音高、响度与声波：HSC 物理指南

想象一个扬声器正在播放一个稳定的音。你把音量旋钮调大。声音明显变响了，但这个音并不会突然变高。

现在想象你保持音量不变，把声音从低沉的嗡鸣改成高亢的哨声。音高发生了变化，但声音不一定会变得更响。

那么，在这两种情况下，波究竟分别发生了什么变化？

想象一张图，表示扬声器前方某一点的空气压强随时间的变化。如果波形变得更高，但各个周期之间的间距保持不变，你会预测发生什么：音高更高、响度更大、两者都有，还是两者都没有？

最合理的初步预测是：响度更大，但音高不变。波的高度与它的振幅和强度有关，而周期之间的间距与频率有关。

这个简单模型非常有用。只要再加上一些必要的限定，它就能成为准确的物理描述。

01先从声波本身的运动说起

空气中的声音是一种纵向机械波。声波传播时，空气粒子会围绕其平衡位置前后振动。这种扰动会形成压强略高和略低的交替区域。

空气本身并不会从扬声器一路移动到你的耳朵。单个空气粒子主要只是在各自原来的位置附近来回振动，而能量则通过介质向前传递。

假设我们在某个固定位置测量声波经过时的压强，就可能得到一条类似正弦波的图线。

其中有两个特征尤其重要：

• 波形重复部分之间的水平间距告诉我们它的时间特征
• 压强变化的竖直大小告诉我们扰动的强弱

这两个特征会引导我们理解音高和响度，但它们本身并不等同于音高和响度。

02频率是决定音高的主要物理量

想象一下，你数一数每秒有多少个完整的压强周期经过你的耳朵。

如果每秒有 200 个完整周期到达，那么频率就是 \(200\ \text{Hz}\)。如果每秒有 800 个周期到达，那么频率就是 \(800\ \text{Hz}\)。

一赫兹，写作 Hz，表示每秒一个周期。

因此，频率为

\[
f = \frac{1}{T}
\]

其中：

• \(f\) 是频率，单位为赫兹，Hz
• \(T\) 是周期，单位为秒，s

周期是完成一次完整振动所需的时间。

对于简单的纯音，提高频率通常会产生更高的感知音高。降低频率则会产生更低的音高。

因此，一个 \(900\ \text{Hz}\) 的纯音比一个 \(300\ \text{Hz}\) 的纯音音高更高。

音高是一种感知，并不是频率的另一个名称

这个区别值得记住。

频率是波的一种可测量性质。音高则是听觉系统产生的感知。

对于简单音调，两者之间的联系足够强，因此 HSC 题目通常允许你直接根据频率判断音高。频率越高，音高越高。

真实声音可能更加复杂。一件乐器通常会同时产生许多频率。我们感知到的音高通常与基频或重复模式有关，而不同谐波的组合则有助于决定声音的音色。

所以，下面这句话很有用：

较高的频率通常会产生较高的音高。

但下面这句话过于粗略：

音高就是频率。

它们密切相关，但一个是物理量，另一个是感知。

03频率也会影响波长

频率通过波动方程与波长相联系：

\[
v = f\lambda
\]

其中：

• \(v\) 是波速，单位为米每秒，\(\text{m s}^{-1}\)
• \(f\) 是频率，单位为赫兹，Hz
• \(\lambda\) 是波长，单位为米，m

这里有一个常见陷阱。学生把扬声器的频率调高后，会认为声音一定传播得更快。

在相同条件下的同一片空气中，事实并非如此。

波速主要由介质的性质决定。如果 \(v\) 近似保持不变，而 \(f\) 增大，那么 \(\lambda\) 就必须减小。

因此，更高的音高并不意味着声音在房间里传播得更快。它意味着压强振动发生得更频繁，而且在同一种介质中，波长会更短。

04振幅表示扰动有多大

现在保持频率不变，并让压强变化变得更大。

振幅是振动相对于平衡位置的最大偏离量。

对于声波，你需要注意具体测量的是什么量。振幅可以指例如：

• 压强变化
• 粒子位移
• 粒子速度

在典型的声压图上，更高的波形表示更大的压强振幅。

你可以把这种区别想象成空气粒子进行一种有点笨拙的舞蹈。频率告诉你它们重复动作有多快，而振幅告诉你动作或压强变化有多大。

舞者可以每秒重复同一个动作两次，同时使用很小的动作，也可以使用很大的动作。动作变大并不意味着重复频率发生了变化。

这个类比并不完全准确，因为空气粒子之间通过力相互耦合，而且不同类型振幅之间的定量关系由波动规律决定。不过，它仍然有助于把“重复得有多快”和“扰动有多大”区分开。

05响度与振幅有关，但振幅并不等于响度

振幅更大的声波通常会以更高的速率传递能量。

这就引出了强度。

声强是波在单位面积上传递的功率：

\[
I=\frac{P}{A}
\]

其中：

• \(I\) 是强度，单位为瓦每平方米，\(\text{W m}^{-2}\)
• \(P\) 是功率，单位为瓦，W
• \(A\) 是面积，单位为平方米，\(\text{m}^2\)

对于在同一种介质中传播的同类波，强度与振幅的平方成正比。

对于压强振幅 \(p\)，

\[
I\propto p^2
\]

这个平方关系很重要。

如果压强振幅变为原来的两倍，强度并不只是变为两倍。

它会变成

\[
2^2=4
\]

倍。

如果压强振幅变为原来的三倍，强度就会变成

\[
3^2=9
\]

倍。

一个重要的限定

学生经常会写：

振幅越大，声音越响。

这是一个有用的初步模型，但它并不是严格的定义。

更大的声强通常会产生更大的感知响度，但响度是一种人类感知。它还取决于频率以及听者的听觉等因素。

人耳对不同频率的敏感程度并不相同。因此，两个测得强度相同但频率相差很大的声音，听起来不一定同样响。

比较稳妥的区分方式是：

06声强级采用对数尺度

人类可能接触到的声强范围非常大。如果把每一个强度都直接用 \(\text{W m}^{-2}\) 表示，很快就会变得不方便。

因此，声强级通常用分贝表示。

\[
L=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)
\]

其中：

• \(L\) 是声强级，单位为分贝，dB
• \(I\) 是声强，单位为 \(\text{W m}^{-2}\)
• \(I_0\) 是参考强度，通常取 \(1.0\times10^{-12}\ \text{W m}^{-2}\)

这个尺度是对数尺度。

这意味着，增加 \(10\ \text{dB}\) 对应的是强度乘以 10，而不是增加某个固定数量的 \(\text{W m}^{-2}\)。

增加 \(20\ \text{dB}\) 对应的强度倍数为

\[
10^{20/10}=100
\]

倍。

增加 \(30\ \text{dB}\) 对应的强度倍数为

\[
10^{30/10}=1000
\]

倍。

不要因此说“响度变成了 1000 倍”。强度和响度不是同一个量。

07能避免大多数错误的读图规则

当题目给出两张波形随时间变化的图时，要把水平信息和竖直信息分开处理。

对于音高：

1. 比较周期。
2. 周期越短，频率越高，因为 \(f=1/T\)。
3. 对于简单音调，频率越高，音高越高。

对于强度：

1. 比较振幅，并确认两张图表示的是同一个物理量，而且采用相同的刻度。
2. 在同一种介质中，压强振幅越大，强度越大。
3. 记住平方关系，\(I\propto p^2\)。

对于响度：

1. 强度越大，通常意味着响度越大。
2. 不要声称响度与强度完全相同。
3. 如果频率差异很大，要记住人类听觉的敏感度也会产生影响。

还有一个常见的读图陷阱。如果两张图的纵轴刻度不同，那么画得更高的波形并不一定具有更大的振幅。一定要查看坐标轴。

08四个听起来相似但含义不同的说法

“频率变为原来的两倍。”

每秒的振动次数变为原来的两倍。对于简单音调，音高会升高。在同一种介质中，波长减半。

“压强振幅变为原来的两倍。”

最大压强变化变为原来的两倍。在同一种介质中，强度变为原来的四倍。

“强度变为原来的两倍。”

每平方米通过的声功率变为原来的两倍。压强振幅会增大到原来的 \(\sqrt{2}\) 倍，而不是 2 倍。

“声强级增加了 \(10\ \text{dB}\)。”

物理强度变为原来的 10 倍。这并不意味着表示响度的数值增加了十倍。

把这些说法区分开来，可以避免很多麻烦。

09问题与解答

问题 1

一个纯音的周期为 \(2.5\times10^{-3}\ \text{s}\)。计算它的频率。另一个纯音的周期为 \(1.25\times10^{-3}\ \text{s}\)。哪一个音高更高？

解答 1

两个频率分别是 \(400\ \text{Hz}\) 和 \(800\ \text{Hz}\)，第二个纯音的音高更高。

频率与周期的关系为

\[
f=\frac{1}{T}
\]

对于第一个纯音，

\[
f_1
=\frac{1}{2.5\times10^{-3}}
=400\ \text{Hz}
\]

对于第二个纯音，

\[
f_2
=\frac{1}{1.25\times10^{-3}}
=800\ \text{Hz}
\]

第二个频率是第一个的两倍，因此，一个 \(800\ \text{Hz}\) 的简单纯音具有更高的音高。

重要的是，音高是根据频率判断的，而不是根据波形的高度判断的。

问题 2

一个在空气中传播的声波，其压强振幅为 \(0.020\ \text{Pa}\)。调整声源后，压强振幅变为 \(0.060\ \text{Pa}\)，而频率保持不变。

强度变为原来的多少倍？音高发生什么变化？

解答 2

强度增加到原来的 9 倍，而音高保持不变。

压强振幅的变化倍数为

\[
\frac{0.060}{0.020}=3
\]

对于在同一种介质中传播的声音，

\[
I\propto p^2
\]

所以

\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2
=3^2
=9
\]

因此，强度变为原来的九倍。

频率没有发生变化，所以音高也不会改变。由于强度增大，这个声音通常会被感知为更响。

一个很容易犯的错误是：因为振幅变为三倍，就认为强度也变为三倍。强度与压强振幅的平方成正比。

问题 3

两个声音的声强级分别为 \(40\ \text{dB}\) 和 \(80\ \text{dB}\)。

一名学生说：“第二个声音的强度是第一个的两倍，因为 \(80\) 是 \(40\) 的两倍。”

计算实际的强度比，并解释这个错误。

解答 3

\(80\ \text{dB}\) 的声音强度是 \(40\ \text{dB}\) 声音的 \(10\,000\) 倍，而不是两倍。

声强级之差为

\[
\Delta L=80-40=40\ \text{dB}
\]

使用

\[
\Delta L
=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right)
\]

代入得

\[
40
=10\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right)
\]

所以

\[
4
=\log_{10}\left(\frac{I_2}{I_1}\right)
\]

因此

\[
\frac{I_2}{I_1}
=10^4
=10\,000
\]

这名学生的错误在于把分贝尺度当成了线性尺度。实际上它是对数尺度。

如果因此得出第二个声音的响度是第一个的 \(10\,000\) 倍，也是不正确的。计算得到的是强度比，而响度是一种感知。

问题 4

两个纯音在同一片空气中传播。

• 音 A 的频率为 \(300\ \text{Hz}\)，强度为 \(2.0\times10^{-6}\ \text{W m}^{-2}\)。
• 音 B 的频率为 \(900\ \text{Hz}\)，强度为 \(2.0\times10^{-6}\ \text{W m}^{-2}\)。

一名学生得出结论：“音 B 的音高是音 A 的三倍，而且响度与音 A 完全相同。”

评价这名学生结论中的两个部分。

解答 4

可以确定音 B 的音高更高，但仅凭所给信息，无法得出两个声音在感知上响度完全相同的结论。

音 B 的频率为 \(900\ \text{Hz}\)，而音 A 为 \(300\ \text{Hz}\)。前者的频率是后者的三倍。

对于简单音调，较高的频率对应较高的音高。但是，说它具有“三倍的音高”并不是一个恰当的物理描述，因为音高是一种感知，而不是以赫兹表示的简单线性物理量。更准确的说法是，音 B 的频率是音 A 的三倍，而且它的感知音高更高。

两者的强度相等：

\[
I_A=I_B=2.0\times10^{-6}\ \text{W m}^{-2}
\]

但是，物理强度相等并不能保证感知响度相等。除其他因素外，人类听觉的敏感度还取决于频率。

这个陷阱在于，把音高和响度都当成只是频率和强度的另一种单位。实际上，它们是与这些物理量相关的感知反应，而不是与这些物理量完全相同的东西。

问题 5

一名声音工程师在同一种介质中记录两个纯音。

音 X 的压强振幅是音 Y 的两倍。音 Y 的声强级为 \(55\ \text{dB}\)。

工程师声称，音 X 的声强级一定是 \(110\ \text{dB}\)，因为它的振幅是两倍。

求音 X 的实际声强级。

解答 5

音 X 的声强级约为 \(61\ \text{dB}\)，而不是 \(110\ \text{dB}\)。

由于压强振幅变为两倍，

\[
\frac{p_X}{p_Y}=2
\]

并且由于

\[
I\propto p^2
\]

强度比为

\[
\frac{I_X}{I_Y}
=2^2
=4
\]

现在计算声强级的变化：

\[
\Delta L
=10\log_{10}\left(\frac{I_X}{I_Y}\right)
=10\log_{10}(4)
\]

\[
\Delta L
\approx10(0.602)
\approx6.02\ \text{dB}
\]

因此，

\[
L_X
=55+6.02
\approx61\ \text{dB}
\]

工程师的错误是认为当振幅变为两倍时，分贝数值也应该乘以两倍。这里涉及两个非线性关系：强度与振幅的平方成正比，而分贝又与强度的对数有关。

问题 6

一个麦克风记录同一个声源在两种不同设置下产生的声音。

在第一种设置下，声音的频率为 \(500\ \text{Hz}\)，压强振幅为 \(p\)。

在第二种设置下，频率为 \(1000\ \text{Hz}\)，压强振幅为 \(2p\)。

两种声音都在同一片空气中传播。

一名学生说：“第二种设置的音高是两倍，强度也是两倍。”

指出哪些结论可以可靠地得出，并纠正这名学生的推理。

解答 6

第二种设置的音高更高，而且强度是原来的四倍。它的频率是原来的两倍，但把它的音高描述为恰好是两倍并不是严谨的结论。

首先比较频率：

\[
\frac{f_2}{f_1}
=
\frac{1000}{500}
=2
\]

频率变为原来的两倍。对于纯音，因此第二种设置具有更高的感知音高。

音高本身是一种感知，所以准确的定量说法应该是频率变为原来的两倍，而不是音高变为原来的两倍。

现在比较压强振幅：

\[
\frac{p_2}{p_1}=2
\]

由于两种波都在同一种介质中传播，

\[
I\propto p^2
\]

所以

\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^2
=2^2
=4
\]

因此，第二种设置的强度是原来的四倍，而不是两倍。

这两个变化是彼此独立的信息。频率的变化决定音高的主要变化，而压强振幅的变化决定强度的变化。

10接下来可以进一步理解什么

一个很有用的习惯，是把三个层次分开。

第一，用频率、波长、振幅和强度等物理量描述波本身。

第二，使用把这些物理量联系起来的物理规律：

\[
v=f\lambda
\]

以及在相关条件相同的情况下，

\[
I\propto p^2
\]

第三，把物理声波与感知联系起来。频率是决定音高的主要线索。强度是影响响度的重要因素，但这两种感知都不能简单地当作对应波动物理量的另一个名称。

一旦把这些层次区分清楚，谐波、共振、驻波和乐器音色等概念就会容易理解得多。你可以分别提出两个问题，而不会把它们混在一起：声音中存在哪些频率，以及声音的每个部分分别携带多少能量？