電勢能與電場中的功
了解電荷在電場中移動時電勢能如何改變，以及電勢差、功和動能之間的關係。
一個正電荷在兩塊帶相反電荷的平行板之間被釋放。它會加速朝負極板移動。沒有任何東西接觸它，那麼它不斷增加的動能是從哪裡來的？
電場對電荷做功。在這個過程中，電荷的電勢能減少。同樣的能量收支概念也能解釋電子在電場中移動時會發生甚麼、為甚麼電勢差可以加速帶電粒子，以及為甚麼電荷的正負號很重要。
在繼續之前，先作一個預測。假設一個正電荷自然地沿着電場方向移動。它的電勢能會增加還是減少？
它會減少。電場對電荷做正功，因此能量會由電勢能轉移到其他形式，通常是動能。
01先從能量圖像開始
想像你在地球的重力場中把一個球向上抬。當你把它抬高時，你對抗重力做功，使它的重力勢能增加。如果你把球放開，重力便會對球做功，而儲存的能量會轉化為動能。
電場的行為很相似，但有一個重要的複雜之處：電荷可以是正的，也可以是負的。
對於正電荷，電力方向與電場方向相同。
對於負電荷，電力方向與電場方向相反。
正負號造成的這個差異，正是為甚麼死記「沿着電場移動就代表勢能減少」之類的說法很危險。這對正電荷成立，但並非對所有電荷都成立。
重力的類比很有用，因為兩個系統都能因物體的位置而儲存勢能。不過，這個類比也有局限，因為質量只有一種正負性質，而電荷則可以是正或負。
02電場所做的功
功是一種能量轉移。
如果電場對電荷做正功，電荷的電勢能便會減少。如果電場做負功，電荷的電勢能便會增加。
兩者的關係是
\[
W_{\text{field}} = -\Delta U
\]
其中：
- \(W_{\text{field}}\) 是電場所做的功，單位為焦耳（J）
- \(\Delta U\) 是電勢能的變化，單位為焦耳（J）
記住
\[
\Delta U = U_f – U_i
\]
其中 \(U_i\) 是初始勢能，\(U_f\) 是最終勢能。
因此，如果 \(\Delta U = -4.0\text{ J}\)，就表示電荷失去了 \(4.0\text{ J}\) 的電勢能。因此，電場做了 \(+4.0\text{ J}\) 的功。
這個負號並不是裝飾。它告訴你，當電場做正功時，勢能會下降。
03電勢如何進入這個圖像
勢能取決於你放進電場中的電荷。電勢則不取決於它。
電勢 \(V\) 表示某一點上每單位正電荷所具有的電勢能：
\[
V = \frac{U}{q}
\]
重新整理得
\[
U = qV
\]
其中：
- \(U\) 是電勢能，單位為焦耳（J）
- \(q\) 是電荷量，單位為庫侖（C）
- \(V\) 是電勢，單位為伏特（V）
一伏特等於每庫侖一焦耳：
\[
1\text{ V} = 1\text{ J C}^{-1}
\]
通常，我們關心的是兩個位置之間的變化，而不是某一個位置上的絕對值。於是得到
\[
\Delta U = q\Delta V
\]
其中
\[
\Delta V = V_f – V_i
\]
因此，
\[
W_{\text{field}} = -q\Delta V
\]
當電荷在電場中移動時，這條方程是追蹤能量變化最實用的方法之一。
04電荷的正負號會改變整個情況
想像有 A、B 兩點，其中
\[
V_A = 100\text{ V}
\]
而
\[
V_B = 20\text{ V}
\]
一個電荷由 A 移動到 B 時，
\[
\Delta V = 20 – 100 = -80\text{ V}
\]
對於正電荷，\(q > 0\)，所以
\[
\Delta U = q\Delta V < 0
\]
它的勢能減少。
對於負電荷，\(q < 0\)，所以兩個負數相乘得到正數：
\[
\Delta U = q\Delta V > 0
\]
它的勢能增加。
這個結果一開始可能令人覺得有點反直覺。較低的電勢並不一定代表較低的電勢能。
缺少的關鍵是電荷量：
\[
U = qV
\]
對負電荷而言，乘上 \(q < 0\) 會令兩者的關係反轉。
一個稍微有點傻的類比或許有幫助。把電勢想像成約會地點的評分。正電荷和負電荷的品味完全相反。只告訴你其中一間餐廳的「評分較高」，並不足以判斷哪一種電荷在那裡有較大的勢能。你還需要知道是誰要去。
幸好，這個類比到此為止。電荷並沒有自己的意見，而 \(U=qV\) 能精確給出兩者的關係。
例題：質子穿越一段電勢差
一個電荷量為 \(+1.60\times10^{-19}\text{ C}\) 的質子，由電勢為 \(250\text{ V}\) 的位置移動到電勢為 \(70\text{ V}\) 的位置。計算它的電勢能變化，以及電場所做的功。
步驟 1
\[
\Delta V = V_f – V_i = 70 – 250 = -180\text{ V}
\]
步驟 2
\[
\Delta U
= (1.60\times10^{-19})(-180)
= -2.88\times10^{-17}\text{ J}
\]
負號表示質子失去了電勢能。
步驟 3
\[
W_{\text{field}}=-\Delta U
= -(-2.88\times10^{-17})
= 2.88\times10^{-17}\text{ J}
\]
電場對質子做了 \(2.88\times10^{-17}\text{ J}\) 的正功。如果沒有其他能量轉移，這些能量便會表現為質子動能的增加。
05把功與動能連繫起來
功-能定理告訴我們，物體所受的淨功等於它的動能變化：
\[
W_{\text{net}} = \Delta K
\]
如果只有電力在做功，那麼
\[
W_{\text{field}} = \Delta K
\]
由於
\[
W_{\text{field}}=-\Delta U
\]
我們得到
\[
\Delta K=-\Delta U
\]
或
\[
\Delta K+\Delta U=0
\]
這就是只受電力作用而移動的電荷所遵守的機械能守恆。
換句話說：
失去的電勢能 = 增加的動能
反過來也成立。
要注意這個條件。如果另一個力也有做功，就不能自動認為每一焦耳失去的電勢能都會變成動能。
例題：電子經電勢差加速
一個電子由靜止開始，從電勢為 \(-40\text{ V}\) 的位置移動到電勢為 \(160\text{ V}\) 的位置。電子的電荷量為 \(-1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。忽略電力以外的所有力。求它最終的動能和速率。使用電子質量 \(9.11\times10^{-31}\text{ kg}\)。
步驟 1
\[
\Delta V = V_f – V_i = 160-(-40)=200\text{ V}
\]
步驟 2
\[
\Delta U
= q\Delta V
= (-1.60\times10^{-19})(200)
= -3.20\times10^{-17}\text{ J}
\]
電子失去了 \(3.20\times10^{-17}\text{ J}\) 的電勢能。
留意正負號。電子移動到較高的電勢，但由於它帶負電，因此它的電勢能反而減少。
步驟 3
電子由靜止開始，所以 \(K_i=0\)。因此，
\[
\Delta K=-\Delta U=3.20\times10^{-17}\text{ J}
\]
而且
\[
K_f=3.20\times10^{-17}\text{ J}
\]
步驟 4
當速率遠低於光速時，
\[
K=\frac{1}{2}mv^2
\]
其中 \(m\) 是質量，單位為公斤（kg），\(v\) 是速率，單位為米每秒（m s\(^{-1}\)）。
因此
\[
v=\sqrt{\frac{2K}{m}}
\]
代入數值得
\[
v
=
\sqrt{\frac{2(3.20\times10^{-17})}{9.11\times10^{-31}}}
=
8.38\times10^6\text{ m s}^{-1}
\]
電子的速率約為
\[
\boxed{8.38\times10^6\text{ m s}^{-1}}
\]
重要的物理概念不只是這個速率。電子在加速時朝着較高電勢的區域移動，同時移向較低電勢能的狀態。
06均勻電場中的電勢差
在大型平行板之間，若遠離邊緣，通常可以把電場視為均勻電場。
對於平行於電場方向的運動，
\[
\Delta V=-Ed
\]
其中：
- \(E\) 是電場強度，單位為伏特每米（V m\(^{-1}\)），等同於牛頓每庫侖（N C\(^{-1}\)）
- \(d\) 是位移，單位為米（m），並把沿電場方向的位移定為正值
- \(\Delta V\) 是電勢的變化，單位為伏特（V）
負號告訴我們，沿着電場方向，電勢會降低。
這個敘述說的是 \(V\)，不是 \(U\)。無論之後把甚麼電荷放在那裡，這一點都成立。
把
\[
\Delta U=q\Delta V
\]
與
\[
\Delta V=-Ed
\]
結合，可得
\[
\Delta U=-qEd
\]
其中位移 \(d\) 與電場方向平行。
因此，電場所做的功為
\[
W_{\text{field}}=qEd
\]
但這只適用於上述特定幾何情況。
不要不加判斷地使用 \(W=qEd\)。它假設位移與均勻電場平行。使用電勢差表示的方程 \(W_{\text{field}}=-q\Delta V\) 更為一般。
07如果電荷橫向移動會怎樣？
想像一個均勻電場指向右方。一個正電荷垂直向上移動。
預測電場所做的功。
電力指向右方，而位移指向上方。兩者互相垂直，因此電場不做功。
使用一般的功公式，
\[
W=Fd\cos\theta
\]
其中 \(\theta\) 是力與位移之間的夾角。此時 \(\theta=90^\circ\)，所以
\[
W=Fd\cos90^\circ=0
\]
因此，
\[
\Delta U=0
\]
而且
\[
\Delta V=0
\]
電荷沿着一條等勢線移動。
等勢線是由具有相同電勢的各點組成的線。沿等勢線移動時，電場不需要做功。
這也給出一條很有用的幾何規則：
電場線與等勢線或等勢面互相垂直。
08最容易令人誤解的說法：「電荷由高電勢移向低電勢」
這個說法並不完整。
一個由靜止釋放的正電荷會朝較低電勢加速。
一個由靜止釋放的負電荷會朝較高電勢加速。
兩者都會自然地朝較低的電勢能移動。
這才是較穩妥的能量規則：
\[
\text{自由加速的電荷會以令 }U\text{ 減少的方式移動}
\]
為甚麼？
因為電場對電荷做正功，使它的動能增加：
\[
\Delta K=-\Delta U
\]
而 \(U\) 減少的方向取決於 \(q\) 的正負號。
第二個常見誤解，是把電勢和電勢能視為可以互換的概念。它們並不相同。
| 物理量 | 符號 | 取決於測試電荷嗎？ | 單位 |
|---|---|---|---|
| 電勢 | \(V\) | 否 | 伏特（V） |
| 電勢能 | \(U\) | 是，透過 \(U=qV\) | 焦耳（J） |
| 電勢差 | \(\Delta V\) | 否 | 伏特（V） |
| 勢能變化 | \(\Delta U\) | 是，透過 \(\Delta U=q\Delta V\) | 焦耳（J） |
09電場做的功與外力做的功
假設你慢慢把一個正電荷推向另一個正的源電荷。
電力會嘗試把你的電荷推開。你正把它朝着與該電力相反的方向移動。
因此，電場做負功，而你則做正功。
如果你移動電荷的速度足夠慢，使其動能沒有顯著變化，那麼
\[
W_{\text{external}}=\Delta U
\]
而
\[
W_{\text{field}}=-\Delta U
\]
這個分別十分重要。
如果題目問的是**「電場做的功」**，使用
\[
W_{\text{field}}=-\Delta U
\]
如果題目問的是外力在電荷動能不變的情況下，緩慢移動電荷所需做的功，則使用
\[
W_{\text{external}}=\Delta U
\]
在這種受控制的情況下，兩者大小相等、符號相反。
10問題與解答
問題 1
一個 \(+3.0\times10^{-6}\text{ C}\) 的電荷從電勢為 \(120\text{ V}\) 的位置移動到電勢為 \(40\text{ V}\) 的位置。
計算：
a. 電荷的電勢能變化
b. 電場做的功。
解答 1
電荷失去了 \(2.4\times10^{-4}\text{ J}\) 的電勢能，而電場做了 \(+2.4\times10^{-4}\text{ J}\) 的功。
先計算電勢差：
\[
\Delta V=V_f-V_i=40-120=-80\text{ V}
\]
然後使用
\[
\Delta U=q\Delta V
\]
所以
\[
\Delta U
=
(3.0\times10^{-6})(-80)
=
-2.4\times10^{-4}\text{ J}
\]
因此，
\[
\boxed{\Delta U=-2.4\times10^{-4}\text{ J}}
\]
負號表示電勢能減少。
電場所做的功為
\[
W_{\text{field}}
=
-\Delta U
=
2.4\times10^{-4}\text{ J}
\]
所以
\[
\boxed{W_{\text{field}}=+2.4\times10^{-4}\text{ J}}
\]
正功表示電場把能量從電勢能轉移出去。如果電力是唯一做功的力，電荷的動能會增加相同的數量。
問題 2
兩塊大型平行板產生一個 \(4.0\times10^3\text{ V m}^{-1}\) 的均勻電場，方向由左向右。一個質子由左向右移動 \(0.060\text{ m}\)。
質子的電荷量為 \(+1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。
計算電勢的變化，以及質子電勢能的變化。
解答 2
電勢降低了 \(240\text{ V}\)，而質子的電勢能減少了 \(3.84\times10^{-17}\text{ J}\)。
由於質子沿電場方向移動，
\[
\Delta V=-Ed
\]
代入數值得
\[
\Delta V
=
-(4.0\times10^3)(0.060)
=
-240\text{ V}
\]
所以
\[
\boxed{\Delta V=-240\text{ V}}
\]
現在使用
\[
\Delta U=q\Delta V
\]
得到
\[
\Delta U
=
(1.60\times10^{-19})(-240)
=
-3.84\times10^{-17}\text{ J}
\]
因此，
\[
\boxed{\Delta U=-3.84\times10^{-17}\text{ J}}
\]
這些正負號與物理圖像一致。沿電場方向，電勢會降低，而正電荷沿這個方向移動時，其電勢能也會減少。
問題 3
一個電子在均勻電場中由靜止釋放。A 點的電勢為 \(30\text{ V}\)，而 B 點的電勢為 \(90\text{ V}\)。
一名學生認為：
「電子一定會朝 A 加速，因為 A 的電勢較低。」
判斷這名學生是否正確。如果電子在 A、B 之間移動，計算它沿物理上自然發生的方向運動時，電勢能的變化。使用 \(q_e=-1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。
解答 3
這名學生不正確。被釋放的電子會朝 B，也就是電勢較高的點加速，而它的電勢能會減少 \(9.60\times10^{-18}\text{ J}\)。
負電荷受到的力方向與電場方向相反。由於電場由較高電勢指向較低電勢，因此電子會朝相反方向加速，也就是朝較高電勢移動。
對於從 A 移動到 B，
\[
\Delta V=90-30=60\text{ V}
\]
電勢能的變化為
\[
\Delta U=q\Delta V
\]
所以
\[
\Delta U
=
(-1.60\times10^{-19})(60)
=
-9.60\times10^{-18}\text{ J}
\]
因此，
\[
\boxed{\Delta U=-9.60\times10^{-18}\text{ J}}
\]
電子移向較高的 \(V\)，但移向較低的 \(U\)。
這名學生的錯誤，是假設所有電荷都會自然地朝較低電勢移動。這條規則只適用於在電力作用下由靜止釋放的正電荷。更一般的規則是，自由加速的電荷會朝較低的電勢能移動。
問題 4
一個帶正電的粒子在電場中由 X 移動到 Y。測量顯示，它在 X 和 Y 的速率相同。
一名學生因此認為，X 和 Y 一定具有相同的電勢。
這個結論一定正確嗎？請利用能量解釋。
解答 4
不一定。速率相同並不必然代表 X 和 Y 具有相同的電勢。
如果速率沒有改變，那麼粒子的動能也沒有改變：
\[
\Delta K=0
\]
如果電力是唯一做功的力，那麼機械能守恆會給出
\[
\Delta K=-\Delta U
\]
因此
\[
\Delta U=0
\]
由於粒子帶有非零的正電荷，
\[
\Delta U=q\Delta V
\]
便會要求
\[
\Delta V=0
\]
在這個受限制的情況下，X 和 Y 的確會具有相同的電勢。
但是，題目沒有說電力是唯一做功的力。當電勢能改變時，另一個力也可能加入或移除能量。
例如，如果粒子朝較高電勢移動，它的電勢能可以增加，而外力同時移除等量、相當於動能的功，使它的速率保持不變。
因此，這名學生的結論隱含了一個假設：沒有其他力進行能量轉移。只有速率相同，並不足以證明電勢相同。
問題 5
一個負電粒子在電場中由 P 移動到 Q。電場對它做了 \(+6.0\times10^{-15}\text{ J}\) 的功。
一名學生提出三個說法：
- 粒子的電勢能減少。
- Q 的電勢一定比 P 低。
- 如果電力是唯一做功的力，粒子的動能增加。
指出哪些說法正確，並逐一說明理由。
解答 5
說法 1 和 3 正確，而說法 2 錯誤。
對於說法 1，電場做的功與勢能之間的關係為
\[
W_{\text{field}}=-\Delta U
\]
因此，
\[
\Delta U=-W_{\text{field}}
=-6.0\times10^{-15}\text{ J}
\]
所以
\[
\boxed{\Delta U=-6.0\times10^{-15}\text{ J}}
\]
粒子的電勢能減少，因此說法 1 正確。
對於說法 2，使用
\[
\Delta U=q\Delta V
\]
粒子帶負電，因此 \(q<0\)。我們已知道 \(\Delta U<0\)。當 \(q\) 為負時，要使乘積 \(q\Delta V\) 為負，\(\Delta V\) 必須為正。
因此，
\[
V_Q>V_P
\]
Q 的電勢是較高，而不是較低。因此說法 2 錯誤。
對於說法 3，如果電力是唯一做功的力，
\[
\Delta K=W_{\text{field}}
\]
所以
\[
\Delta K=+6.0\times10^{-15}\text{ J}
\]
粒子的動能增加，因此說法 3 正確。
最重要的是牢記這個分別：電場指向電勢降低的方向，但自由移動的電荷會朝電勢能降低的方向加速。掌握這個分別之後，下一個有用的步驟，就是在較複雜的電場幾何中，把電勢差與電場強度及等勢面連繫起來。