الانعكاس الداخلي الكلي: الشروط والزاوية الحرجة
تعرّف على الشرطين اللازمين لحدوث الانعكاس الداخلي الكلي، وكيفية حساب الزاوية الحرجة، وكيفية تطبيق الفكرتين في أسئلة فيزياء HSC.
يصطدم شعاع ضوئي داخل الزجاج بالحد الفاصل بين الزجاج والهواء. أحيانًا يخرج إلى الهواء. وأحيانًا يسير تمامًا بمحاذاة الحد الفاصل. زِد الزاوية قليلًا أكثر، وفجأة لا يخرج أي ضوء على الإطلاق.
ما الذي تغيّر؟ لم يتغيّر الزجاج. ولم يتغيّر الهواء. الشيء الوحيد الذي تغيّر هو اتجاه الشعاع.
قبل أن تتابع القراءة، توقّع: هل يمكن أن يحدث التأثير نفسه للضوء الذي يسير في الاتجاه المعاكس، من الهواء إلى الزجاج؟
لا. هذا الاتجاه لا يمكن أن يحدث فيه الانعكاس الداخلي الكلي. وفهم السبب يمنحك أوضح طريقة للتعامل مع معظم أسئلة فيزياء HSC تقريبًا حول الانعكاس الداخلي الكلي.
01ما الذي يفسّره الانعكاس الداخلي الكلي؟
عندما يصل الضوء إلى حد فاصل بين مادتين شفافتين، فإنه ينقسم عادةً. ينعكس جزء من الضوء، وينكسر جزء آخر إلى المادة الثانية.
لنفترض أن الضوء ينتقل من الزجاج إلى الهواء.
معامل انكسار الزجاج أكبر من معامل انكسار الهواء. وعندما يدخل الشعاع مادة ذات معامل انكسار أقل، فإنه ينحرف بعيدًا عن العمود المقام.
تخيّل الآن زيادة زاوية السقوط تدريجيًا.
ينحرف الشعاع المنكسر أكثر فأكثر بعيدًا عن العمود المقام. وفي النهاية، يصل إلى حالة حدّية يسير فيها الشعاع المنكسر تمامًا بمحاذاة الحد الفاصل.
بعد ذلك، لا يوجد اتجاه أبعد يمكن أن ينحرف إليه الشعاع المنكسر. فيبقى الضوء داخل المادة الأصلية وينعكس إلى داخلها.
هذا هو الانعكاس الداخلي الكلي، أو TIR.
02الشرطان اللازمان للانعكاس الداخلي الكلي
هناك شرطان. وتحتاج إلى تحقق كليهما.
| الشرط | ما يعنيه |
|---|---|
| شرط الاتجاه | يجب أن ينتقل الضوء من مادة ذات معامل انكسار أكبر إلى مادة ذات معامل انكسار أصغر. |
| شرط الزاوية | يجب أن تكون زاوية السقوط أكبر من الزاوية الحرجة. |
بالرموز، إذا انتقل الضوء من المادة 1 إلى المادة 2:
\[
n_1 > n_2
\]
و
\[
\theta_i > \theta_c
\]
حيث إن \(n_1\) هو معامل انكسار المادة التي يوجد فيها الشعاع الساقط، و\(n_2\) هو معامل انكسار المادة الثانية، و\(\theta_i\) هي زاوية السقوط، و\(\theta_c\) هي الزاوية الحرجة.
قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار هي:
- تحقّق من الاتجاه أولًا.
- ثم تحقّق من الزاوية.
هذا الترتيب مهم. إذا كان الضوء ينتقل من معامل انكسار أصغر إلى معامل انكسار أكبر، فلا يمكن أن يحدث TIR عند أي زاوية سقوط. ولا فائدة من حساب الزاوية الحرجة.
03لماذا يهم الاتجاه؟
فكّر في شعاع ينتقل من الهواء إلى الزجاج.
للهواء \(n \approx 1.00\)، بينما قد يكون للزجاج العادي \(n \approx 1.50\). ينحرف الشعاع نحو العمود المقام عند دخوله الزجاج.
زيادة زاوية السقوط لا تجعل الشعاع المنكسر يقترب من السطح. بل يظل على جانب الزجاج بالنسبة إلى العمود المقام.
اعكس الآن مسار الرحلة.
عندما ينتقل الضوء من الزجاج إلى الهواء، فإنه ينحرف بعيدًا عن العمود المقام. ومع زيادة زاوية السقوط، تزداد زاوية الانكسار بمعدل أكبر. وفي النهاية، تصل زاوية الانكسار إلى \(90^\circ\).
هذه الحالة الحدّية هي التي تُنتج الزاوية الحرجة.
من الاختصارات الشائعة القول إن الضوء يجب أن ينتقل من مادة “أعلى كثافة بصريًا” إلى مادة “أقل كثافة بصريًا”. وهذا مقبول إذا كان المقصود بالكثافة البصرية هو معامل الانكسار. ولا يعني ذلك أن المادة يجب أن تكون ذات كثافة كتلية أكبر.
04الزاوية الحرجة
الزاوية الحرجة هي زاوية السقوط التي تنتج زاوية انكسار مقدارها بالضبط \(90^\circ\).
انتبه جيدًا إلى الصياغة. الزاوية الحرجة هي زاوية سقوط، ولذلك تُقاس من العمود المقام.
عند الزاوية الحرجة:
\[
\theta_i = \theta_c
\]
و
\[
\theta_r = 90^\circ
\]
وبالتالي يسير الشعاع المنكسر بمحاذاة الحد الفاصل.
وهذا ليس انعكاسًا داخليًا كليًا بعد.
يحدث TIR فقط عندما:
\[
\theta_i > \theta_c
\]
وهذه المتباينة الصارمة مصدر سهل لفقدان الدرجات.
اشتقاق الزاوية الحرجة
قانون سنيل هو:
\[
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
\]
حيث \(n_1\) و\(n_2\) هما معاملا الانكسار للمادتين، و\(\theta_1\) و\(\theta_2\) هما الزاويتان المقابلتان المقاسوَتان من العمود المقام.
عند الزاوية الحرجة، تكون زاوية الانكسار \(90^\circ\). لذلك:
\[
n_1\sin\theta_c = n_2\sin90^\circ
\]
وبما أن \(\sin90^\circ = 1\):
\[
n_1\sin\theta_c = n_2
\]
إذن:
\[
\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}
\]
ومن ثم:
\[
\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)
\]
لا تصف هذه الصيغة زاوية حرجة حقيقية إلا عندما يكون \(n_1 > n_2\).
لماذا؟ إذا كان \(n_2 > n_1\)، فإن \(n_2/n_1\) يكون أكبر من 1. لكن جيب أي زاوية حقيقية لا يمكن أن يكون أكبر من 1.
تخبرك الرياضيات هنا بالشيء نفسه الذي تخبرك به الفيزياء: لا توجد زاوية حرجة عندما ينتقل الضوء من معامل انكسار أصغر إلى معامل انكسار أكبر.
مثال محلول: هل سيخرج الضوء من الزجاج؟
ينتقل الضوء عبر زجاج معامل انكساره \(1.50\) نحو الهواء ذي معامل الانكسار \(1.00\). ويصطدم بالحد الفاصل بين الزجاج والهواء بزاوية سقوط \(50.0^\circ\). حدّد ما إذا كان الانعكاس الداخلي الكلي يحدث.
الخطوة 1
ينتقل الشعاع من الزجاج، \(n_1 = 1.50\)، إلى الهواء، \(n_2 = 1.00\).
وبما أن:
\[
1.50 > 1.00
\]
فإن شرط الاتجاه متحقق.
الخطوة 2
\[
\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)
= \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.50}\right)
= 41.8^\circ
\]
الخطوة 3
\[
50.0^\circ > 41.8^\circ
\]
إذن، يحدث الانعكاس الداخلي الكلي.
لا ينتج الضوء شعاعًا منكسرًا نافذًا إلى الهواء. وبدلًا من ذلك، ينعكس عائدًا إلى داخل الزجاج.
05تُقاس الزاوية من العمود المقام، لا من السطح
تخيّل شعاعًا يبدو وكأنه يمر بمحاذاة الحد الفاصل تقريبًا. قد يصف طالب هذه الزاوية بأنها “صغيرة” لأن الزاوية بين الشعاع والسطح صغيرة.
في مسائل الانكسار، هذه ليست الزاوية الصحيحة.
تُقاس زوايا السقوط والانعكاس والانكسار من العمود المقام، وهو عمودي على السطح.
لذلك، إذا صنع شعاع زاوية \(20^\circ\) مع السطح، فإنه يصنع:
\[
90^\circ – 20^\circ = 70^\circ
\]
مع العمود المقام.
وهذه \(70^\circ\) هي زاوية السقوط.
وهذا مهم لأن TIR يُفضَّل عند وجود زاوية كبيرة من العمود المقام.
ولتخيّل الأمر بطريقة طريفة قليلًا، تخيّل أن الشعاع يحاول مغادرة حفلة. التوجه نحو الباب بصورة شبه مباشرة يشبه زاوية سقوط صغيرة. أما المرور بمحاذاة الباب تقريبًا وباتجاه جانبي فيشبه زاوية سقوط كبيرة. وعند زاوية كبيرة بما يكفي، يُرفض شعاعنا ويبقى في الداخل.
لكن هذا التشبيه له حدوده، لأن الضوء لا يتخذ قرارًا عند الحد الفاصل. فسلوكه يتبع شروط الموجات التي يصفها الانكسار والانعكاس.
مثال محلول: زاوية معطاة من السطح
ينتقل شعاع داخل مادة معامل انكسارها \(1.60\) نحو الهواء. ويصنع الشعاع زاوية \(35.0^\circ\) مع السطح. حدّد ما إذا كان الانعكاس الداخلي الكلي يحدث.
الخطوة 1
العمود المقام يصنع زاوية \(90^\circ\) مع السطح، لذلك:
\[
\theta_i = 90.0^\circ – 35.0^\circ = 55.0^\circ
\]
الخطوة 2
ينتقل الشعاع من \(n_1 = 1.60\) إلى \(n_2 = 1.00\).
وبما أن \(1.60 > 1.00\)، فإن TIR ممكن.
الخطوة 3
\[
\theta_c
= \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.60}\right)
= 38.7^\circ
\]
الخطوة 4
\[
55.0^\circ > 38.7^\circ
\]
إذن، يحدث الانعكاس الداخلي الكلي.
الخطوة المهمة لم تكن استخدام الآلة الحاسبة. بل كانت ملاحظة أن \(35.0^\circ\) مقاسة من السطح لا من العمود المقام.
06ماذا يحدث أسفل الزاوية الحرجة، وعندها، وفوقها؟
بالنسبة إلى الضوء الذي ينتقل في الاتجاه الصحيح، من \(n\) أكبر إلى \(n\) أصغر، توجد ثلاث حالات مفيدة.
| زاوية السقوط | السلوك |
|---|---|
| \(\theta_i < \theta_c\) | يدخل شعاع منكسر إلى المادة الثانية. |
| \(\theta_i = \theta_c\) | يسير الشعاع المنكسر بمحاذاة الحد الفاصل بزاوية \(90^\circ\) مع العمود المقام. |
| \(\theta_i > \theta_c\) | يحدث الانعكاس الداخلي الكلي. |
لنفترض أن الزاوية الحرجة هي \(42^\circ\).
عند \(40^\circ\)، لا يحدث TIR.
وعند \(42^\circ\) بالضبط، لا يزال TIR غير حاصل. إذ يسير الشعاع المنكسر بمحاذاة الحد الفاصل.
وعند \(43^\circ\)، يحدث TIR.
كلمة أكبر مهمة فعلًا هنا.
07مقارنة أكثر دقة: من الزجاج إلى الماء
يحفظ بعض الطلاب أحيانًا أن “الزجاج إلى الهواء يمكن أن يحدث فيه انعكاس داخلي كلي”، ثم يحوّلون هذا المثال عن طريق الخطأ إلى قاعدة.
وجود الهواء ليس شرطًا.
لننظر إلى ضوء ينتقل من زجاج ذي \(n = 1.52\) إلى ماء ذي \(n = 1.33\).
شرط الاتجاه متحقق لأن:
\[
1.52 > 1.33
\]
إذن، TIR ممكن.
الزاوية الحرجة هي:
\[
\theta_c
= \sin^{-1}\left(\frac{1.33}{1.52}\right)
= 61.0^\circ
\]
قارن الآن بين شعاعين.
الشعاع الساقط بزاوية \(58^\circ\) لا يتعرض لانعكاس داخلي كلي لأن:
\[
58^\circ < 61.0^\circ
\]
أما الشعاع الساقط بزاوية \(65^\circ\) فيتعرض لانعكاس داخلي كلي لأن:
\[
65^\circ > 61.0^\circ
\]
الفكرة الأساسية هي العلاقة بين معاملي الانكسار، لا كون إحدى المادتين هي الهواء.
08أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً
يرى الطالب زاوية سقوط كبيرة جدًا، فيكتب فورًا “TIR”.
يبدو ذلك منطقيًا. فالزوايا الكبيرة تساعد فعلًا على حدوث TIR.
لكن الزاوية وحدها لا تكفي.
لنفترض أن الضوء ينتقل من الماء، \(n = 1.33\)، إلى الزجاج، \(n = 1.50\)، بزاوية سقوط \(85^\circ\).
هذه زاوية سقوط هائلة، لكن:
\[
1.33 < 1.50
\]
ينتقل الضوء من معامل انكسار أصغر إلى معامل انكسار أكبر.
لذلك، لا يمكن أن يحدث الانعكاس الداخلي الكلي.
ولهذا فإن التحقق من الاتجاه قبل لمس الآلة الحاسبة عادة مفيدة للغاية.
09لماذا يُعد الانعكاس الداخلي الكلي مفيدًا؟
يتيح TIR للضوء أن يظل محصورًا داخل مادة شفافة حتى عندما ينحني المسار.
هذه هي الفكرة الأساسية وراء الألياف الضوئية. تحتوي الليفة على قلب ذي معامل انكسار أعلى قليلًا من معامل انكسار الغلاف المحيط به. وتتعرض الأشعة التي تصل إلى الحد الفاصل بين القلب والغلاف بزوايا سقوط كبيرة بما يكفي لانعكاسات داخلية كلية متكررة، فتظل موجهة داخل الليفة.
قد يكون معاملا الانكسار متقاربين جدًا. لا يتطلب TIR فرقًا كبيرًا بينهما. بل يتطلب الاتجاه الصحيح وزاوية سقوط أكبر من الزاوية الحرجة المقابلة.
وهذا يفسر أيضًا لماذا يمكن أن يؤدي تغيير المادة الموجودة خارج كتلة شفافة إلى تغيير ما إذا كان TIR يحدث أم لا. فالزاوية الحرجة تعتمد على كلا معاملي الانكسار:
\[
\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)
\]
استبدل الهواء بالماء، على سبيل المثال، فيزداد \(n_2\). وتزداد الزاوية الحرجة أيضًا، فيصبح تحقيق TIR أصعب عند زاوية السقوط نفسها.
10أسئلة وحلول
السؤال 1
ينتقل شعاع ضوئي من الماء ذي معامل الانكسار \(1.33\) إلى الهواء ذي معامل الانكسار \(1.00\). الزاوية الحرجة هي \(48.8^\circ\). ويصطدم الشعاع بالحد الفاصل بزاوية \(53.0^\circ\) مع العمود المقام.
هل يحدث الانعكاس الداخلي الكلي؟
الحل 1
نعم، يحدث الانعكاس الداخلي الكلي.
يتحقق شرط الاتجاه لأن الضوء ينتقل من المادة ذات معامل الانكسار الأكبر، وهي الماء، إلى المادة ذات معامل الانكسار الأصغر، وهي الهواء:
\[
1.33 > 1.00
\]
كما أن زاوية السقوط أكبر من الزاوية الحرجة:
\[
53.0^\circ > 48.8^\circ
\]
إذن يتحقق الشرطان، ولذلك يتعرض الشعاع للانعكاس الداخلي الكلي.
المصيدة هنا هي التحقق من الزاوية فقط. فالزاوية الكبيرة بما يكفي لا تكون مهمة إلا بعد تحقق شرط الاتجاه.
السؤال 2
كتلة شفافة معامل انكسارها \(1.70\). يصل الضوء من داخل الكتلة إلى حد فاصل مع الهواء.
احسب الزاوية الحرجة. ثم اذكر ما يحدث عندما تكون زاوية السقوط:
a. \(30.0^\circ\)
b. مساوية للزاوية الحرجة
c. \(40.0^\circ\)
الحل 2
الزاوية الحرجة هي \(36.0^\circ\). عند \(30.0^\circ\) ينكسر الضوء إلى الهواء، وعند \(36.0^\circ\) يسير الشعاع المنكسر بمحاذاة الحد الفاصل، وعند \(40.0^\circ\) يحدث الانعكاس الداخلي الكلي.
شرط الاتجاه متحقق لأن الضوء ينتقل من \(n_1 = 1.70\) إلى \(n_2 = 1.00\).
احسب الزاوية الحرجة:
\[
\theta_c
= \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)
= \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.70}\right)
= 36.0^\circ
\]
بالنسبة إلى الجزء a:
\[
30.0^\circ < 36.0^\circ
\]
لذلك يمكن للشعاع أن ينكسر إلى الهواء.
بالنسبة إلى الجزء b:
\[
\theta_i = \theta_c = 36.0^\circ
\]
فتكون زاوية الانكسار \(90^\circ\). ويسير الشعاع المنكسر بمحاذاة الحد الفاصل. وهذه هي الحالة الحدّية، وليست TIR.
بالنسبة إلى الجزء c:
\[
40.0^\circ > 36.0^\circ
\]
لذلك يحدث الانعكاس الداخلي الكلي.
التمييز المهم هنا هو بين مساوية لـ وأكبر من الزاوية الحرجة.
السؤال 3
تحتوي ليفة ضوئية على قلب معامل انكساره \(1.480\) وغلاف معامل انكساره \(1.460\).
يصطدم شعاع ينتقل عبر القلب بالحد الفاصل بين القلب والغلاف بزاوية \(82.0^\circ\) مع العمود المقام.
حدّد ما إذا كان الشعاع يتعرض للانعكاس الداخلي الكلي.
الحل 3
نعم، يتعرض الشعاع للانعكاس الداخلي الكلي.
تحقّق أولًا من الاتجاه:
\[
n_{\text{core}} = 1.480 > n_{\text{cladding}} = 1.460
\]
إذن، TIR ممكن.
الزاوية الحرجة هي:
\[
\theta_c
= \sin^{-1}\left(\frac{1.460}{1.480}\right)
= 80.6^\circ
\]
زاوية السقوط هي:
\[
\theta_i = 82.0^\circ
\]
لذلك:
\[
82.0^\circ > 80.6^\circ
\]
إذن يحدث الانعكاس الداخلي الكلي.
تقارب معاملي الانكسار يجعل الزاوية الحرجة كبيرة نسبيًا. وهذا يعني أن الأشعة التي تصطدم بالحد الفاصل بزوايا كبيرة بما يكفي من العمود المقام هي وحدها التي ستظل محصورة.
السؤال 4
كتلة زجاجية معامل انكسارها \(1.50\). وهي محاطة بسائل شفاف مجهول.
يتعرض الضوء المنتقل داخل الزجاج لانعكاس داخلي كلي عندما تكون زاوية السقوط \(58^\circ\)، لكنه لا يتعرض لانعكاس داخلي كلي عندما تكون زاوية السقوط \(52^\circ\).
استخدم هذه المعلومات لتحديد نطاق ممكن لمعامل الانكسار \(n_L\) للسائل.
الحل 4
يجب أن يحقق معامل انكسار السائل تقريبًا \(1.18 \leq n_L < 1.27\).
بما أن TIR يحدث عند \(58^\circ\)، فلا بد أن تكون الزاوية الحرجة أقل من \(58^\circ\):
\[
\theta_c < 58^\circ
\]
بالنسبة إلى الانتقال من الزجاج إلى السائل:
\[
\sin\theta_c = \frac{n_L}{1.50}
\]
لذلك:
\[
\frac{n_L}{1.50} < \sin58^\circ
\]
ومن ثم:
\[
n_L < 1.50\sin58^\circ
\]
\[
n_L < 1.27
\]
استخدم الآن الملاحظة عند \(52^\circ\).
لا يحدث TIR عند \(52^\circ\)، لذلك يجب أن تكون الزاوية الحرجة \(52^\circ\) على الأقل:
\[
\theta_c \geq 52^\circ
\]
إذن:
\[
\frac{n_L}{1.50} \geq \sin52^\circ
\]
و:
\[
n_L \geq 1.50\sin52^\circ
\]
\[
n_L \geq 1.18
\]
بدمج الحدّين:
\[
1.18 \leq n_L < 1.27
\]
علامات المتباينة غير المتساوية مهمة. عند \(52^\circ\) بالضبط، إذا كانت الزاوية الحرجة \(52^\circ\)، فسوف ينتج شعاع منكسر يسير بمحاذاة الحد الفاصل، ولذلك سيظل ذلك ليس انعكاسًا داخليًا كليًا. أما عند \(58^\circ\)، فقد لوحظ TIR، ولذلك يجب أن تكون الزاوية الحرجة أقل تمامًا من \(58^\circ\).
السؤال 5
ينتقل شعاع داخل زجاج معامل انكساره \(1.50\)، ويصطدم بحد فاصل بزاوية سقوط \(50.0^\circ\).
يمكن استبدال المادة الموجودة على الجانب الآخر من الحد الفاصل بسوائل شفافة مختلفة.
حدّد أكبر معامل انكسار يمكن أن تمتلكه المادة الثانية مع استمرار السماح بحدوث الانعكاس الداخلي الكلي عند زاوية السقوط هذه. واشرح ما يحدث عند القيمة الحدّية الدقيقة.
الحل 5
لكي يحدث الانعكاس الداخلي الكلي، يجب أن يكون للمادة الثانية \(n_2 < 1.15\) تقريبًا. وعند القيمة الحدّية الدقيقة، يسير الشعاع المنكسر بمحاذاة الحد الفاصل، لذلك لا يحدث TIR.
في الحالة الحدّية، تساوي زاوية السقوط الزاوية الحرجة:
\[
\theta_c = 50.0^\circ
\]
باستخدام:
\[
\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}
\]
ومع \(n_1 = 1.50\):
\[
\sin50.0^\circ = \frac{n_2}{1.50}
\]
إذن:
\[
n_2 = 1.50\sin50.0^\circ
\]
\[
n_2 = 1.15
\]
تقريبًا.
عند \(n_2 = 1.15\) بالضبط، تكون الزاوية الحرجة \(50.0^\circ\). ولذلك يكون الشعاع عند الشرط الحرج، ويسير الشعاع المنكسر بزاوية \(90^\circ\) مع العمود المقام بمحاذاة الحد الفاصل.
لكي يحدث TIR، يجب أن تكون زاوية السقوط أكبر من الزاوية الحرجة. ومع تثبيت زاوية السقوط عند \(50.0^\circ\)، يتطلب ذلك أن تكون الزاوية الحرجة أقل من \(50.0^\circ\)، ولذلك:
\[
n_2 < 1.15
\]
يعكس هذا السؤال العملية الحسابية المعتادة. فبدلًا من إيجاد زاوية من معاملي انكسار، تستخدم الزاوية المطلوبة لتحديد معامل الانكسار الذي يُسمح للمادة الثانية بامتلاكه.
11إلى أين تقود هذه الفكرة بعد ذلك؟
بمجرد أن تتمكن من التحقق من شرط الاتجاه وشرط الزاوية كلٍّ على حدة، يصبح تحليل الألياف الضوئية أسهل بكثير. والخطوة المفيدة التالية هي ربط TIR بهندسة الليف: أي الأشعة الداخلة تدخل الليف بزوايا تجعلها تصل في النهاية إلى الحد الفاصل بين القلب والغلاف بزاوية أكبر من الزاوية الحرجة، وأي الأشعة تهرب بدلًا من ذلك.