المجالات الكهربائية المنتظمة بين الصفائح المتوازية: فيزياء HSC

عادةً ما يُظهر مخطط صفيحتين متوازيتين مشحونتين خطوط مجال كهربائي مرتبة ومستقيمة بينهما. لكن تخيل أنك تحرّك شحنة اختبار موجبة صغيرة من مركز الصفيحتين باتجاه إحدى الحافتين. هل ستتعرض للقوة نفسها تمامًا طوال الطريق؟

لن يحدث ذلك. في المنتصف، يمكن أن يكون المجال الكهربائي قريبًا جدًا من المجال المنتظم. أما قرب الحواف، فيبدأ المجال في الانحناء والتغيّر. وهذا الاختلاف هو السبب في قولنا إن المجال بين الصفائح المتوازية منتظم تقريبًا، وليس منتظمًا بصورة مثالية.

وهذا مهم كلما استخدمت \(E = \Delta V/d\)، أو توقعت القوة المؤثرة في جسيم مشحون، أو رسمت مساره بين الصفائح. فالمعادلة قوية، ولكن فقط بعد أن تقرر ما إذا كان نموذج المجال المنتظم مناسبًا للحالة.

01كيف يبدو المجال الكهربائي المنتظم فعليًا؟

تخيل صفيحتين موصلتين كبيرتين ومسطحتين تواجه إحداهما الأخرى. إحداهما موجبة الشحنة والأخرى سالبة الشحنة.

ضع شحنة اختبار موجبة في منتصف المسافة بينهما. ستتنافر مع الصفيحة الموجبة وتنجذب نحو الصفيحة السالبة. ويدفع التأثيران الشحنة في الاتجاه العام نفسه: من الصفيحة الموجبة نحو الصفيحة السالبة.

الآن حرّك شحنة الاختبار مسافة صغيرة جانبيًا، مع إبقائها بعيدة جيدًا عن الحواف.

ماذا تتوقع أن يحدث للقوة؟

إذا كانت الصفائح كبيرة مقارنة بالمسافة الفاصلة بينها، فلن يتغير شيء تقريبًا. تظل القوة ذات مقدار واتجاه متقاربين جدًا.

هذا هو المقصود بـ مجال كهربائي منتظم تقريبًا: يكون متجه المجال الكهربائي شبه ثابت من نقطة إلى أخرى.

في المنطقة المركزية بين الصفائح المتوازية:

• تكون خطوط المجال مستقيمة تقريبًا
• تكون خطوط المجال متوازية تقريبًا
• تكون المسافات بينها ثابتة تقريبًا
• يكون اتجاه المجال من الصفيحة الموجبة إلى الصفيحة السالبة
• تكون شدة المجال ثابتة تقريبًا

من الصور الذهنية المفيدة تخيل رأسي دش ضخمين يواجه أحدهما الآخر. في المنتصف، يمكنك أن تتخيل الرذاذ يتحرك في مسارات شبه مستقيمة ومتوازية. أما قرب الحواف، فيمكن للرذاذ أن ينتشر إلى الخارج.

ولهذا التشبيه حد مهم. فخطوط المجال الكهربائي ليست تيارات من الجسيمات. إنها أداة رسم توضح اتجاه المجال الكهربائي وشدته النسبية.

02لماذا تنتج الصفائح المتوازية مجالًا شبه منتظم؟

لنبدأ بالحالة المثالية.

تخيل أن الصفائح تمتد بلا نهاية في كل اتجاه جانبي. فلا توجد حواف على الإطلاق.

يتجه المجال الكهربائي الناتج عن الصفيحة الموجبة بعيدًا عنها. أما المجال الكهربائي الناتج عن الصفيحة السالبة فيتجه نحوها.

بين الصفيحتين، يتجه المجالان في الاتجاه نفسه، ولذلك يتجمع تأثيرهما.

خارج الصفيحتين، يتجه المجالان في اتجاهين متعاكسين، وفي حالة الصفيحتين المثاليتين المتساويتين والمتعاكستين في الشحنة، يلغي أحدهما الآخر.

والنتيجة هي مجال منتظم تمامًا بين صفائح مثالية لا نهائية.

أما الصفائح الحقيقية فهي محدودة الأبعاد بالطبع. فلا أحد يحتفظ بصفيحة ألمنيوم لا نهائية العرض خلف مختبر الفيزياء.

ومع ذلك، إذا كان عرض الصفائح وارتفاعها أكبر بكثير من الفجوة بينها، فإن النقطة القريبة من المركز لا «تشعر» بالحواف بدرجة كبيرة. وعندها يصبح نموذج الصفائح اللانهائية تقريبًا جيدًا في تلك المنطقة.

وهذا يعطينا قاعدة مهمة في النمذجة:

عندما تكون الصفائح كبيرة، والمسافة الفاصلة صغيرة، والنقطة بعيدة جيدًا عن الحواف، يكون تقريب المجال المنتظم مناسبًا في العادة.

لا يوجد حد سحري يتوقف عنده المجال فجأة عن كونه منتظمًا. بل يصبح التقريب أقل دقة تدريجيًا كلما اقتربت من الحافة.

03شدة المجال وفرق الجهد

افترض أن بين الصفيحتين فرق جهد \(\Delta V\)، وأن المسافة العمودية الفاصلة بينهما هي \(d\).

داخل مجال كهربائي منتظم، يتغير الجهد الكهربائي بمعدل ثابت مع المسافة. لذلك يكون مقدار شدة المجال

\[
E = \frac{\Delta V}{d}
\]

حيث:

• \(E\) هي شدة المجال الكهربائي، وتقاس بالفولت لكل متر (\(\text{V m}^{-1}\)) أو بصورة مكافئة بالنيوتن لكل كولوم (\(\text{N C}^{-1}\))
• \(\Delta V\) هو مقدار فرق الجهد بين الصفيحتين، ويقاس بالفولت (\(\text{V}\))
• \(d\) هي المسافة العمودية الفاصلة بين الصفيحتين، وتقاس بالمتر (\(\text{m}\))

يكون اتجاه المجال الكهربائي من الجهد الكهربائي الأعلى إلى الجهد الكهربائي الأدنى، ولذلك يتجه من الصفيحة الموجبة نحو الصفيحة السالبة.

لاحظ ما تقوله المعادلة فعليًا. إذا حدث التغير نفسه في الجهد خلال مسافة أصغر، فإن الجهد يتغير بسرعة أكبر مع الموضع، ولذلك يكون المجال الكهربائي أقوى.

04لماذا ينحني المجال عند الحواف؟

لنعد الآن إلى الصفائح الحقيقية محدودة الأبعاد.

قرب المركز، تكون الشحنات الموجودة على الصفيحة محاطة بمساحات كبيرة من سطح الصفيحة في جميع الاتجاهات الجانبية. وتكون الهندسة شبه متناظرة، مما ينتج المجال المستقيم المألوف خلال الفجوة.

قرب إحدى الحواف، يختفي هذا التناظر. فلا يوجد موصل يمتد بعد الحافة ليقدم المساهمة نفسها في المجال.

لذلك ينحني المجال الكهربائي حول نهايات الصفائح. ويُسمى ذلك تأثير الحافة أو تفرّع المجال عند الحواف.

للمجال المتفرع عند الحواف خاصيتان مهمتان:

1. لا يعود اتجاهه عموديًا ببساطة على السطحين العريضين للصفيحتين.
2. لا يبقى مقداره ثابتًا من نقطة إلى أخرى.

كما يمتد المجال إلى خارج الحيز الواقع مباشرة بين الصفيحتين. ولذلك لا يكون المجال الخارجي للصفائح المتوازية الحقيقية مساويًا للصفر تمامًا.

وهناك مستوى آخر من الدقة هنا. فالشحنة على صفيحة موصلة حقيقية لا تكون بالضرورة موزعة بكثافة سطحية ثابتة تمامًا. تميل الشحنة إلى التركّز بدرجة أكبر حول الحواف والمناطق ذات الانحناء الأكبر. ولذلك يمكن أن يكون المجال الكهربائي قويًا محليًا على نحو ملحوظ بالقرب الشديد من الحافة.

لذلك تجنب التبسيط المفرط القائل إن «المجال الكهربائي يصبح أضعف ببساطة قرب الحافة». والعبارة الأدق هي:

قرب الحافة، يصبح المجال غير منتظم. ويمكن أن يتغير كل من مقداره واتجاهه.

05لماذا تلتقي خطوط المجال بسطح الموصل بزاوية قائمة؟

انظر بعناية إلى مخطط مجال بالقرب من إحدى الصفائح. حتى عندما يكون خط المجال منحنيًا قرب الحافة، فإنه يلتقي بسطح الموصل بزاوية قائمة.

لماذا؟

افترض أن للمجال الكهربائي مركبة موازية لسطح الموصل. عندها ستتعرض الإلكترونات الحرة داخل الموصل لقوة موازية للسطح وتتحرك.

لكن في حالة الاتزان الكهروستاتيكي، تكون الشحنات قد أعادت توزيع نفسها بالفعل بحيث لا تستمر حركة الشحنة.

لذلك لا يمكن أن تكون للمجال الكهربائي عند السطح مركبة موازية للموصل. بل يجب أن يكون عموديًا على السطح.

وهذا يفسر أيضًا لماذا يمكن لاتجاه المجال أن ينحني حول الحافة الفيزيائية للصفيحة. فعبارة «عمودي على السطح» تعني اتجاهًا مختلفًا عندما تتغير هندسة الموصل.

06\(E=\Delta V/d\) نموذج، وليست معادلة سحرية

من الأخطاء الشائعة أن يرى الطالب صفيحتين متوازيتين فيكتب مباشرة

\[
E=\frac{\Delta V}{d}
\]

وكأنها تعطي المجال الكهربائي عند كل نقطة في الفضاء.

هذا غير صحيح.

تفترض المعادلة بهذه الصورة وجود مجال منتظم. وهي تعمل بصورة ممتازة في المنطقة المركزية لصفائح متوازية كبيرة ومتقاربة.

أما قرب الحافة، فما يزال الجهد يتغير عبر الفضاء، لكن ليس بالمعدل الثابت نفسه في كل اتجاه. وقد تكون للمجال مركبات جانبية وعمودية، ولذلك لا تستطيع قيمة واحدة لـ \(\Delta V/d\) وصف المجال المحلي الكامل.

جدول اتخاذ القرار التالي مفيد:

كلمة تقريبًا لها أهمية حقيقية هنا.

07يكشف الجهد أيضًا ما إذا كان المجال منتظمًا

هناك طريقة أخرى للتعرف إلى المجال المنتظم.

افترض أنك تقيس الجهد الكهربائي عند مواضع متساوية التباعد أثناء انتقالك مباشرة من إحدى الصفيحتين إلى الأخرى.

إذا كان المجال منتظمًا، فإن التغيرات المتساوية في المسافة تنتج تغيرات متساوية في الجهد.

على سبيل المثال:

يزداد الجهد بمقدار \(100\text{ V}\) كل \(5\text{ mm}\). وهذا المعدل الثابت للتغير يتوافق مع مقدار ثابت للمجال.

قرب حافة الصفيحة، قد تنهار هذه العلاقة المنتظمة لأن المجال الكهربائي لم يعد عموديًا فقط على الصفيحتين أو ثابتًا في المقدار.

وهذا يمنحك صورتين متكافئتين للمنطقة المركزية المنتظمة:

• صورة المجال: خطوط مجال مستقيمة ومتوازية ومتساوية التباعد
• صورة الجهد: يتغير الجهد خطيًا مع المسافة العمودية

08ماذا يحدث لجسيم مشحون في المنطقة المنتظمة؟

بمجرد أن يصبح المجال منتظمًا تقريبًا، تكون القوة المؤثرة في الجسيم

\[
\vec F=q\vec E
\]

تتسارع الشحنة الموجبة في اتجاه المجال. أما الشحنة السالبة فتتسارع في الاتجاه المعاكس.

ولأن \(E\) ثابت في المنطقة المنتظمة، فإن \(F\) ثابتة لجسيم ذي شحنة ثابتة. وعندها يعطي قانون نيوتن الثاني

\[
a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m}
\]

حيث \(a\) هو التسارع بوحدة \(\text{m s}^{-2}\)، و\(m\) هي كتلة الجسيم بالكيلوغرام.

وهذا التسارع الثابت هو ما يجعل نموذج المجال المنتظم مفيدًا جدًا.

09أكثر التصورات الخاطئة إغراءً: «الصفائح المتوازية تعني مجالًا منتظمًا»

ليس تمامًا.

الصفائح المتوازية اللانهائية ذات توزيعات الشحنة المتساوية والمتعاكسة تنتج المجال المنتظم المثالي.

أما الصفائح المتوازية محدودة الأبعاد فلا تنتج مجالًا منتظمًا تقريبًا إلا في منطقة مركزية مناسبة.

ويصبح هذا الفرق مهمًا بصورة خاصة عندما لا تكون المسافة الفاصلة بين الصفيحتين صغيرة مقارنة بأبعاد الصفيحتين.

تخيل صفيحتين مربعتين عرض كل منهما \(20\text{ mm}\) فقط، لكن المسافة بينهما \(15\text{ mm}\). تكاد لا توجد منطقة بعيدة بما يكفي عن الحواف. وسيكون رسم خطوط مجال مستقيمة تمامًا في جميع أنحاء الفجوة نموذجًا ضعيفًا.

والآن تخيل صفيحتين بعرض \(500\text{ mm}\) تفصل بينهما المسافة نفسها، \(15\text{ mm}\). تكون النقطة القريبة من مركزهما أبعد بكثير عن الحافة مقارنة بحجم الفجوة، ولذلك يكون تقريب المجال المنتظم أفضل بكثير.

وهذا درس عام في الفيزياء: يمكن لمعادلة أن تكون صحيحة رياضيًا داخل نموذجها، ومع ذلك تعطي وصفًا ضعيفًا إذا لم تتوافق افتراضات النموذج مع الحالة الفعلية.

10أسئلة وحلول

السؤال 1

تفصل بين صفيحتين متوازيتين كبيرتين مسافة \(25\text{ mm}\)، وبينهما فرق جهد مقداره \(750\text{ V}\). الصفيحة العلوية موجبة.

احسب شدة المجال الكهربائي في المنطقة المركزية، مع تحديد اتجاهه.

الحل 1

المجال الكهربائي هو \(3.0\times10^4\text{ V m}^{-1}\) إلى أسفل، من الصفيحة الموجبة إلى الصفيحة السالبة.

حوّل المسافة الفاصلة إلى أمتار:

\[
d=25\text{ mm}=0.025\text{ m}
\]

بالنسبة إلى المجال المركزي المنتظم تقريبًا،

\[
E=\frac{\Delta V}{d}
=\frac{750}{0.025}
=3.0\times10^4\text{ V m}^{-1}
\]

يُعرَّف اتجاه المجال الكهربائي بأنه الاتجاه الذي ستتسارع فيه شحنة اختبار موجبة. ولذلك يتجه من الصفيحة العلوية الموجبة نحو الصفيحة السفلية السالبة.

الافتراض المهم هو أن النقطة التي ندرسها تقع في المنطقة المركزية حيث يمكن إهمال تأثيرات الحواف.

السؤال 2

يوضع إلكترون ساكن في مجال كهربائي منتظم مقداره \(1.2\times10^4\text{ N C}^{-1}\) ومتجه نحو اليسار.

احسب القوة الكهربائية الابتدائية المؤثرة في الإلكترون، وحدد اتجاهها.

استخدم شحنة إلكترون مقدارها \(-1.60\times10^{-19}\text{ C}\).

الحل 2

يتعرض الإلكترون لقوة مقدارها \(1.92\times10^{-15}\text{ N}\) نحو اليمين.

مقدار القوة الكهربائية هو

\[
F=|q|E
\]

إذًا

\[
\begin{aligned}
F&=(1.60\times10^{-19})(1.2\times10^4)\\
&=1.92\times10^{-15}\text{ N}
\end{aligned}
\]

يتجه المجال نحو اليسار، لكن الإلكترون سالب الشحنة. ولذلك تكون قوته الكهربائية في الاتجاه المعاكس للمجال، أي نحو اليمين.

من الأخطاء الشائعة حساب المقدار الصحيح ثم جعل الإلكترون يتحرك في اتجاه المجال. تتسارع الشحنات الموجبة مع اتجاه المجال، بينما تتسارع الشحنات السالبة عكسه.

السؤال 3

تُوصَل صفيحتان مستطيلتان متوازيتان بمصدر ثابت مقداره \(600\text{ V}\). تُزاد المسافة الفاصلة بينهما من \(10\text{ mm}\) إلى \(20\text{ mm}\)، بينما يظل عرضهما وارتفاعهما دون تغيير.

صف تغيرين تتوقع حدوثهما:

• شدة المجال الكهربائي التقريبية قرب المركز
• أهمية تأثيرات الحواف

الحل 3

تنخفض شدة المجال المركزي إلى النصف تقريبًا، بينما تصبح تأثيرات الحواف أكثر أهمية مقارنة بالمنطقة المركزية المنتظمة.

في البداية،

\[
E_1=\frac{600}{0.010}
=6.0\times10^4\text{ V m}^{-1}
\]

بعد مضاعفة المسافة الفاصلة،

\[
E_2=\frac{600}{0.020}
=3.0\times10^4\text{ V m}^{-1}
\]

إذًا تنخفض شدة المجال المركزي التقريبية إلى النصف.

لا يمكن إيجاد التغير الثاني من \(E=\Delta V/d\) وحدها. إن زيادة المسافة الفاصلة مع إبقاء أبعاد الصفائح ثابتة تجعل الفجوة أكبر مقارنة بعرض الصفائح وارتفاعها. ولذلك يصبح للحواف تأثير أكبر في المنطقة بين الصفيحتين.

الخطأ المغري هو مناقشة القيمة العددية لشدة المجال فقط. فالهندسة أيضًا تحدد مدى جودة نموذج المجال المنتظم.

السؤال 4

يدرس طالبان صفيحتين تفصل بينهما مسافة \(12\text{ mm}\)، وبينهما فرق جهد مقداره \(300\text{ V}\).

يحسب الطالب A

\[
E=\frac{300}{0.012}=2.5\times10^4\text{ V m}^{-1}
\]

ويستخدم الطالب B مسبار مجال في عدة نقاط. قرب المركز، يقرأ المسبار قيمة قريبة من \(2.5\times10^4\text{ V m}^{-1}\)، لكن بالقرب من إحدى الحواف تتغير القراءات في كل من المقدار والاتجاه.

يقول الطالب A إن المسبار لا بد أن يكون معطلًا لأن \(E=\Delta V/d\) تعطي قيمة واحدة فقط.

قيّم استنتاج الطالب A.

الحل 4

استنتاج الطالب A غير صحيح. فالقياسات تتفق مع تأثيرات الحواف الناتجة عن الصفائح المتوازية محدودة الأبعاد.

الحساب

\[
E=\frac{\Delta V}{d}
=\frac{300}{0.012}
=2.5\times10^4\text{ V m}^{-1}
\]

مناسب للمنطقة المركزية المنتظمة تقريبًا.

لكنه لا يثبت أن كل نقطة بين الصفائح الحقيقية محدودة الأبعاد لها المجال نفسه تمامًا.

قرب الحافة، تتفرع خطوط المجال إلى الخارج. ولذلك يمكن أن يتغير المجال الكهربائي في كل من المقدار والاتجاه. وفي الواقع، فإن تطابق قراءة المسبار قرب المركز مع \(2.5\times10^4\text{ V m}^{-1}\) يدعم تقريب المجال المنتظم في المنطقة التي ينبغي أن ينجح فيها.

لقد تعامل الطالب A مع افتراض في النموذج كما لو كان خاصية دقيقة للجهاز الحقيقي. وهنا يكمن الخطأ.

السؤال 5

لقطيرة زيت موجبة الشحنة كتلة مقدارها \(2.0\times10^{-12}\text{ kg}\) وشحنة مقدارها \(+4.0\times10^{-15}\text{ C}\). وتكون في البداية ساكنة في منتصف المسافة بين صفيحتين أفقيتين متوازيتين تفصل بينهما مسافة \(8.0\text{ mm}\).

افترض أن القطيرة تبدأ في المنطقة المركزية المنتظمة.

احسب فرق الجهد اللازم لموازنة وزنها. ثم اشرح لماذا قد يفشل فرق الجهد نفسه في إبقاء القطيرة ساكنة إذا انحرفت جانبيًا نحو إحدى حواف الصفيحتين.

استخدم \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\).

الحل 5

يلزم فرق جهد مقداره تقريبًا \(39\text{ V}\) في المنطقة المركزية المنتظمة، لكن القطيرة قد لا تبقى ساكنة قرب الحافة لأن المجال الكهربائي المحلي يتغير في المقدار والاتجاه.

لكي تبقى القطيرة ساكنة، يجب أن تساوي القوة الكهربائية المتجهة إلى أعلى وزنها المتجه إلى أسفل:

\[
qE=mg
\]

لذلك،

\[
E=\frac{mg}{q}
\]

بالتعويض،

\[
\begin{aligned}
E&=\frac{(2.0\times10^{-12})(9.8)}
{4.0\times10^{-15}}\\
&=4.9\times10^3\text{ N C}^{-1}
\end{aligned}
\]

بالنسبة إلى مجال منتظم،

\[
E=\frac{\Delta V}{d}
\]

إذًا

\[
\begin{aligned}
\Delta V&=Ed\\
&=(4.9\times10^3)(8.0\times10^{-3})\\
&=39.2\text{ V}
\end{aligned}
\]

ومن ثم يكون فرق الجهد المطلوب تقريبًا

\[
\boxed{39\text{ V}}
\]

لكي تتجه القوة الكهربائية إلى أعلى على قطيرة موجبة، يجب أن يتجه المجال الكهربائي إلى أعلى. ولذلك يجب أن تكون الصفيحة السفلية موجبة بالنسبة إلى الصفيحة العلوية.

لكن قرب الحافة، لا يعود المجال هو المتجه الرأسي نفسه المستخدم في الحساب. إذ يؤدي تفرع المجال إلى ظهور مركبة جانبية، وقد تختلف مركبته الرأسية عن القيمة الموجودة في المركز.

وهذا يعني أن الشرط \(qE=mg\)، مع كون القوة الكهربائية متجهة تمامًا إلى أعلى، قد لا يعود متحققًا. وقد تتسارع القطيرة رأسيًا، أو جانبيًا، أو في الاتجاهين معًا.

لم يكن الافتراض الخفي هو معادلة القوة. فما تزال \(F=qE\) صالحة. بل كان الافتراض الخفي هو أن المجال الكهربائي المنتظم نفسه موجود في كل مكان بين الصفيحتين.

11ما الذي يتيح لك هذا فعله بعد ذلك؟

بمجرد أن تتمكن من تحديد أين يكون مجال الصفائح المتوازية منتظمًا بدرجة معقولة، يصبح نمذجة حركة الجسيمات المشحونة أسهل بكثير. ففي المنطقة المركزية، تكون \(F=qE\) ثابتة، ولذلك يكون للجسيم تسارع ثابت في اتجاه المجال.

ويقود ذلك مباشرة إلى دراسة حزم الإلكترونات، وانحراف الجسيمات المشحونة، والحالات التي تؤثر فيها القوى الكهربائية والمغناطيسية معًا. وتبقى معك العادة المهمة نفسها: قبل استخدام المعادلة البسيطة، حدد الافتراضات الفيزيائية التي تجعلها بهذه البساطة.