電場中電荷所受的力：HSC 物理指南
學習如何應用 F = qE、計算電力，並判斷正電荷與負電荷在電場中的受力方向。掌握電場方向、電荷正負與力的大小之間的關係。
兩個粒子位於同一個均勻電場中。一個帶有 \(+q\) 電荷，另一個帶有 \(-q\) 電荷。電場方向向右。
每個粒子所受的力分別指向哪個方向？
很容易會以為電場本身所指的方向，就是所有電荷運動的方向。其實不是。電場方向告訴你的是正電荷所受力的方向。負電荷所受的力則指向相反方向。
只要掌握這一點，
\[
\vec F = q\vec E
\]
就會容易得多，也更不容易用錯。
01先了解電場告訴你甚麼
想像把一個很小的正電荷放在其他電荷附近的某一點。它會受到電力作用。
該點的電場告訴你兩件事：
- 正電荷會被推向哪個方向
- 每放置一庫侖正電荷時所受到的力
所以，如果電場向右，正電荷就會被推向右方。
現在把這個正電荷換成負電荷。電的相互作用方向會反轉，因此力會指向左方。
這一點直接包含在方程式中，因為當 \(q\) 是負值時，力向量的方向會反轉。
02方程式 \(F = qE\)
向量關係為
\[
\vec F = q\vec E
\]
其中：
- \(\vec F\) 是電荷所受的電力，單位是牛頓（N）
- \(q\) 是電荷量，單位是庫侖（C）
- \(\vec E\) 是電場強度，單位是牛頓每庫侖（N/C）
\(F\) 和 \(E\) 上方的箭號提醒我們，力和電場都是有方向的物理量。
要計算力的大小，使用
\[
F = |q|E
\]
因為力的大小不可能是負數。
然後再利用電荷的正負號判斷方向。
| 電荷 | 力的方向 |
|---|---|
| \(q>0\) | 與 \(\vec E\) 方向相同 |
| \(q<0\) | 與 \(\vec E\) 方向相反 |
| \(q=0\) | 沒有電力 |
有一個方法可以幫助你理解這一點，而不用再死記另一條規則。 \(\vec E\) 的方向本來就是以正試驗電荷來定義的。因此，正電荷所受的力沿着電場方向，而負電荷則相反。
03為甚麼乘上負電荷會令力的方向反轉
假設我們選擇向右為正 \(x\) 方向。
一個向右的電場可以寫成
\[
E_x = +400\text{ N/C}
\]
對於電荷量為 \(+2.0\times10^{-6}\text{ C}\) 的電荷，
\[
F_x=qE_x=(+2.0\times10^{-6})(+400)
=+8.0\times10^{-4}\text{ N}
\]
結果為正，表示力沿正方向，即向右。
現在改用電荷量為 \(-2.0\times10^{-6}\text{ C}\) 的電荷：
\[
F_x=qE_x=(-2.0\times10^{-6})(+400)
=-8.0\times10^{-4}\text{ N}
\]
力的大小仍然是 \(8.0\times10^{-4}\text{ N}\)，但負號告訴我們力指向左方。
這並不代表這個力變成了某種「負的力」。負號只是用來表示相對於我們所選坐標系的方向。
解題示例：正電荷所受的力
一個 \(+3.0\,\mu\text{C}\) 的電荷被放在強度為 \(2.5\times10^4\text{ N/C}\)、方向向東的均勻電場中。求電荷所受的電力。
步驟 1
前綴 \(\mu\) 代表 \(10^{-6}\)，因此
\[
q=+3.0\times10^{-6}\text{ C}
\]
步驟 2
\[
\begin{aligned}
F&=|q|E\\
&=(3.0\times10^{-6})(2.5\times10^4)\\
&=7.5\times10^{-2}\text{ N}
\end{aligned}
\]
步驟 3
電荷是正的，所以力的方向與電場方向相同。
因此，
\[
\boxed{F=7.5\times10^{-2}\text{ N，向東}}
\]
電場以 \(0.075\text{ N}\) 的力把這個正電荷推向東方。
04最常見的錯誤：不論電荷正負都跟着電場箭號判斷
假設一個電子被放在向上的電場中。
電力指向哪裏？
學生可能會選擇向上，因為電場箭號就是指向那裏。如果你把電場線想像成風向箭號，這種想法看似合理。樹葉在風中通常會被推向風流動的方向。
但電場並不一樣。它的方向是根據正電荷會受到甚麼作用來定義的。
電子帶負電，因此它所受的力向下。
所以，風的類比正是在這一點失效。風會把一般物體沿氣流方向推動，而電場則可以根據電荷的正負，使電荷受到方向相反的力。
對電子而言，
\[
q=-1.602\times10^{-19}\text{ C}
\]
因此 \(\vec F=q\vec E\) 會自動令力的方向與電場方向相反。
05電荷量既影響大小，也影響方向
現在比較同一電場中的兩個正電荷：
- 電荷 A 為 \(+1.0\,\mu\text{C}\)
- 電荷 B 為 \(+4.0\,\mu\text{C}\)
在計算之前，先預測 B 所受的力與 A 相比會如何。
因為
\[
F=|q|E
\]
所以力的大小與電荷量的大小成正比。只要電場不變，電荷量變成四倍，力的大小也會變成四倍。
同一規則也適用於負電荷。在相同電場中，\(-4.0\,\mu\text{C}\) 的電荷所受的力的大小與 \(+4.0\,\mu\text{C}\) 相同，但方向相反。
務必要清楚區分大小和方向：
- \(|q|\) 決定力有多大
- \(q\) 的正負號決定力是沿着還是逆着 \(\vec E\)
解題示例：以電力抵抗重力而保持靜止的帶電粒子
一個微小粒子的質量為 \(4.0\times10^{-7}\text{ kg}\)。它在強度為 \(2.0\times10^5\text{ N/C}\)、方向向下的垂直電場中保持靜止。忽略空氣阻力。求粒子的電荷量。
步驟 1
粒子保持靜止，因此加速度為零。所以合力必須為零。
重力向下，因此電力必須向上，而且大小與重力相同。
電場向下，但電力向上。因此，粒子必須帶有負電荷。
步驟 2
使用 \(F_g=mg\)，其中 \(g=9.8\text{ m/s}^2\)，
\[
\begin{aligned}
F_g&=mg\\
&=(4.0\times10^{-7})(9.8)\\
&=3.92\times10^{-6}\text{ N}
\end{aligned}
\]
在平衡狀態下，
\[
F_E=F_g=3.92\times10^{-6}\text{ N}
\]
步驟 3
\[
\begin{aligned}
|q|&=\frac{F_E}{E}\\
&=\frac{3.92\times10^{-6}}{2.0\times10^5}\\
&=1.96\times10^{-11}\text{ C}
\end{aligned}
\]
步驟 4
我們已經確定電荷必須是負的。
\[
\boxed{q=-2.0\times10^{-11}\text{ C}}
\]
這個負號並不是最後才額外加上的裝飾。它是解釋為甚麼電場向下時，電力卻向上的必要部分。
06判斷方向問題的可靠方法
當題目給你一個電場和一個電荷時，可以按照以下次序處理。
- 找出電場方向。
- 使用 \(F=|q|E\) 求力的大小。
- 檢查電荷的正負號。
- 如果 \(q>0\)，力沿着電場方向。
- 如果 \(q<0\)，力指向與電場相反的方向。
這個次序通常比直接把負電荷代入計算機，再嘗試解釋最後得到的負數結果更穩妥。
不過，如果題目使用坐標軸，帶正負號的分量會很有用。例如，
\[
F_x=qE_x
\]
可以同時給出沿 \(x\) 軸方向的力的大小和方向。
07電場方向不一定就是運動方向
還有一個常見陷阱。
如果一個正電荷受到向右的力，是否代表它一定向右運動？
不是。
力決定的是加速度，而不一定是速度。
一個正電荷最初可以向左運動，同時受到向右的電力。它會減速，可能停下來，然後再開始向右運動。
同樣地，處於向右電場中的負電荷會向左加速，但它在一段時間內仍可能繼續向右運動。
這與你在力學中已經用過的概念相同。一個向上拋出的球具有向上的速度，同時重力卻令它具有向下的加速度。
對帶電粒子而言，
\[
\vec F=q\vec E
\]
而牛頓第二定律給出
\[
\vec F=m\vec a
\]
所以
\[
\vec a=\frac{q\vec E}{m}
\]
加速度的方向跟隨電力的方向，而不一定與當前速度方向相同。
08問題與解答
問題 1
一個電荷量為 \(-6.0\times10^{-6}\text{ C}\) 的電荷被放在強度為 \(3.0\times10^3\text{ N/C}\)、方向向北的均勻電場中。
計算該電荷所受的電力，包括其方向。
解答 1
電力為 \(\boxed{1.8\times10^{-2}\text{ N，向南}}\)。
使用
\[
F=|q|E
\]
代入數值，
\[
\begin{aligned}
F&=(6.0\times10^{-6})(3.0\times10^3)\\
&=1.8\times10^{-2}\text{ N}
\end{aligned}
\]
電荷是負的，所以其受力方向與電場相反。電場向北，因此力向南。
一個常見錯誤是回答向北，因為那是電場方向。對正電荷來說這才是正確的，但對負電荷並不是。
問題 2
兩個粒子被放在均勻電場中的同一位置。
粒子 A 的電荷量為 \(+2.0\,\mu\text{C}\)。粒子 B 的電荷量為 \(-5.0\,\mu\text{C}\)。
比較兩個粒子所受電力的大小和方向。
解答 2
粒子 B 所受力的大小是粒子 A 的 \(\boxed{2.5}\) 倍，而且兩個力的方向相反。
對粒子 A，
\[
F_A=|q_A|E=(2.0\times10^{-6})E
\]
對粒子 B，
\[
F_B=|q_B|E=(5.0\times10^{-6})E
\]
因此，
\[
\frac{F_B}{F_A}
=
\frac{5.0\times10^{-6}}{2.0\times10^{-6}}
=2.5
\]
兩個粒子處於同一電場中，因此電荷量大小較大的粒子會受到較大的力。
粒子 A 帶正電，因此它所受的力沿着電場方向。粒子 B 帶負電，因此它所受的力與電場方向相反。所以兩者所受力的方向相反。
一個容易產生的錯誤觀念是，負電荷的電荷值在數值上小於零，因此它應該受到「較小」的力。其實力的大小取決於 \(|q|\)，而不是電荷是正還是負。
問題 3
一個帶正電的粒子正在向東運動，然後進入一個包含向西均勻電場的區域。
一名學生說：「因為電場向西，所以粒子會立即開始向西運動。」
解釋實際上會發生甚麼。假設電場產生的力是唯一作用於粒子的力。
解答 3
粒子起初仍然會繼續向東運動，但它會向西加速，因此逐漸減速。
因為粒子帶正電，所以電力與電場方向相同：
\[
\vec F=q\vec E
\]
因此力向西。
牛頓第二定律給出
\[
\vec a=\frac{\vec F}{m}
\]
所以加速度也向西。
但是，加速度和速度是不同的物理量。在粒子剛進入電場的一刻，它的速度仍然向東。向西的加速度會逐漸減小這個向東的速度。
如果電場持續作用足夠長的時間，粒子的速度可能減至零，然後開始向西運動。
這名學生的錯誤在於假設力會決定運動方向。其實力決定的是加速度的方向。
問題 4
一個帶電粒子靜止懸浮在兩塊水平平板之間。平板之間的電場垂直向上。
粒子的質量為 \(7.5\times10^{-8}\text{ kg}\)，電場強度為 \(4.0\times10^4\text{ N/C}\)。
判斷粒子電荷的正負，並求其大小。取 \(g=9.8\text{ m/s}^2\)。
解答 4
粒子帶有 \(\boxed{\text{大小為 }1.8\times10^{-11}\text{ C 的正電荷}}\)。
因為粒子保持靜止，所以它所受的合力為零。
重力向下：
\[
\begin{aligned}
F_g&=mg\\
&=(7.5\times10^{-8})(9.8)\\
&=7.35\times10^{-7}\text{ N}
\end{aligned}
\]
因此，電力必須向上，而且大小相同：
\[
F_E=7.35\times10^{-7}\text{ N}
\]
電場也向上。由於電力與電場方向相同，所以電荷必須是正的。
現在使用
\[
F_E=|q|E
\]
因此
\[
\begin{aligned}
|q|
&=\frac{F_E}{E}\\
&=\frac{7.35\times10^{-7}}{4.0\times10^4}\\
&=1.84\times10^{-11}\text{ C}
\end{aligned}
\]
取兩位有效數字，
\[
\boxed{q=+1.8\times10^{-11}\text{ C}}
\]
最重要的推理其實發生在計算之前。如果電場向上，而電力也必須向上，那麼電荷就不可能是負的。
問題 5
一個電荷量未知的粒子正在一個同樣向右的均勻電場中向右運動。測量結果顯示，粒子正在減速。
一名學生因此認為測量結果一定有錯，因為「電場應該令粒子加速」。
假設電場產生的力是唯一作用於粒子的力，判斷可以對粒子的電荷正負作出甚麼結論，並解釋原因。
解答 5
粒子必須帶有 \(\boxed{\text{負電荷}}\)。
粒子向右運動但正在減速，因此它的加速度必須向左。
由於電場是唯一的力源，所以根據
\[
\vec F=m\vec a
\]
電力也必須向左。
可是，電場本身向右。
由
\[
\vec F=q\vec E
\]
可知，要使力的方向與電場相反，就必須有 \(q<0\)。
所以測量結果並不存在矛盾。負電荷在向右的電場中會受到向左的力。如果它最初正在向右運動，這個力就會使它減速。
這名學生的推理中隱藏的假設是：電場方向必須與運動方向相同。其實，只有對正電荷而言，電場方向才與力的方向相同。即使如此，力所控制的也是加速度，而不是直接決定速度。
當你能夠熟練地在 \(\vec E\)、\(q\) 的正負和 \(\vec F\) 之間建立關係後，下一步就是把電力與牛頓定律結合起來。這樣你就能預測帶電粒子在電場中如何加速、彎曲運動、停止，或保持平衡。