المجال الكهربائي وفرق الجهد بين لوحين متوازيين
تعلّم كيفية حساب المجال الكهربائي المنتظم وفرق الجهد بين لوحين متوازيين، مع فهم الاتجاه والوحدات والأخطاء الشائعة ومسائل بأسلوب HSC.
تخيّل لوحين معدنيين متوازيين موصولين بمصدر طاقة جهده 600 V. الآن قرّب اللوحين من بعضهما، مع إبقاء فرق الجهد عند 600 V.
توقّع ما الذي سيحدث للمجال الكهربائي بينهما. هل سيبقى كما هو لأن الجهد لم يتغير، أم سيصبح أقوى لأن اللوحين أصبحا أقرب؟
سيصبح أقوى.
هذه النتيجة هي الفكرة الأساسية وراء
\[
E = \frac{V}{d}
\]
بالنسبة إلى مجال كهربائي منتظم بين لوحين متوازيين، تعتمد شدة المجال على مقدار تغير الجهد الكهربائي، وعلى مدى سرعة حدوث هذا التغير مع المسافة.
01ابدأ بالصورة الفيزيائية
افترض أن اللوح الأيسر موجب واللوح الأيمن سالب.
تتعرض شحنة اختبار موجبة موضوعة بينهما لقوة كهربائية في اتجاه اللوح السالب. ووفقًا للتعريف، يشير المجال الكهربائي في الاتجاه الذي ستتسارع فيه شحنة اختبار موجبة.
بين لوحين متوازيين كبيرين ومتقاربين، وبعيدًا عن الحواف، يكون المجال منتظمًا تقريبًا. وهذا يعني أن:
- للمجال الكهربائي المقدار نفسه عند كل نقطة،
- للمجال الاتجاه نفسه عند كل نقطة،
- خطوط المجال متوازية ومتساوية التباعد.
في الألواح الحقيقية، يحدث بعض الانحناء في المجال بالقرب من الحواف. ويُسمى هذا تأثير الحواف (fringing). عندما تطلب منك أسئلة HSC اعتبار المجال بين اللوحين المتوازيين منتظمًا، فهي تطلب منك إهمال تأثير الحواف هذا.
02ما علاقة الجهد بالمجال؟
ربما تفكر بالفعل في الجهد على أنه فرق جهد. والسؤال المفيد هنا هو: فرق في ماذا؟
يخبرنا الجهد الكهربائي عن طاقة الوضع الكهربائية المتاحة لكل وحدة شحنة. ويعني فرق جهد مقداره 1 فولت تغيرًا مقداره 1 جول في طاقة الوضع لكل كولوم من الشحنة:
\[
1\text{ V} = 1\text{ J/C}
\]
تخيّل الآن جهد الجاذبية بدلًا من ذلك. فالهبوط بمقدار 10 m موزعًا على منحدر طويل ولطيف يختلف عن الهبوط نفسه بمقدار 10 m إذا حدث على منحدر قصير وشديد الانحدار.
تتصرف المجالات الكهربائية بطريقة مشابهة.
يخبرنا الجهد بين اللوحين بمقدار التغير الكلي في الجهد الكهربائي. أما المسافة الفاصلة بين اللوحين فتخبرنا بالمسافة التي يحدث عبرها هذا التغير. ويعني حدوث تغير كبير في الجهد خلال مسافة قصيرة وجود مجال كهربائي قوي.
هذا التشبيه مفيد، لكنه غير كامل. فالجهد الكهربائي ليس ارتفاعًا فعليًا، والجسيمات المشحونة لا “تتدحرج إلى أسفل” ببساطة. إذ تعتمد حركتها أيضًا على إشارة شحنتها وعلى أي سرعة تمتلكها مسبقًا.
03العلاقة \(E = V/d\)
بالنسبة إلى مجال كهربائي منتظم بين لوحين متوازيين، يكون مقدار المجال
\[
E = \frac{V}{d}
\]
حيث:
| الرمز | المعنى | وحدة SI |
|---|---|---|
| \(E\) | شدة المجال الكهربائي | V/m أو N/C |
| \(V\) | فرق الجهد بين النقطتين | V |
| \(d\) | المسافة الفاصلة المقاسة في اتجاه المجال | m |
توضح الوحدات المعنى بدرجة كبيرة:
\[
E = \frac{\text{فولت}}{\text{متر}}
\]
إذًا تخبرك شدة المجال الكهربائي بمدى سرعة تغير الجهد الكهربائي مع المسافة.
فمثلًا، يعني مجال شدته \(20\,000\text{ V/m}\) أن الجهد يتغير بمقدار 20 000 V لكل متر يتم قطعه في اتجاه المجال.
عادةً لن تقطع مترًا كاملًا بين ألواح المختبر. ومع ذلك، تظل العلاقة تتناسب بالطريقة المعتادة. فعبر مسافة \(1.0\text{ mm}\)، يعطي المجال نفسه تغيرًا في الجهد مقداره
\[
\Delta V = Ed = (20\,000)(1.0\times10^{-3}) = 20\text{ V}
\]
04انتبه إلى وحدة المسافة
هذا من أسهل المواضع التي يمكن أن تفقد فيها درجات.
تتطلب المعادلة أن تكون \(d\) بوحدة المتر.
إذًا:
\[
1\text{ cm} = 1\times10^{-2}\text{ m}
\]
و
\[
1\text{ mm} = 1\times10^{-3}\text{ m}
\]
لذلك فإن المسافة الفاصلة بين اللوحين إذا كانت \(4.0\text{ mm}\) تساوي
\[
4.0\times10^{-3}\text{ m}
\]
وليست \(4.0\text{ m}\)، وليست \(4.0\times10^{-2}\text{ m}\).
مثال محلول: إيجاد المجال بين لوحين
يوجد لوحان متوازيان بينهما فرق جهد مقداره \(12\text{ V}\)، وتفصل بينهما مسافة \(4.0\text{ mm}\). أوجد مقدار المجال الكهربائي المنتظم بينهما.
الخطوة 1
\[
d = 4.0\text{ mm} = 4.0\times10^{-3}\text{ m}
\]
الخطوة 2
\[
E = \frac{V}{d}
\]
الخطوة 3
\[
E = \frac{12}{4.0\times10^{-3}}
= 3.0\times10^3\text{ V/m}
\]
الخطوة 4
شدة المجال الكهربائي هي
\[
\boxed{E = 3.0\times10^3\text{ V/m}}
\]
يتغير الجهد بمقدار \(3.0\times10^3\text{ V}\) لكل متر في اتجاه المجال. وبصورة مكافئة، تبلغ شدة المجال \(3.0\times10^3\text{ N/C}\).
05لماذا يؤدي تقليل المسافة الفاصلة إلى زيادة شدة المجال؟
عُد إلى اللوحين ذوي فرق الجهد 600 V المذكورين في البداية.
افترض أن المسافة بينهما في البداية هي \(3.0\text{ cm}\):
\[
E = \frac{600}{0.030}
= 2.0\times10^4\text{ V/m}
\]
الآن قرّبهما بحيث تصبح المسافة بينهما \(1.5\text{ cm}\)، مع إبقاء فرق الجهد عند 600 V:
\[
E = \frac{600}{0.015}
= 4.0\times10^4\text{ V/m}
\]
تقليل المسافة إلى النصف يضاعف شدة المجال.
لماذا؟ لأن التغير نفسه البالغ 600 V يحدث الآن خلال نصف المسافة.
يستحق هذا أن تفهمه بدلًا من مجرد حفظه. فمن
\[
E = \frac{V}{d}
\]
إذا بقي \(V\) ثابتًا، فإن \(E\) يتناسب عكسيًا مع \(d\).
إذًا:
- إذا ضاعفت \(d\)، تنخفض \(E\) إلى النصف،
- إذا قللت \(d\) إلى النصف، تتضاعف \(E\)،
- إذا ضاعفت \(V\) ثلاث مرات مع بقاء \(d\) ثابتًا، تتضاعف \(E\) ثلاث مرات.
06إعادة ترتيب المعادلة
يجب أن تكون مرتاحًا في الانتقال بين الصيغ الثلاث:
\[
E = \frac{V}{d}
\]
\[
V = Ed
\]
\[
d = \frac{V}{E}
\]
لا تختَر صيغة بمجرد مطابقة النمط. اسأل نفسك عما تمثله كل كمية.
إذا كنت تعرف شدة المجال وتريد إيجاد فرق الجهد عبر مسافة معينة، فإن \(V = Ed\) منطقية من الناحية الفيزيائية: فشدة المجال هي مقدار تغير الجهد لكل متر، لذا اضربها في عدد الأمتار.
مثال محلول: إيجاد الجهد عبر جزء من المجال
يوجد لوحان متوازيان تفصل بينهما مسافة \(3.0\text{ cm}\)، وبينهما فرق جهد مقداره \(900\text{ V}\). تفصل بين النقطة \(P\) والنقطة \(Q\) مسافة \(8.0\text{ mm}\) في اتجاه المجال الكهربائي. أوجد مقدار فرق الجهد بين \(P\) و\(Q\).
الخطوة 1
حوّل المسافة الفاصلة بين اللوحين:
\[
3.0\text{ cm} = 3.0\times10^{-2}\text{ m}
\]
ثم
\[
E = \frac{V}{d}
= \frac{900}{3.0\times10^{-2}}
= 3.0\times10^4\text{ V/m}
\]
الخطوة 2
\[
8.0\text{ mm} = 8.0\times10^{-3}\text{ m}
\]
الخطوة 3
\[
V_{PQ} = Ed
= (3.0\times10^4)(8.0\times10^{-3})
= 2.4\times10^2\text{ V}
\]
إذًا
\[
\boxed{V_{PQ} = 240\text{ V}}
\]
فرق الجهد الكامل بين اللوحين هو 900 V، لكن \(P\) و\(Q\) تمتدان عبر جزء فقط من المسافة الفاصلة بين اللوحين. ولأن المجال منتظم، يتغير الجهد بمعدل ثابت مع المسافة.
07اتجاه المجال الكهربائي والجهد
هناك مستوى إضافي من الدقة تخفيه العلاقة \(E=V/d\).
يشير المجال الكهربائي من الجهد الكهربائي الأعلى إلى الجهد الكهربائي الأدنى.
بين لوحين متوازيين:
\[
\text{اللوح الموجب} \rightarrow \text{اللوح السالب}
\]
هو اتجاه المجال الكهربائي، وينخفض الجهد الكهربائي في هذا الاتجاه.
إذًا إذا تحركت في اتجاه المجال، ينخفض الجهد. وإذا تحركت عكس اتجاه المجال، يرتفع الجهد.
يُكتب ذلك بصورة أكثر رسمية على النحو الآتي
\[
\Delta V = -E\Delta x
\]
عندما تُقاس \(\Delta x\) على طول اتجاه المجال الكهربائي.
تصف الإشارة السالبة الاتجاه. وفي كثير من مسائل HSC، يطلب السؤال المقادير فقط، ولذلك تستخدم
\[
E = \frac{V}{d}
\]
مع مقادير موجبة.
لا تخلط بين هذين الاستخدامين. فالعلاقة \(E=V/d\) ممتازة لإيجاد المقادير. أما الإشارة في \(\Delta V=-E\Delta x\) فتخبرك ما إذا كان الجهد يرتفع أو ينخفض أثناء الحركة.
08مفهوم خاطئ شائع: الجسيمات تتحرك دائمًا نحو الجهد الأقل
قد يستنتج طالب ما يلي:
يشير المجال الكهربائي نحو الجهد الأقل، إذًا لا بد أن تتحرك كل جسيمة مشحونة نحو الجهد الأقل.
هذا صحيح بالنسبة إلى شحنة موجبة تُترك من السكون.
لكنه لا ينطبق على شحنة سالبة.
يُعرَّف اتجاه المجال الكهربائي باستخدام شحنة اختبار موجبة. والقوة الكهربائية هي
\[
F = qE
\]
حيث \(q\) هي الشحنة.
بالنسبة إلى شحنة موجبة، \(q>0\)، لذلك تكون القوة في اتجاه المجال نفسه.
أما بالنسبة إلى إلكترون، فإن \(q<0\)، ولذلك تكون القوة عكس اتجاه المجال.
لذلك:
- تميل الشحنات الموجبة إلى التسارع من الجهد الأعلى نحو الجهد الأدنى،
- تميل الشحنات السالبة إلى التسارع من الجهد الأدنى نحو الجهد الأعلى.
لم ينعكس المجال نفسه. إنما تؤدي إشارة الشحنة إلى تغيير اتجاه القوة.
09فخ آخر: \(d\) ليست دائمًا المسافة المقطوعة
افترض أن جسيمًا مشحونًا يتحرك قطريًا خلال مجال منتظم.
هل يمكنك استخدام طول المسار القطري الكامل في \(V=Ed\)؟
ليس بالضرورة.
يعتمد تغير الجهد فقط على الإزاحة في اتجاه المجال.
إذا تحرك جسيم مسافة \(5.0\text{ mm}\) قطريًا، لكن \(3.0\text{ mm}\) فقط من هذه الإزاحة تقع على امتداد المجال، فإن فرق الجهد يتحدد بواسطة \(3.0\text{ mm}\)، وليس \(5.0\text{ mm}\).
الحركة عموديًا على مجال كهربائي منتظم لا تغيّر الجهد الكهربائي.
يمكنك فهم السبب بتخيّل نقاط تقع على المسافة نفسها من اللوح الموجب. ففي النموذج المثالي للوحيْن المتوازيين، تكون هذه النقاط عند الجهد الكهربائي نفسه.
تُسمى هذه الأسطح أسطح تساوي الجهد.
10أسئلة وحلول
السؤال 1
يفصل بين لوحين متوازيين \(5.0\text{ mm}\)، وبينهما فرق جهد مقداره \(150\text{ V}\). احسب مقدار المجال الكهربائي بينهما.
الحل 1
شدة المجال الكهربائي هي \(\boxed{3.0\times10^4\text{ V/m}}\).
يجب أولًا تحويل المسافة الفاصلة بين اللوحين إلى أمتار:
\[
d = 5.0\text{ mm} = 5.0\times10^{-3}\text{ m}
\]
بالنسبة إلى مجال منتظم،
\[
E = \frac{V}{d}
\]
إذًا
\[
E
= \frac{150}{5.0\times10^{-3}}
= 3.0\times10^4\text{ V/m}
\]
لذلك،
\[
\boxed{E = 3.0\times10^4\text{ V/m}}
\]
وهذا يعني أن الجهد الكهربائي يتغير بمقدار \(3.0\times10^4\text{ V}\) لكل متر في اتجاه المجال.
السؤال 2
يوجد بين لوحين مجال كهربائي منتظم مقداره \(6.0\times10^4\text{ V/m}\). وفرق الجهد بين اللوحين هو \(2.4\text{ kV}\). احسب المسافة الفاصلة بينهما.
الحل 2
تفصل بين اللوحين مسافة \(\boxed{4.0\text{ cm}}\).
حوّل فرق الجهد أولًا:
\[
2.4\text{ kV} = 2.4\times10^3\text{ V}
\]
أعد ترتيب
\[
E = \frac{V}{d}
\]
لنحصل على
\[
d = \frac{V}{E}
\]
ثم عوّض:
\[
d
= \frac{2.4\times10^3}{6.0\times10^4}
= 4.0\times10^{-2}\text{ m}
\]
لذلك،
\[
\boxed{d = 4.0\times10^{-2}\text{ m} = 4.0\text{ cm}}
\]
النتيجة معقولة لأن مجالًا شدته \(6.0\times10^4\text{ V/m}\) يُحدث تغيرًا مقداره 2400 V عبر مسافة 0.040 m.
السؤال 3
يُنتج لوحان متوازيان مجالًا كهربائيًا منتظمًا شدته \(2.5\times10^4\text{ V/m}\). تقع النقطة \(B\) على بعد \(6.0\text{ mm}\) من النقطة \(A\)، مقاسة مباشرةً في اتجاه المجال الكهربائي.
احسب مقدار فرق الجهد بين \(A\) و\(B\)، واذكر ما إذا كانت \(B\) عند جهد أعلى أم أدنى من \(A\).
الحل 3
مقدار فرق الجهد هو \(\boxed{150\text{ V}}\)، وتقع \(B\) عند جهد أقل من \(A\).
حوّل الإزاحة:
\[
d = 6.0\text{ mm} = 6.0\times10^{-3}\text{ m}
\]
بالنسبة إلى المقدار،
\[
V = Ed
\]
إذًا
\[
V
= (2.5\times10^4)(6.0\times10^{-3})
= 150\text{ V}
\]
ولأن \(B\) تقع من \(A\) في اتجاه المجال الكهربائي، فإن الجهد الكهربائي ينخفض من \(A\) إلى \(B\).
لذلك،
\[
\boxed{|V_B-V_A|=150\text{ V}}
\]
بحيث يكون جهد \(B\) أقل من جهد \(A\) بمقدار 150 V.
الفخ الشائع هو حساب 150 V بصورة صحيحة، ثم افتراض أن الجهد يزداد في اتجاه المجال. في الواقع يحدث العكس.
السؤال 4
يظل لوحان متوازيان موصولين بمصدر ذي جهد ثابت. وتُخفض المسافة الفاصلة بينهما من \(12\text{ mm}\) إلى \(4.0\text{ mm}\).
يدّعي طالب أن المجال الكهربائي يصبح أقوى بثلاث مرات لأن اللوحين أصبحا الآن أقرب إلى بعضهما بثلاث مرات.
هل ادعاء الطالب صحيح؟ اشرح باستخدام العلاقة بين شدة المجال والجهد والمسافة.
الحل 4
نعم. يصبح المجال الكهربائي أقوى بمقدار \(\boxed{3}\) مرات، بشرط أن يظل فرق الجهد ثابتًا وأن يظل من الممكن اعتبار المجال منتظمًا.
في البداية،
\[
E_1 = \frac{V}{d_1}
\]
وفي النهاية،
\[
E_2 = \frac{V}{d_2}
\]
المسافة الجديدة هي
\[
d_2 = \frac{1}{3}d_1
\]
إذًا
\[
E_2
= \frac{V}{d_1/3}
= \frac{3V}{d_1}
= 3E_1
\]
لذلك،
\[
\boxed{E_2=3E_1}
\]
ينجح هذا الاستدلال لأن الجهد ثابت بشكل صريح. أما إذا فُصل اللوحان عن المصدر قبل تحريكهما، فإن افتراض بقاء فرق الجهد ثابتًا سيحتاج إلى تبرير إضافي.
هذا الافتراض الضمني مهم. فالعلاقة \(E=V/d\) لا تخبرك بمفردها أي الكميات تظل ثابتة عندما يتغير الإعداد الفيزيائي.
السؤال 5
يشير مجال كهربائي منتظم شدته \(4.0\times10^4\text{ V/m}\) أفقيًا نحو اليمين.
يتحرك جسيم من النقطة \(P\) إلى النقطة \(Q\) على مسار قطري طوله \(10\text{ mm}\). وتقع النقطة \(Q\) على بعد \(6.0\text{ mm}\) إلى يمين النقطة \(P\)، و\(8.0\text{ mm}\) فوقها.
أوجد التغير في الجهد الكهربائي من \(P\) إلى \(Q\).
الحل 5
ينخفض الجهد الكهربائي بمقدار \(\boxed{240\text{ V}}\)، ولذلك
\[
\boxed{V_Q-V_P=-240\text{ V}}
\]
تسهم فقط الإزاحة الموازية للمجال الكهربائي في تغير الجهد.
يتحرك الجسيم مسافة \(10\text{ mm}\) على مساره القطري، لكن إزاحته في اتجاه المجال لا تتجاوز
\[
\Delta x = 6.0\text{ mm}
=6.0\times10^{-3}\text{ m}
\]
مقدار تغير الجهد هو
\[
|\Delta V|
=E\Delta x
=(4.0\times10^4)(6.0\times10^{-3})
=240\text{ V}
\]
الإزاحة نحو اليمين، وهو اتجاه المجال الكهربائي. وينخفض الجهد الكهربائي في اتجاه المجال، لذلك
\[
\Delta V=-240\text{ V}
\]
لذلك،
\[
\boxed{V_Q-V_P=-240\text{ V}}
\]
الخطأ المغري هو استخدام طول المسار الكامل \(10\text{ mm}\) في \(V=Ed\). فالإزاحة الرأسية البالغة \(8.0\text{ mm}\) عمودية على المجال، ولذلك لا تُحدث أي تغير في الجهد الكهربائي.
11ما الذي تتيح لك هذه العلاقة فعله بعد ذلك؟
تربط المعادلة \(E=V/d\) بين طريقتين لوصف الحالة الكهربائية نفسها.
يصف فرق الجهد كيفية تغير الجهد الكهربائي بين موضعين. أما شدة المجال الكهربائي فتصف مدى سرعة تغير ذلك الجهد مع الموضع.
بمجرد أن تعرف \(E\)، يمكنك إيجاد القوة المؤثرة في جسيم مشحون باستخدام
\[
F=qE
\]
وبمجرد أن تعرف فرق الجهد، يمكنك ربطه بالتغير في طاقة الوضع الكهربائية لجسيم باستخدام
\[
\Delta U=q\Delta V
\]
تمثل هذه العلاقات الخطوة التالية. فهي تتيح لك الانتقال من وصف المجال بين اللوحين إلى التنبؤ بما سيفعله فعليًا إلكترون أو بروتون أو أي جسيم مشحون آخر داخله.