HSC 物理中的声波干涉与叠加

把两个扬声器相隔几米放置，让它们播放同一个稳定的音调，然后在房间里横向走动。你可能会以为，由于两个扬声器一直都在发声，听到的声音应该大致保持不变。然而，你会经过一些位置，在那里音调先变得更响，接着又出奇地安静，然后再次变响。

继续阅读之前，先预测一下那些安静位置上发生了什么。声音是否以某种方式消失了，还是两个声波以某种方式同时到达，使它们的效果相互抵消？

第二种解释才是有用的。声波可以在同一时刻占据空气中的同一区域。当这种情况发生时，它们引起的压强变化会相加。根据波之间的相对位置，这种相加可能形成更大的扰动，也可能形成更小的扰动。

这就是叠加与干涉之间的联系。

01当两个声波重叠时会发生什么？

声波在空气中传播时，会产生压强略高和略低的区域，并交替出现。

在某一个固定位置，我们可以用相对于正常大气压的压强变化来描述声波。压缩区对应正的压强变化，而稀疏区对应负的压强变化。

现在想象两个声波恰好在同一时刻到达你的耳朵。

假设波 1 产生 \(+2\text{ Pa}\) 的压强变化，而波 2 产生 \(+3\text{ Pa}\) 的压强变化。空气不需要在两者之间“选择”。这两个压强变化会相加：

\[
p_{\text{net}} = p_1 + p_2 = 2 + 3 = 5\text{ Pa}
\]

这里，\(p_{\text{net}}\) 是总压强变化，而 \(p_1\) 和 \(p_2\) 是各个声波分别造成的压强变化。

这就是叠加原理：

当波发生重叠时，每一点的合扰动等于各个波所造成扰动的代数和。

“代数和”这个词很重要。正扰动和负扰动可以相互抵消。

如果一个波产生 \(+3\text{ Pa}\)，而另一个波产生 \(-3\text{ Pa}\)，

\[
p_{\text{net}} = 3 + (-3) = 0\text{ Pa}
\]

在这一瞬间和这一位置，压强扰动为零。

一种简单的理解方式，是想象两个人同时改变同一个银行账户的余额。一个人存入 3 美元，而另一个人花掉 3 美元。虽然两笔交易都真实发生了，但净变化为零。不过，这个类比有其局限，因为声波是携带能量的物理扰动，而不是金钱，并且声波在重叠之后仍会继续传播。

02相长干涉使合成波变大

考虑两个完全相同的声波。

如果它们的压缩区同时到达，稀疏区也同时到达，那么这两个波就是同相的。

如果每个波的压强振幅都是 \(A\)，它们的压强变化会相互加强：

\[
A + A = 2A
\]

这就是相长干涉。

关键并不只是“两个声音会形成一个更响的声音”。它们必须以正确的相对相位到达。

对于两个振幅相等的正弦波：

对于振幅相等并发生完全相长干涉的波，压强振幅会变为原来的两倍。

但这并不意味着所有关于声音的物理量都会简单地变为两倍。声强与压强振幅的平方成正比，因此，对于理想的相干波，如果压强振幅变为两倍，那么在该位置的声强可以达到任意一个单独声波所产生声强的四倍。

03相消干涉可以使声音变小

现在把其中一个波移动半个周期。

每当一个波产生压缩区时，另一个波都会产生与之对应的稀疏区。它们相差 \(180^\circ\)，也就是 \(\pi\) 弧度。

对于振幅相等的波，

\[
A + (-A) = 0
\]

这就是完全相消干涉。

不过，这一说法有两个重要限制。

第一，完全抵消要求两个波的振幅相等。如果一个压强波的振幅为 \(0.30\text{ Pa}\)，另一个为 \(0.20\text{ Pa}\)，那么即使它们相位相反，合振幅仍为 \(0.10\text{ Pa}\)，而不是零。

第二，在某一个位置发生抵消，并不意味着这些波在所有地方都被“消灭”了。其他位置可能发生相长干涉。系统中的能量并没有简单地消失。

一个常见错误，是把两个波想象成像两辆购物手推车相撞那样，互相撞上后就停止。这并不是普通声波的行为方式。在重叠期间，它们的扰动会相加。重叠之后，每个波仍会继续传播。

04为什么走动时听到的声音会发生变化

缺少的关键概念是程差。

想象两个扬声器 \(S_1\) 和 \(S_2\) 连接到同一个信号发生器，因此它们产生相同的频率，并且每个周期都以同相开始。

一名听者站在 \(P\) 点。

如果两个扬声器到 \(P\) 点的距离分别为 \(r_1\) 和 \(r_2\)，那么程差为

\[
\Delta r = |r_2-r_1|
\]

其中：

• \(\Delta r\) 是程差，单位为米
• \(r_1\) 和 \(r_2\) 是两个波传播的距离，单位为米。

为什么距离差会产生影响？

一个波每经过一个波长就重复一次。如果一个波恰好多传播一个完整波长，那么它到达时会比另一个波落后一个完整周期。由于一个完整周期会使它回到原来的相位，因此两者仍然同相。

如果它多传播半个波长，那么它到达时就会落后半个周期。于是，一个波的压缩区会与另一个波的稀疏区重合。

对于一开始同相的两个波源：

\[
\Delta r = m\lambda
\]

会产生相长干涉，而

\[
\Delta r = \left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda
\]

会产生相消干涉。

这里：

• \(\Delta r\) 是程差，单位为米
• \(\lambda\) 是波长，单位为米
• \(m\) 是任意非负整数：\(0,1,2,3,\ldots\)

因此，当程差为

\[
0,\lambda,2\lambda,3\lambda,\ldots
\]

时会发生相长干涉，而当程差为

\[
\frac{\lambda}{2},\frac{3\lambda}{2},\frac{5\lambda}{2},\ldots
\]

时会发生相消干涉。

注意，只有因为我们已经说明两个波源一开始同相，\(\Delta r=0\) 才对应相长干涉。稍后我们会再次讨论这个假设。

05把程差与频率联系起来

题目通常不会直接给出波长。

对于任何波，

\[
v=f\lambda
\]

其中：

• \(v\) 是波速，单位为米每秒
• \(f\) 是频率，单位为赫兹
• \(\lambda\) 是波长，单位为米。

因此，

\[
\lambda=\frac{v}{f}
\]

知道波长之后，就可以把程差与 \(\lambda\) 的分数或倍数进行比较。

06程差实际上是在改变相位

程差规则之所以成立，是因为多传播一段距离会改变波到达时所处的周期位置。

对于一开始同相的波源，由程差引起的相位差为

\[
\Delta \phi = 2\pi\frac{\Delta r}{\lambda}
\]

其中，\(\Delta\phi\) 是以弧度表示的相位差。

例如：

• \(\Delta r=0\) 对应 \(\Delta\phi=0\)
• \(\Delta r=\frac{\lambda}{4}\) 对应 \(\Delta\phi=\frac{\pi}{2}\)
• \(\Delta r=\frac{\lambda}{2}\) 对应 \(\Delta\phi=\pi\)
• \(\Delta r=\lambda\) 对应 \(\Delta\phi=2\pi\)，这等效于重新回到同相状态。

由此可以得到一个很实用的判断规则：

不要只问听者与扬声器之间相距多远。要问其中一个波比另一个波多传播了多少距离，并以波长为单位来衡量这个距离。

07波源的初始相位可以改变答案

下面有一个很容易让人产生误判的情况。

两个扬声器与你的距离完全相同。既然程差为零，它们当然应该发生相长干涉，对吗？

只有当两个扬声器本身发出的波是同相时，这才成立。

假设第二个扬声器每个周期都比第一个扬声器晚半个周期开始。两个波源本身就已经相差 \(180^\circ\)。相等的传播距离不会消除这个相位差，因此两个波到达时仍然相差 \(180^\circ\)，并发生相消干涉。

这就是为什么一个严谨的干涉题目应该告诉你，或者让你能够推断出，两个波源之间的相位关系。

08稳定的干涉需要相干波源

假设两部手机都被设置为播放 \(500\text{ Hz}\) 的音调。这是否会自动形成清晰、稳定不动的响声位置和安静位置分布？

不一定。

要形成稳定的干涉图样，波源需要是相干的。相干波源具有：

• 相同的频率，以及
• 恒定的相位差。

由同一个信号驱动的两个扬声器可以很好地满足这一条件。两个彼此独立、相对相位不断漂移的波源则无法保持相同的干涉图样。

这也解释了为什么“两个声音具有相同频率”这一条件还不够。它们的相对相位也必须保持可预测。

09完全抵消是一种理想情况

学生经常把相消干涉学成“振幅相减”，然后不知不觉开始认为相消干涉总是意味着完全无声。

事实并非如此。

要发生完全抵消，需要同时满足几个条件：

• 两个波必须具有相同的频率
• 它们在该位置的相位差必须为 \(180^\circ\)
• 它们在该位置的振幅必须相等。

如果振幅不相等，就只能发生部分抵消。

如果相位差不是恰好 \(180^\circ\)，也只能发生部分抵消。

真实房间中还存在来自墙壁、地板、家具和天花板的反射。这意味着到达你耳朵的声音可能包含不止两个简单的声波。理想的双波源模型仍然非常有用，但它描述的是主要的物理规律，并不意味着真实房间中一定会存在完全无声的位置。

10问题与解答

问题 1

两个同相扬声器产生频率为 \(425\text{ Hz}\) 的声音。取声速为 \(340\text{ m s}^{-1}\)。一名听者所在的位置使得其中一个声波比另一个多传播 \(0.40\text{ m}\)。

判断听者位于相长干涉位置还是相消干涉位置。

解答 1

听者位于相消干涉位置。

首先求波长：

\[
\lambda=\frac{v}{f}
=\frac{340\text{ m s}^{-1}}{425\text{ Hz}}
=0.80\text{ m}
\]

程差为

\[
\Delta r=0.40\text{ m}
=\frac{0.80}{2}\text{ m}
=\frac{\lambda}{2}
\]

对于一开始同相的两个波源，半个波长的程差会使两个波到达时相差 \(180^\circ\)。

因此，这两个波发生相消干涉。如果它们到达听者位置时的振幅相等，那么理想模型预测会发生完全抵消。

问题 2

两个相干、同相的扬声器产生波长为 \(0.60\text{ m}\) 的声音。在 \(P\) 点，两个扬声器到该点的距离分别为 \(3.20\text{ m}\) 和 \(4.40\text{ m}\)。

判断 \(P\) 点发生哪一种干涉，并解释你的理由。

解答 2

两个波在 \(P\) 点发生相长干涉。

程差为

\[
\Delta r=|4.40-3.20|
=1.20\text{ m}
\]

将它与波长进行比较：

\[
\frac{\Delta r}{\lambda}
=\frac{1.20}{0.60}
=2
\]

因此，

\[
\Delta r=2\lambda
\]

第二个波比第一个波恰好多传播了两个完整波长。两个完整周期不会改变它们的相对相位，因此两个波到达时仍然同相。

所以，它们会相互加强，产生相长干涉。

问题 3

两个频率相同的声波到达一个麦克风时相差 \(180^\circ\)。它们的压强振幅分别为 \(0.30\text{ Pa}\) 和 \(0.20\text{ Pa}\)。

一名学生说：“它们反相，所以麦克风记录到的声压振幅一定为零。”

评价这名学生的说法，并计算合压强振幅。

解答 3

这名学生的说法不正确。合压强振幅为 \(0.10\text{ Pa}\)。

要发生完全相消干涉，两个波不仅必须相差 \(180^\circ\)，而且振幅还必须相等。

这里，两个压强扰动方向相反，因此振幅相减：

\[
A_{\text{resultant}}
=|A_1-A_2|
=|0.30-0.20|
=0.10\text{ Pa}
\]

两个波确实发生了相消干涉，但抵消只是部分的。

容易犯的错误，是把“相消干涉”当作“完全抵消”的另一种说法。相消干涉的意思是两个波使合振幅减小。只有当两个方向相反的振幅大小相等时，合振幅才会变为零。

问题 4

两个相干扬声器的连接方式使它们产生相同的频率，但在波源处恰好相差 \(180^\circ\)。

对以下每种情况，判断发生的是相长干涉还是相消干涉。

(a) 一名听者与两个扬声器的距离相同。

(b) 听者移动到一个程差为 \(\frac{\lambda}{2}\) 的位置。

解答 4

在与两个扬声器距离相等的位置，发生相消干涉；而当程差为 \(\frac{\lambda}{2}\) 时，发生相长干涉。

对于 (a)，距离相等意味着

\[
\Delta r=0
\]

因此，传播过程不会额外引入相对相位差。两个波会保留原本的 \(180^\circ\) 相位差，以反相状态到达。

因此发生相消干涉。

对于 (b)，其中一个波多传播半个波长。这又引入了一个 \(180^\circ\) 的相位变化。

因此，总的相对相位变化等效于

\[
180^\circ+180^\circ=360^\circ
\]

而 \(360^\circ\) 的相位差等效于同相。

因此发生相长干涉。

这道题揭示了常见程差规则中一个重要的假设。相长干涉条件 \(\Delta r=m\lambda\) 和相消干涉条件 \(\Delta r=(m+\frac12)\lambda\) 都假设两个波源本身一开始同相。如果两个波源一开始相差 \(180^\circ\)，这两个条件就会互换。

问题 5

两个同相扬声器产生频率为 \(680\text{ Hz}\) 的音调。取声速为 \(340\text{ m s}^{-1}\)。在某一位置，程差为 \(0.25\text{ m}\)。

(a) 判断该位置的干涉类型。

然后保持扬声器和听者的位置不变，但把频率提高到 \(850\text{ Hz}\)。

(b) 此时同一位置是最大相长干涉点、最大相消干涉点，还是两者都不是？

解答 5

在 \(680\text{ Hz}\) 时，该位置发生最大相消干涉。在 \(850\text{ Hz}\) 时，它既不是最大值位置，也不是最小值位置。

对于 (a)，原来的波长为

\[
\lambda=\frac{v}{f}
=\frac{340\text{ m s}^{-1}}{680\text{ Hz}}
=0.500\text{ m}
\]

程差为

\[
\Delta r=0.25\text{ m}
=\frac{\lambda}{2}
\]

对于同相波源，半个波长的程差会产生最大相消干涉。

对于 (b)，新的波长为

\[
\lambda=\frac{340\text{ m s}^{-1}}{850\text{ Hz}}
=0.400\text{ m}
\]

实际的程差并没有改变，因此

\[
\frac{\Delta r}{\lambda}
=\frac{0.25}{0.400}
=0.625
\]

所以，

\[
\Delta r=0.625\lambda
\]

这既不是整数个波长，也不是半波长的奇数倍。

因此两个波到达时只是部分不同相，产生的是部分干涉，而不是最大值或最小值。

这里隐藏的陷阱，是认为一个安静的位置在频率改变后仍然会保持安静。几何位置虽然没有改变，但波长改变了，因此相位关系也会随之改变。

问题 6

两个扬声器由同一个信号驱动，原本设计为同相地产生振幅相等的声音。一名学生找到一个位置，在那里到两个扬声器的距离之差恰好等于计算所得波长的一半。测得的声音比附近位置更小，但远没有接近零。

这名学生因此得出结论：叠加原理一定失效了。

在不否定叠加原理的前提下，给出两个在物理上合理的解释。

解答 6

叠加原理并没有失效。最可能的解释是，到达测量点的总声音实际上并没有满足完全抵消所需的条件。

一种可能性是，两个波在测量点的振幅并不相等。程差为 \(\frac{\lambda}{2}\) 可以使两个波相差 \(180^\circ\)，但如果方向相反的两个振幅大小不同，合振幅就不会为零。

例如，如果到达时的压强振幅分别为 \(A_1\) 和 \(A_2\)，那么

\[
A_{\text{resultant}}=|A_1-A_2|
\]

只有在 \(A_1=A_2\) 时结果才会为零。

第二种可能性是，反射声也到达了测量点。来自墙壁、地板或其他表面的反射会形成额外的波，这些波具有不同的传播距离和相位。因此，麦克风测量到的是不止两个直达波的叠加结果。

其他合理的实验因素还可能包括：所采用的声速值存在小误差、扬声器之间存在相位差，或者信号并非完全是单一频率。

关键在于，叠加原理说明所有扰动都会相加。只有当所需的振幅和相位条件都满足时，它才会产生完全抵消。

11从双波干涉到驻波

一旦你能够分析相位和程差，HSC 波动物理中更重要的一部分内容也会更容易理解。

如果两个频率相同的相干波沿相反方向传播，它们反复发生的相长干涉和相消干涉可以形成振幅最大和最小的固定位置。这些位置就是驻波的波腹和波节。

这就是接下来很有用的一步：同一个叠加原理不仅能解释为什么两个扬声器可以形成声音较响和较安静的区域，也能解释驻波、共振以及声波在管内形成的各种图样。