Graphiques vitesse-temps : pente, aire et mouvement expliqués

Un graphique vitesse-temps peut sembler trompeusement simple : une ligne monte, descend ou reste horizontale. Pourtant, un seul graphique peut vous indiquer si un objet accélère, ralentit, change de direction, subit une accélération, et de combien sa position a changé.

Voici le point essentiel. Vous devez lire le graphique de deux façons différentes. La pente vous renseigne sur l’accélération. L’aire algébrique entre le graphique et l’axe du temps vous renseigne sur le déplacement. Confondre ces deux idées est l’un des moyens les plus faciles de perdre de vue ce que le graphique indique réellement.

Supposons que la vitesse d’une voiture augmente régulièrement de \(2\ \text{m s}^{-1}\) à \(8\ \text{m s}^{-1}\). Avant de faire le moindre calcul, faites cette prédiction : pour déterminer l’accélération de la voiture, regarderiez-vous la hauteur du graphique, sa pente ou l’aire située en dessous ?

La réponse est la pente. La hauteur du graphique donne la vitesse elle-même. Sa pente indique à quelle vitesse cette vitesse varie.

01Ce que montre réellement un graphique vitesse-temps

Un graphique vitesse-temps comporte :

• le temps \(t\) sur l’axe horizontal, généralement mesuré en secondes
• la vitesse \(v\) sur l’axe vertical, généralement mesurée en mètres par seconde, \(\text{m s}^{-1}\)

Chaque point indique la vitesse de l’objet à un instant donné.

Si le graphique passe par \((3,5)\), alors à \(t=3\ \text{s}\), la vitesse est de \(5\ \text{m s}^{-1}\).

Le signe est important. Une vitesse de \(+5\ \text{m s}^{-1}\) signifie un mouvement dans la direction définie comme positive. Une vitesse de \(-5\ \text{m s}^{-1}\) signifie un mouvement dans la direction opposée.

Si les grandeurs signées vous semblent encore difficiles à manipuler, il peut être utile de revoir la rapidité et la vitesse avant d’aller plus loin.

Premier modèle mental : imaginez que vous regardez le compteur de vitesse

Imaginez une voiture dont le compteur peut aussi indiquer la direction.

Une ligne horizontale à \(+6\ \text{m s}^{-1}\) signifie que l’indication reste à \(+6\ \text{m s}^{-1}\). La voiture se déplace à vitesse constante.

Une ligne inclinée vers le haut signifie que la valeur de la vitesse augmente.

Une ligne inclinée vers le bas signifie que la valeur de la vitesse diminue.

Ce modèle est utile, mais incomplet. « La vitesse diminue » ne signifie pas toujours que la rapidité diminue. Si la vitesse devient plus négative, sa valeur numérique diminue alors que la rapidité de l’objet peut en réalité augmenter.

Nous reviendrons sur ce piège.

02La pente vous donne l’accélération

L’accélération mesure la rapidité avec laquelle la vitesse varie au cours du temps.

Pour une portion rectiligne d’un graphique vitesse-temps,

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

où :

• \(a\) est l’accélération en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) est la variation de vitesse en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) est l’intervalle de temps en secondes

Il s’agit exactement de la formule du gradient utilisée en mathématiques :

\[
\text{pente}=\frac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}
\]

Sur un graphique vitesse-temps, la « variation verticale » correspond à une variation de vitesse et la « variation horizontale » à une variation de temps. La pente a donc pour unités

\[
\frac{\text{m s}^{-1}}{\text{s}}=\text{m s}^{-2}
\]

qui sont les unités de l’accélération.

Ce que signifient les différentes pentes

Faites attention aux expressions accélération positive et augmentation de la rapidité. Elles ne sont pas synonymes.

Si un objet a une vitesse négative et une accélération positive, il peut être en train de ralentir.

L’accélération vous indique comment la vitesse varie, et non automatiquement comment la rapidité varie.

03Pourquoi l’aire donne le déplacement

Supposons maintenant qu’un objet se déplace à une vitesse constante de \(5\ \text{m s}^{-1}\) pendant \(4\ \text{s}\).

Vous savez déjà comment déterminer son déplacement :

\[
\Delta x=v\Delta t=(5)(4)=20\ \text{m}
\]

Regardez ce que ces mêmes nombres représentent sur un graphique vitesse-temps. Le graphique forme un rectangle ayant :

• une hauteur de \(5\ \text{m s}^{-1}\)
• une largeur de \(4\ \text{s}\)

Son aire vaut

\[
A=(5)(4)=20
\]

Les unités sont

\[
(\text{m s}^{-1})(\text{s})=\text{m}
\]

L’aire a donc les unités d’un déplacement.

Ce n’est pas une coïncidence. Pour tout graphique vitesse-temps, l’aire algébrique entre le graphique et l’axe du temps donne le déplacement.

Si la vitesse est constante,

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

Si la vitesse varie, la même idée reste valable. Vous divisez la région en formes géométriques utiles ou, plus tard en mathématiques et en physique, vous pouvez considérer l’aire comme l’accumulation d’un grand nombre de petites contributions \(v\Delta t\).

04Le mot « algébrique » est important

Imaginez qu’un objet se déplace à \(+3\ \text{m s}^{-1}\) pendant \(2\ \text{s}\), puis à \(-3\ \text{m s}^{-1}\) pendant \(2\ \text{s}\).

La première partie donne

\[
\Delta x_1=(3)(2)=+6\ \text{m}
\]

La seconde donne

\[
\Delta x_2=(-3)(2)=-6\ \text{m}
\]

Par conséquent,

\[
\Delta x_{\text{total}}=+6+(-6)=0\ \text{m}
\]

L’objet s’est déplacé, mais il termine là où il a commencé.

Sur le graphique, l’aire au-dessus de l’axe du temps vaut \(+6\ \text{m}\), tandis que l’aire sous l’axe du temps vaut \(-6\ \text{m}\). Elles s’annulent.

C’est pourquoi vous ne pouvez pas simplement additionner toutes les aires géométriques comme des nombres positifs lorsque vous cherchez le déplacement.

Cela est directement lié à la différence entre la distance et le déplacement.

Une analogie un peu amusante

Imaginez que le déplacement soit comme le suivi de l’argent que vous devez à un ami.

Être à \(+\$20\) signifie que votre ami vous doit de l’argent. Être à \(-\$20\) signifie que vous devez de l’argent à votre ami. Si vous ignorez simplement les signes sous prétexte que « vingt, c’est vingt », vos comptes deviennent rapidement absurdes.

Les aires sur un graphique vitesse-temps fonctionnent de la même manière. Les aires au-dessus et au-dessous de l’axe représentent des déplacements dans des directions opposées.

L’analogie a ses limites, car de l’argent peut être transféré entre des personnes de nombreuses façons, tandis que le graphique décrit un mouvement le long d’un axe choisi. Mais la gestion des signes est comparable.

05Traverser l’axe du temps signifie changer de direction

Que se passe-t-il lorsque le graphique vitesse-temps traverse \(v=0\) ?

À cet instant, la vitesse est nulle.

Si le graphique passe d’une vitesse positive à une vitesse négative, l’objet change de direction.

Par exemple :

• avant le croisement, \(v>0\), donc l’objet se déplace dans la direction positive
• au moment du croisement, \(v=0\), donc il est momentanément au repos
• après le croisement, \(v<0\), donc il se déplace dans la direction négative

Une erreur fréquente consiste à supposer que \(v=0\) signifie \(a=0\).

Ce n’est pas le cas.

La hauteur du graphique vous donne la vitesse. La pente vous donne l’accélération. Un graphique peut traverser \(v=0\) avec une pente importante : un objet peut donc avoir une vitesse nulle et une accélération non nulle au même instant.

Une balle lancée verticalement vers le haut en est un exemple familier. Au sommet de sa trajectoire, sa vitesse instantanée est nulle, mais son accélération due à la gravité est toujours dirigée vers le bas.

06Accélérer ou ralentir : comparez les signes

Voici un test utile.

Un objet voit sa rapidité augmenter lorsque la vitesse et l’accélération ont le même signe.

Un objet ralentit lorsque la vitesse et l’accélération ont des signes opposés.

Pourquoi ?

La rapidité est la valeur absolue de la vitesse. Si un objet a \(v=+5\ \text{m s}^{-1}\) et \(a=+2\ \text{m s}^{-2}\), sa vitesse devient plus positive, donc sa rapidité augmente.

Mais si

\[
v=-5\ \text{m s}^{-1}
\]

et

\[
a=-2\ \text{m s}^{-2},
\]

alors sa vitesse devient plus négative, par exemple \(-5,-7,-9,\ldots\). Sa valeur absolue augmente, donc sa rapidité augmente également.

Ce deuxième cas piège souvent les élèves parce que le graphique descend.

Tableau de décision rapide

Cette règle fonctionne tant qu’aucun des deux signes ne change pendant l’intervalle considéré.

08Et si le graphique est courbe ?

Un segment rectiligne d’un graphique vitesse-temps a une pente constante et représente donc une accélération constante.

Un segment courbe signifie que la pente varie. Par conséquent, l’accélération varie elle aussi.

À un instant particulier, l’accélération est donnée par le gradient de la tangente à la courbe vitesse-temps en ce point.

C’est la même idée que pour la vitesse instantanée sur un graphique déplacement-temps. Dans ce cas, la pente de la tangente donne la vitesse. Ici, une dérivée plus loin, la pente de la tangente donne l’accélération.

Pour la physique du HSC, l’idée physique importante est :

\[
\text{pente du graphique vitesse-temps}=\text{accélération}
\]

Une tangente plus raide signifie une accélération de plus grande valeur absolue.

Qu’en est-il du déplacement sous un graphique courbe ?

La règle de l’aire reste valable.

Pour des sections simples constituées de droites, vous pouvez utiliser des rectangles, des triangles et des trapèzes. Pour une courbe expérimentale irrégulière, il peut être nécessaire d’estimer numériquement l’aire à partir du graphique ou des données.

La physique n’a pas changé. Vous additionnez toujours de nombreuses petites quantités de la forme

\[
v\Delta t
\]

sur l’intervalle de temps.

09Les trapèzes ne sont qu’une autre façon de représenter la vitesse moyenne

Supposons que la vitesse varie uniformément de \(v_i\) à \(v_f\) pendant une durée \(\Delta t\).

L’aire sous la droite du graphique vitesse-temps est un trapèze :

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
\]

La quantité

\[
\frac{v_i+v_f}{2}
\]

est la vitesse moyenne lorsque l’accélération est constante. On peut donc aussi écrire

\[
\Delta x=v_{\text{moy}}\Delta t
\]

C’est utile, car cela relie le graphique aux équations du mouvement à accélération constante au lieu de donner l’impression que les questions sur les graphiques constituent un sujet totalement distinct.

Pour en savoir plus sur ce lien, consultez la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.

10Les erreurs les plus tentantes avec les graphiques

Erreur 1 : prendre la hauteur du graphique pour l’accélération

Sur un graphique vitesse-temps, la coordonnée verticale représente la vitesse.

Un point situé très haut au-dessus de l’axe signifie une vitesse positive élevée, et non une accélération élevée.

Une ligne horizontale à \(20\ \text{m s}^{-1}\) représente une accélération nulle puisque sa pente est nulle.

Erreur 2 : dire qu’une pente descendante signifie toujours que l’objet ralentit

Imaginez un graphique situé sous l’axe du temps et descendant de \(-2\ \text{m s}^{-1}\) à \(-8\ \text{m s}^{-1}\).

Il descend, donc l’accélération est négative.

Mais la rapidité est passée de \(2\ \text{m s}^{-1}\) à \(8\ \text{m s}^{-1}\).

L’objet accélère dans la direction négative.

Erreur 3 : utiliser une aire non signée pour le déplacement

Les aires sous l’axe contribuent à un déplacement négatif.

Si vous rendez toutes les aires positives, vous calculez plutôt la distance totale parcourue.

Erreur 4 : penser qu’un retour à \(v=0\) signifie un retour à la position de départ

Une vitesse \(v=0\) vous indique que l’objet est momentanément au repos.

Cela ne vous dit rien, à lui seul, sur sa position.

Pour savoir si l’objet est revenu à son point de départ, examinez l’aire algébrique nette depuis l’instant de départ. Il ne revient à sa position initiale que lorsque le déplacement total est nul.

Erreur 5 : confondre un graphique vitesse-temps avec un graphique déplacement-temps

La distinction mérite d’être explicitée :

Si vous confondez les deux types de graphiques, revoir les graphiques déplacement-temps peut vous aider.

11Une méthode fiable pour lire n’importe quel graphique vitesse-temps

Lorsque vous recevez un graphique que vous ne connaissez pas, procédez dans cet ordre :

1. Lisez les valeurs verticales. Ce sont des vitesses.
2. Vérifiez les signes. Une vitesse positive et une vitesse négative représentent des directions opposées.
3. Observez la pente. Elle donne le signe et la valeur absolue de l’accélération.
4. Repérez tout passage par \(v=0\). Un changement de signe de la vitesse signifie un changement de direction.
5. Utilisez l’aire algébrique pour le déplacement. L’aire au-dessus de l’axe est positive et l’aire en dessous est négative.
6. Utilisez les valeurs absolues des aires pour la distance parcourue.
7. Comparez les signes de \(v\) et de \(a\) si vous devez déterminer si l’objet accélère ou ralentit.

Cette méthode permet d’éviter la plupart des erreurs d’interprétation courantes.

12Questions et solutions

Question 1

Un chariot se déplace à une vitesse constante de \(3.5\ \text{m s}^{-1}\) pendant \(8.0\ \text{s}\).

Quelle est son accélération, et quel est son déplacement pendant cet intervalle ?

Solution 1

L’accélération est de \(0\ \text{m s}^{-2}\), et le déplacement est de \(28\ \text{m}\) dans la direction positive.

Comme la vitesse est constante, le graphique vitesse-temps est horizontal. Sa pente est donc nulle :

\[
a=\frac{\Delta v}{\Delta t}
=\frac{0}{8.0}
=0\ \text{m s}^{-2}
\]

Le déplacement correspond à l’aire rectangulaire sous le graphique :

\[
\Delta x=v\Delta t
=(3.5)(8.0)
=28\ \text{m}
\]

Le chariot continue donc de se déplacer même si son accélération est nulle. Une accélération nulle ne signifie pas une vitesse nulle.

Question 2

Un skateur se déplace dans la direction positive. Sa vitesse diminue uniformément de \(12\ \text{m s}^{-1}\) à \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) en \(4.0\ \text{s}\).

Calculez l’accélération et le déplacement pendant cet intervalle. Indiquez si le skateur accélère ou ralentit.

Solution 2

L’accélération est de \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\), le déplacement est de \(32\ \text{m}\), et le skateur ralentit.

Calculez d’abord l’accélération :

\[
a=\frac{v_f-v_i}{\Delta t}
=\frac{4.0-12}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

La vitesse reste positive tandis que l’accélération est négative. Comme la vitesse et l’accélération ont des signes opposés, la rapidité du skateur diminue.

Le déplacement correspond à l’aire du trapèze :

\[
\Delta x=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{12+4.0}{2}(4.0)
=(8.0)(4.0)
=32\ \text{m}
\]

Le déplacement positif signifie que la position finale du skateur se trouve \(32\ \text{m}\) plus loin dans la direction positive que sa position de départ.

Question 3

Un robot se déplace le long d’une piste rectiligne. À \(t=0\), sa vitesse est de \(-3.0\ \text{m s}^{-1}\). Sa vitesse varie uniformément jusqu’à \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\) à \(t=2.0\ \text{s}\).

Un élève affirme : « Le robot ralentit parce que sa vitesse devient plus petite. »

Déterminez l’accélération, le déplacement et la variation de rapidité du robot. Expliquez l’erreur dans le raisonnement de l’élève.

Solution 3

Le robot a une accélération de \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\), un déplacement de \(-12\ \text{m}\), et sa rapidité augmente de \(6.0\ \text{m s}^{-1}\). Le robot accélère, il ne ralentit pas.

L’accélération est

\[
a=\frac{-9.0-(-3.0)}{2.0}
=\frac{-6.0}{2.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Le déplacement correspond à l’aire algébrique du trapèze :

\[
\Delta x
=\frac{-3.0+(-9.0)}{2}(2.0)
=(-6.0)(2.0)
=-12\ \text{m}
\]

La rapidité initiale est

\[
|v_i|=3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

et la rapidité finale est

\[
|v_f|=9.0\ \text{m s}^{-1}
\]

donc

\[
\Delta(\text{rapidité})=9.0-3.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

L’erreur de l’élève consiste à interpréter « plus négatif » comme « plus lent ». La vitesse a diminué numériquement de \(-3.0\) à \(-9.0\ \text{m s}^{-1}\), mais la rapidité dépend de la valeur absolue de la vitesse. Cette valeur absolue a augmenté.

La vitesse et l’accélération sont toutes deux négatives : elles ont donc le même signe. Le robot accélère dans la direction négative.

Question 4

La vitesse d’un objet varie linéairement de \(+8.0\ \text{m s}^{-1}\) à \(t=0\) jusqu’à \(-4.0\ \text{m s}^{-1}\) à \(t=6.0\ \text{s}\).

Déterminez :

1. l’accélération
2. l’instant auquel l’objet change de direction
3. le déplacement total
4. la distance totale parcourue

Solution 4

L’accélération est de \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\), l’objet change de direction à \(4.0\ \text{s}\), son déplacement est de \(12\ \text{m}\), et la distance totale parcourue est de \(20\ \text{m}\).

Calculez d’abord l’accélération :

\[
a=\frac{-4.0-8.0}{6.0}
=\frac{-12.0}{6.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

L’objet change de direction lorsque \(v=0\). En utilisant

\[
v=v_i+at,
\]

on obtient

\[
0=8.0+(-2.0)t
\]

donc

\[
t=4.0\ \text{s}
\]

De \(0\) à \(4.0\ \text{s}\), le graphique forme un triangle au-dessus de l’axe :

\[
A_1=\frac12(4.0)(8.0)=16\ \text{m}
\]

De \(4.0\) à \(6.0\ \text{s}\), il forme un triangle sous l’axe :

\[
A_2=-\frac12(2.0)(4.0)=-4.0\ \text{m}
\]

Le déplacement est donc

\[
\Delta x=16+(-4.0)=12\ \text{m}
\]

Pour la distance, les deux contributions sont considérées comme positives :

\[
d=16+4.0=20\ \text{m}
\]

La différence entre \(12\ \text{m}\) et \(20\ \text{m}\) vient du fait que l’objet parcourt \(4.0\ \text{m}\) dans la direction négative après avoir changé de direction.

Question 5

Deux objets, A et B, partent de la même position à \(t=0\).

L’objet A a une vitesse constante de \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) pendant \(6.0\ \text{s}\).

La vitesse de l’objet B augmente linéairement de \(-2.0\ \text{m s}^{-1}\) à \(t=0\) jusqu’à \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) à \(t=6.0\ \text{s}\).

Un élève affirme que B doit terminer devant A parce que la vitesse finale de B est beaucoup plus élevée.

Déterminez si les objets terminent à la même position ou si l’un d’eux termine devant l’autre. Expliquez pourquoi la comparaison des vitesses finales ne suffit pas pour répondre à la question.

Solution 5

Les objets terminent à la même position, à \(24\ \text{m}\) de leur point de départ.

Pour l’objet A, la vitesse est constante :

\[
\Delta x_A=v\Delta t
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

Pour l’objet B, la vitesse varie uniformément, donc son déplacement correspond à l’aire du trapèze :

\[
\Delta x_B
=\frac{v_i+v_f}{2}\Delta t
=\frac{-2.0+10.0}{2}(6.0)
=(4.0)(6.0)
=24\ \text{m}
\]

Par conséquent,

\[
\Delta x_A=\Delta x_B=24\ \text{m}
\]

Ils terminent donc à la même position.

Le raisonnement de l’élève est incorrect parce que la vitesse finale décrit le mouvement à un instant donné. Le changement de position dépend de la vitesse accumulée sur l’ensemble de l’intervalle de temps, ce qui est représenté par l’aire sous le graphique vitesse-temps.

L’objet B se déplace brièvement dans la direction négative, puis accélère, passe par une vitesse nulle et atteint une vitesse positive beaucoup plus élevée. Ces différentes étapes produisent néanmoins la même aire nette que la vitesse constante de \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) de A.

Question 6

Le graphique vitesse-temps d’un véhicule est constitué de deux segments rectilignes.

De \(t=0\) à \(t=5.0\ \text{s}\), la vitesse augmente uniformément de \(0\) à \(10.0\ \text{m s}^{-1}\).

De \(t=5.0\) à \(t=9.0\ \text{s}\), la vitesse diminue uniformément de \(10.0\ \text{m s}^{-1}\) à \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

Un second véhicule se déplace à vitesse constante pendant l’ensemble des \(9.0\ \text{s}\) et a exactement le même déplacement que le premier véhicule.

Déterminez la vitesse constante du second véhicule. Expliquez ensuite pourquoi cette valeur ne signifie pas que les deux véhicules ont nécessairement eu la même accélération à un moment quelconque.

Solution 6

La vitesse constante du second véhicule est d’environ \(5.89\ \text{m s}^{-1}\), et un déplacement égal n’implique pas une accélération égale.

Pendant les premières \(5.0\ \text{s}\), le déplacement du premier véhicule correspond à l’aire triangulaire :

\[
\Delta x_1
=\frac12(5.0)(10.0)
=25\ \text{m}
\]

Pendant les \(4.0\ \text{s}\) suivantes, son déplacement correspond à l’aire du trapèze :

\[
\Delta x_2
=\frac{10.0+2.0}{2}(4.0)
=(6.0)(4.0)
=24\ \text{m}
\]

Son déplacement total est donc

\[
\Delta x=25+24=49\ \text{m}
\]

Si le second véhicule a une vitesse constante \(v\),

\[
\Delta x=v\Delta t
\]

donc

\[
v=\frac{49}{9.0}
\approx5.44\ \text{m s}^{-1}
\]

Par conséquent, la vitesse constante du second véhicule est d’environ

\[
\boxed{5.44\ \text{m s}^{-1}}
\]

Comme sa vitesse est constante, son accélération est

\[
a=0\ \text{m s}^{-2}
\]

Le premier véhicule a une accélération non nulle pendant les deux parties. De \(0\) à \(5.0\ \text{s}\),

\[
a_1=\frac{10.0-0}{5.0}
=2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

et de \(5.0\) à \(9.0\ \text{s}\),

\[
a_2=\frac{2.0-10.0}{4.0}
=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

Les véhicules ont le même déplacement parce que leurs graphiques vitesse-temps ont la même aire algébrique, et non parce que leurs pentes sont identiques.

Cette distinction constitue l’un des principaux intérêts d’un graphique vitesse-temps : la pente et l’aire répondent à des questions physiques différentes. La pente vous indique comment la vitesse varie. L’aire algébrique vous indique comment la position a changé. Une fois ces deux interprétations bien maîtrisées, les équations du mouvement à accélération constante deviennent beaucoup plus faciles à comprendre, car vous pouvez voir d’où vient l’algèbre au lieu de considérer chaque équation comme une formule à mémoriser.