HSC 物理中的克服阻力做功

一名滑板运动员沿斜坡向下滑行。如果忽略摩擦力和空气阻力，重力势能的减少量应该转化为动能。那么，为什么现实中的滑板运动员到达坡底时，会比这一预测的速度更慢？

在继续阅读之前，先做一个预测。是不是有一部分能量消失了，还是问题出在我们计算能量的方式上？

能量并没有消失。滑板运动员、滑板轮、地面以及周围的空气仍然遵守能量守恒定律。发生变化的是机械能。摩擦力和阻力会把一部分机械能转移成其他形式的能量，主要是内能和热能。

这就引出了核心思想：

当阻力做功时，机械能不守恒，但总能量仍然守恒。

01从无摩擦模型开始

设想一个 \(2.0\,\text{kg}\) 的物体从光滑斜坡顶端由静止释放。

当它向下运动时，重力势能减小，动能增大。如果没有摩擦力或阻力，一种能量的减少量将恰好等于另一种能量的增加量。

机械能为

\[
E_{\text{mech}} = K + U
\]

其中：

• \(E_{\text{mech}}\) 是机械能，单位为焦耳（\(\text{J}\)）
• \(K\) 是动能，单位为焦耳
• \(U\) 是势能，单位为焦耳

对于地球表面附近的运动，

\[
K = \frac{1}{2}mv^2
\]

以及

\[
U = mgh
\]

其中，\(m\) 是质量，单位为千克（\(\text{kg}\)）；\(v\) 是速率，单位为米每秒（\(\text{m s}^{-1}\)）；\(g\) 是重力场强度，约为 \(9.8\,\text{m s}^{-2}\)；\(h\) 是竖直高度，单位为米（\(\text{m}\)）。

如果你需要复习为什么 \(U=mgh\)，请参阅地球附近的重力势能。

在没有阻力的情况下，

\[
K_i + U_i = K_f + U_f
\]

下标 \(i\) 和 \(f\) 分别表示初始状态和最终状态。

这是一个很有用的初始模型。但对于粗糙路面、空气阻力、水的阻力，或任何阻力做功的情形，我们都需要采用不同的模型。

02摩擦力实际改变了什么

想象一本书在桌面上滑动。

摩擦力的方向与位移相反。书会逐渐减速，而且你通常还能感觉到接触面略微变热。

一个有用的思维模型，是把摩擦力想象成一个“收费员”。运动物体一开始拥有一定的机械能“预算”，而在物体运动过程中，摩擦力会不断从这份预算中拿走一部分。

这个类比之所以有用，是因为可用于运动的机械能确实会减少。但它也有局限：摩擦力并不是真的把能量“硬币”摧毁或储存起来。能量实际上被转移到了相互作用材料中的微观运动和形变中。

描述这种能量转移的正式方式是使用功。

对于恒力，

\[
W = Fd\cos\theta
\]

其中，\(W\) 是功，单位为焦耳；\(F\) 是力的大小，单位为牛顿（\(\text{N}\)）；\(d\) 是位移，单位为米；\(\theta\) 是力与位移之间的夹角。

阻力的方向与运动方向相反，因此 \(\theta=180^\circ\)。由于 \(\cos180^\circ=-1\)，

\[
W_{\text{res}}=-F_{\text{res}}d
\]

这个负号很重要。它表示阻力使运动系统的机械能减少。

03存在阻力时的机械能方程

当摩擦力或阻力等非保守力做功时，

\[
K_i+U_i+W_{\text{nc}}=K_f+U_f
\]

其中，\(W_{\text{nc}}\) 是非保守力所做的功。

如果唯一的非保守力是一个恒定的阻力，

\[
K_i+U_i-F_{\text{res}}d=K_f+U_f
\]

同一个概念还可以用另一种等价形式表示：

\[
\Delta E_{\text{mech}}=W_{\text{nc}}
\]

其中

\[
\Delta E_{\text{mech}}=E_{\text{mech},f}-E_{\text{mech},i}
\]

由于阻力所做的功通常为负，因此最终机械能小于初始机械能。

04摩擦力所做的功与耗散的能量

这个符号约定经常让学生出错。

假设摩擦力大小为 \(10\,\text{N}\)，并在 \(3.0\,\text{m}\) 的距离内持续作用。

摩擦力所做的功为

\[
W_{\text{friction}}=-(10)(3.0)=-30\,\text{J}
\]

但由摩擦耗散的能量通常表示为一个正值：

\[
E_{\text{dissipated}}=30\,\text{J}
\]

它们只是从不同角度描述了同一次能量转移。

因此，不要死记“摩擦能量是负的”。这里的能量本身并不是天然为负。摩擦力所做的功为负，是因为摩擦力的方向与位移相反。

06为什么不能简单地令 \(K+U\) 守恒

一种很容易想到的计算方式是

\[
mgh=\frac{1}{2}mv^2
\]

这个方程预测的是：如果没有非保守力将机械能转移出去，雪橇应具有的速率。

为什么这种错误看起来很合理？因为重力仍然是保守力，而且重力势能仍然减少了 \(mgh\)。遗漏的一步在于：这部分减少的重力势能并不一定全部转化为动能。

存在摩擦力时，

\[
\text{减少的重力势能}
=
\text{增加的动能}
+
\text{耗散的能量}
\]

这句话往往比再死记一个公式更有用。

07物体上坡时，阻力同样可能很重要

假设一辆汽车关闭驱动力后靠惯性上坡。

有两个因素会使它的动能减少：

1. 它的重力势能增加
2. 阻力把机械能转移为其他形式的能量

学生有时只考虑第一种影响，因为看到“上坡”就会立刻想到 \(mgh\)。但阻力做功同样可能非常重要。

08摩擦力和流体阻力并不完全是同一种问题

在许多 HSC 计算中，可以近似认为摩擦力在运动过程中保持恒定。如果摩擦力的大小恒为 \(F_f\)，

\[
W_f=-F_fd
\]

动摩擦力有时可用下式建模：

\[
F_f=\mu_kN
\]

其中，\(\mu_k\) 是动摩擦因数，\(N\) 是支持力。

流体阻力则更复杂。

空气阻力和流体阻力通常取决于速率。这意味着，一个下落物体在缓慢运动时可能只受到很小的阻力，而在高速运动时则会受到大得多的阻力。

因此，除非题目明确说明可以把阻力视为恒定，否则不能直接使用某一瞬间的 \(F_{\text{drag}}\) 写成

\[
W_{\text{drag}}=-F_{\text{drag}}d
\]

如果阻力发生变化，那么所做的功取决于力在整个位移过程中如何变化。在力-位移图上，功的大小由图像下方的面积表示。如果已知平均阻力，

\[
W_{\text{res}}=-F_{\text{avg}}d
\]

其中，\(F_{\text{avg}}\) 是平均阻力的大小。

由此可以得到一个实用的判断方法：

09机械能并不等于总能量

这里有一个值得彻底消除的误解：

“有摩擦力就意味着能量不守恒。”

这个说法是错误的。

摩擦力意味着：对于所选取的机械系统，机械能不守恒。

假设一个箱子在地板上滑动，最后停下来。开始时，箱子具有动能；最终，它的动能为零。如果你只观察 \(K+U\)，看起来能量似乎消失了。

但实际上，箱子和地板的内能增加了。它们的粒子具有更多的微观无规则运动和形变。一部分能量也可能以声音的形式传递出去。

总能量的收支仍然完全成立。

更准确的说法是：

阻力把能量从机械能这一“账户”转移到了其他形式的能量中。

在分析真实机器、制动、碰撞、大气运动以及受到阻力作用的轨道系统时，这一区别尤其重要。

10处理阻力问题的可靠方法

当一道题同时涉及重力势能、动能和阻力时，可以按照以下步骤：

1. 选择初始状态和最终状态。
2. 判断每个状态下存在哪些形式的机械能。
3. 计算所有非保守力所做的功。
4. 使用

\[
K_i+U_i+W_{\text{nc}}=K_f+U_f
\]

1. 检查符号。阻力通常做负功。
2. 检查答案是否符合物理意义。

最后一步可以发现很多符号错误。

例如，如果一个物体从静止开始下落，同时受到空气阻力，那么它的最终速率应该小于无阻力情况下的预测值。如果你的计算得到更大的速率，那几乎可以确定你是把阻力做功加上去了，而不是减去它。

11练习题与解答

问题 1

一辆 \(4.0\,\text{kg}\) 的小车以 \(6.0\,\text{m s}^{-1}\) 的速率在水平地面上运动。大小恒为 \(12\,\text{N}\) 的摩擦力在 \(4.0\,\text{m}\) 的距离内持续作用。求小车运动这段距离后的速率。

解答 1

小车的最终速率约为 \(\boxed{3.5\,\text{m s}^{-1}}\)。

由于地面是水平的，重力势能没有变化。摩擦力使小车的动能减小。

初始动能为

\[
K_i=\frac{1}{2}mv_i^2
=\frac{1}{2}(4.0)(6.0)^2
=72\,\text{J}
\]

摩擦力所做的功为

\[
W_f=-F_fd
=-(12)(4.0)
=-48\,\text{J}
\]

使用

\[
K_i+W_f=K_f
\]

得到

\[
72-48=24\,\text{J}
\]

因此

\[
24=\frac{1}{2}(4.0)v_f^2
\]

\[
v_f^2=12
\]

\[
v_f=3.46\,\text{m s}^{-1}
\]

所以，

\[
\boxed{v_f\approx3.5\,\text{m s}^{-1}}
\]

摩擦力将 \(48\,\text{J}\) 的能量从小车的机械能中转移了出去。

问题 2

一块 \(0.50\,\text{kg}\) 的石头从距地面 \(12\,\text{m}\) 高处由静止释放。它以 \(13\,\text{m s}^{-1}\) 的速率到达地面。计算下落过程中空气阻力所做的功。取 \(g=9.8\,\text{m s}^{-2}\)。

解答 2

空气阻力所做的功约为 \(\boxed{-16.6\,\text{J}}\)，也就是说，有 \(16.6\,\text{J}\) 的机械能被耗散。

取地面处的重力势能为零。

石头的初始机械能为

\[
E_i=mgh
=(0.50)(9.8)(12)
=58.8\,\text{J}
\]

它的最终机械能全部为动能：

\[
E_f=\frac{1}{2}mv^2
=\frac{1}{2}(0.50)(13)^2
=42.25\,\text{J}
\]

空气阻力所做的功等于机械能的变化量：

\[
W_{\text{air}}=E_f-E_i
\]

\[
W_{\text{air}}=42.25-58.8
=-16.55\,\text{J}
\]

因此，

\[
\boxed{W_{\text{air}}\approx-16.6\,\text{J}}
\]

负号表示空气阻力在下落过程中使机械能减少。因此，石头的速率低于无阻力模型中的速率。

问题 3

一辆 \(900\,\text{kg}\) 的车辆沿下坡路行驶，竖直下降 \(15\,\text{m}\)，同时沿道路前进 \(200\,\text{m}\)。其速率从 \(5.0\,\text{m s}^{-1}\) 增加到 \(14\,\text{m s}^{-1}\)。假设合阻力恒定，求其大小。取 \(g=9.8\,\text{m s}^{-2}\)。

解答 3

平均阻力的大小约为 \(\boxed{2.8\times10^2\,\text{N}}\)。

车辆在获得动能的同时损失重力势能。两者之间的差值被阻力耗散。

取坡底为 \(U_f=0\)。

初始动能为

\[
K_i=\frac{1}{2}(900)(5.0)^2
=11250\,\text{J}
\]

初始重力势能为

\[
U_i=(900)(9.8)(15)
=132300\,\text{J}
\]

因此初始机械能为

\[
E_i=11250+132300
=143550\,\text{J}
\]

最终动能为

\[
E_f=\frac{1}{2}(900)(14)^2
=88200\,\text{J}
\]

因此，阻力所做的功为

\[
W_{\text{res}}=E_f-E_i
=88200-143550
=-55350\,\text{J}
\]

对于恒定阻力，

\[
W_{\text{res}}=-F_{\text{res}}d
\]

所以

\[
-55350=-F_{\text{res}}(200)
\]

\[
F_{\text{res}}=276.75\,\text{N}
\]

因此，

\[
\boxed{F_{\text{res}}\approx277\,\text{N}}
\]

一个常见错误是认为损失的重力势能全部转化为动能。实际上，在这里有 \(55350\,\text{J}\) 从车辆的机械能中转移了出去。

问题 4

两个完全相同、质量均为 \(2.0\,\text{kg}\) 的物块从相同的竖直高度由静止释放，该高度为距地面 \(2.0\,\text{m}\)。物块 A 沿一条长度为 \(3.0\,\text{m}\) 的粗糙路径下滑。物块 B 沿另一条长度为 \(5.0\,\text{m}\) 的粗糙路径下滑。在整个运动过程中，每个物块都受到大小恒为 \(4.0\,\text{N}\) 的摩擦力。

哪个物块更快到达地面？计算两者的最终速率，并解释为什么从相同高度出发并不足以保证它们具有相同的最终速率。

解答 4

物块 A 更快到达地面。它的速率约为 \(\boxed{5.2\,\text{m s}^{-1}}\)，而物块 B 的速率约为 \(\boxed{4.4\,\text{m s}^{-1}}\)。

两个物块开始时具有相同的重力势能：

\[
U_i=mgh
=(2.0)(9.8)(2.0)
=39.2\,\text{J}
\]

对于物块 A，摩擦力所做的功为

\[
W_{f,A}=-(4.0)(3.0)=-12\,\text{J}
\]

因此，

\[
K_{f,A}=39.2-12
=27.2\,\text{J}
\]

使用 \(K=\frac{1}{2}mv^2\)，

\[
27.2=\frac{1}{2}(2.0)v_A^2
\]

\[
v_A=\sqrt{27.2}
=5.22\,\text{m s}^{-1}
\]

对于物块 B，

\[
W_{f,B}=-(4.0)(5.0)=-20\,\text{J}
\]

所以

\[
K_{f,B}=39.2-20
=19.2\,\text{J}
\]

并且

\[
19.2=\frac{1}{2}(2.0)v_B^2
\]

\[
v_B=\sqrt{19.2}
=4.38\,\text{m s}^{-1}
\]

因此，

\[
\boxed{v_A\approx5.2\,\text{m s}^{-1}}
\]

以及

\[
\boxed{v_B\approx4.4\,\text{m s}^{-1}}
\]

一种很自然的预测是：相同的起始高度一定会产生相同的最终速率，因为两个物块损失的重力势能相同。但这只有在机械能守恒时才成立。

在这里，摩擦力作用的距离不同。路径越长，耗散的机械能越多，因此物块 B 到达底部时具有更少的动能。

问题 5

一个 \(0.20\,\text{kg}\) 的泡沫球以 \(18\,\text{m s}^{-1}\) 的初速度竖直向上发射。它到达距发射点 \(12\,\text{m}\) 的最大高度。

在发射瞬间，阻力大小为 \(0.60\,\text{N}\)。一名学生按下式计算阻力所做的功：

\[
W_{\text{drag}}=-(0.60)(12)=-7.2\,\text{J}
\]

解释为什么这种方法不成立，并求泡沫球上升过程中阻力实际所做的总功。取 \(g=9.8\,\text{m s}^{-2}\)。

解答 5

这名学生的方法不成立，因为 \(0.60\,\text{N}\) 的阻力只是某一个瞬间的力，并不一定代表整个上升过程中阻力的大小。阻力实际所做的总功为 \(\boxed{-8.88\,\text{J}}\)。

球的初始动能为

\[
K_i=\frac{1}{2}mv_i^2
=\frac{1}{2}(0.20)(18)^2
=32.4\,\text{J}
\]

在最大高度处，球的速率为零，因此最终动能为

\[
K_f=0
\]

它的重力势能增加了

\[
U_f=mgh
=(0.20)(9.8)(12)
=23.52\,\text{J}
\]

使用

\[
K_i+U_i+W_{\text{drag}}=K_f+U_f
\]

并取 \(U_i=0\)，

\[
32.4+W_{\text{drag}}=23.52
\]

因此，

\[
W_{\text{drag}}=23.52-32.4
=-8.88\,\text{J}
\]

所以，

\[
\boxed{W_{\text{drag}}=-8.88\,\text{J}}
\]

这名学生的计算假设 \(0.60\,\text{N}\) 的阻力在整个 \(12\,\text{m}\) 的运动过程中保持恒定。这个假设没有依据。阻力通常会随着球速率的变化而变化。

使用能量方法，就不需要知道每一个位置处的阻力。只要已知初始和最终机械能，它们的差值就能告诉我们阻力所做的总功。

12这个概念接下来会引向哪里

把阻力考虑进去后，机械能问题就会更接近真实情况。你可以分析为什么下落物体的运动速率比真空模型预测的更慢、制动距离如何取决于耗散的能量，以及为什么处在相同高度之间的两条不同路径会产生不同的最终速率。

下一步的重要内容，是把这种能量视角与力的视角联系起来。变化的阻力会改变物体的加速度，而同一个阻力所做的功又会改变物体的机械能。沿着这种联系继续研究，就会自然过渡到与速率有关的阻力、终端速度，以及更真实的流体中运动模型。