الموجات التقدمية والواقفة: دليل فيزياء HSC

تنتقل نبضة موجية على طول حبل نحو جدار، ثم تنعكس وتعود. إذا راقبت قمة واحدة، فسترى بوضوح أنها تتحرك. لكن عند ترددات معينة، يحدث شيء أكثر غرابة: يبدو الحبل وكأنه ينقسم إلى أجزاء تهتز في أماكنها. بعض النقاط لا تتحرك إطلاقًا، بينما تهتز نقاط أخرى بأكبر سعة.

قبل أن تتابع القراءة، توقّع ما يلي: إذا كان الحبل يهتز بوضوح، فهل يجب أن تنتقل الطاقة على طوله من أحد الطرفين إلى الآخر؟

ليس بالضرورة. وهذا هو الفرق الأساسي بين الموجة التقدمية والموجة الواقفة.

01ابدأ بالموجة التي تعرفها بالفعل

تخيّل أنك تحرّك أحد طرفي حبل طويل مرة واحدة.

ينتقل الاضطراب على طول الحبل. يتحرك كل جزء صغير من الحبل إلى أعلى وأسفل، لكن شكل الاضطراب ينتقل أفقيًا. وتنتقل الطاقة مع هذا الاضطراب.

هذه موجة تقدمية، وتُسمّى أيضًا موجة مسافرة.

ومن المفيد التمييز بين ما يلي:

• تهتز جسيمات الوسط حول مواضع اتزانها
• ينتقل نمط الموجة عبر الوسط
• تنتقل الطاقة في الاتجاه الذي تسير فيه الموجة

لذلك، إذا انتقلت موجة مستعرضة نحو اليمين على طول حبل، فهذا لا يعني أن الحبل نفسه يتدفق نحو اليمين. فأجزاء الحبل الفردية تتحرك أساسًا إلى أعلى وأسفل.

بالنسبة إلى أي موجة دورية،

\[
v = f\lambda
\]

حيث إن \(v\) هي سرعة الموجة بوحدة متر لكل ثانية (\(\text{m s}^{-1}\))، و\(f\) هو التردد بوحدة هرتز (\(\text{Hz}\))، و\(\lambda\) هو الطول الموجي بوحدة متر (\(\text{m}\)).

تتحرك قمة الموجة التقدمية مسافة تساوي طولًا موجيًا واحدًا خلال زمن دوري واحد.

02ماذا يتغير عندما تنعكس الموجة؟

ثبّت الآن الطرف البعيد من الحبل.

تنتقل موجة مستمرة نحو ذلك الطرف ثم تنعكس عائدة. أصبح لديك الآن:

1. موجة تنتقل نحو الطرف المثبّت
2. موجة أخرى تنتقل عائدة في الاتجاه المعاكس

تتراكب الموجتان.

ولأن الموجات تخضع لـ مبدأ التراكب، فإن إزاحتيهما تتجمعان عند كل نقطة.

افترض أن إحدى الموجتين تحاول إزاحة نقطة على الحبل \(3\text{ cm}\) إلى أعلى، بينما تحاول الأخرى إزاحتها \(3\text{ cm}\) إلى أسفل. تكون الإزاحة الكلية عند تلك النقطة صفرًا.

وعند نقطة أخرى، قد تحاول الموجتان معًا إزاحة الحبل إلى أعلى. فتتجمع إزاحتاهما، مما ينتج اهتزازًا أكبر.

إذا كانت للموجتين نفس التردد والطول الموجي والسعة، وكانتا تنتقلان في اتجاهين متعاكسين، فقد يؤدي هذا التداخل المتكرر إلى تكوين موجة واقفة.

السمة المهمة ليست مجرد وجود تداخل بين الموجات. فالموجات التقدمية يمكن أن تتداخل أيضًا. تتطلب الموجة الواقفة نمط تداخل مستقرًا تبقى فيه العقد والبطون في مواضع ثابتة.

03العقد والبطون

العقدة هي نقطة في الموجة الواقفة تكون إزاحتها عن موضع الاتزان صفرًا دائمًا.

فهي لا تمر بموضع الاتزان من حين إلى آخر فقط، بل تبقى فيه.

أما البطن فهو موضع تكون عنده سعة الاهتزاز في أكبر قيمة لها.

تخيّل شخصين يؤديان حركات متعاكسة تمامًا في رقصة شديدة الغرابة. عند موضع معين، تلغي تأثيراتهما بعضها بعضًا دائمًا. تلك عقدة. وفي منتصف المسافة بين مواضع الإلغاء، تعزز تأثيراتهما بعضها بعضًا بأكبر قدر. ذلك بطن.

لكن لهذا التشبيه حدود. فالموجتان المكوِّنتان ليستا جسمين صغيرين يلتقيان ثم يرتدان عن بعضهما. مبدأ التراكب يعني ببساطة أن إزاحتيهما تتجمعان أثناء تراكبهما.

بالنسبة إلى موجة واقفة:

• تفصل بين العقدتين المتجاورتين مسافة \(\frac{\lambda}{2}\)
• تفصل بين البطنين المتجاورين مسافة \(\frac{\lambda}{2}\)
• تفصل بين العقدة وأقرب بطن إليها مسافة \(\frac{\lambda}{4}\)

وهذا يعطينا قاعدة مفيدة جدًا في HSC:

إذا استطعت تحديد المسافة بين عقدتين متجاورتين، فاضربها في اثنين لإيجاد الطول الموجي.

04لماذا تبدو الموجة الواقفة ثابتة؟

هذا هو الجزء الذي يسبب الالتباس غالبًا.

تتكون الموجة الواقفة من موجتين مسافرتين. فكيف يمكن إذن أن تبدو المحصلة وكأنها لا تنتقل؟

عند بعض المواضع، تلغي الموجتان المكوِّنتان تأثير بعضهما دائمًا. وتصبح هذه المواضع عقدًا.

وعند المواضع الواقعة بين العقد، يتغير التداخل مع الزمن. يتحرك الوتر ذهابًا وإيابًا، لكن مواضع أكبر وأصغر اهتزاز تبقى ثابتة.

إذن النمط لا ينتقل، رغم أن الموجتين اللتين تكوِّنانه تنتقلان.

قد تبدو الموجة التقدمية مع مرور الزمن على هذا النحو:

\[
\text{موضع القمة} \rightarrow \text{يتحرك على طول الوسط}
\]

أما الموجة الواقفة فتتصرف بصورة مختلفة:

\[
\text{مواضع العقد} \rightarrow \text{تبقى ثابتة}
\]

وهذا النمط المكاني الثابت هو سبب تسميتها موجة واقفة.

05الصورة الرياضية

لا تحتاج إلى البدء بالمعادلة لفهم الفيزياء، لكن المعادلة تجعل النمط الثابت أكثر دقة.

لنأخذ موجتين لهما السعة نفسها \(A\)، والتردد الزاوي نفسه \(\omega\)، والعدد الموجي نفسه \(k\)، وتنتقلان في اتجاهين متعاكسين:

\[
y_1 = A\sin(kx-\omega t)
\]

و

\[
y_2 = A\sin(kx+\omega t)
\]

حيث:

• \(y_1\) و\(y_2\) هما الإزاحتان الناتجتان عن كل موجة
• \(A\) هي سعة كل موجة مسافرة
• \(x\) هو الموضع
• \(t\) هو الزمن
• \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) هو العدد الموجي
• \(\omega = 2\pi f\) هو التردد الزاوي

بجمع الموجتين باستخدام مبدأ التراكب نحصل على

\[
y = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)
\]

وهذه معادلة موجة واقفة عند اختيار شائع لنقطة الأصل.

انظر إلى جزأيها:

\[
\sin(kx)
\]

يعتمد على الموضع، بينما

\[
\cos(\omega t)
\]

يعتمد على الزمن.

يخبرنا العامل \(2A\sin(kx)\) بالسعة المتاحة عند كل موضع.

عند بعض المواضع،

\[
\sin(kx)=0
\]

لذلك

\[
y=0
\]

لكل قيمة من قيم \(t\). هذه المواضع هي العقد.

وعند المواضع التي يكون فيها

\[
|\sin(kx)|=1
\]

تصل سعة الاهتزاز إلى قيمتها العظمى،

\[
2A
\]

ولذلك تكون هذه المواضع بطونًا.

لاحظ أمرًا دقيقًا: إذا كانت سعة كل موجة مكوِّنة هي \(A\)، فقد تصل السعة العظمى للموجة الواقفة إلى \(2A\). ولا يعني ذلك أن الطاقة قد ظهرت بطريقة ما من العدم، بل ينتج عن التداخل البنّاء بين الموجتين المكوِّنتين.

06هل تنقل الموجات الواقفة الطاقة؟

عُد إلى التوقع الذي طرحناه في البداية.

الوتر يتحرك. إذن ألا بد أن تكون الطاقة تنتقل على طوله؟

في الموجة التقدمية، يوجد انتقال صافٍ للطاقة عبر الوسط في اتجاه انتشار الموجة.

أما في الموجة الواقفة المثالية، فلا يوجد انتقال صافٍ للطاقة على طول الوسط.

ولا يعني ذلك عدم وجود طاقة.

تتحول الطاقة في أجزاء الوتر باستمرار بين صور مثل الطاقة الحركية وطاقة الوضع المرونية. وما يختفي هو التدفق الكلي أحادي الاتجاه للطاقة على طول الوتر.

لماذا؟

تنتج الموجة الواقفة من موجتين مكوِّنتين تحملان الطاقة في اتجاهين متعاكسين. وعندما تكون الموجتان متساويتين، تتوازن انتقالات الطاقة المتعاكسة.

يجدر تذكّر هذا الفرق:

عبارة لا يوجد انتقال صافٍ للطاقة مهمة. فالقول إن «الموجات الواقفة لا تحتوي على طاقة» غير صحيح.

07كل نقطة بين عقدتين تتحرك مع النقاط الأخرى في الطور نفسه

خذ جزءًا من موجة واقفة يقع بين عقدتين متجاورتين.

تتحرك جميع النقاط في ذلك الجزء بالطور نفسه. فعندما تكون إحدى النقاط أعلى موضع الاتزان، تكون النقاط الأخرى في الجزء نفسه أيضًا أعلى موضع الاتزان، باستثناء العقد نفسها.

عند عبور عقدة، يتحرك الجزء التالي في طور معاكس.

لذلك، إذا كان الجزء الواقع إلى يسار عقدة يتحرك إلى أعلى، فإن الجزء المجاور إلى يمينها يتحرك إلى أسفل.

وهذه طريقة أخرى للتعرف على الموجة الواقفة.

من السهل أن تتخيل خطأً أن الانتفاخات نفسها تنزلق إلى اليسار واليمين. لكنها لا تفعل ذلك. كل حلقة تكبر، ثم تنهار إلى خط الاتزان، ثم تنعكس، فتكبر في الاتجاه المعاكس، ثم تنهار مرة أخرى.

في اللحظة التي يمر فيها الوتر بأكمله عبر موضع الاتزان، لا تكون العقد قد اختفت. فهي ما تزال المواضع التي تظل إزاحتها صفرًا في جميع الأوقات.

08قد تبدو الموجة الواقفة للحظة وكأنها غير موجودة إطلاقًا

افترض أنك التقطت صورة لموجة واقفة في اللحظة نفسها التي تمر فيها كل نقطة متحركة عبر موضع الاتزان.

سيبدو الوتر كله مستقيمًا.

هل يصح القول إن الموجة قد اختفت؟

لا.

في تلك اللحظة، تكون الإزاحة صفرًا في كل مكان، لكن كثيرًا من أجزاء الوتر تكون سرعتها عند القيمة العظمى. ويصبح النمط مرئيًا مرة أخرى بعد لحظة.

وهذا يكشف خطأً مهمًا: لا يمكن وصف موجة وصفًا كاملًا من خلال لقطة واحدة.

وللتمييز بثقة بين موجة تقدمية وموجة واقفة، تحتاج غالبًا إلى معلومات عن كيفية تغير النمط مع الزمن.

09الموجات الواقفة على وتر مثبت من الطرفين

إذا كان طرفا الوتر مثبتين، فيجب أن تكون الإزاحة عند كل طرف صفرًا دائمًا.

لذلك، يجب أن يكون الطرفان عقدتين.

يعني هذا الشرط أن أطوالًا موجية معينة فقط يمكن أن تتوافق مع الوتر.

في أبسط نمط لموجة واقفة، يتسع طول الوتر لنصف طول موجي:

\[
L = \frac{\lambda}{2}
\]

حيث \(L\) هو طول الوتر.

وفي النمط التالي، يتسع طول الوتر لطول موجي كامل:

\[
L = \lambda
\]

وبصورة عامة،

\[
L = \frac{n\lambda}{2}
\]

حيث \(n\) عدد صحيح موجب \(1,2,3,\ldots\).

وبإعادة ترتيب المعادلة،

\[
\lambda_n = \frac{2L}{n}
\]

وباستخدام \(v=f\lambda\)،

\[
f_n = \frac{nv}{2L}
\]

هذه الترددات المسموح بها هي الترددات الطبيعية للوتر المثالي المثبت من الطرفين.

10المفهوم الخاطئ الذي يجب تجنبه: «العقد هي المواضع التي تلتقي فيها الموجات»

قد يبدو هذا معقولًا، لكنه ليس دقيقًا بما يكفي.

تتراكب الموجتان المكوِّنتان في كامل المنطقة التي توجد فيها الموجة الواقفة. فهما لا تلتقيان عند العقد فقط.

العقد هي المواضع التي تنتج عندها الموجتان تداخلًا هدّامًا في كل لحظة.

أما البطون فهي المواضع التي تكون عندها سعة الاهتزاز الناتج في أكبر قيمة لها.

وحتى عند البطون، لا يكون التداخل ببساطة «بنّاءً طوال الوقت». يتحرك البطن من أكبر إزاحة موجبة إلى موضع الاتزان، ثم إلى أكبر إزاحة سالبة. وتتحد الموجتان المكوِّنتان بحيث تكون سعة ذلك الاهتزاز أكبر ما يمكن.

11تقدمية أم واقفة؟ اطرح هذه الأسئلة

عندما يعطيك سؤال في HSC رسمًا أو وصفًا أو تجربة، استخدم الأدلة بدلًا من التخمين اعتمادًا على الشكل.

هل يتحرك النمط عبر الوسط؟
إذا كانت الإجابة نعم، فهذا يدعم كونها موجة تقدمية.

هل توجد مواضع ثابتة لا تتحرك أبدًا؟
إذا كانت الإجابة نعم، فهذه عقد، وهو ما يشير بقوة إلى وجود موجة واقفة.

هل تعتمد السعة على الموضع، بحيث تصبح صفرًا عند العقد وتبلغ أكبر قيمة عند البطون؟
هذا نمط موجة واقفة.

هل يوجد انتقال صافٍ للطاقة على طول الوسط؟
تنقل الموجة التقدمية الطاقة. أما الموجة الواقفة المثالية فلا يوجد فيها انتقال صافٍ للطاقة على طول الوسط.

هل تُظهر لقطة واحدة شكلًا متموجًا؟
هذا وحده لا يكفي. فقد يبدو كلا النوعين من الموجات متشابهين في لحظة معينة.

12أسئلة وحلول

السؤال 1

في موجة واقفة على حبل، تفصل بين العقد المتجاورة مسافة \(0.35\text{ m}\). التردد هو \(8.0\text{ Hz}\).

أوجد الطول الموجي وسرعة الموجة.

الحل 1

الطول الموجي هو \(0.70\text{ m}\)، وسرعة الموجة هي \(5.6\text{ m s}^{-1}\).

تفصل بين العقد المتجاورة في الموجة الواقفة مسافة تساوي نصف طول موجي:

\[
\frac{\lambda}{2}=0.35\text{ m}
\]

إذن

\[
\lambda = 0.70\text{ m}
\]

استخدم الآن

\[
v=f\lambda
\]

بالتعويض،

\[
v=(8.0)(0.70)=5.6\text{ m s}^{-1}
\]

الخطأ الشائع هو استخدام \(0.35\text{ m}\) مباشرةً باعتبارها الطول الموجي. فهي تمثل نصف طول موجي فقط.

السؤال 2

تنتقل موجتان متماثلتان، سعة كل منهما \(2.5\text{ cm}\)، في اتجاهين متعاكسين على طول الوتر نفسه وتكوِّنان موجة واقفة.

ما سعتا الإزاحة عند عقدة وعند بطن؟

الحل 2

السعة هي \(0\text{ cm}\) عند العقدة و\(5.0\text{ cm}\) عند البطن.

عند العقدة، تلغي الموجتان المكوِّنتان تأثير بعضهما دائمًا، ولذلك تكون الإزاحة المحصلة صفرًا:

\[
A_{\text{node}}=0
\]

وعند البطن، تحدث أكبر سعة محصلة ممكنة عندما تعزز السعتان المتساويتان للموجتين المكوِّنتين بعضهما:

\[
A_{\text{antinode}}=2A
\]

بالتعويض عن \(A=2.5\text{ cm}\)،

\[
A_{\text{antinode}}=2(2.5)=5.0\text{ cm}
\]

ولا يعني هذا أن سعة كل نقطة على الموجة الواقفة هي \(5.0\text{ cm}\). فالسعة تتغير باختلاف الموضع من صفر عند العقد إلى \(5.0\text{ cm}\) عند البطون.

السؤال 3

وتر طوله \(0.90\text{ m}\) مثبت من الطرفين. يهتز في نمط موجة واقفة يحتوي على ثلاثة بطون. سرعة الموجة هي \(72\text{ m s}^{-1}\).

احسب الطول الموجي والتردد.

الحل 3

الطول الموجي هو \(0.60\text{ m}\)، والتردد هو \(120\text{ Hz}\).

وجود ثلاثة بطون يعني أن ثلاثة أجزاء، طول كل منها نصف طول موجي، تتسع داخل الوتر، ولذلك \(n=3\).

بالنسبة إلى وتر مثبت من الطرفين،

\[
L=\frac{n\lambda}{2}
\]

بالتعويض عن \(L=0.90\text{ m}\) و\(n=3\)،

\[
0.90=\frac{3\lambda}{2}
\]

إذن،

\[
\lambda = \frac{2(0.90)}{3}=0.60\text{ m}
\]

استخدم الآن

\[
v=f\lambda
\]

إذن

\[
f=\frac{v}{\lambda}
=\frac{72}{0.60}
=120\text{ Hz}
\]

وبذلك يتكون النمط من ثلاثة أنصاف أطوال موجية موزعة داخل الوتر ذي الطول \(0.90\text{ m}\).

السؤال 4

يلتقط طالب صورة لوتر يهتز في لحظة معينة. تُظهر الصورة شكلًا جيبيًا. يستنتج الطالب أن الوتر لا بد أن يحتوي على موجة تقدمية لأن «الموجات الواقفة تبقى ساكنة».

اشرح لماذا لا يكون هذا الاستنتاج مبررًا، واذكر ملاحظة واحدة يمكن أن تميز بين نوعي الموجات.

الحل 4

لا يمكن للصورة وحدها تحديد ما إذا كانت الموجة تقدمية أم واقفة.

لا تعني كلمة «واقفة» أن كل جسيم في الوسط يبقى ساكنًا. ففي الموجة الواقفة، تهتز معظم النقاط. وما يبقى ثابتًا هو نمط العقد والبطون.

وقد تبدو لقطة واحدة لموجة واقفة شبيهة جدًا بلقطة لموجة تقدمية.

وللتمييز بينهما، ينبغي للطالب مراقبة الوتر مع مرور الزمن. فإذا تحرك شكل الموجة على طول الوتر، فهي موجة تقدمية. أما إذا بقيت العقد ثابتة في المواضع نفسها بينما تهتز الأجزاء الواقعة بينها، فالنمط موجة واقفة.

يكمن الخطأ في الخلط بين نمط موجي ثابت وجسيمات ثابتة.

السؤال 5

تنتقل موجتان متساويتان في اتجاهين متعاكسين على طول وتر وتنتجان موجة واقفة. وفي لحظة معينة، يكون الوتر بأكمله واقعًا تمامًا على خط الاتزان.

يجادل أحد الطلاب بأن الطاقة كلها في الوتر يجب أن تكون صفرًا في تلك اللحظة لأن إزاحة كل نقطة تساوي صفرًا.

قيّم استدلال الطالب.

الحل 5

استنتاج الطالب غير صحيح. كون الإزاحة صفرًا في كل مكان لا يعني أن طاقة الوتر تساوي صفرًا.

في اللحظة التي تمر فيها موجة واقفة عبر وضع الاتزان، يمكن أن تكون لأجزاء الوتر المتحركة سرعات جسيمية كبيرة، بل وتبلغ السرعة العظمى في النموذج المثالي. ولذلك يمتلك الوتر طاقة حركية رغم أن إزاحته تساوي صفرًا.

أثناء الاهتزاز، تتحول الطاقة بين صورتَي الطاقة الحركية وطاقة الوضع المرونية.

والتمييز المهم هو أن الموجة الواقفة المثالية لا يوجد فيها انتقال صافٍ للطاقة على طول الوتر. وهذا لا يعني أن طاقتها تساوي صفرًا.

الخطأ المغري هنا هو معاملة الإزاحة كما لو كانت مقياسًا مباشرًا للطاقة الكلية. فقد يكون الجسيم عند موضع الاتزان بينما يتحرك بسرعة كبيرة.

السؤال 6

وتر مثبت من الطرفين ويدعم موجة واقفة مستقرة. ثم يُزاد الشد مع بقاء طول الوتر وكثافته الكتلية الخطية دون تغيير. ويظل تردد القوة المحركة ثابتًا تمامًا.

يتوقع أحد الطلاب أن نمط الموجة الواقفة الأصلي سيبقى ببساطة في موضعه، مع زيادة سرعة الموجة.

اشرح لماذا يكون هذا التوقع غير صحيح بوجه عام.

الحل 6

لن يبقى نمط الموجة الواقفة الأصلي مستقرًا بوجه عام، لأن زيادة الشد تغيّر سرعة الموجة، وهذا يغيّر الترددات التي تحقق الشروط الحدّية.

بالنسبة إلى وتر مشدود،

\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]

حيث \(v\) هي سرعة الموجة، و\(T\) هو الشد، و\(\mu\) هي الكثافة الكتلية الخطية.

تؤدي زيادة \(T\) إلى زيادة \(v\).

بالنسبة إلى وتر مثبت من الطرفين، تعتمد الأطوال الموجية المسموح بها فقط على طول الوتر ورقم النمط:

\[
\lambda_n=\frac{2L}{n}
\]

والترددات الطبيعية المقابلة هي

\[
f_n=\frac{v}{\lambda_n}
=\frac{nv}{2L}
\]

لذلك، تؤدي زيادة \(v\) إلى زيادة جميع الترددات الطبيعية للوتر.

إذا ظل تردد القوة المحركة عند قيمته القديمة، فلن يطابق عادةً التردد الطبيعي نفسه بعد التغيير. ولذلك لن يستمر نمط الموجة الواقفة المستقر الأصلي ببساطة من دون تغيير.

وهذا هو السبب الأعمق لأهمية الموجات الواقفة: فالحدود الثابتة لا تسمح إلا بأنماط مكانية معينة، وتقابل هذه الأنماط ترددات معينة. ويقود ذلك مباشرةً إلى الرنين، والتوافقيات، والترددات الطبيعية للأوتار وأعمدة الهواء.