波的折射：速度、波长与方向的变化

一组笔直的水波波峰以一定角度到达一片浅水区域。每条波峰的一端先进入浅水。该端减速，而另一端仍在深水中以较快的速度运动。

预测一下会发生什么。波会继续沿原来的方向传播、转向边界，还是转向与边界垂直的直线？

它会转向这条垂直线，也就是所谓的法线。与此同时，相邻波峰之间的距离会变小。

方向和波长这两个变化都来自同一个原因：波速发生了变化。

01从波速变化开始

假设一个波从介质 1 传播到介质 2。

有三个物理量需要立即关注：

• \(v\)，波速，单位为米每秒（\(\text{m s}^{-1}\)）
• \(f\)，频率，单位为赫兹（\(\text{Hz}\)）
• \(\lambda\)，波长，单位为米（\(\text{m}\)）

它们之间的关系为

\[
v = f\lambda
\]

频率表示每秒有多少个完整的波动周期经过某一点。波长表示相邻两个波上对应点之间的距离，例如一个波峰到下一个波峰的距离。

现在设想波到达一个固定边界并减速。在 \(v=f\lambda\) 中，哪些量可以发生变化？

频率不会突然改变。入射波以一定的频率驱动边界，因此透射波也会以相同的频率产生。对于 HSC 物理中所考虑的静止边界，

\[
f_1 = f_2
\]

如果 \(f\) 保持不变，而 \(v\) 减小，那么 \(\lambda\) 也必须减小。

因此：

这是首先需要牢牢记住的一条规律：

在静止边界处，波速发生怎样的比例变化，波长也会发生相同比例的变化，而频率保持不变。

从数学上看，

\[
v_1=f\lambda_1
\]

以及

\[
v_2=f\lambda_2
\]

因此

\[
\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{v_2}{v_1}
\]

如果新的波速是原来波速的 70%，那么新的波长也会是原来波长的 70%。

02为什么方向会改变？

波速变化很容易解释波长变化。要解释弯折，还需要再进一步。

想象两个人一起抬着一根长长的泳池浮条，沿斜线从混凝土地面跑向茂密的草地。其中一个人先踏上草地并减速，而另一个人仍在混凝土地面上以较快速度运动。

在短暂的一段时间里，一端移动的距离比另一端更远。于是泳池浮条发生转动。

波前的行为与此类似。如果波前的一部分比其余部分更早进入新介质，那么这一部分会先改变速度。各部分运动距离不同，就会使波前发生转动。

这个类比很有用，但不要把它理解得过于字面化。波前并不是一根刚性的泳池浮条。它是一条连接波上处于相同振动阶段各点的线。

波的传播方向与波前垂直。我们通常用一条射线来表示这个方向。

于是，弯折规律可以表述为：

• 如果波减速，射线会向法线偏折
• 如果波加速，射线会远离法线偏折

法线是一条与边界成 \(90^\circ\) 的假想直线。

这一点很重要，因为折射角是相对于法线测量的，而不是相对于表面测量的。

一个重要例外：垂直入射

假设波沿法线方向直接接近边界。

波前的每一部分都会同时到达边界。没有任何一侧会先行，因此波前不会发生转动。

波速仍然可以改变。波长仍然可以改变。但传播方向不会改变。

所以，“波速变化会使波发生弯折”这一简化说法并不完整。

更准确的说法是：

当波以斜角穿过边界，并且波速发生变化时，波的传播方向会改变。

03把图像转化为斯涅尔定律

设：

• \(\theta_1\) 为入射角，从法线开始测量
• \(\theta_2\) 为折射角，从法线开始测量
• \(v_1\) 和 \(v_2\) 为波在两种介质中的传播速度

对于折射，

\[
\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}
=
\frac{v_1}{v_2}
\]

由于频率保持不变，并且 \(v=f\lambda\)，

\[
\frac{v_1}{v_2}
=
\frac{\lambda_1}{\lambda_2}
\]

因此也可以写成

\[
\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}
=
\frac{v_1}{v_2}
=
\frac{\lambda_1}{\lambda_2}
\]

这个方程把同一个物理过程中的三个方面联系了起来。

如果 \(v_2\theta_1\)。

步骤 2：应用斯涅尔定律。

\[
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2
\]

因此，

\[
\sin\theta_2
=
\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1
=
\frac{1.49}{1.33}\sin50.0^\circ
\]

\[
\sin\theta_2\approx0.858
\]

所以

\[
\theta_2\approx59.1^\circ
\]

角度增大，因此射线远离法线偏折。

步骤 3：把波长与波速联系起来。

由于

\[
v=\frac{c}{n}
\]

波速之比为

\[
\frac{v_2}{v_1}
=
\frac{n_1}{n_2}
=
\frac{1.49}{1.33}
\]

频率不变，因此波长也按相同的比例变化：

\[
\frac{\lambda_2}{\lambda_1}
=
\frac{1.49}{1.33}
\]

因此，

\[
\lambda_2
=
410\ \text{nm}\times\frac{1.49}{1.33}
\approx459\ \text{nm}
\]

光在水中的波长约为 \(459\ \text{nm}\)。

注意，没有发生的是：光源突然开始以不同的频率振动。频率保持不变。波长发生变化，是因为波速发生了变化。

04最容易导致折射错误的常见误解

“波减速了，所以频率也会降低”

这种说法听起来似乎合理，因为波速和频率都出现在 \(v=f\lambda\) 中。

问题在于，还有两个量可能发生变化。在静止边界处，频率由入射波的振动频率决定。真正发生调整的是波长。

所以，如果波速减半，

\[
v_2=\frac{1}{2}v_1
\]

那么

\[
\lambda_2=\frac{1}{2}\lambda_1
\]

而

\[
f_2=f_1
\]

“向法线偏折就是向表面偏折”

从几何上看，恰好相反。

法线与表面成 \(90^\circ\)，从表面向外伸出。射线向法线偏折时，意味着它与法线之间的夹角变小。

如果一个角度从 \(50^\circ\) 减小到 \(30^\circ\)，那么射线就是向法线偏折了。

“较慢的波发生弯折，是因为它损失了能量”

折射的根本原因是波穿过边界时波速发生变化，而不只是能量损失。

某些真实材料可能会吸收一部分波的能量，但斯涅尔定律描述的并不是吸收。即使能量损失可以忽略，波仍然可以发生折射。

“只要波速改变，传播方向就一定会改变”

垂直入射时并非如此。

如果波垂直于边界入射，整个波前会同时改变速度。它的波长会改变，但射线仍然沿直线继续前进。

“光波的波长变了，所以颜色一定也会改变”

光进入材料后，波长确实会改变，但频率保持不变。

对于普通可见光，用频率来确定光在电磁波谱中的位置更为合适。如果光之后回到原来的介质，它的速度和波长也会恢复到该介质中相应的数值。

05一个简洁的判断方法

当折射题给出两种介质之间的边界时，可以按照以下顺序处理：

1. 比较波速。 波是在加速还是减速？
2. 预测偏折方向。 变慢意味着向法线偏折。变快意味着远离法线偏折。
3. 保持频率不变。 对于这里讨论的静止边界，\(f_1=f_2\)。
4. 让波长随波速变化。 使用 \(v=f\lambda\) 或 \(\lambda_2/\lambda_1=v_2/v_1\)。
5. 如有需要，计算角度。 使用斯涅尔定律。
6. 用预测结果检查计算结果。 如果计算结果显示一个减速的波远离法线偏折，你应该立即怀疑计算出了问题。

最后这一步可以发现很多计算器输入错误和公式变形错误。

06问题与解答

问题 1

一个频率为 \(12\ \text{Hz}\) 的连续水波以 \(0.48\ \text{m s}^{-1}\) 的速度传播，然后垂直穿过边界，进入一个波速为 \(0.30\ \text{m s}^{-1}\) 的区域。

计算波在两个区域中的波长，说明穿过边界后的频率，并描述传播方向是否发生变化。

解答 1

波长从 \(0.040\ \text{m}\) 减小到 \(0.025\ \text{m}\)，频率仍为 \(12\ \text{Hz}\)，并且波的传播方向不发生变化。

在边界之前，

\[
\lambda_1=\frac{v_1}{f}
=\frac{0.48}{12}
=0.040\ \text{m}
\]

穿过边界之后，

\[
\lambda_2=\frac{v_2}{f}
=\frac{0.30}{12}
=0.025\ \text{m}
\]

边界是静止的，因此频率保持为 \(12\ \text{Hz}\)。

虽然波速发生了变化，但波是垂直入射的。整个波前同时到达边界，因此波前不会发生转动，传播方向也就不会改变。

一个很容易犯的错误是认为，只要波速改变，就一定会出现可见的弯折。

问题 2

一个波在介质 A 中的传播速度为 \(3.2\ \text{m s}^{-1}\)，在介质 B 中的传播速度为 \(2.4\ \text{m s}^{-1}\)。它的频率为 \(8.0\ \text{Hz}\)，并以相对于法线 \(45^\circ\) 的角度入射到边界。

计算波在两种介质中的波长以及折射角。

解答 2

波长从 \(0.40\ \text{m}\) 减小到 \(0.30\ \text{m}\)，波的折射角约为相对于法线 \(32^\circ\)。

波长分别为

\[
\lambda_A=\frac{v_A}{f}
=\frac{3.2}{8.0}
=0.40\ \text{m}
\]

以及

\[
\lambda_B=\frac{v_B}{f}
=\frac{2.4}{8.0}
=0.30\ \text{m}
\]

对于角度，

\[
\frac{\sin\theta_A}{\sin\theta_B}
=
\frac{v_A}{v_B}
\]

因此

\[
\sin\theta_B
=
\frac{2.4}{3.2}\sin45^\circ
\approx0.530
\]

所以，

\[
\theta_B
=
\sin^{-1}(0.530)
\approx32.0^\circ
\]

波速减小，而角度从 \(45^\circ\) 减小到 \(32^\circ\)。因此波向法线偏折，这与物理上的预测一致。

问题 3

一名学生观察到一个波进入第二种介质。在第二种介质中，波长变为原来的 \(75\%\)。入射角为 \(50^\circ\)。

学生说：“波长变短说明频率一定增大了。”

评价这一说法，并计算折射角。

解答 3

这名学生的说法不正确。频率保持不变，波速降低到原来的 \(75\%\)，折射角约为 \(35^\circ\)。

在静止边界处，

\[
f_2=f_1
\]

并且

\[
\frac{v_2}{v_1}
=
\frac{\lambda_2}{\lambda_1}
=0.75
\]

因此，波长变短是由波速降低造成的，而不是由频率升高造成的。

使用斯涅尔定律的波速形式，

\[
\sin\theta_2
=
\frac{v_2}{v_1}\sin\theta_1
\]

得到

\[
\sin\theta_2
=
0.75\sin50^\circ
\approx0.575
\]

因此，

\[
\theta_2
\approx35.1^\circ
\]

由于波进入了波速较低的介质，因此射线向法线偏折。

这一误解来自把 \(v=f\lambda\) 当成这样一个关系：只要其中一个量变化，就能自动判断另外两个量中的哪一个发生了变化。在作出这种判断之前，你需要先使用边界条件 \(f_1=f_2\)。

问题 4

在一次实验中，一组学生测量了一个波穿过静止边界时的数据。

他们得到：

• 入射角 \(=40^\circ\)
• 折射角 \(=25^\circ\)
• 入射波长 \(=12\ \text{cm}\)
• 折射波长 \(=8.0\ \text{cm}\)

判断这些角度测量值和波长测量值是否与同一个折射模型近似一致。

解答 4

是的。这两组测量数据分别给出约为 \(1.52\) 和 \(1.50\) 的波速比，因此它们近似一致。

根据斯涅尔定律，

\[
\frac{v_1}{v_2}
=
\frac{\sin40^\circ}{\sin25^\circ}
\]

\[
\frac{v_1}{v_2}
\approx
\frac{0.643}{0.423}
\approx1.52
\]

根据波长数据，由于频率不变，

\[
\frac{v_1}{v_2}
=
\frac{\lambda_1}{\lambda_2}
=
\frac{12}{8.0}
=1.50
\]

两个数值略有差异，这对于按题目所给精度进行舍入的实验测量来说是合理的。

两组测量也反映了同一个物理过程。介质 2 中的波速较低，波长较短，射线向法线偏折。

更深入的分析应该检查不同证据是否彼此一致，而不是只套用一个公式后就停止。

问题 5

一个波依次穿过三个区域。区域 A 和 C 中是同一种介质，波速均为 \(6.0\ \text{m s}^{-1}\)。两者之间有一块由介质 B 构成、两个表面互相平行的平行平板，其中波速为 \(4.0\ \text{m s}^{-1}\)。

波的频率为 \(10\ \text{Hz}\)，并从 A 进入介质 B，入射角为相对于法线 \(50^\circ\)。

计算：

• 波在 B 中的角度
• 波进入 C 后的角度
• 波在每个区域中的波长

一名学生声称：“因为第二个边界把第一次折射反转了，所以波离开时的情况完全就像这块平板从未存在过一样。”评价这一说法。

解答 5

波在 B 中的角度约为 \(30.7^\circ\)，进入 C 后以 \(50^\circ\) 的角度传播；在 A、B 和 C 中的波长分别为 \(0.60\ \text{m}\)、\(0.40\ \text{m}\) 和 \(0.60\ \text{m}\)。这名学生的说法只有部分正确，因为出射射线虽然与入射射线平行，但可能发生横向位移。

在第一个边界处，

\[
\sin\theta_B
=
\frac{v_B}{v_A}\sin\theta_A
\]

因此

\[
\sin\theta_B
=
\frac{4.0}{6.0}\sin50^\circ
\]

\[
\theta_B\approx30.7^\circ
\]

波减速，因此向法线偏折。

在第二个边界处，波重新进入波速与最初相同的介质。再次应用斯涅尔定律，

\[
\frac{\sin30.7^\circ}{\sin\theta_C}
=
\frac{4.0}{6.0}
\]

得到

\[
\theta_C\approx50^\circ
\]

因此，出射射线与入射射线平行。

各区域中的波长为

\[
\lambda_A=\frac{6.0}{10}=0.60\ \text{m}
\]

\[
\lambda_B=\frac{4.0}{10}=0.40\ \text{m}
\]

以及

\[
\lambda_C=\frac{6.0}{10}=0.60\ \text{m}
\]

整个过程中，频率始终保持为 \(10\ \text{Hz}\)。

这名学生说对了一点：当波重新进入原来类型的介质后，原来的角度和波长都会恢复。不过，由于波在 B 中以不同的角度传播，平行平板通常会使射线发生横向位移。因此，即使最终传播方向恢复了，平板仍然改变了波的传播路径。

问题 6

光从折射率为 \(1.50\) 的玻璃进入折射率为 \(1.00\) 的空气。光在玻璃中的入射角为 \(50^\circ\)。

一名学生把这些数值代入斯涅尔定律，得到

\[
\sin\theta_2=1.15
\]

他们因此得出结论：一定是计算器或斯涅尔定律出了问题。

解释这个结果实际上意味着什么。

解答 6

这个计算结果表示，在这个入射角下，不会有普通的折射光线进入空气。光会发生全反射，而不是由斯涅尔定律给出一个真实的折射角。

从

\[
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2
\]

开始，可得

\[
\sin\theta_2
=
\frac{1.50}{1.00}\sin50^\circ
\approx1.15
\]

但是，真实角度的正弦值不可能大于 1。

这并不是计算器出了问题。当光从折射率较高的玻璃进入折射率较低的空气时，它会远离法线偏折。随着入射角增大，折射角会逐渐接近 \(90^\circ\)。当入射角超过某一个特定值，也就是所谓的临界角之后，就不会再有传播进入第二种介质的折射光线。

这里的重要启示是，方程有其物理适用范围。一个数学上不可能的结果，可能正说明这种情况已经进入了另一个物理状态。

07折射还能帮助你理解什么

如果把方向和波长看作同一个原因造成的两个结果，折射就更容易梳理。

波到达一个边界。它的速度发生变化。频率由入射波决定，因此保持不变。于是波长发生变化。如果波以斜角穿过边界，波前的不同部分会在不同时间改变速度，从而使波前发生转动，并改变传播方向。

从这一条因果链出发，

\[
\text{波速变化}
\rightarrow
\text{波长变化}
\rightarrow
\text{斜入射时波前发生转动}
\]

你可以建立对斯涅尔定律的理解，而不是把它作为一个孤立的公式来死记硬背。

下一步很有用的做法，是把“远离法线偏折”的情况推到极限。当光从光速较慢的光学介质进入光速较快的介质时，折射角最终可以达到 \(90^\circ\)。这就直接引出了临界角和全反射，而它们本质上正是同一个折射模型在极限情况下的表现。