{-1}\), sa vitesse finale est de \(16\ \text{m s}^{-1}\).

S’il avait une vitesse initiale de \(-8\ \text{m s}^{-1}\), sa vitesse finale est de \(2\ \text{m s}^{-1}\).

Cette distinction entre la vitesse vectorielle et sa variation est l’un des principaux points où les élèves perdent de vue ce que signifie réellement l’équation.

03D’où vient l’équation

L’accélération moyenne sur un intervalle de temps est définie par :

\[
a = \frac{v-u}{t}
\]

Si l’accélération est constante, cette même valeur de \(a\) s’applique pendant tout l’intervalle.

Multipliez les deux membres par \(t\) :

\[
at = v-u
\]

Puis ajoutez \(u\) aux deux membres :

\[
v = u+at
\]

Ainsi, \(v=u+at\) n’est pas une règle indépendante qu’il faut mémoriser sans en comprendre le sens. Il s’agit simplement de la définition de l’accélération constante, réarrangée.

Cela vous indique également sa limite : vous ne pouvez l’utiliser directement que lorsque l’accélération est constante pendant l’intervalle de temps considéré.

Si l’accélération varie avec le temps, le simple produit \(at\) ne donne plus nécessairement la variation de vitesse. Dans ce cas, il faut considérer l’aire sous un graphique accélération-temps. Cette idée est développée davantage dans le guide de tutorgum sur les graphiques accélération-temps.

04La décision la plus importante au départ : choisir un sens positif

Supposons qu’un cycliste se déplace vers l’est en ralentissant.

Une erreur fréquente consiste à dire :

« Il ralentit, donc sa vitesse vectorielle doit être négative. »

Pas nécessairement.

Le signe de la vitesse vectorielle indique la direction. Il ne vous dit pas si l’objet accélère ou ralentit en termes de vitesse scalaire.

Vous choisissez le sens positif avant d’effectuer le calcul.

Par exemple, choisissez l’est comme sens positif. Un cycliste se déplaçant vers l’est a alors une vitesse vectorielle positive. S’il ralentit tout en continuant à se déplacer vers l’est, son accélération est dirigée vers l’ouest, donc elle est négative.

On pourrait avoir :

\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Après \(3.0\ \text{s}\) :

\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

La vitesse vectorielle finale positive vous indique que le cycliste se déplace toujours vers l’est. Sa valeur absolue plus faible montre qu’il a ralenti.

Si vous n’êtes pas encore à l’aise avec les vitesses vectorielles signées, il vaut mieux d’abord bien comprendre la distinction entre vitesse scalaire et vitesse vectorielle. Consultez Speed and Velocity: HSC Physics Explained Clearly.

05Une méthode fiable pour poser le problème

Lorsque vous rencontrez une question à accélération constante faisant intervenir la vitesse vectorielle initiale, la vitesse vectorielle finale, l’accélération et le temps, suivez cette séquence.

1. Choisissez un sens positif.
2. Écrivez les grandeurs connues avec leurs signes et leurs unités.
3. Identifiez l’inconnue.
4. Utilisez \(v=u+at\), ou réarrangez l’équation si nécessaire.
5. Remplacez les grandeurs par leurs valeurs seulement après avoir correctement réarrangé l’équation.
6. Interprétez physiquement le signe de la réponse.

La dernière étape n’est pas un simple détail de présentation. Dans les questions portant sur la vitesse vectorielle, le signe peut vous indiquer si l’objet a changé de direction.

06Une accélération négative ne signifie pas toujours un ralentissement

Imaginez deux personnes marchant l’une vers l’autre dans un couloir. Vous décidez que la droite est le sens positif.

Une personne se déplace vers la droite, donc sa vitesse vectorielle est positive. L’autre se déplace vers la gauche, donc sa vitesse vectorielle est négative. Aucun de ces signes ne vous indique laquelle des deux accélère en termes de vitesse scalaire.

Il en va de même pour l’accélération.

Un objet accélère en termes de vitesse scalaire lorsque son accélération est dirigée dans le même sens que sa vitesse vectorielle.

Il ralentit lorsque l’accélération est dirigée dans le sens opposé à sa vitesse vectorielle.

Les quatre combinaisons sont donc possibles :

La troisième ligne peut sembler étrange. Si la vitesse vectorielle et l’accélération sont toutes deux négatives, l’objet se déplace dans le sens négatif et accélère davantage dans ce même sens. Sa vitesse vectorielle pourrait passer de \(-3\ \text{m s}^{-1}\) à \(-7\ \text{m s}^{-1}\). Le nombre est devenu « plus négatif », mais la vitesse scalaire a augmenté de \(3\ \text{m s}^{-1}\) à \(7\ \text{m s}^{-1}\).

Le signe moins concerne la direction, pas de « mauvaises ondes ».

07Réarranger \(v=u+at\)

On ne vous demandera pas toujours de déterminer \(v\).

La même équation permet de déterminer n’importe laquelle de ses quatre grandeurs si les trois autres sont connues.

En partant de :

\[
v=u+at
\]

vous pouvez obtenir :

\[
u=v-at
\]

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

et :

\[
t=\frac{v-u}{a}
\]

N’essayez pas de mémoriser quatre équations différentes. Partez de \(v=u+at\) et réarrangez-la.

La dernière forme contient également une vérification physique utile :

\[
t=\frac{\text{variation de vitesse vectorielle}}{\text{variation de vitesse vectorielle par seconde}}
\]

C’est exactement ce à quoi on s’attend pour la signification du temps.

08Le piège caché dans l’expression « s’immobilise »

Supposons qu’une question indique qu’un objet « s’immobilise ».

Cela vous donne :

\[
v=0
\]

Cela ne signifie pas automatiquement :

\[
a=0
\]

Un objet peut avoir une vitesse vectorielle nulle à un instant précis tout en continuant à subir une accélération.

Une balle lancée verticalement vers le haut en est l’exemple classique. Au sommet de sa trajectoire, sa vitesse verticale est momentanément nulle, mais son accélération due à la gravité est toujours dirigée vers le bas.

De même, dans l’exemple précédent, le chariot avait \(v=0\) après \(2.5\ \text{s}\), mais son accélération était toujours de \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\).

La vitesse vectorielle décrit le mouvement à un instant donné. L’accélération décrit la façon dont la vitesse vectorielle change à cet instant. Ce sont deux grandeurs différentes.

09Quand ne faut-il pas utiliser \(v=u+at\) ?

L’équation suppose une accélération constante.

Considérons une voiture dont l’accélération est :

• \(1\ \text{m s}^{-2}\) pendant la première seconde,
• \(4\ \text{m s}^{-2}\) pendant la deuxième seconde,
• \(0\ \text{m s}^{-2}\) pendant la troisième seconde.

Il n’existe aucune valeur constante unique de \(a\) qui décrive l’ensemble de l’intervalle de trois secondes.

Il serait donc incorrect de choisir l’une de ces accélérations et d’écrire :

\[
v=u+at
\]

pour l’ensemble de l’intervalle.

Pourrait-on utiliser l’équation séparément pendant chaque intervalle où l’accélération est constante ? Oui. On pourrait calculer la variation de vitesse une section à la fois.

Autrement, la variation totale de vitesse correspond à l’aire sous le graphique accélération-temps.

Cela révèle quelque chose de plus profond à propos de \(v=u+at\). Sur un graphique accélération-temps avec une accélération constante, le graphique est une ligne horizontale. L’aire en dessous forme un rectangle :

\[
\text{aire}=a\times t
\]

et cette aire vaut :

\[
\Delta v=at
\]

L’équation est donc en réalité un cas particulier d’une idée plus générale d’accumulation.

10Questions et solutions

Question 1

Une skateuse se déplace vers l’est à \(4.0\ \text{m s}^{-1}\). Elle accélère uniformément vers l’est à \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) pendant \(6.0\ \text{s}\). Déterminez sa vitesse vectorielle finale.

Solution 1

La vitesse vectorielle finale de la skateuse est \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{ vers l’est}}\).

Choisissez l’est comme sens positif :

\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]

En utilisant :

\[
v=u+at
\]

on obtient :

\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]

Le signe positif signifie que la skateuse se déplace vers l’est. Sa vitesse vectorielle a augmenté de \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) pendant les six secondes.

Question 2

Un robot se déplace le long d’une piste rectiligne à \(11\ \text{m s}^{-1}\) vers la droite. Il subit une accélération constante de \(2.5\ \text{m s}^{-2}\) vers la gauche.

Combien de temps faut-il au robot pour s’immobiliser momentanément ?

Solution 2

Le robot s’immobilise après \(\boxed{4.4\ \text{s}}\).

Choisissez la droite comme sens positif. Alors :

\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]

« S’immobilise » signifie que la vitesse vectorielle finale à cet instant est :

\[
v=0
\]

En utilisant :

\[
v=u+at
\]

on obtient :

\[
0=11+(-2.5)t
\]

\[
2.5t=11
\]

\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]

Le point important est que l’accélération du robot n’est pas nulle lorsqu’il s’arrête. Sa vitesse vectorielle est nulle pendant un instant, mais l’accélération vers la gauche demeure ; il commencerait donc ensuite à se déplacer vers la gauche si l’accélération se poursuivait.

Question 3

Un objet a une vitesse vectorielle initiale de \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\) et une accélération constante de \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

Un élève affirme : « L’accélération négative signifie que l’objet doit ralentir. »

Déterminez la vitesse vectorielle de l’objet après \(2.0\ \text{s}\), puis évaluez l’affirmation de l’élève.

Solution 3

La vitesse vectorielle finale est \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\), et l’élève a tort car l’objet accélère en termes de vitesse scalaire.

En utilisant :

\[
v=u+at
\]

on obtient :

\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]

\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]

La vitesse scalaire initiale était de \(7.0\ \text{m s}^{-1}\). La vitesse scalaire finale est de \(13\ \text{m s}^{-1}\).

La vitesse vectorielle et l’accélération sont toutes deux négatives, elles sont donc dirigées dans le même sens. L’accélération augmente donc la valeur absolue de la vitesse vectorielle.

L’erreur tentante consiste à interpréter une accélération négative comme une « décélération ». Un signe négatif indique uniquement une direction par rapport au système de coordonnées choisi.

Question 4

Un chariot se déplace vers la droite à \(8.0\ \text{m s}^{-1}\). Une accélération constante agit vers la gauche. Après \(3.0\ \text{s}\), le chariot se déplace vers la gauche à \(1.0\ \text{m s}^{-1}\).

Déterminez l’accélération du chariot. Puis déterminez à quel moment, pendant l’intervalle de \(3.0\ \text{s}\), il a changé de direction.

Solution 4

L’accélération du chariot est \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\), et il change de direction après environ \(\boxed{2.7\ \text{s}}\).

Choisissez la droite comme sens positif :

\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]

Déterminez d’abord l’accélération :

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Le signe négatif signifie que l’accélération est dirigée vers la gauche.

Pour déterminer quand le chariot change de direction, remarquez qu’il doit d’abord passer par une vitesse vectorielle nulle. Posez \(v=0\) :

\[
0=8.0+(-3.0)t
\]

\[
3.0t=8.0
\]

\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]

Le chariot s’immobilise donc momentanément vers :

\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]

Il passe ensuite les \(0.33\ \text{s}\) restantes à se déplacer vers la gauche.

Le point caché est qu’une vitesse vectorielle finale négative vous en dit davantage que simplement « l’objet a ralenti ». Elle prouve que l’objet est passé par \(v=0\) et a changé de direction, à condition que la vitesse vectorielle ait varié continûment.

Question 5

Deux chariots identiques commencent avec la même vitesse vectorielle de \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) vers la droite.

Le chariot A a une accélération constante de \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) pendant \(4.0\ \text{s}\).

Le chariot B a une accélération de \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\) pendant les premières \(2.0\ \text{s}\), suivie de \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\) pendant les \(2.0\ \text{s}\) suivantes.

Un élève applique \(v=u+at\) aux deux chariots en utilisant \(t=4.0\ \text{s}\). Expliquez pourquoi cette méthode fonctionne directement pour le chariot A, mais pas pour le chariot B. Calculez ensuite la vitesse vectorielle finale de chaque chariot.

Solution 5

Le chariot A termine à \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\), tandis que le chariot B termine à \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\). Une seule utilisation de \(v=u+at\) fonctionne directement pour le chariot A parce que son accélération reste constante pendant les \(4.0\ \text{s}\) entières, tandis que l’accélération du chariot B change.

Pour le chariot A :

\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]

donc :

\[
v=u+at
\]

\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

Pour le chariot B, calculez séparément chaque intervalle où l’accélération est constante.

Pendant les premières \(2.0\ \text{s}\) :

\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

Cette valeur devient la vitesse vectorielle initiale du deuxième intervalle.

Pendant les \(2.0\ \text{s}\) suivantes :

\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]

Par conséquent :

\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]

Le piège consiste à considérer l’accélération comme une seule valeur fixe simplement parce qu’une équation contient le symbole \(a\). L’équation \(v=u+at\) suppose que la valeur choisie de \(a\) reste constante pendant tout l’intervalle.

Pour le chariot B, les deux phases d’accélération produisent des variations de vitesse vectorielle de :

\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

et :

\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

ce qui donne une variation totale de vitesse vectorielle de :

\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Ce même raisonnement mène naturellement aux graphiques accélération-temps, où la variation de vitesse vectorielle est déterminée à partir de l’aire algébrique totale sous le graphique plutôt qu’à partir d’un seul rectangle \(at\).