الموجات الواقفة في الأنابيب المغلقة: العقد والتوافقيات الفردية
تعرّف على سبب تكوّن عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح، ولماذا تدعم الأنابيب المغلقة التوافقيات الفردية فقط.
انفخ عبر فوهة زجاجة، ويمكنك الحصول على نغمة واضحة. اجعل عمود الهواء أقصر، فترتفع حدة الصوت. لكن إليك الجزء الغريب: الأنبوب المغلق من أحد طرفيه لا يمكنه دعم أي نمط من الموجات الواقفة لمجرد أنه يتسع داخل الأنبوب.
افترض أن لأنبوب مغلق ترددًا أساسيًا مقداره 200 Hz. ما التردد الذي تتوقعه بعد ذلك: 400 Hz أم 600 Hz؟
بالنسبة إلى أنبوب مثالي مغلق من أحد طرفيه ومفتوح من الطرف الآخر، فإن التردد هو 600 Hz. أما نمط 400 Hz فلا يمكنه استيفاء الشروط عند طرفي الأنبوب كليهما.
غياب التوافقي الثاني هو المفتاح لفهم الأنابيب المغلقة.
01ما الذي يجب أن يحدث عند كل طرف؟
الصوت في الهواء هو موجة طولية. تهتز جسيمات الهواء ذهابًا وإيابًا في اتجاه موازٍ لاتجاه انتشار الصوت.
داخل الأنبوب، تنعكس الموجات الصوتية عن الأطراف. ويمكن للموجة الساقطة وانعكاسها أن تتداخلا لتكوّنا موجة واقفة، لها مواضع ثابتة يتحرك فيها الهواء قليلًا جدًا ومواضع أخرى يتحرك فيها بقوة.
قبل الانشغال بالمعادلات، تصوّر طرفي الأنبوب.
عند الطرف المغلق، يكون الهواء ملاصقًا لجدار صلب. ولا تستطيع جسيمات الهواء هناك أن تهتز ذهابًا وإيابًا عبر الجدار. لذلك يجب أن تكون إزاحتها صفرًا.
إذن، الطرف المغلق هو عقدة إزاحة.
عند الطرف المفتوح، يكون الهواء حرًا في الحركة إلى الداخل والخارج. ويمكن أن تكون إزاحته كبيرة.
إذن، الطرف المفتوح هو تقريبًا بطن إزاحة.
بالنسبة إلى أنبوب مغلق مثالي:
| الموضع | إزاحة جسيمات الهواء |
|---|---|
| الطرف المغلق | عقدة |
| الطرف المفتوح | بطن |
هذا الشرط الحدّي الواحد يتحكم في كل نمط مسموح به للموجة الواقفة.
02أقصر نمط يمكن أن يتسع
تحتوي الموجة الواقفة على عقد وبطون متعاقبة.
في موجة واقفة جيبية:
- من العقدة إلى أقرب بطن = \(\frac{\lambda}{4}\)
- من العقدة إلى أقرب عقدة = \(\frac{\lambda}{2}\)
- من البطن إلى أقرب بطن = \(\frac{\lambda}{2}\)
حيث إن \(\lambda\) هو الطول الموجي بالمتر.
يحتاج الأنبوب المغلق إلى عقدة عند أحد طرفيه وبطن عند الطرف الآخر. ما أقصر جزء من موجة ينتقل من عقدة إلى بطن؟
ربع طول موجي.
لذلك، بالنسبة إلى أبسط موجة واقفة ممكنة،
\[
L = \frac{\lambda}{4}
\]
حيث إن \(L\) هو طول الأنبوب.
وبإعادة الترتيب نحصل على
\[
\lambda = 4L
\]
وهذا هو النمط الأساسي لأنبوب مغلق.
ومن المفيد تصوّر ذلك قبل حفظه. فالأنبوب ليس بطريقة ما «ربع موجة صوتية» بمعنى أن ربع موجة منتقلة فقط هو الموجود. بل إن نمط الموجة الواقفة بين الحدّين له شكل مكاني يعادل ربع دورة جيبية.
03من الطول الموجي إلى التردد الأساسي
بالنسبة إلى أي موجة،
\[
v = f\lambda
\]
حيث:
- \(v\) هي سرعة الموجة بوحدة متر لكل ثانية، \(\text{m s}^{-1}\)
- \(f\) هو التردد بوحدة الهرتز، Hz
- \(\lambda\) هو الطول الموجي بالمتر، m
بالنسبة إلى النمط الأساسي لأنبوب مغلق، \(\lambda = 4L\). لذلك،
\[
f_1 = \frac{v}{4L}
\]
يشير الرمز السفلي 1 إلى التوافقي الأول، أو التردد الأساسي.
مثال محلول: إيجاد التردد الأساسي
أنبوب طوله 0.85 m ومغلق من أحد طرفيه. سرعة الصوت هي \(340\text{ m s}^{-1}\). أوجد تردده الأساسي.
الخطوة 1
\[
\lambda = 4L
\]
الخطوة 2
\[
\lambda = 4(0.85\text{ m}) = 3.40\text{ m}
\]
الخطوة 3
\[
f = \frac{v}{\lambda}
= \frac{340\text{ m s}^{-1}}{3.40\text{ m}}
= 100\text{ Hz}
\]
إذن، التردد الأساسي هو 100 Hz.
وهذا يعني أن الموجة الواقفة ذات أقل تردد والتي تحقق وجود عقدة إزاحة عند الطرف المغلق وبطن إزاحة عند الطرف المفتوح لها تردد مقداره 100 Hz.
04لماذا لا يتسع التوافقي الثاني
لنحاول الآن زيادة التردد.
قد يستنتج طالب أن النمط التالي ينبغي أن يكون بتردد يساوي ضعف التردد الأساسي. وهذا بالضبط ما يحدث في وتر مثبت عند طرفيه، لذا فإن هذا التوقع معقول.
لكن الأنبوب المغلق له شروط حدّية مختلفة عند طرفيه.
ولمضاعفة التردد الأساسي مع بقاء سرعة الموجة ثابتة، يجب أن نُخفض الطول الموجي إلى النصف. بدءًا من
\[
L=\frac{\lambda_1}{4},
\]
سيكون الطول الموجي للتوافقي الثاني المقترح
\[
\lambda_2=\frac{\lambda_1}{2}.
\]
وعندها يصبح طول الأنبوب مساويًا لـ
\[
L=\frac{\lambda_2}{2}.
\]
نصف طول موجي ينقلك من عقدة إلى عقدة أخرى.
لكن الطرف المفتوح يتطلب وجود بطن.
لذلك، لا يتسع نمط التوافقي الثاني.
وهذه ليست قاعدة اختُرعت لجعل مسائل الأنابيب المغلقة مزعجة. بل يُرفض هذا النمط لأنه يخالف الشرط الفيزيائي عند الطرف المفتوح.
05لماذا تظهر التوافقيات الفردية فقط
يجب أن يبدأ النمط المسموح التالي أيضًا عند عقدة وينتهي عند بطن.
بدءًا من الطرف المغلق، يمكننا أن نُدخِل:
\[
\frac{\lambda}{4},\quad
\frac{3\lambda}{4},\quad
\frac{5\lambda}{4},\quad
\frac{7\lambda}{4},\ldots
\]
إذن، أطوال الأنبوب المسموح بها هي
\[
L=\frac{(2n-1)\lambda_n}{4},
\]
حيث إن \(n=1,2,3,\ldots\) يعدّ الأنماط المسموح بها.
وبإعادة الترتيب،
\[
\lambda_n=\frac{4L}{2n-1}.
\]
وباستخدام \(v=f\lambda\)،
\[
f_n=\frac{(2n-1)v}{4L}.
\]
يجب التعامل مع هذا الترميز بعناية. عندما تكون \(n=1,2,3,\ldots\)، تكون التوافقيات الفيزيائية المقابلة:
| رقم النمط المسموح \(n\) | نمط طول الأنبوب | التردد | اسم التوافقي |
|---|---|---|---|
| 1 | \(L=\frac{\lambda}{4}\) | \(f_1\) | التوافقي الأول |
| 2 | \(L=\frac{3\lambda}{4}\) | \(3f_1\) | التوافقي الثالث |
| 3 | \(L=\frac{5\lambda}{4}\) | \(5f_1\) | التوافقي الخامس |
| 4 | \(L=\frac{7\lambda}{4}\) | \(7f_1\) | التوافقي السابع |
إذن، يدعم الأنبوب المغلق المثالي ترددات بالنسب
\[
1:3:5:7:\ldots
\]
أي إنه يدعم التوافقيات الفردية لتردده الأساسي.
ومن الأخطاء الشائعة تسمية النمط المسموح الثاني «التوافقي الثاني». فهو ثاني نمط، لكن تردده يساوي ثلاثة أضعاف التردد الأساسي، ولذلك فهو التوافقي الثالث.
06طريقة مفيدة لتصوّر النمط
تخيّل موعدًا أول شديد الصرامة، حيث يجب على شخص أن يبقى ساكنًا تمامًا عند أحد طرفي الطاولة، بينما يجب أن يكون الشخص الآخر حرًا قدر الإمكان في الحركة عند الطرف الآخر.
يمثل الشخص الساكن عقدة الإزاحة عند الطرف المغلق. ويمثل الشخص الحر في الحركة بطن الإزاحة عند الطرف المفتوح.
يمكنك إضافة المزيد من الأجزاء المتذبذبة بينهما، لكن لا يمكن أن تتغير الشروط عند الطرفين. فكل نمط مقبول يجب أن يبدأ بإزاحة تساوي صفرًا وينتهي بإزاحة عظمى.
يتوقف هذا التشبيه عن أن يكون مفيدًا عندما نهتم بما يفعله الهواء فعليًا. فجسيمات الهواء تهتز محليًا حول مواضع اتزانها. وهي لا تنتقل من العقدة إلى البطن مثل أشخاص يتحركون على طول طاولة.
07مثال محلول: تحديد رنين مسموح
أنبوب طوله 0.50 m ومغلق من أحد طرفيه. سرعة الصوت هي \(340\text{ m s}^{-1}\). حدد أول ثلاثة ترددات رنين.
الخطوة 1
\[
f_1=\frac{v}{4L}
=\frac{340\text{ m s}^{-1}}{4(0.50\text{ m})}
=170\text{ Hz}
\]
الخطوة 2
أول ثلاثة توافقيات مسموح بها هي الأول والثالث والخامس:
\[
f_1=170\text{ Hz}
\]
\[
f_3=3(170\text{ Hz})=510\text{ Hz}
\]
\[
f_5=5(170\text{ Hz})=850\text{ Hz}
\]
إذن، أول ثلاثة ترددات رنين هي 170 Hz و510 Hz و850 Hz.
لاحظ ما هو مفقود. فالترددات مثل 340 Hz و680 Hz هي مضاعفات صحيحة لـ 170 Hz، لكنها توافقيات زوجية ولا تحقق الشروط الحدّية للعقدة والبطن.
08الإزاحة والضغط لا يمثلان النمط نفسه
هناك مستوى إضافي من الدقة يسبب قدرًا كبيرًا من الالتباس.
حتى الآن، وصفنا إزاحة جسيمات الهواء. لكن الموجات الصوتية تتضمن أيضًا تغيرات في الضغط.
عند الطرف المغلق، لا يستطيع الهواء التحرك كثيرًا، لكنه يمكن أن ينضغط بقوة عند الجدار. لذلك:
- عقدة الإزاحة هي بطن ضغط
- بطن الإزاحة هو عقدة ضغط
بالنسبة إلى أنبوب مغلق:
| الموضع | الإزاحة | تغير الضغط |
|---|---|---|
| الطرف المغلق | عقدة | بطن |
| الطرف المفتوح | بطن | عقدة |
قد يبدو هذا معكوسًا في البداية. فكّر في الطرف المغلق. يمنع الجدار جسيمات الهواء من الحركة، لذلك تكون الإزاحة صغيرة. لكن الجسيمات المجاورة يمكن أن تتجمع عند ذلك الحد، ما يؤدي إلى تغيرات كبيرة في الضغط.
عند الطرف المفتوح، يستطيع الهواء التحرك بحرية، بينما يبقى ضغطه قريبًا من الضغط الجوي في الخارج. لذلك يكون تغير الإزاحة كبيرًا، بينما يكون تغير الضغط صغيرًا.
إذا لم يوضح الرسم ما إذا كان يمثل الإزاحة أم الضغط، فلا تسمِّ عقده وبطونه بصورة عشوائية. فالنمطان معكوسان.
09للنموذج المثالي قيد
القول إن بطن الإزاحة يقع تمامًا عند الطرف المفتوح هو تقريب مثالي.
في الأنبوب الحقيقي، يمتد الهواء المتذبذب قليلًا إلى ما وراء الفتحة الفعلية. لذلك يتصرف الأنبوب كما لو كان عمود الهواء الرنان فيه أطول قليلًا من طوله المقاس. ويُسمى ذلك تصحيح الطرف.
في معظم حسابات HSC التمهيدية، إذا لم يُعطَ تصحيح للطرف أو يُطلب استخدامه، فاستخدم النموذج المثالي:
\[
f_1=\frac{v}{4L}.
\]
لكن تذكّر ما تفترضه المعادلة. فقد عومل طول الرنين الفعال والطول المقاس على أنهما متساويان.
مثال محلول: إيجاد طول الأنبوب انطلاقًا من رنين
يرن أنبوب مغلق عند 735 Hz في توافقيه الثالث. سرعة الصوت هي \(343\text{ m s}^{-1}\). أوجد الطول المثالي للأنبوب.
الخطوة 1
التوافقي الثالث هو رنين مسموح، ويحقق
\[
f_3=\frac{3v}{4L}.
\]
الخطوة 2
\[
L=\frac{3v}{4f_3}
\]
الخطوة 3
\[
L
=\frac{3(343\text{ m s}^{-1})}{4(735\text{ Hz})}
=\frac{1029}{2940}\text{ m}
=0.350\text{ m}
\]
إذن، طول الأنبوب المثالي هو 0.350 m.
لم تكن الخطوة المهمة هي الحساب. بل كانت إدراك أن 735 Hz هو التوافقي الثالث، ولذلك سيكون التردد الأساسي ثلث ذلك التردد.
10أسرع قاعدة لاتخاذ القرار
عندما ترى مسألة عن موجة واقفة في أنبوب، حدِّد الطرفين أولًا.
بالنسبة إلى أنبوب مغلق من أحد طرفيه ومفتوح من الطرف الآخر:
- استخدم عقدة إزاحة عند الطرف المغلق.
- استخدم بطن إزاحة عند الطرف المفتوح.
- اجعل عدد أرباع الأطوال الموجية داخل الأنبوب عددًا فرديًا.
- استخدم
\[
L=\frac{(2n-1)\lambda_n}{4}.
\]
- ومن ثم تكون الترددات المسموح بها
\[
f_n=\frac{(2n-1)v}{4L}.
\]
- توقّع فقط التوافقيات الأول والثالث والخامس والسابع والتوافقيات الفردية الأعلى.
إذا كانت المسألة تعرض بدلًا من ذلك موجة واقفة للضغط، فاعكس تسميتي العقدة والبطن.
11أسئلة وحلول
السؤال 1
أنبوب طوله 0.75 m ومغلق من أحد طرفيه. اعتبر سرعة الصوت \(345\text{ m s}^{-1}\).
احسب التردد الأساسي.
الحل 1
التردد الأساسي هو 115 Hz.
بالنسبة إلى النمط الأساسي لأنبوب مغلق،
\[
L=\frac{\lambda}{4},
\]
ومن ثم
\[
\lambda=4L=4(0.75\text{ m})=3.00\text{ m}.
\]
وباستخدام
\[
v=f\lambda,
\]
نحصل على
\[
f=\frac{v}{\lambda}
=\frac{345\text{ m s}^{-1}}{3.00\text{ m}}
=115\text{ Hz}.
\]
إذن، يدعم عمود الهواء الذي طوله 0.75 m أقل تردد رنين مقداره 115 Hz في النموذج المثالي للأنبوب المغلق.
السؤال 2
لأنبوب مغلق تردد أساسي مقداره 140 Hz. اذكر ترددي الرنين المسموحين التاليين وحدد رقميهما التوافقيين.
الحل 2
الترددان المسموحان التاليان هما 420 Hz، وهو التوافقي الثالث، و700 Hz، وهو التوافقي الخامس.
الأنبوب المغلق من أحد طرفيه يدعم التوافقيات الفردية فقط:
\[
f_1,\quad 3f_1,\quad 5f_1,\ldots
\]
لذلك،
\[
f_3=3(140\text{ Hz})=420\text{ Hz},
\]
و
\[
f_5=5(140\text{ Hz})=700\text{ Hz}.
\]
من الأخطاء المغرية أن نسمّي 420 Hz «التوافقي الثاني» لأنه ثاني رنين مسموح. فهو ثاني نمط مسموح، لكن تردده يساوي ثلاثة أضعاف التردد الأساسي، ولذلك فهو التوافقي الثالث.
السؤال 3
يرسم طالب نمطًا لموجة إزاحة واقفة في أنبوب مغلق عند الطرف الأيسر ومفتوح عند الطرف الأيمن. ويُظهر رسمه بطنًا عند كلا الطرفين.
اشرح لماذا لا يمكن للرسم أن يمثل رنينًا مسموحًا في الأنبوب.
الحل 3
الرسم لا يمثل موجة إزاحة واقفة مسموحًا بها لأن الطرف المغلق يجب أن يكون عقدة إزاحة، لا بطنًا.
عند الطرف المغلق، يمنع الجدار الصلب جسيمات الهواء عند الحد من الاهتزاز ذهابًا وإيابًا. ولذلك تكون إزاحتها صفرًا، ما يجعل الطرف المغلق عقدة إزاحة.
أما الطرف المفتوح فهو تقريبًا بطن إزاحة لأن الهواء هناك يستطيع التحرك بحرية.
وجود بطن عند الطرف المغلق يتطلب إزاحة عظمى لجسيمات الهواء في موضع يمنع فيه الجدار هذه الحركة. ولذلك يخالف الرسم الشرط الحدّي الفيزيائي، بغض النظر عن مدى انتظام توافق بقية الموجة داخل الأنبوب.
السؤال 4
أنبوب طوله 0.60 m ومغلق من أحد طرفيه. سرعة الصوت هي \(336\text{ m s}^{-1}\).
يمكن لمصدر صوتي إنتاج ترددات مقدارها 140 Hz و280 Hz و420 Hz و560 Hz و700 Hz.
أي من هذه الترددات يمكن أن يُنتج رنينًا مثاليًا في الأنبوب؟ اشرح استدلالك بدلًا من اختبار كل تردد على حدة.
الحل 4
ترددات الرنين الموجودة في القائمة هي 140 Hz و420 Hz و700 Hz.
أوجد التردد الأساسي أولًا:
\[
f_1=\frac{v}{4L}
=\frac{336\text{ m s}^{-1}}{4(0.60\text{ m})}
=\frac{336}{2.40}\text{ Hz}
=140\text{ Hz}.
\]
يدعم الأنبوب المغلق المضاعفات الفردية فقط لتردده الأساسي:
\[
f=(1,3,5,7,\ldots)f_1.
\]
لذلك،
\[
f_1=140\text{ Hz},
\]
\[
f_3=3(140\text{ Hz})=420\text{ Hz},
\]
و
\[
f_5=5(140\text{ Hz})=700\text{ Hz}.
\]
أما الترددان 280 Hz و560 Hz فهما التوافقيان الثاني والرابع لـ 140 Hz. وسيتطلبان نمطي موجة واقفة لا يحققان وجود عقدة إزاحة عند أحد الطرفين وبطن إزاحة عند الطرف الآخر.
إذن، الاختصار المفيد هو تحديد التردد الأساسي أولًا، ثم تطبيق قاعدة التوافقيات الفردية.
السؤال 5
لعمودين هوائيين مثاليين الطول نفسه. الأنبوب A مفتوح من كلا الطرفين. والأنبوب B مغلق من أحد طرفيه ومفتوح من الطرف الآخر.
يدّعي طالب: «بما أن للأنبوبين الطول نفسه ويحتويان على الهواء نفسه، فلا بد أن يكون لهما التردد الأساسي نفسه».
قيّم الادعاء باستخدام الشروط الحدّية للموجة الواقفة.
الحل 5
الادعاء غير صحيح: التردد الأساسي للأنبوب B يساوي نصف التردد الأساسي للأنبوب A في النموذج المثالي.
بالنسبة إلى الأنبوب المفتوح، يكون كل طرف مفتوح بطن إزاحة. وأقصر نمط لموجة واقفة يصل بين بطن وآخر يحتوي على نصف طول موجي:
\[
L=\frac{\lambda_A}{2}.
\]
لذلك،
\[
\lambda_A=2L
\]
و
\[
f_A=\frac{v}{2L}.
\]
بالنسبة إلى الأنبوب B، يكون الطرف المغلق عقدة إزاحة والطرف المفتوح بطن إزاحة. ويحتوي أقصر نمط مسموح على ربع طول موجي:
\[
L=\frac{\lambda_B}{4}.
\]
لذلك،
\[
\lambda_B=4L
\]
و
\[
f_B=\frac{v}{4L}.
\]
بمقارنة الاثنين،
\[
f_B=\frac{1}{2}f_A.
\]
الافتراض الضمني لدى الطالب هو أن طول الأنبوب وحده يحدد الطول الموجي الرنان. وهذا غير صحيح. فـ الشروط الحدّية هي التي تحدد أي جزء من الطول الموجي يمكن أن يتسع ضمن ذلك الطول.
السؤال 6
يقيس مجرّب حالات رنين قوية من أنبوب عند نحو 255 Hz و425 Hz و595 Hz. ويدّعي أن الأنبوب مغلق من أحد طرفيه وأن هذه ترددات لأنماط مسموح بها متتالية.
من دون معرفة طول الأنبوب أو سرعة الصوت، حدد ما إذا كانت القياسات متوافقة مع هذا الادعاء. وإذا كانت كذلك، فقدّر التردد الأساسي.
الحل 6
القياسات متوافقة مع أنماط مسموح بها متتالية لأنبوب مغلق، بتردد أساسي مقدّر مقداره 85 Hz.
بالنسبة إلى أنبوب مغلق مثالي، تكون الترددات المسموح بها على الصورة
\[
f=(1,3,5,7,\ldots)f_1.
\]
الفرق بين الترددات المقاسة هو
\[
425-255=170\text{ Hz}
\]
و
\[
595-425=170\text{ Hz}.
\]
تختلف التوافقيات الفردية المتتالية بمقدار \(2f_1\)، لأن
\[
(5f_1-3f_1)=2f_1
\]
وينطبق الأمر نفسه على الأنماط المتجاورة اللاحقة.
لذلك،
\[
2f_1=170\text{ Hz},
\]
ومن ثم
\[
f_1=85\text{ Hz}.
\]
والآن اختبر القيم المقاسة:
\[
3f_1=3(85\text{ Hz})=255\text{ Hz},
\]
\[
5f_1=5(85\text{ Hz})=425\text{ Hz},
\]
\[
7f_1=7(85\text{ Hz})=595\text{ Hz}.
\]
إذن، تتطابق قمم الرنين المرصودة مع التوافقيات الثالث والخامس والسابع.
النقطة الدقيقة هي أن أقل رنين مرصود لا يلزم أن يكون التردد الأساسي. ففي هذه الحالة، إذا اعتبرنا 255 Hz هو التردد الأساسي، فسيكون الرنين المسموح التالي المتوقع عند \(3(255)=765\text{ Hz}\)، وهو ما يتعارض مع القياسات.
12ما الذي يتيح لك هذا فهمه بعد ذلك
إن نمط التوافقيات الفردية هو في جوهره مسألة شروط حدّية. فبمجرد أن تتمكن من النظر إلى طرفي نظام وتحديد المواضع التي يجب أن توجد عندها العقد والبطون، تتوقف معادلات التردد عن كونها صيغًا منفصلة عن بعضها.
والفكرة نفسها هي الخطوة المفيدة التالية عند مقارنة الأنابيب المغلقة والأنابيب المفتوحة والموجات الواقفة على الأوتار. تختلف أنماطها التوافقية لأن حدودها تفرض شروطًا مختلفة على الموجة.