恒力做功：HSC 物理指南

你拖着一个行李箱沿机场地面移动 6 m，同时以一定角度向上拉着它的手柄。你施加的力可能是 40 N，但并不是全部 40 N 都在帮助行李箱向前移动。

在进行任何计算之前，先预测一下：如果你保持 40 N 的力不变，但以更陡的角度拉手柄，那么在相同的水平距离内，你对行李箱做的功会更多、更少，还是相同？

你做的功会更少。原因正是本指南的核心思想：只有力在位移方向上的分量，才能通过做功传递能量。

01从真正起作用的力分量开始

想象你把一个很重的箱子沿地面直线推过去。

如果你水平推箱子，而箱子也水平移动，那么你的整个力都沿着运动方向作用。这是最简单的情况。

如果你斜向下推，便可以把这个力分成两个值得考虑的分量：

• 水平分量，与位移平行
• 竖直分量，与位移垂直

水平分量帮助箱子沿地面移动。竖直分量把箱子更用力地压向地面，但箱子并不会向下穿过地面。

因此，就你所施加的力所做的功而言，真正传递能量的是水平分量。

这给出了第一个有用的思维模型：

功取决于有多少力作用在位移方向上，以及物体沿该方向移动了多远。

这个模型很有用，但我们还需要把它准确地表达出来。

02从力的分量推导功的公式

假设一个恒力 \(F\) 与物体的位移 \(s\) 成角 \(\theta\)。

力在位移方向上的分量为

\[
F_{\parallel} = F\cos\theta
\]

因此，这个力所做的功为

\[
W = F_{\parallel}s = Fs\cos\theta
\]

其中：

• \(W\) 是该力所做的功，单位为焦耳（J）
• \(F\) 是恒力的大小，单位为牛顿（N）
• \(s\) 是位移的大小，单位为米（m）
• \(\theta\) 是力与位移之间的夹角

最后这一点很容易出错。这个角并不一定是相对于水平方向测量的。它特指这里两个矢量–力和位移–之间的夹角。

由于 \(1\text{ N} = 1\text{ kg m s}^{-2}\)，

\[
1\text{ J} = 1\text{ N m}
\]

功是标量。它有大小，并且可以为正、为负或为零，但它没有方向。

03为什么公式中会出现余弦？

余弦并不是一个随意加入公式的数学技巧。它用来取出力在位移方向上的分量。

考虑一个大小为 \(F\) 的力矢量，它与位移之间的夹角为 \(\theta\)。把这个力分解，可以得到

\[
F_{\parallel} = F\cos\theta
\]

以及

\[
F_{\perp} = F\sin\theta
\]

垂直分量不对功作出贡献，因为物体在这个方向上没有位移。

一个稍微有点滑稽的想象方式是：两个人在狭窄的走廊里搬沙发。一个人沿着走廊方向推，另一个人则直接把沙发往墙上推。第二个人可能非常用力，但他的力并没有帮助沙发沿走廊移动。

当然，这个类比有局限。现实中的沙发会涉及摩擦、转动、形变，而且可能还会引发一场关于“这到底是谁的主意”的争论。物理结论要简洁得多：对于恒力产生的平动功，只有力在位移方向上的分量会对 \(W\) 作出贡献。

04正功、负功和零功

\(\cos\theta\) 的数值可以告诉你：这个力是向物体传递能量、从物体移走能量，还是没有通过做功传递能量。

正功

如果力有一个分量与位移方向相同，那么

\[
W>0
\]

这个力把能量传递给物体。

例如，如果你向前推一辆手推车，而它也向前移动，那么你施加的力就做正功。

负功

如果力有一个分量与位移方向相反，那么

\[
W<0
\]

这个力会使物体的机械能减少。

摩擦力经常做负功，因为它的方向与滑动方向相反。

负功并不意味着计算出错了。这个符号包含着物理信息。

零功

如果力与位移垂直，

\[
\theta=90^\circ
\]

那么

\[
W=Fs\cos90^\circ=0
\]

因此，即使一个力很大，它仍然可能不做功。

一开始这可能让人觉得奇怪。一个很大的力难道不是肯定在“起作用”吗？

它可以起作用，却不一定通过做功来传递能量。例如，水平地面对运动物体施加的支持力可以支撑物体，同时始终与物体的水平位移垂直。

06一个力所做的功并不自动等于合功

这个区别很重要。

假设你向前拉一个箱子，而摩擦力向后作用。你的力做正功，摩擦力做负功。

每一个力都有各自的 \(W=Fs\cos\theta\) 值。

合功是所有力所做功的总和：

\[
W_{\text{net}}=W_1+W_2+W_3+\cdots
\]

之后，这会直接与功-能定理联系起来：

\[
W_{\text{net}}=\Delta K
\]

其中，\(\Delta K\) 是动能的变化量。

因此，如果题目要求求所施加的力所做的功，就只计算这个力的贡献。如果题目要求求合功，就要考虑所有做功的力。

08最容易犯的错误：使用整个力

假设一个 100 N 的力与物体的位移成 \(60^\circ\)。

学生可能会计算

\[
W=Fs
\]

并直接使用全部 100 N。

这看起来似乎合理，因为题目确实说施加了一个 100 N 的力。但只有沿位移方向的分量才能传递能量。

在这里，

\[
F_{\parallel}=100\cos60^\circ=50\text{ N}
\]

因此，就做功而言，这个力的效果相当于一个 50 N 的力直接沿位移方向作用。

剩余的分量与运动方向垂直，因此不做功。

一个可靠的判断方法是：

在使用 \(W=Fs\cos\theta\) 之前，画出或在脑中想象力矢量和位移矢量。然后确定它们之间的夹角。

养成这一个习惯，就能同时避免好几种常见错误。

09如果物体发生了位移，但力却不做功呢？

考虑一个在水平圆周上做匀速圆周运动的物体。

在每一个瞬间，向心力都指向圆心，而瞬时位移则沿圆的切线方向。

这两个方向互相垂直。

因此，在每一个瞬间，对于向心力都有

\[
W=Fs\cos90^\circ=0
\]

然而，这个力仍然在改变物体的速度，因为速度不仅包括速率，还包括方向。

这是一个很有用的提醒：一个力不需要做功，也能改变速度。垂直于运动方向的力可以改变速度的方向，而不改变物体的动能。

10\(W=Fs\cos\theta\) 的适用限制

公式

\[
W=Fs\cos\theta
\]

采用这种形式时，假设力是恒定的，并且在所考虑的整段位移过程中，力与位移之间的夹角保持不变。

如果物体运动过程中力发生变化，就不能一定用一个 \(F\) 值来代表整个过程。

在 HSC Physics 中，这正是力-位移图重要的原因。当力随位移变化时，所做的功与力-位移图下方的面积有关。

因此，恒力做功公式并不是一个孤立的技巧。它只是更广泛概念中最简单的一种情况：功衡量的是力在物体发生位移时所传递的能量。

11问题与解答

问题 1

一个 35 N 的水平力推动一辆手推车沿水平轨道移动 4.0 m。计算这个力所做的功。

解答 1

这个力做了 \(\boxed{140\text{ J}}\) 的功。

力与位移方向相同，因此 \(\theta=0^\circ\)。

\[
\begin{aligned}
W&=Fs\cos\theta\\
&=(35)(4.0)\cos0^\circ\\
&=140\text{ J}
\end{aligned}
\]

由于功为正，这个力在这段位移过程中向手推车传递了 140 J 的能量。

问题 2

一个行李箱水平移动 15 m，同时它的主人以恒定的 60 N 拉力拉着它，该力与水平方向成 \(50^\circ\) 向上的夹角。

计算拉力所做的功。

解答 2

拉力所做的功约为 \(\boxed{579\text{ J}}\)。

60 N 的力中，只有平行于水平位移的分量会对功作出贡献。

\[
\begin{aligned}
W&=Fs\cos\theta\\
&=(60)(15)\cos50^\circ\\
&\approx579\text{ J}
\end{aligned}
\]

等价地，平行分量为

\[
F_{\parallel}=60\cos50^\circ\approx38.6\text{ N}
\]

所以

\[
W=(38.6)(15)\approx579\text{ J}
\]

拉力向上的分量不做功，因为行李箱没有竖直方向的位移。

问题 3

一个 2.0 kg 的物块在水平表面上向右滑动 5.0 m。它受到三个方面的力：

• 一个 24 N 的力，方向与水平向右方向成 \(60^\circ\) 向上的夹角
• 一个 8.0 N 的摩擦力，方向向左
• 物块的重力和支持力

计算每个力所做的功，并由此确定合功。

解答 3

所施加的力做功 \(\boxed{60\text{ J}}\)，摩擦力做功 \(\boxed{-40\text{ J}}\)，重力和支持力各自做功 \(\boxed{0\text{ J}}\)，合功为 \(\boxed{20\text{ J}}\)。

对于所施加的力，

\[
\begin{aligned}
W_{\text{applied}}
&=Fs\cos\theta\\
&=(24)(5.0)\cos60^\circ\\
&=60\text{ J}
\end{aligned}
\]

对于摩擦力，力与位移之间的夹角为 \(180^\circ\)：

\[
\begin{aligned}
W_{\text{friction}}
&=(8.0)(5.0)\cos180^\circ\\
&=-40\text{ J}
\end{aligned}
\]

重力和支持力都与水平位移垂直，因此

\[
W_g=0\text{ J}
\]

以及

\[
W_N=0\text{ J}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
W_{\text{net}}
&=60-40+0+0\\
&=20\text{ J}
\end{aligned}
\]

正的合功意味着物块的动能增加了 20 J。

这里一个常见的陷阱是认为作用在物体上的每一个力都必须做功。如果一个力与位移垂直，那么即使它确实作用在物体上，也可以做零功。

问题 4

一名学生说：

“如果一个物体移动了 10 m，同时有一个 200 N 的力作用在它上面，那么这个力一定做了 2000 J 的功。”

举出一个反例，使这个力在整个 10 m 位移过程中始终作用，但做功为零。说明原因。

解答 4

一个有效的反例是：200 N 的力始终与物体的位移垂直。此时该力所做的功为 \(\boxed{0\text{ J}}\)。

使用功的公式，

\[
\begin{aligned}
W&=Fs\cos\theta\\
&=(200)(10)\cos90^\circ\\
&=0\text{ J}
\end{aligned}
\]

这名学生的推理错误地假设了整个力都沿位移方向作用。

仅知道力的大小和移动距离，并不足以确定所做的功。相对方向同样重要。只有与位移平行的分量 \(F\cos\theta\) 才能通过做功传递能量。

问题 5

两名学生将两个完全相同的箱子拉过相同的水平位移 \(s\)。

学生 A 水平施加一个大小为 \(F\) 的恒力。

学生 B 施加一个大小为 \(2F\) 的恒力，该力与水平方向成 \(\theta\) 向上的夹角。

当 \(\theta\) 为多少时，两名学生对各自箱子所做的功相同？

说明为什么学生 B 可以施加更大的力，却不一定做更多的功。

解答 5

当 \(\boxed{\theta=60^\circ}\) 时，两名学生所做的功相同。

学生 A 的力与位移平行，因此

\[
W_A=Fs
\]

学生 B 所做的功为

\[
W_B=(2F)s\cos\theta
\]

要使两者所做的功相等，

\[
\begin{aligned}
Fs&=2Fs\cos\theta\\
1&=2\cos\theta\\
\cos\theta&=\frac{1}{2}\\
\theta&=60^\circ
\end{aligned}
\]

学生 B 施加的总力是原来的两倍，但在 \(60^\circ\) 时，这个力只有一半沿位移方向作用：

\[
F_{\parallel}=2F\cos60^\circ=F
\]

剩余分量与位移垂直，因此不做功。

容易犯的错误是直接比较 \(F\) 和 \(2F\) 的大小。功取决于平行分量，而不是简单取决于总力的大小。

问题 6

一个冰球沿水平表面向右运动。一个恒力作用在冰球上，并与其位移成 \(120^\circ\) 的夹角。

一名学生认为，这个力一定做正功，因为它“有某个水平分量”。

判断这名学生是否正确。然后，若这个力的大小为 18 N，冰球移动了 7.0 m，求该力所做的功。

解答 6

这名学生的说法不正确。这个力做负功，其值为 \(\boxed{-63\text{ J}}\)。

关键问题并不是有没有水平分量，而是这个水平分量指向哪个方向。

因为夹角为 \(120^\circ\)，

\[
\cos120^\circ=-0.5
\]

所以沿位移方向的力分量为

\[
F_{\parallel}=18\cos120^\circ=-9.0\text{ N}
\]

负号表示这个分量的方向与冰球的位移相反。

因此，

\[
\begin{aligned}
W&=Fs\cos\theta\\
&=(18)(7.0)\cos120^\circ\\
&=-63\text{ J}
\end{aligned}
\]

在这段位移过程中，这个力使冰球的机械能减少了 63 J。

容易犯的错误是认为“水平”就自动意味着“与运动方向相同”。一个分量可以平行于某一坐标轴，同时沿该坐标轴指向两个方向中的任意一个。

12这个概念接下来会引向哪里

在每一道恒力做功题中，关键问题并不只是“这个力有多大？”，而是：

这个力有多大一部分沿位移方向作用？

由此得到

\[
W=(F\cos\theta)s=Fs\cos\theta
\]

一旦牢固理解了这个联系，下一步就是功-能定理。你不再只是通过逐个计算各个力的功来求能量转移，而是可以把合功直接与动能的变化联系起来：

\[
W_{\text{net}}=\Delta K
\]

这正是功特别有用的地方。力描述物体之间的相互作用，而功则让你追踪这些力如何改变物体的能量。