Graphiques accélération-temps : aire et variation de vitesse

Une voiture accélère à \(3.0\ \text{m s}^{-2}\) pendant 4 secondes, puis son accélération tombe à zéro. Qu’est-ce qui a nécessairement changé après ces 4 secondes : sa position, sa vitesse, ou les deux ?

Sa position a changé, mais le graphique accélération-temps ne vous donne pas directement cette variation. Ce qu’il vous donne directement, c’est la variation de vitesse. Dans ce cas,

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Remarquez ce que nous venons de calculer : l’accélération multipliée par le temps. Sur un graphique accélération-temps, cette multiplication apparaît sous la forme d’une aire.

C’est l’idée centrale de ce guide :

L’aire algébrique comprise entre un graphique accélération-temps et l’axe du temps donne la variation de vitesse.

Le mot algébrique est important. Une aire située au-dessus de l’axe du temps est positive. Une aire située en dessous est négative.

01Ce que montre réellement un graphique accélération-temps

Un graphique accélération-temps présente :

• le temps \(t\), mesuré en secondes (s), sur l’axe horizontal
• l’accélération \(a\), mesurée en mètres par seconde carrée (\(\text{m s}^{-2}\)), sur l’axe vertical

Supposons qu’un graphique soit une droite horizontale à \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\).

Avant d’aller plus loin, faites une prédiction. Cela signifie-t-il que l’objet se déplace à vitesse constante ?

Non. Cela signifie que sa vitesse change à un rythme constant.

Une accélération de \(2.0\ \text{m s}^{-2}\) signifie que, chaque seconde, la vitesse varie de \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

Donc, si la vitesse initiale est de \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) :

• après 1 s, elle est de \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)
• après 2 s, elle est de \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)
• après 3 s, elle est de \(11.0\ \text{m s}^{-1}\)

C’est pourquoi les graphiques accélération-temps sont étroitement liés aux graphiques vitesse-temps. L’accélération indique comment le graphique de la vitesse évolue.

02Pourquoi l’aire donne la variation de vitesse

Partons de l’équation bien connue pour une accélération constante :

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

Ici :

• \(a\) est l’accélération en \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) est la variation de vitesse en \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) est la durée écoulée en secondes

En réarrangeant,

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

Imaginez maintenant une accélération constante sur un graphique accélération-temps. La région située en dessous forme un rectangle.

Ce rectangle a :

• une hauteur \(a\)
• une largeur \(\Delta t\)

Son aire vaut donc

\[
\text{aire} = a\Delta t
\]

Mais \(a\Delta t = \Delta v\).

L’aire n’est donc pas seulement une astuce pratique pour lire un graphique. Elle découle directement de la définition de l’accélération.

Les unités le confirment :

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Ce sont les unités de la vitesse.

03Le graphique donne une variation, pas automatiquement la vitesse finale

C’est un point où il est facile de perdre des points.

Supposons que l’aire sous un graphique accélération-temps soit de \(+8\ \text{m s}^{-1}\). Un élève écrit :

Vitesse finale \(= 8\ \text{m s}^{-1}\).

Cela n’est vrai que si l’objet était initialement au repos.

Le graphique nous a indiqué

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

et pas nécessairement \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\).

En général,

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

Si \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\), par exemple,

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

L’évolution de l’accélération a modifié la vitesse de \(+8\ \text{m s}^{-1}\), suffisamment dans ce cas pour inverser le sens de déplacement de l’objet.

04Les aires situées sous l’axe du temps sont négatives

Imaginez que le graphique de l’accélération se situe à

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

pendant 2.0 s.

Son aire algébrique est

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

La vitesse diminue donc de \(8.0\ \text{m s}^{-1}\).

Attention à l’expression « la vitesse diminue ». Cela ne signifie pas toujours que l’objet ralentit.

Supposons qu’un objet commence avec

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

et subisse une variation de vitesse de

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Alors,

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

Sa vitesse est devenue plus négative, mais la valeur de sa vitesse est passée de \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) à \(13\ \text{m s}^{-1}\).

Une accélération négative ne signifie pas que l’objet ralentit.

Le fait qu’un objet accélère ou ralentisse dépend des signes de la vitesse et de l’accélération. Si vous avez besoin de revoir cette distinction, consultez Vitesse scalaire et vitesse vectorielle : la physique HSC expliquée clairement.

05Une règle pratique pour déterminer si un objet accélère ou ralentit

Comparez les signes de la vitesse et de l’accélération.

Pourquoi ?

La vitesse indique dans quel sens l’objet se déplace. L’accélération indique dans quel sens sa vitesse est poussée.

Imaginez la vitesse et l’accélération comme deux personnes qui discutent du sens dans lequel aller. Si elles sont d’accord sur la direction, la valeur absolue de la vitesse augmente. Si elles ne sont pas d’accord, elle diminue d’abord.

L’analogie cesse de fonctionner lorsque la vitesse atteint zéro. L’objet peut alors inverser son sens de déplacement, après quoi la même accélération peut à nouveau augmenter la valeur de sa vitesse.

06Une accélération variable produit des aires de formes différentes

L’accélération n’a pas besoin d’être constante.

Supposons que l’accélération augmente régulièrement de \(0\) à \(6.0\ \text{m s}^{-2}\) en 4.0 s.

La région sous le graphique est un triangle, donc

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

où \(b\) est l’intervalle de temps et \(h\) l’accélération maximale.

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

Même si l’accélération variait continuellement, l’aire donne toujours la variation totale de vitesse.

Plus généralement,

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

Le symbole d’intégrale signifie « additionner toutes les petites contributions \(a\,dt\) sur l’intervalle de temps ». Pour les problèmes HSC comportant des portions de droite, vous pouvez généralement déterminer cette aire à l’aide de rectangles, de triangles et de trapèzes plutôt qu’en effectuant un calcul intégral.

07Les aires positives et négatives peuvent se compenser

Considérons maintenant un objet dont l’accélération évolue ainsi :

• de \(0\) à \(4.0\ \text{s}\), l’accélération augmente uniformément de \(0\) à \(4.0\ \text{m s}^{-2}\)
• de \(4.0\) à \(6.0\ \text{s}\), l’accélération vaut \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)

Prévoyez ce qui arrive à la vitesse sur l’ensemble des 6.0 s. Augmente-t-elle, diminue-t-elle ou revient-elle à sa valeur initiale ?

Utilisez les aires algébriques.

De \(0\) à \(4.0\ \text{s}\), l’aire triangulaire positive est

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

De \(4.0\) à \(6.0\ \text{s}\), l’aire rectangulaire négative est

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Par conséquent,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

La vitesse finale est supérieure de \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) à la vitesse initiale.

La partie négative n’a pas « effacé le mouvement ». Elle a annulé une partie de l’augmentation antérieure de la vitesse.

08Une accélération nulle ne signifie pas une vitesse nulle

Une portion horizontale d’un graphique accélération-temps à \(a = 0\) peut donner l’impression que « rien ne se passe ».

Pourtant, quelque chose se passe. L’objet peut toujours être en mouvement.

Si

\[
a = 0
\]

alors la vitesse ne change pas.

Ainsi, un objet se déplaçant à \(18\ \text{m s}^{-1}\) avec une accélération nulle continue à \(18\ \text{m s}^{-1}\), en supposant que le modèle unidimensionnel s’applique.

Un objet déjà au repos reste également au repos.

Le graphique d’accélération à lui seul ne permet pas de savoir laquelle de ces situations s’applique, sauf si l’on connaît aussi la vitesse de l’objet à un certain instant.

09Un graphique accélération-temps ne donne pas directement le déplacement

Il existe deux « règles d’aire » différentes que les élèves confondent souvent :

Pourquoi l’aire sous un graphique accélération-temps ne peut-elle pas donner le déplacement ?

Vérifiez les unités :

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

Il s’agit d’une vitesse, et non d’un déplacement.

Pour obtenir le déplacement à partir de l’évolution de l’accélération, il faut d’abord disposer de suffisamment d’informations pour déterminer la vitesse en fonction du temps. Ensuite, on détermine l’aire sous le graphique vitesse-temps correspondant.

C’est aussi pour cette raison que la vitesse initiale est importante. Deux objets peuvent avoir des graphiques accélération-temps identiques mais des déplacements complètement différents parce qu’ils ont commencé avec des vitesses différentes.

10Comment passer d’un graphique accélération-temps à un graphique vitesse-temps

Un graphique accélération-temps indique le comportement de la pente d’un graphique vitesse-temps.

Rappelons que

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

donc l’accélération est la pente d’un graphique vitesse-temps.

On obtient ainsi les correspondances suivantes :

Il y a ici un point subtil. La hauteur d’un graphique accélération-temps indique la pente du graphique vitesse-temps. L’aire du graphique accélération-temps indique de combien la vitesse elle-même a changé.

Ce sont deux rôles différents.

11Une méthode fiable pour les questions HSC sur les graphiques

Lorsque vous recevez un graphique accélération-temps, procédez dans cet ordre :

1. Choisissez un sens positif. En général, le graphique l’a déjà défini à l’aide des signes.
2. Notez la vitesse initiale. Si elle n’est pas donnée, soyez attentif à ce qui peut réellement être déterminé.
3. Divisez le graphique en régions simples. Utilisez des rectangles, des triangles ou des trapèzes selon le cas.
4. Attribuez un signe à chaque aire. Au-dessus de l’axe du temps, elle est positive. En dessous, elle est négative.
5. Additionnez les aires algébriques. Cela donne \(\Delta v\).
6. Utilisez \(v_f = v_i + \Delta v\).
7. Si l’on vous interroge sur la valeur de la vitesse ou la direction, examinez la vitesse plutôt que l’accélération seule.
8. Vérifiez les unités. L’aire sous un graphique accélération-temps doit avoir des unités de \(\text{m s}^{-1}\).

Cette dernière vérification des unités permet de repérer un nombre étonnamment élevé d’erreurs.

12Questions et solutions

Question 1

Un cycliste a une accélération de \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) pendant 4.0 s. La vitesse du cycliste au début de l’intervalle est de \(6.0\ \text{m s}^{-1}\).

Déterminez la vitesse du cycliste après 4.0 s.

Solution 1

La vitesse finale du cycliste est \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\).

L’aire sous le graphique accélération-temps donne la variation de vitesse :

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Ajoutez maintenant cette variation à la vitesse initiale :

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

L’erreur fréquente consiste à donner \(6.0\ \text{m s}^{-1}\), c’est-à-dire l’aire, comme vitesse finale. Il s’agit seulement de la variation de vitesse.

Question 2

Un objet se déplace initialement à \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\). Il subit ensuite une accélération constante de \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) pendant 5.0 s.

Calculez sa vitesse finale et indiquez si son sens de déplacement a changé.

Solution 2

La vitesse finale est \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\), donc l’objet a changé de direction.

La variation de vitesse est

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

Par conséquent,

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Comme la vitesse est passée d’une valeur négative à une valeur positive, elle a nécessairement traversé zéro pendant l’intervalle. À cet instant, l’objet était momentanément au repos, puis il a inversé son sens de déplacement.

L’erreur tentante consiste à dire qu’une accélération positive signifie que l’objet se déplaçait dans le sens positif pendant les 5.0 s entières. L’accélération décrit la façon dont la vitesse change, et non nécessairement le sens instantané du mouvement.

Question 3

L’accélération d’un objet varie uniformément de \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) à \(t=0\) jusqu’à \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\) à \(t=4.0\ \text{s}\).

Sa vitesse initiale est de \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Déterminez sa vitesse à \(t=4.0\ \text{s}\).

Solution 3

La vitesse de l’objet à \(4.0\ \text{s}\) est \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\).

Comme l’accélération varie linéairement, l’aire sous le graphique est un trapèze. Son aire est

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

où \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\), \(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\) et \(\Delta t = 4.0\ \text{s}\).

En remplaçant,

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

Puis,

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

L’accélération n’est pas constamment égale à \(6.0\ \text{m s}^{-2}\), donc multiplier \(6.0\) par les 4.0 s entières surestimerait la variation de vitesse.

Question 4

Un robot se déplace le long d’un rail rectiligne. De \(t=0\) à \(t=3.0\ \text{s}\), son accélération vaut \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\). De \(t=3.0\) à \(t=7.0\ \text{s}\), son accélération vaut \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

Un élève affirme :

« Les parties positive et négative ont des effets égaux parce que \(4\times3 = 3\times4\), donc le robot doit terminer à l’endroit où il a commencé. »

La vitesse initiale du robot est de \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\).

Déterminez la vitesse finale du robot et évaluez la conclusion de l’élève concernant sa position finale.

Solution 4

La vitesse finale du robot est \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\), mais l’affirmation selon laquelle il doit terminer à l’endroit où il a commencé est incorrecte.

Pour le premier intervalle,

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

Pour le deuxième intervalle,

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

Par conséquent,

\[
\Delta v_{\text{total}}
= +12 -12
= 0
\]

et

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{total}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

L’élève a donc raison sur le fait que la vitesse revient à sa valeur initiale.

Cependant, une variation nette de vitesse nulle ne signifie pas un déplacement nul. Le robot s’est déplacé pendant l’intervalle et, pendant une grande partie du mouvement, sa vitesse est supérieure à \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

L’aire sous un graphique accélération-temps donne la variation de vitesse, et non le déplacement. Pour déterminer la variation de position du robot, il faudrait construire ou calculer son comportement vitesse-temps.

Question 5

Deux chariots, A et B, se déplacent le long de rails rectilignes parallèles.

Les deux chariots ont exactement le même graphique accélération-temps de \(t=0\) à \(t=8.0\ \text{s}\). L’aire algébrique totale sous ce graphique est de \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\).

Le chariot A commence avec une vitesse de \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\), tandis que le chariot B commence avec une vitesse de \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\).

Un élève affirme que, puisque les deux chariots ont le même graphique d’accélération, ils doivent avoir la même vitesse finale et parcourir le même déplacement.

Évaluez les deux parties de cette affirmation.

Solution 5

Aucune des deux parties de l’affirmation n’est correcte. Le chariot A termine à \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\), le chariot B termine à \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\), et leurs déplacements pendant les 8.0 s ne sont pas égaux.

L’évolution commune de l’accélération donne aux deux chariots la même variation de vitesse :

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Pour le chariot A,

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Pour le chariot B,

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

Des évolutions d’accélération identiques ne produisent donc pas des vitesses finales identiques, sauf si les vitesses initiales sont elles aussi identiques.

Leurs déplacements sont également différents. À chaque instant, la vitesse du chariot B est supérieure de \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) à celle du chariot A, car leurs vitesses initiales diffèrent de \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) et ils subissent ensuite exactement la même accélération.

Sur 8.0 s, cette différence constante de vitesse produit une différence de déplacement de

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

Le chariot B parcourt donc \(64\ \text{m}\) de plus dans le sens positif que le chariot A pendant l’intervalle.

L’idée essentielle est qu’un graphique accélération-temps indique comment la vitesse change. Pour connaître la vitesse réelle, il faut également une vitesse initiale. Une fois que l’on connaît l’évolution de la vitesse, son aire permet ensuite de déterminer le déplacement. Cette chaîne allant de l’accélération à la vitesse, puis à la position, constitue la prochaine relation utile à maîtriser pour interpréter les graphiques de mouvement.