方程式 v = u + at：HSC物理における等加速度運動

ある車が \(12\ \text{m s}^{-1}\) で走っています。3秒後、その速度は \(21\ \text{m s}^{-1}\) になっています。これらを互いに無関係な2つの速度測定値として扱うこともできます。しかし、その間ずっと加速度が一定だったなら、たった1つの短い式で、その間のあらゆる時点の速度を予測できます。

\[
v = u + at
\]

文字の意味を考える前に、まず予想してみましょう。車の速度が毎秒 \(3\ \text{m s}^{-1}\) ずつ増えるなら、3秒後にはどうなるでしょうか？

速度は \(9\ \text{m s}^{-1}\) 増えるはずです。最初が \(12\ \text{m s}^{-1}\) なので、\(21\ \text{m s}^{-1}\) になります。

\(v = u + at\) がしていることは、これだけです。この式は、最初の速度を基準にして、一定の加速度によって生じる速度の変化を加えています。

01まず速度の変化から考える

加速度は、速度がどれだけ速く変化するかを表します。

物体の加速度が \(2\ \text{m s}^{-2}\) なら、その速度は毎秒 \(2\ \text{m s}^{-1}\) ずつ変化します。

したがって、最初の速度が \(5\ \text{m s}^{-1}\) なら：

この規則性は次のように表せます：

\[
\text{新しい速度} = \text{初めの速度} + \text{速度の変化}
\]

加速度が一定なら、速度の変化は：

\[
\Delta v = at
\]

ここで：

• \(\Delta v\) は速度の変化で、単位は \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) は一定の加速度で、単位は \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) は経過時間で、単位は秒

初速度を \(u\)、終速度を \(v\) とすると：

\[
v = u + at
\]

ここで：

• \(u\) は初速度で、単位は \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v\) は終速度で、単位は \(\text{m s}^{-1}\)
• \(a\) は一定の加速度で、単位は \(\text{m s}^{-2}\)
• \(t\) は経過時間で、単位は秒

文字そのものよりも、式の構造のほうが重要です：

\[
\boxed{\text{終速度} = \text{初速度} + \text{速度の変化}}
\]

02なぜ \(at\) が速度の変化になるのか？

単位を見れば分かります。

加速度の単位は \(\text{m s}^{-2}\) です。これに時間を掛けると：

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

したがって、\(at\) は速度と同じ単位を持ちます。

例えば、\(4\ \text{m s}^{-2}\) の加速度が \(2.5\ \text{s}\) の間作用すると：

\[
\Delta v = at = (4)(2.5) = 10\ \text{m s}^{-1}
\]

これは、終速度が自動的に \(10\ \text{m s}^{-1}\) になるという意味ではありません。速度が \(10\ \text{m s}^{-1}\) 変化したという意味です。

物体が \(6\ \text{m s}^{-1}\) から始まったなら、最後は \(16\ \text{m s}^{-1}\) になります。

\(-8\ \text{m s}^{-1}\) から始まったなら、最後は \(2\ \text{m s}^{-1}\) になります。

速度そのものと速度の変化を区別することは、この式が何を表しているのかを見失いやすい主要なポイントの1つです。

03この式はどこから出てくるのか

ある時間間隔における平均加速度は、次のように定義されます：

\[
a = \frac{v-u}{t}
\]

加速度が一定なら、その同じ \(a\) の値が時間間隔全体にわたって成り立ちます。

両辺に \(t\) を掛けると：

\[
at = v-u
\]

次に、両辺に \(u\) を加えると：

\[
v = u+at
\]

したがって、\(v=u+at\) は意味を考えずに別個の公式として暗記しなければならないものではありません。一定加速度の定義を変形したものです。

これは同時に、この式の制限も示しています。考えている時間間隔にわたって加速度が一定である場合にのみ、この式を直接使えます。

加速度が時間とともに変化する場合、単純な積 \(at\) が必ずしも速度の変化を表すわけではありません。その場合は、加速度‐時間グラフの下の面積を考える必要があります。詳しくは、tutorgumの加速度‐時間グラフのガイドで扱っています。

04最も重要な準備：正の向きを決める

自転車に乗った人が東向きに進みながら減速しているとします。

よくある間違いは、次のように考えることです：

「減速しているのだから、速度は負でなければならない。」

必ずしもそうではありません。

速度の符号が表すのは向きです。物体が速くなっているか遅くなっているかを表すものではありません。

計算を始める前に、どちらの向きを正とするかを自分で決めます。

例えば、東を正とします。すると、東向きに進んでいる自転車の速度は正です。自転車がまだ東向きに進みながら減速しているなら、加速度は西向きなので、加速度は負になります。

例えば次のようになります：

\[
u = +14\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.0\ \text{m s}^{-2}
\]

\(3.0\ \text{s}\) 後：

\[
v = 14 + (-2.0)(3.0) = 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

終速度が正であることから、自転車はまだ東向きに進んでいると分かります。その大きさが小さくなっていることから、自転車は減速したと分かります。

符号付きの速度にまだ慣れていないなら、まず速さと速度の違いを確実に理解しておくとよいでしょう。Speed and Velocity: HSC Physics Explained Clearly を参照してください。

05信頼できる解法の手順

初速度、終速度、加速度、時間が関係する一定加速度の問題を見たら、次の順序で進めます。

1. 正の向きを決める。
2. 分かっている量を、符号と単位を付けて書く。
3. 未知量を確認する。
4. \(v=u+at\) を使う。必要なら式を変形する。
5. 式を目的の形にしてから数値を代入する。
6. 答えの符号が物理的に何を意味するか解釈する。

最後の手順は単なる付け足しではありません。速度の問題では、符号から物体が向きを反転したかどうかが分かることがあります。

06負の加速度が必ずしも減速を意味するわけではない

廊下で2人が互いに向かって歩いているところを想像してください。右向きを正と決めます。

1人は右向きに進んでいるので、その速度は正です。もう1人は左向きに進んでいるので、その速度は負です。しかし、その符号だけでは、どちらが速くなっているのかは分かりません。

加速度も同じです。

物体は、加速度が速度と同じ向きを向いているとき速くなります。

加速度が速度と反対向きを向いているとき遅くなります。

したがって、次の4つの組み合わせはすべて起こり得ます：

3行目は特に直感に反するように感じることがあります。速度と加速度がどちらも負なら、物体は負の向きに進んでいて、さらにその同じ向きに加速しています。例えば速度が \(-3\ \text{m s}^{-1}\) から \(-7\ \text{m s}^{-1}\) に変化することがあります。数値は「より負」になりましたが、速さは \(3\ \text{m s}^{-1}\) から \(7\ \text{m s}^{-1}\) に増えています。

マイナスの符号は向きを表しているのであって、悪い雰囲気を表しているわけではありません。

07\(v=u+at\) の式変形

いつも \(v\) を求めるとは限りません。

他の3つの量が分かっていれば、同じ式から4つの量のどれでも求められます。

まず：

\[
v=u+at
\]

から、次の式が得られます：

\[
u=v-at
\]

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

そして：

\[
t=\frac{v-u}{a}
\]

4つの別々の公式を暗記しようとしないでください。\(v=u+at\) から始めて、必要に応じて変形しましょう。

最後の形には、物理的に意味が通っているかを確認する便利な考え方も隠れています：

\[
t=\frac{\text{速度の変化}}{\text{1秒あたりの速度の変化}}
\]

これは、時間が意味するものとしてまさに予想どおりです。

08「静止する」に隠れた落とし穴

問題文に、物体が「静止する」と書かれているとします。

これは：

\[
v=0
\]

を意味します。

しかし、自動的に：

\[
a=0
\]

を意味するわけではありません。

物体は、ある瞬間に速度がゼロであっても、加速度を持つことがあります。

鉛直上向きに投げ上げたボールが典型的な例です。軌道の最高点では鉛直方向の速度が一瞬ゼロになりますが、重力による加速度は依然として下向きです。

同様に、先ほどの台車も \(2.5\ \text{s}\) 後には \(v=0\) でしたが、加速度は依然として \(-2.0\ \text{m s}^{-2}\) でした。

速度は、ある瞬間の運動を表します。加速度は、その瞬間に速度がどのように変化しているかを表します。これらは異なる物理量です。

09\(v=u+at\) を使うべきでない場合

この式は加速度が一定であることを仮定しています。

ある車の加速度が次のようになっているとします：

• 最初の1秒間は \(1\ \text{m s}^{-2}\)
• 2秒目は \(4\ \text{m s}^{-2}\)
• 3秒目は \(0\ \text{m s}^{-2}\)

この3秒間全体を表す、1つの一定した \(a\) の値はありません。

したがって、これらの加速度のうち1つを選んで、3秒間全体について：

\[
v=u+at
\]

と書くのは誤りです。

加速度が一定である各区間ごとに、この式を別々に使うことはできるでしょうか？ はい。区間ごとに速度の変化を計算できます。

あるいは、全体の速度変化は加速度‐時間グラフの下の面積になります。

ここから、\(v=u+at\) についてさらに深いことが分かります。加速度が一定の加速度‐時間グラフでは、グラフは水平な直線になります。その下の面積は長方形なので：

\[
\text{面積}=a\times t
\]

そして、その面積が：

\[
\Delta v=at
\]

です。

つまり、この式は、変化量の積み重ねに関するより一般的な考え方の特殊な場合なのです。

10問題と解答

問題1

スケートボーダーが東向きに \(4.0\ \text{m s}^{-1}\) で進んでいます。東向きに \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) の一定加速度で \(6.0\ \text{s}\) 加速します。終速度を求めなさい。

解答1

スケートボーダーの終速度は \(\boxed{13\ \text{m s}^{-1}\text{ 東向き}}\) です。

東を正とします：

\[
u=+4.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=+1.5\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=6.0\ \text{s}
\]

次の式を使うと：

\[
v=u+at
\]

\[
v=4.0+(1.5)(6.0)
=4.0+9.0
=13\ \text{m s}^{-1}
\]

となります。

正の符号は、スケートボーダーが東向きに進んでいることを意味します。6秒間で速度は \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) 増加しました。

問題2

ロボットが直線状のコースを右向きに \(11\ \text{m s}^{-1}\) で移動しています。左向きに \(2.5\ \text{m s}^{-2}\) の一定加速度を受けます。

ロボットが一瞬静止するまでに何秒かかりますか？

解答2

ロボットは \(\boxed{4.4\ \text{s}}\) 後に静止します。

右を正とします。すると：

\[
u=+11\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=-2.5\ \text{m s}^{-2}
\]

「静止する」とは、その瞬間の終速度が：

\[
v=0
\]

であることを意味します。

次の式を使うと：

\[
v=u+at
\]

\[
0=11+(-2.5)t
\]

\[
2.5t=11
\]

\[
t=\frac{11}{2.5}=4.4\ \text{s}
\]

となります。

重要なのは、ロボットが停止したときに加速度がゼロになるわけではないということです。速度は一瞬ゼロになりますが、左向きの加速度は残っています。そのため、加速度がそのまま続けば、その後ロボットは左向きに動き始めます。

問題3

ある物体の初速度は \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\)、一定加速度は \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\) です。

ある生徒が「加速度が負だから、この物体は必ず減速している」と言いました。

\(2.0\ \text{s}\) 後の物体の速度を求め、この生徒の主張を評価しなさい。

解答3

終速度は \(\boxed{-13\ \text{m s}^{-1}}\) であり、物体は速くなっているため、生徒の主張は正しくありません。

次の式を使うと：

\[
v=u+at
\]

\[
v=-7.0+(-3.0)(2.0)
\]

\[
v=-7.0-6.0=-13\ \text{m s}^{-1}
\]

となります。

最初の速さは \(7.0\ \text{m s}^{-1}\) でした。最後の速さは \(13\ \text{m s}^{-1}\) です。

速度と加速度がどちらも負なので、両者は同じ向きを向いています。したがって、加速度によって速度の大きさが増加します。

陥りやすい誤解は、負の加速度をそのまま「減速」と解釈することです。負の符号が示しているのは、選んだ座標系に対する向きだけです。

問題4

台車が右向きに \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) で動いています。左向きに一定加速度が作用します。\(3.0\ \text{s}\) 後、台車は左向きに \(1.0\ \text{m s}^{-1}\) で動いています。

台車の加速度を求めなさい。次に、この \(3.0\ \text{s}\) の間に台車が向きを変えた時刻を求めなさい。

解答4

台車の加速度は \(\boxed{-3.0\ \text{m s}^{-2}}\) で、向きを変えるのは約 \(\boxed{2.7\ \text{s}}\) 後です。

右を正とします：

\[
u=+8.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad v=-1.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad t=3.0\ \text{s}
\]

まず加速度を求めます：

\[
a=\frac{v-u}{t}
\]

\[
a=\frac{-1.0-8.0}{3.0}
=\frac{-9.0}{3.0}
=-3.0\ \text{m s}^{-2}
\]

負の符号は、加速度が左向きであることを意味します。

台車が向きを変える時刻を求めるには、まず速度がゼロを通過しなければならないことに注目します。\(v=0\) とします：

\[
0=8.0+(-3.0)t
\]

\[
3.0t=8.0
\]

\[
t=\frac{8.0}{3.0}=2.67\ \text{s}
\]

したがって、台車が一瞬静止するのは約：

\[
\boxed{2.7\ \text{s}}
\]

後です。

その後、残りの \(0.33\ \text{s}\) は左向きに動きます。

ここで見落としやすいポイントは、終速度が負であるということが単に「物体が減速した」以上の情報を与えていることです。速度が連続的に変化したと仮定すれば、物体が \(v=0\) を通過して向きを反転したことを示しています。

問題5

同一の2台の台車が、どちらも右向きに \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) という同じ速度から動き始めます。

台車Aは、\(4.0\ \text{s}\) の間、\(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) の一定加速度を持ちます。

台車Bは、最初の \(2.0\ \text{s}\) は \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\) の加速度、その後の \(2.0\ \text{s}\) は \(-1.0\ \text{m s}^{-2}\) の加速度を持ちます。

ある生徒が、\(t=4.0\ \text{s}\) として両方の台車に \(v=u+at\) を適用しました。この方法が台車Aには直接使えるのに、台車Bには使えない理由を説明しなさい。次に、それぞれの台車の終速度を計算しなさい。

解答5

台車Aの終速度は \(\boxed{14\ \text{m s}^{-1}}\)、台車Bの終速度は \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\) です。台車Aでは \(4.0\ \text{s}\) 全体にわたって加速度が一定なので、\(v=u+at\) を1回使うだけで直接求められます。一方、台車Bでは加速度が途中で変化します。

台車Aについて：

\[
u=6.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad a=2.0\ \text{m s}^{-2}, \qquad t=4.0\ \text{s}
\]

なので：

\[
v=u+at
\]

\[
v=6.0+(2.0)(4.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

台車Bについては、加速度が一定である各区間を別々に計算します。

最初の \(2.0\ \text{s}\) では：

\[
v_1=6.0+(4.0)(2.0)
=14\ \text{m s}^{-1}
\]

これが次の区間の初速度になります。

次の \(2.0\ \text{s}\) では：

\[
v_2=14+(-1.0)(2.0)
=12\ \text{m s}^{-1}
\]

したがって：

\[
\boxed{v_A=14\ \text{m s}^{-1}}, \qquad
\boxed{v_B=12\ \text{m s}^{-1}}
\]

ここでの落とし穴は、式に \(a\) という記号が含まれているからといって、加速度を常に1つの固定された数値として扱ってしまうことです。\(v=u+at\) という式は、選んだ \(a\) が時間間隔全体を通して一定であることを仮定しています。

台車Bでは、2つの加速区間による速度の変化はそれぞれ：

\[
\Delta v_1=(4.0)(2.0)=8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

および：

\[
\Delta v_2=(-1.0)(2.0)=-2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

となるので、速度の総変化量は：

\[
\Delta v=8.0-2.0=6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

です。

この考え方は自然に加速度‐時間グラフへとつながります。そこでは、1つの長方形 \(at\) から求めるのではなく、グラフの下にある符号付き面積の合計から速度の変化を求めます。