الموجات الواقفة على الأوتار: التوافقيات وسرعة الموجة
تعلّم كيف يحدد طول الوتر والشد والكثافة الكتلية الخطية وسرعة الموجة التوافقيات المسموح بها للموجة الواقفة. يتضمن أمثلة محلولة وتدريبات بأسلوب HSC.
انقر وترًا مشدودًا فتسمع نغمة رئيسية واحدة، مع أن الوتر يمكنه، من حيث المبدأ، أن يتحرك بطرائق مختلفة لا حصر لها. قصّر الوتر فترتفع النغمة. زد شده فترتفع النغمة مرة أخرى. اجعل الوتر أثقل فتنخفض النغمة.
لكن السؤال الأكثر إثارة للاهتمام هو: لماذا لا يُسمح إلا بترددات معيّنة؟ لماذا لا يستطيع وتر مثبت عند طرفيه أن يُكوّن موجة واقفة مستقرة عند أي تردد تختاره؟
تكمن الإجابة في كيفية ملاءمة الموجات بين حدّين. وبمجرد أن نفهم هذه الهندسة، تصبح تأثيرات طول الوتر، والشد، والكثافة الكتلية الخطية، وسرعة الموجة واضحة ومترابطة.
01لماذا لا تلائم الوتر إلا موجات واقفة معيّنة
تخيّل إرسال نبضة على طول وتر مثبت عند طرفيه. تنتقل النبضة إلى أحد الطرفين، وتنعكس، ثم تعود. وإذا استمرت الموجات في الانتقال في الاتجاهين، فإنها تتراكب.
عند ترددات معيّنة، ينتج عن هذا التداخل نمط مستقر يسمى موجة واقفة. تبقى نقاط معيّنة ساكنة. وتسمى هذه النقاط العُقَد. وبين كل عقدتين متجاورتين توجد نقاط تهتز بأقصى سعة، وتسمى البطون.
يفرض الطرفان المثبتان قيدًا مهمًا:
يجب أن يكون كلا الطرفين عقدتين.
والآن حاول التنبؤ. لنفترض أن طول الوتر هو \(L\). هل يمكن أن تلائم موجة واقفة الوتر إذا كانت المسافة من أحد الطرفين إلى الآخر تساوي \(0.73\lambda\)، حيث \(\lambda\) هو الطول الموجي؟
لا. يجب أن يقع الطرف المثبت تمامًا عند عقدة، وتفصل بين العقد المتجاورة مسافة تساوي نصف طول موجي. لذلك يجب أن يحتوي الوتر على عدد صحيح من أنصاف الأطوال الموجية.
في أبسط نمط، يلائم الوتر نصف طول موجي واحد:
\[
L=\frac{\lambda_1}{2}
\]
ومن ثم
\[
\lambda_1=2L
\]
في النمط التالي، يلائم الوتر نصفا طول موجي:
\[
L=2\left(\frac{\lambda_2}{2}\right)=\lambda_2
\]
في النمط الثالث، تلائم الوتر ثلاثة أنصاف أطوال موجية:
\[
L=3\left(\frac{\lambda_3}{2}\right)
\]
ومن ثم
\[
\lambda_3=\frac{2L}{3}
\]
والقاعدة العامة هي
\[
\lambda_n=\frac{2L}{n}
\]
حيث:
- \(\lambda_n\) هو الطول الموجي للنمط المسموح رقم \(n\)، بوحدة المتر
- \(L\) هو الطول المهتز من الوتر، بوحدة المتر
- \(n\) عدد صحيح موجب: \(1,2,3,\ldots\)
كون \(n\) عددًا صحيحًا أمر مهم. فقيم مثل \(n=2.4\) لا تصف نمط موجة واقفة مسموحًا لوتر مثبت عند طرفيه.
02التردد الأساسي والتوافقيات
النمط الذي له \(n=1\) هو التردد الأساسي، ويسمى أيضًا التوافقية الأولى.
وتعطي القيم الأكبر من \(n\) التوافقيات الأعلى.
| التوافقية | أنصاف الأطوال الموجية على طول الوتر | الطول الموجي | التردد |
|---|---|---|---|
| \(n=1\) | 1 | \(2L\) | \(f_1\) |
| \(n=2\) | 2 | \(L\) | \(2f_1\) |
| \(n=3\) | 3 | \(\frac{2L}{3}\) | \(3f_1\) |
| \(n=4\) | 4 | \(\frac{L}{2}\) | \(4f_1\) |
إحدى الطرق المفيدة لتصور ذلك هي أن تتخيل محاولة ملاءمة «حلقات» متطابقة، طول كل منها نصف موجة، داخل الوتر. والطرفان يشبهان حارسين شديدَي الصرامة عند بابين: يجب أن تقف عقدة عند كل باب. يمكنك أن تلائم حلقة واحدة، أو حلقتين، أو ثلاث حلقات، وهكذا، ولكن لا يمكنك أن تلائم حلقتين وجزءًا من حلقة.
هذا التصور مفيد لفهم الهندسة. لكنه لا يصح إذا تخيلت الحلقات على أنها أجسام منفصلة. فالوتر جسم متصل واحد، وتنشأ الموجة الواقفة من التداخل بين موجات منتقلة.
03تحويل الطول الموجي إلى تردد
أنت تعرف بالفعل معادلة الموجة:
\[
v=f\lambda
\]
حيث \(v\) هي سرعة الموجة بوحدة المتر لكل ثانية، و\(f\) هو التردد بوحدة الهرتز، و\(\lambda\) هو الطول الموجي بوحدة المتر.
بالنسبة إلى التوافقية رقم \(n\):
\[
f_n=\frac{v}{\lambda_n}
\]
وقد وجدنا للتو أن
\[
\lambda_n=\frac{2L}{n}
\]
لذلك،
\[
f_n=\frac{nv}{2L}
\]
هذه هي أول معادلة رئيسية للموجات الواقفة على وتر مثبت عند طرفيه.
وتخبرنا مباشرة بأنه إذا بقيت سرعة الموجة والطول ثابتين،
\[
f_n=nf_1
\]
حيث
\[
f_1=\frac{v}{2L}
\]
إذن تردد التوافقية الثانية يساوي ضعف التردد الأساسي، وتردد التوافقية الثالثة يساوي ثلاثة أضعاف التردد الأساسي، وهكذا.
مفهوم خاطئ مغرٍ: توافقية أعلى تعني سرعة موجة أعلى
للتوافقية الثالثة تردد يساوي ثلاثة أضعاف تردد التوافقية الأساسية. فهل يعني ذلك أن الموجات تنتقل بسرعة أكبر بثلاث مرات؟
لا.
على الوتر نفسه، ومع الشد نفسه والكثافة الكتلية الخطية نفسها، تكون سرعة الموجة واحدة لكل التوافقيات. تمتلك التوافقية الثالثة ترددًا أكبر بثلاث مرات لأن طولها الموجي أصغر بثلاث مرات:
\[
v=f\lambda
\]
يزداد التردد بينما ينخفض الطول الموجي بالعامل نفسه، لذلك تبقى \(v\) دون تغيير.
04ما الذي يحدد سرعة الموجة؟
نحتاج الآن إلى معرفة ما الذي يحدد \(v\).
بالنسبة إلى وتر مثالي مشدود،
\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]
حيث:
- \(v\) هي سرعة الموجة المستعرضة بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
- \(T\) هو الشد في الوتر، بوحدة النيوتن
- \(\mu\) هي الكثافة الكتلية الخطية، بوحدة \(\text{kg m}^{-1}\)
تعني الكثافة الكتلية الخطية الكتلة لكل وحدة طول:
\[
\mu=\frac{m}{L}
\]
لقطعة منتظمة من الوتر كتلتها \(m\) وطولها \(L\).
انتبه إلى كلمة «الكثافة» هنا. فـ \(\mu\) ليست الكثافة الحجمية المعتادة بوحدة \(\text{kg m}^{-3}\). بل تخبرنا بمقدار الكتلة الموجودة في كل متر من الوتر.
يمكن فهم فيزياء معادلة سرعة الموجة حتى قبل إجراء أي حساب.
فالشد الأكبر يعطي قوة إرجاع أقوى عندما يُزاح الوتر، ولذلك تنتقل الاضطرابات بسرعة أكبر.
أما الكثافة الكتلية الخطية الأكبر فتعني أن هناك كتلة أكبر يجب تسريعها، ولذلك تنتقل الاضطرابات بسرعة أقل.
بدمج
\[
f_n=\frac{nv}{2L}
\]
مع
\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]
نحصل على النتيجة الأساسية:
\[
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]
تربط هذه المعادلة الواحدة التوافقيات المسموح بها برقم التوافقية، وطول الوتر، والشد، والكثافة الكتلية الخطية، وسرعة الموجة.
05قراءة المعادلة دون إجراء حسابات
قبل استخدام الآلة الحاسبة، ينبغي أن تكون قادرًا على التنبؤ بكيفية تغير التردد.
من
\[
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]
نحصل على:
| التغير | التأثير في \(f_n\)، إذا بقي كل شيء آخر ثابتًا |
|---|---|
| زيادة رقم التوافقية \(n\) | تزداد \(f_n\) طرديًا مع \(n\) |
| زيادة الطول \(L\) | تنخفض \(f_n\) وفقًا لـ \(1/L\) |
| زيادة الشد \(T\) | تزداد \(f_n\) وفقًا لـ \(\sqrt{T}\) |
| زيادة الكثافة الكتلية الخطية \(\mu\) | تنخفض \(f_n\) وفقًا لـ \(1/\sqrt{\mu}\) |
إليك تنبؤًا مهمًا.
إذا ضاعفت الشد، فهل يتضاعف التردد؟
قد يبدو ذلك منطقيًا. فالشد الأكبر يعني موجات أسرع، ولذلك قد تتوقع أن مضاعفة الشد تعني مضاعفة التردد.
لكن الشد يقع داخل جذر تربيعي:
\[
f\propto\sqrt{T}
\]
مضاعفة الشد تضرب التردد في
\[
\sqrt{2}\approx1.41
\]
وليس في \(2\).
ولمضاعفة التردد باستخدام الشد وحده، ستحتاج إلى شد أكبر بأربع مرات.
06مثال محلول: إيجاد التردد الأساسي والتوافقية الثالثة
وتر طوله \(0.80\text{ m}\) مشدود بقوة شد مقدارها \(72\text{ N}\). كثافته الكتلية الخطية \(2.0\times10^{-3}\text{ kg m}^{-1}\). أوجد التردد الأساسي وتردد التوافقية الثالثة.
الخطوة 1
\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
=\sqrt{\frac{72}{2.0\times10^{-3}}}
=\sqrt{36000}
=189.7\text{ m s}^{-1}
\]
ينتقل الاضطراب على طول الوتر بسرعة تقارب \(190\text{ m s}^{-1}\).
الخطوة 2
\[
f_1=\frac{v}{2L}
=\frac{189.7}{2(0.80)}
=118.6\text{ Hz}
\]
الخطوة 3
\[
f_3=3f_1
=3(118.6)
=355.8\text{ Hz}
\]
إذن الترددان يساويان تقريبًا
\[
\boxed{f_1=119\text{ Hz}}
\]
و
\[
\boxed{f_3=356\text{ Hz}}
\]
تردد التوافقية الثالثة يساوي ثلاثة أضعاف تردد التوافقية الأساسية، لكن الموجات تظل تنتقل على طول الوتر بالسرعة نفسها، \(189.7\text{ m s}^{-1}\).
07مثال محلول: إيجاد الشد المطلوب
وتر طوله \(0.75\text{ m}\) وكثافته الكتلية الخطية \(1.6\times10^{-3}\text{ kg m}^{-1}\). ما مقدار الشد اللازم لكي يكون تردد توافقية الوتر الثالثة \(300\text{ Hz}\)؟
الخطوة 1
بالنسبة إلى التوافقية الثالثة، \(n=3\):
\[
f_n=\frac{nv}{2L}
\]
بإعادة الترتيب،
\[
v=\frac{2Lf_n}{n}
\]
عوّض بالقيم:
\[
v=\frac{2(0.75)(300)}{3}
=150\text{ m s}^{-1}
\]
إذن يحتاج الوتر إلى سرعة موجة مقدارها \(150\text{ m s}^{-1}\).
الخطوة 2
\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]
ربّع الطرفين:
\[
v^2=\frac{T}{\mu}
\]
لذلك،
\[
T=\mu v^2
\]
الخطوة 3
\[
T=(1.6\times10^{-3})(150)^2
=36\text{ N}
\]
لذلك،
\[
\boxed{T=36\text{ N}}
\]
يجعل شد مقداره \(36\text{ N}\) سرعة الموجة كبيرة بما يكفي لكي تلائم الوتر ثلاثة أنصاف أطوال موجية بالضبط بينما يهتز الوتر عند \(300\text{ Hz}\).
08تغيير طول الوتر
من
\[
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]
يتناسب التردد عكسيًا مع الطول عندما تبقى \(n\) و\(T\) و\(\mu\) ثابتة:
\[
f_n\propto\frac{1}{L}
\]
لذلك فإن خفض الطول المهتز إلى النصف يضاعف جميع الترددات المسموح بها.
ولهذا يؤدي تقصير الوتر المهتز إلى نغمة أعلى.
هناك فخ صغير هنا. إذا قصّرت الجزء المهتز من الوتر المنتظم نفسه، فإن كثافته الكتلية الخطية لا تتغير. فكل متر ما زال يحتوي على مقدار الكتلة نفسه.
تصبح كتلة الجزء المهتز أصغر، لكن
\[
\mu=\frac{\text{كتلة الجزء}}{\text{طول الجزء}}
\]
تبقى ثابتة.
لا تفترض بالخطأ أن كتلة الجزء تبقى ثابتة بينما يتغير طوله، إلا إذا كان السؤال يصف بالفعل وترًا مختلفًا له تلك الكتلة الثابتة.
09تغيير الكثافة الكتلية
لنفترض أن لدينا وترين لهما الطول والشد نفسيهما، لكن أحدهما له كثافة كتلية خطية أكبر بأربع مرات.
تنبأ بالتردد قبل إجراء الحساب.
بما أن
\[
f\propto\frac{1}{\sqrt{\mu}}
\]
فإن ضرب \(\mu\) في \(4\) يقسم التردد على
\[
\sqrt{4}=2
\]
إذن يكون للوتر الأثقل نصف التردد للتوافقية نفسها.
وهذا موضع آخر يفشل فيه افتراض التناسب المباشر. فوجود أربعة أضعاف الكتلة لكل متر لا يجعل التردد ربع قيمته. للجذر التربيعي أثر مهم.
10فخ الترددات المنفصلة
المعادلة
\[
f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}
\]
لا تحسب التردد فحسب. بل تخبرنا أيضًا أن الترددات المسموح بها منفصلة.
لنفترض أن حسابك يعطي
\[
n=4.6
\]
لا يمكنك أن تستنتج أن الوتر يهتز في «التوافقية 4.6».
بالنسبة إلى وتر مثالي مثبت عند طرفيه،
\[
n=1,2,3,\ldots
\]
إذا أجبر مصدر اهتزاز الوتر على الاهتزاز عند تردد يقع بين تردداته الرنينية المسموح بها، فلن تحصل عمومًا على نمط الموجة الواقفة الكبير والمستقر المرتبط بالرنين.
لا يزال بإمكان مصدر الاهتزاز أن يجعل الوتر يتحرك. لكن المقصود هو أن الحركة لن تطابق أحد الأنماط الطبيعية المثالية التي لها عقدتان عند الطرفين ونمط الموجة الواقفة المستقر الموافق لها.
11الأوتار الحقيقية أقل مثالية قليلًا
يعامل نموذج HSC الوتر على أنه مرن ومنتظم، مع شد ثابت وحركة مستعرضة صغيرة السعة. وفي ظل هذه الافتراضات،
\[
f_n=nf_1
\]
تمامًا.
يمكن أن تكون الأوتار الحقيقية صلبة بدرجة ما، أو غير منتظمة، أو ذات شروط حدّية غير مثالية. ولذلك قد تختلف أنماطها الأعلى ترددًا قليلًا عن المضاعفات الصحيحة الدقيقة للتردد الأساسي.
وهذا لا يعني أن نموذج HSC خاطئ. بل يوضح لك ما الذي يفترضه النموذج ومتى تكون هذه الافتراضات مفيدة.
12الأسئلة والحلول
السؤال 1
وتر مثبت عند طرفيه طوله \(1.00\text{ m}\)، وشده \(64\text{ N}\)، وكثافته الكتلية الخطية \(4.0\times10^{-3}\text{ kg m}^{-1}\). احسب تردد توافقية الوتر الثانية.
الحل 1
تردد التوافقية الثانية يساوي تقريبًا \(\boxed{126\text{ Hz}}\).
أوجد أولًا سرعة الموجة:
\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
=\sqrt{\frac{64}{4.0\times10^{-3}}}
=\sqrt{16000}
=126.5\text{ m s}^{-1}
\]
عند \(n=2\)،
\[
f_2=\frac{2v}{2L}
=\frac{2(126.5)}{2(1.00)}
=126.5\text{ Hz}
\]
لذلك،
\[
\boxed{f_2\approx126\text{ Hz}}
\]
تحتوي التوافقية الثانية على نصفي طول موجي على طول الوتر. وفي هذه الحالة تحديدًا، تصادف أن القيمة العددية لترددها تساوي القيمة العددية لسرعة الموجة، لكن وحداتهما ومعنييهما الفيزيائيين مختلفان تمامًا.
السؤال 2
يهتز وتر في توافقية معيّنة عند \(180\text{ Hz}\) تحت شد مقداره \(45\text{ N}\). يبقى الطول والكثافة الكتلية الخطية ورقم التوافقية دون تغيير بينما يزداد الشد إلى \(80\text{ N}\). أوجد التردد الجديد.
الحل 2
التردد الجديد هو \(\boxed{240\text{ Hz}}\).
لأن الشد فقط هو الذي يتغير،
\[
f\propto\sqrt{T}
\]
ومن ثم
\[
\frac{f_2}{f_1}
=
\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}
\]
بالتعويض،
\[
\frac{f_2}{180}
=
\sqrt{\frac{80}{45}}
=
\sqrt{\frac{16}{9}}
=
\frac{4}{3}
\]
لذلك،
\[
f_2=180\left(\frac{4}{3}\right)
=240\text{ Hz}
\]
يزداد التردد بمقدار الثلث رغم أن الشد يزداد بأكثر من الثلث. والفخ هنا هو التعامل مع التردد كما لو كان يتناسب طرديًا مع الشد بدلًا من تناسبه مع الجذر التربيعي للشد.
السؤال 3
وتر منتظم له طول مهتز مقداره \(0.90\text{ m}\) وكتلة مقدارها \(5.4\text{ g}\) على امتداد ذلك الجزء المهتز. شده \(48.6\text{ N}\). ويُجبر على الاهتزاز عند \(150\text{ Hz}\).
حدد ما إذا كان \(150\text{ Hz}\) تردد توافقية مسموحًا، وإذا كان كذلك، فحدد رقم التوافقية.
الحل 3
نعم. \(150\text{ Hz}\) هو \(\boxed{\text{التوافقية الثالثة}}\).
حوّل الكتلة أولًا إلى كيلوجرامات:
\[
5.4\text{ g}=5.4\times10^{-3}\text{ kg}
\]
الكثافة الكتلية الخطية هي
\[
\mu=\frac{m}{L}
=\frac{5.4\times10^{-3}}{0.90}
=6.0\times10^{-3}\text{ kg m}^{-1}
\]
والآن أوجد سرعة الموجة:
\[
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
=\sqrt{\frac{48.6}{6.0\times10^{-3}}}
=\sqrt{8100}
=90\text{ m s}^{-1}
\]
التردد الأساسي هو
\[
f_1=\frac{v}{2L}
=\frac{90}{2(0.90)}
=50\text{ Hz}
\]
لذلك،
\[
n=\frac{f_n}{f_1}
=\frac{150}{50}
=3
\]
وبما أن \(n=3\) عدد صحيح،
\[
\boxed{150\text{ Hz هو التوافقية الثالثة}}
\]
لو أعطى الحساب قيمة غير صحيحة لـ \(n\)، مثل \(3.4\)، فلن يكون ذلك التردد واحدًا من ترددات الموجة الواقفة المثالية المسموح بها.
السؤال 4
يهتز وتر منتظم مثبت عند طرفيه في البداية في توافقيةه الرابعة. ثم يُخفض طوله المهتز إلى ثلاثة أرباع قيمته الأصلية بتحريك أحد الحدّين المثبتين. ويُستخدم الوتر نفسه، ويبقى شده دون تغيير.
ويبقى تردد مصدر الاهتزاز أيضًا دون تغيير.
أي توافقية، إن وجدت، يمكنها الآن أن ترن عند تردد مصدر الاهتزاز الأصلي؟
الحل 4
يقابل تردد مصدر الاهتزاز الأصلي الآن \(\boxed{\text{التوافقية الثالثة}}\).
لأن الوتر المنتظم نفسه مستخدم ولأن شده لم يتغير، فإن \(\mu\) و\(v\) تبقيان دون تغيير.
في البداية،
\[
f=\frac{4v}{2L}
\]
الطول الجديد هو
\[
L’=\frac{3L}{4}
\]
بالنسبة إلى توافقية \(n’\) على الوتر الأقصر،
\[
f=\frac{n’v}{2L’}
\]
وبما أن تردد مصدر الاهتزاز لم يتغير،
\[
\frac{4v}{2L}
=
\frac{n’v}{2(3L/4)}
\]
اختصر \(v\) وبسّط:
\[
\frac{2}{L}
=
\frac{2n’}{3L}
\]
إذن
\[
n’=3
\]
لذلك،
\[
\boxed{n’=3}
\]
النقطة الدقيقة هنا هي أن تقصير الوتر يرفع عادة تردد توافقية بعينها. لكن السؤال لا يشترط بقاء رقم التوافقية نفسه. فمن خلال الانتقال من التوافقية الرابعة إلى الثالثة، يمكن للوتر الأقصر أن يرن عند التردد الأصلي.
السؤال 5
يُكوّن وتر مثبت عند طرفيه نمط موجة واقفة من خمس حلقات عند دفعه بتردد \(250\text{ Hz}\). ثم يزداد شده بنسبة \(44\%\)، بينما يبقى طوله وكثافته الكتلية الخطية وتردد مصدر الاهتزاز دون تغيير.
يقول أحد الطلاب:
“تزداد سرعة الموجة بنسبة \(20\%\)، ولذلك يزداد الطول الموجي بنسبة \(20\%\). ومن المفترض أن يؤدي ذلك ببساطة إلى نمط موجة واقفة آخر.”
حدد ما إذا كان من الممكن تكوين موجة واقفة دقيقة عند \(250\text{ Hz}\) بعد تغير الشد. ثم أوجد التردد المطلوب لتكوين التوافقية الرابعة عند الشد الجديد.
الحل 5
لا يمكن تكوين موجة واقفة توافقية دقيقة عند \(250\text{ Hz}\) بعد تغير الشد. وتقع التوافقية الرابعة عند الشد الجديد عند \(\boxed{240\text{ Hz}}\).
يقابل نمط من خمس حلقات التوافقية الخامسة، لذلك في البداية
\[
f_5=250\text{ Hz}
\]
ومن ثم
\[
f_1=\frac{250}{5}=50\text{ Hz}
\]
يزداد الشد بعامل مقداره
\[
1.44
\]
وبما أن
\[
v\propto\sqrt{T}
\]
فإن سرعة الموجة الجديدة تُضرب في
\[
\sqrt{1.44}=1.20
\]
ومع بقاء الطول دون تغيير، تزداد جميع الترددات المسموح بها أيضًا بعامل \(1.20\). ولذلك يصبح التردد الأساسي الجديد
\[
f_1’=1.20(50)=60\text{ Hz}
\]
عند تردد مصدر اهتزاز قدره \(250\text{ Hz}\)، سيكون رقم التوافقية المطلوب
\[
n=\frac{250}{60}=4.17
\]
لكن الوتر المثبت عند طرفيه يتطلب
\[
n=1,2,3,\ldots
\]
لذلك فإن \(250\text{ Hz}\) ليس تردد توافقية دقيقًا مسموحًا به بعد تغير الشد.
بالنسبة إلى التوافقية الرابعة،
\[
f_4’=4f_1′
=4(60)
=240\text{ Hz}
\]
ومن ثم
\[
\boxed{f_4’=240\text{ Hz}}
\]
كان استدلال الطالب بشأن سرعة الموجة صحيحًا جزئيًا: فالسرعة تزداد بالفعل بنسبة \(20\%\). وكان الخطأ هو افتراض أن أي طول موجي ناتج يمكنه تكوين موجة واقفة. فما زالت الشروط الحدّية تتطلب أن يلائم الوتر عدد صحيح من أنصاف الأطوال الموجية.
13ما الذي يتيح لك هذا فهمه بعد ذلك
تجمع الموجات الواقفة على الأوتار بين فكرتين: الوسط هو الذي يحدد سرعة الموجة، بينما الحدود هي التي تحدد الأطوال الموجية المسموح بها.
بالنسبة إلى وتر مثبت عند طرفيه،
\[
\boxed{\lambda_n=\frac{2L}{n}}
\]
و
\[
\boxed{f_n=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}}
\]
تصبح طريقة التفكير نفسها مفيدة عندما تدرس الرنين بصورة أوسع. فبدلًا من أن تسأل فقط: «ما سرعة انتقال الموجة؟»، يمكنك أن تسأل سؤالًا ثانيًا: ما الأنماط التي تسمح بها الحدود فعلًا؟
وهذه هي الخطوة التي تنقلك من الموجات المنتقلة العادية إلى الأنماط الطبيعية، والرنين، وأنماط الموجات الواقفة التي تظهر في الأوتار، وأعمدة الهواء، والعديد من الأنظمة المهتزة الأخرى.