التردد والزمن الدوري في فيزياء HSC: استخدام f = 1/T

يكمل جسم مهتز دورة كاملة كل 0.20 s. ويكمل جسم آخر دورة كاملة كل 0.50 s. أيهما له تردد أكبر؟

يمكنك على الأرجح ملاحظة أن الجسم الأول يكمل دوراته بمعدل أسرع. لكن في فيزياء HSC لا يكفي أن نقول إنه «أسرع». نحتاج إلى عدد يخبرنا بدقة بعدد مرات تكرار الحركة.

وهذا ما يفعله التردد. فهو يحسب عدد الدورات في الثانية. أما الزمن الدوري فيصف الحركة المتكررة نفسها من منظور آخر: إذ يقيس الزمن الذي تستغرقه دورة واحدة.

هاتان الكميتان مقلوبتان لبعضهما، وهو ما يعطينا إحدى أبسط العلاقات وأكثرها فائدة في الفيزياء:

\[
f = \frac{1}{T}
\]

المعادلة سهلة. أما تفسيرها بصورة صحيحة فهو الجزء الذي يسبب ارتباكًا لبعض الطلاب أحيانًا.

01ابدأ بتصوّر دورة كاملة واحدة

تخيّل كتلة معلّقة بنابض. اسحبها إلى أسفل ثم اتركها.

تتحرك:

1. من أسفل موضع،
2. مرورًا بالمنتصف،
3. إلى أعلى موضع،
4. ثم تعود مرورًا بالمنتصف،
5. وأخيرًا تصل إلى أسفل موضع مرة أخرى.

عندها فقط تكون قد أكملت دورة كاملة واحدة.

لنفترض أن هذه الدورة الكاملة تستغرق 0.40 s.

قبل أن تواصل القراءة، توقّع الآتي: كم دورة كاملة ستؤديها الكتلة في ثانية واحدة؟

تستغرق دورة واحدة 0.40 s، ولذلك تستغرق دورتان 0.80 s. وفي ثانية واحدة، ستكمل \(2.5\) دورة.

إذن ترددها هو \(2.5\) دورة في الثانية.

ونعطي عدد الدورات في الثانية وحدة خاصة:

\[
1\text{ Hz} = 1\text{ دورة في الثانية}
\]

إذن تردد الكتلة هو \(2.5\text{ Hz}\).

لاحظ أن التردد لا يلزم أن يكون عددًا صحيحًا. فالتردد \(2.5\text{ Hz}\) يعني أن الحركة تكمل، في المتوسط، 2.5 دورة كل ثانية.

02الزمن الدوري والتردد يصفان التكرار نفسه

الزمن الدوري، \(T\)، هو الزمن اللازم لإكمال دورة كاملة واحدة.

التردد، \(f\)، هو عدد الدورات الكاملة في الثانية.

هاتان ليستا كميتين منفصلتين لا علاقة بينهما. بل هما طريقتان لوصف العملية المتكررة نفسها.

إذا كانت كل دورة تستغرق زمنًا طويلًا، فلن يتسع ضمن ثانية واحدة عدد كبير من الدورات. ويكون التردد منخفضًا.

وإذا كانت كل دورة تستغرق زمنًا قصيرًا جدًا، فسيتسع ضمن ثانية واحدة عدد كبير من الدورات. ويكون التردد مرتفعًا.

هذه العلاقة العكسية تعطينا:

\[
f = \frac{1}{T}
\]

حيث:

• \(f\) هو التردد بوحدة الهرتز (Hz)،
• \(T\) هو الزمن الدوري بوحدة الثانية (s).

ويمكنك إعادة ترتيب العلاقة نفسها لإيجاد الزمن الدوري:

\[
T = \frac{1}{f}
\]

لا توجد في المعادلة الثانية فيزياء جديدة. فهي مجرد إعادة ترتيب للمعادلة الأولى.

03لماذا تنجح العلاقة \(f = \frac{1}{T}\)؟

لنفترض أن دورة واحدة تستغرق \(0.25\text{ s}\).

كم فترة مقدارها \(0.25\text{ s}\) تتسع داخل ثانية واحدة؟

\[
\frac{1\text{ s}}{0.25\text{ s لكل دورة}} = 4\text{ دورات}
\]

إذن تردد الحركة هو \(4\text{ Hz}\).

المعادلة \(f = 1/T\) تجري ببساطة عملية القسمة هذه.

كما توضّح الوحدات الفكرة أيضًا:

\[
f = \frac{1}{T}
= \frac{1}{\text{s}}
= \text{s}^{-1}
\]

الهرتز مكافئ لـ \(\text{s}^{-1}\). وفي هذا السياق، يعني ذلك «في كل ثانية».

إذن \(8\text{ Hz}\) تعني \(8\) دورات في الثانية.

04أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: الخلط بين العددين

لنفترض أن لموجة ترددًا قدره \(5\text{ Hz}\).

قد يقول طالب: «زمنها الدوري هو \(5\text{ s}\).»

قد يبدو هذا الخطأ منطقيًا لأن الكميتين تصفان التكرار. لكنهما تصفان شيئين مختلفين.

التردد \(5\text{ Hz}\) يعني:

أن خمس دورات تتسع في ثانية واحدة.

إذا كانت خمس دورات متساوية تتسع في ثانية واحدة، فلا بد أن تستغرق كل دورة منفردة خُمس ثانية فقط:

\[
T = \frac{1}{f}
= \frac{1}{5\text{ Hz}}
= 0.20\text{ s}
\]

إذن:

• \(f = 5\text{ Hz}\)،
• \(T = 0.20\text{ s}\).

ومن المفيد إجراء هذا التحقق السريع:

يجب أن يقابل التردد المرتفع زمن دوري قصير. ويجب أن يقابل التردد المنخفض زمن دوري طويل.

إذا أعطاك حسابك ترددًا مرتفعًا جدًا وزمنًا دوريًا طويلًا جدًا في الوقت نفسه، فهناك خطأ ما.

فكّر في مروحة سقف دوارة. إذا كانت، بطريقة ما، تكمل 20 دورة كل ثانية، فمن الواضح أن الدورة الواحدة لا يمكن أن تستغرق 20 ثانية. العددان يتغيران في اتجاهين متعاكسين.

05التردد يتعلق بالدورات الكاملة

قد يبدو عدّ الدورات بسيطًا إلى أن تُمثّل الحركة على رسم بياني.

في الحركة الاهتزازية، لا تعني الدورة الواحدة مجرد «الانتقال من أحد الجانبين إلى الجانب الآخر». بل يجب أن يعود الجسم إلى المرحلة نفسها من حركته.

فعلى سبيل المثال، الانتقال من إزاحة عظمى إلى الإزاحة العظمى التالية يمثل دورة كاملة واحدة.

وكذلك:

• من إزاحة صغرى إلى الإزاحة الصغرى التالية،
• من عبور صاعد لموضع الاتزان إلى العبور الصاعد التالي لموضع الاتزان.

لكن الانتقال من إزاحة عظمى إلى الإزاحة الصغرى التالية لا يمثل إلا نصف دورة.

وهذا مهم عند إيجاد الزمن الدوري من رسم بياني. قِس المسافة الزمنية بين نقطتين متماثلتين في دورتين متتاليتين.

06يمكن أن يعطي قياس عدة دورات زمنًا دوريًا أدق

في التجربة، قد يؤدي قياس دورة قصيرة واحدة إلى تضخيم خطأ التوقيت.

لنفترض أنك تقيس زمن عشر اهتزازات لبندول وتحصل على \(16.0\text{ s}\). الزمن الدوري ليس \(16.0\text{ s}\)، لأن هذا كان الزمن اللازم لعشر دورات.

بدلًا من ذلك:

\[
T = \frac{\text{الزمن الكلي}}{\text{عدد الدورات}}
= \frac{16.0\text{ s}}{10}
= 1.60\text{ s}
\]

ثم:

\[
f = \frac{1}{1.60\text{ s}}
= 0.625\text{ Hz}
\]

غالبًا ما تكون هذه طريقة تجريبية أكثر موثوقية لأن خطأً صغيرًا في زمن الاستجابة يتوزع على عدد كبير من الدورات بدلًا من أن يهيمن على قياس دورة واحدة.

لكن هناك افتراضًا ضمنيًا هنا: يجب أن تكون الحركة دورية بدرجة معقولة. فإذا استغرقت كل دورة زمنًا مختلفًا جدًا، فلن يعود زمن دوري واحد وصفًا كاملًا للحركة.

07قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار

عندما يظهر سؤال عن التردد والزمن الدوري، اسأل أولًا عمّا يصفه العدد بالفعل.

• إذا أُعطيت الزمن اللازم لدورة واحدة، فلديك \(T\).
• إذا أُعطيت عدد الدورات في الثانية، فلديك \(f\).
• إذا أُعطيت الزمن الكلي لعدة دورات، فاقسمه أولًا على عدد الدورات لإيجاد \(T\).
• إذا كنت تقرأ رسمًا بيانيًا، فحدّد نقطتين تمثلان المرحلة نفسها من دورتين متتاليتين.

بعد ذلك فقط اختر \(f = 1/T\) أو \(T = 1/f\).

يساعد ذلك على منع مشكلة شائعة يتذكر فيها الطالب الصيغة بصورة صحيحة لكنه يعوّض فيها بالكمية الخطأ.

08الأسئلة والحلول

السؤال 1

تكمل مسطرة مهتزة اهتزازة واحدة كل \(0.125\text{ s}\). احسب ترددها.

الحل 1

التردد هو \(\boxed{8.00\text{ Hz}}\)، ما يعني أن المسطرة تكمل ثماني اهتزازات كل ثانية.

الزمن المعطى هو الزمن الدوري:

\[
T = 0.125\text{ s}
\]

باستخدام العلاقة بين التردد والزمن الدوري:

\[
f = \frac{1}{T}
= \frac{1}{0.125\text{ s}}
= 8.00\text{ Hz}
\]

وتجتاز النتيجة أيضًا اختبار المعقولية. يجب أن يقابل الزمن الدوري القصير جدًا تردد مرتفع نسبيًا.

السؤال 2

يعمل مصدر موجات بتردد \(40\text{ Hz}\).

احسب الزمن الدوري لدورة واحدة، واذكر عدد الدورات الكاملة التي تحدث خلال \(0.50\text{ s}\).

الحل 2

الزمن الدوري هو \(\boxed{0.025\text{ s}}\)، وتحدث \(\boxed{20}\) دورة كاملة خلال \(0.50\text{ s}\).

أوجد الزمن الدوري أولًا:

\[
T = \frac{1}{f}
= \frac{1}{40\text{ Hz}}
= 0.025\text{ s}
\]

إذن تستغرق كل دورة \(0.025\text{ s}\).

عدد الدورات في \(0.50\text{ s}\) هو:

\[
N = \frac{0.50\text{ s}}{0.025\text{ s لكل دورة}}
= 20
\]

وبطريقة مكافئة، تحدث \(40\) دورة كل ثانية، ولذلك تحدث \(20\) دورة في نصف ثانية.

الفخ هنا هو التعامل مع \(40\text{ Hz}\) كما لو كانت زمنًا. فالهرتز يصف عدد الدورات في الثانية، لا عدد الثواني لكل دورة.

السؤال 3

خلال تجربة، يسجل طالب الزمن الذي تصل عنده كتلة متذبذبة إلى إزاحتها العظمى:

حدّد الزمن الدوري وتردد الاهتزاز.

الحل 3

الزمن الدوري هو \(\boxed{0.70\text{ s}}\)، والتردد يقارب \(\boxed{1.43\text{ Hz}}\).

تمثل القيم العظمى المتتالية المرحلة نفسها من دورات متتالية، ولذلك فإن الزمن الفاصل بينها يساوي زمنًا دوريًا واحدًا:

\[
T = 3.1\text{ s} – 2.4\text{ s}
= 0.70\text{ s}
\]

ويظهر الفاصل نفسه بين القيم العظمى الأخرى، ما يؤكد أن الحركة دورية.

احسب الآن التردد:

\[
f = \frac{1}{T}
= \frac{1}{0.70\text{ s}}
\approx 1.43\text{ Hz}
\]

وهذا يعني أن الكتلة تكمل نحو \(1.43\) اهتزازة كاملة كل ثانية.

ومن الأخطاء المغرية استخدام \(2.4\text{ s}\) باعتباره الزمن الدوري لأنه أول زمن مدرج. لكنه ليس كذلك. فالزمن الدوري هو فاصل زمني بين نقطتين متماثلتين، وليس بالضرورة الزمن المقاس بدءًا من \(t=0\).

السؤال 4

تمت ملاحظة مهتزين، A وB.

يكمل المهتز A عدد 12 دورة خلال \(8.0\text{ s}\).

وللمهتز B زمن دوري مقداره \(0.80\text{ s}\).

أي المهتزين له التردد الأكبر، وبكم؟

الحل 4

للمهتز A التردد الأكبر بمقدار \(\boxed{0.25\text{ Hz}}\).

بالنسبة إلى المهتز A، احسب تردده أولًا مباشرة من عدد الدورات في الثانية:

\[
f_A = \frac{12}{8.0\text{ s}}
= 1.50\text{ Hz}
\]

بالنسبة إلى المهتز B:

\[
f_B = \frac{1}{T_B}
= \frac{1}{0.80\text{ s}}
= 1.25\text{ Hz}
\]

إذن:

\[
\Delta f = 1.50\text{ Hz} – 1.25\text{ Hz}
= 0.25\text{ Hz}
\]

إذن يكمل المهتز A دوراته بتردد أكبر.

ومن المفيد للتحقق من الاستدلال ملاحظة أن متوسط الزمن الدوري للمهتز A هو:

\[
T_A = \frac{8.0\text{ s}}{12}
\approx 0.667\text{ s}
\]

وهذا أقصر من الزمن الدوري للمهتز B، وهو \(0.80\text{ s}\)، ولذلك ينبغي بالفعل أن يكون للمهتز A التردد الأكبر.

السؤال 5

يراقب طالب جسمًا يتحرك حركة متكررة. خلال أول \(6.0\text{ s}\)، يكمل 12 دورة. وخلال \(6.0\text{ s}\) التالية، يكمل 8 دورات فقط.

يقول الطالب: «الزمن الدوري للجسم هو \(0.60\text{ s}\)، لأنه أكمل 20 دورة في 12 ثانية.»

قيّم هذه العبارة.

الحل 5

القيمة \(\boxed{0.60\text{ s}}\) هي متوسط الزمن لكل دورة خلال فترة الـ12 s كاملة، لكن من المضلل وصفها بأنها زمن دوري ثابت واحد للحركة.

خلال فترة الملاحظة كاملة:

\[
T_{\text{average}}
= \frac{12\text{ s}}{20}
= 0.60\text{ s}
\]

لكن الجزء الأول يعطي:

\[
T_1 = \frac{6.0\text{ s}}{12}
= 0.50\text{ s}
\]

بينما يعطي الجزء الثاني:

\[
T_2 = \frac{6.0\text{ s}}{8}
= 0.75\text{ s}
\]

إذن زمن الدورة قد تغيّر.

وبصورة مكافئة، الترددان هما:

\[
f_1 = \frac{12}{6.0\text{ s}} = 2.0\text{ Hz}
\]

و

\[
f_2 = \frac{8}{6.0\text{ s}} \approx 1.33\text{ Hz}
\]

إذن لا يكون للحركة زمن دوري ثابت واحد طوال الفترة الزمنية كلها.

حساب الطالب صحيح حسابيًا باعتباره متوسطًا، لكن تفسيره غير مكتمل. تكون العلاقة \(f=1/T\) أوضح ما تكون عندما يكون للحركة المتكررة زمن دوري محدد بوضوح. وإذا تغيّر المعدل مع الزمن، فعلينا تحديد ما إذا كنا نقصد ترددًا لحظيًا أو محليًا أو متوسطًا.

09إلى أين يقودنا التردد والزمن الدوري بعد ذلك؟

يصبح التردد والزمن الدوري مفيدين بصورة خاصة عندما تبدأ في تحليل الموجات.

فمصدر الموجة الذي يهتز بتردد معين ينتج اضطرابات متكررة بالمعدل نفسه. وعند دمج التردد مع الطول الموجي، يمكنك الربط بين عدد مرات إنتاج دورات الموجة وسرعة انتقال الموجة:

\[
v = f\lambda
\]

هنا، \(v\) هي سرعة الموجة، و\(f\) هو التردد، و\(\lambda\) هو الطول الموجي.

إذن العلاقة \(f = 1/T\) ليست مجرد صيغة للتحويل. بل هي الرابط بين الزمن الذي تستغرقه دورة واحدة وعدد مرات حدوث الدورات، وهي بالضبط اللغة اللازمة لوصف الاهتزازات والموجات.