全內反射：條件與臨界角

玻璃內的一束光射到玻璃與空氣的交界面。有時它會射入空氣。有時它會剛好沿著交界面傳播。再把角度增大一點，突然之間，光完全不再射出。

有甚麼改變了？玻璃沒有改變。空氣也沒有改變。唯一改變的是光線的方向。

繼續閱讀之前，先作一個預測：如果光沿相反方向傳播，也就是從空氣進入玻璃，會不會出現同樣的現象？

不會。光沿這個方向傳播時，不可能發生全內反射。明白其中原因，是處理幾乎所有 HSC 全內反射題目的最清晰方法。

01全內反射要解釋甚麼

當光到達兩種透明材料之間的交界面時，通常會分成兩部分。一部分光會反射，另一部分則會折射進入第二種材料。

假設光正從玻璃進入空氣。

玻璃的折射率比空氣高。當光線進入折射率較低的材料時，它會偏離法線折射。

現在想像逐漸增大入射角。

折射光線會愈來愈偏離法線。最終，它會到達一個極限情況：折射光線剛好沿著交界面傳播。

再增大角度後，折射光線已經沒有更遠的方向可以偏折。光會留在原本的材料內，並反射回去。

這就是全內反射，英文簡稱 TIR。

02全內反射的兩個條件

有兩個條件，而且兩個都必須符合。

以符號表示，如果光由材料 1 傳到材料 2：

\[
n_1 > n_2
\]

以及

\[
\theta_i > \theta_c
\]

其中，\(n_1\) 是入射光線所在材料的折射率，\(n_2\) 是第二種材料的折射率，\(\theta_i\) 是入射角，而 \(\theta_c\) 是臨界角。

一個實用的判斷方法是：

1. 先檢查方向。
2. 再檢查角度。

這個次序很重要。如果光由折射率較低的材料射向折射率較高的材料，那麼無論入射角是多少，都不可能發生 TIR。此時根本沒有必要計算臨界角。

03為甚麼方向很重要

想像一束光從空氣射入玻璃。

空氣的 \(n \approx 1.00\)，而普通玻璃的 \(n\) 可能約為 \(1.50\)。光線進入玻璃時會向法線偏折。

增大入射角並不會使折射光線逐漸靠近表面。折射光線仍然位於法線靠玻璃的一側。

現在把傳播方向反過來。

當光由玻璃射入空氣時，它會偏離法線折射。隨著入射角增加，折射角增加得更快。最終，折射角會達到 \(90^\circ\)。

這個極限情況就產生了臨界角。

一個常見的簡化說法是，光必須由「光學較密」的材料射向「光學較疏」的材料。如果這裡的光學密度是指折射率，這個說法是可以接受的。它並不表示該材料的質量密度一定較大。

04臨界角

臨界角是令折射角剛好等於 \(90^\circ\) 的入射角。

要特別留意這個定義。臨界角是一個入射角，所以它是由法線量起。

在臨界角時：

\[
\theta_i = \theta_c
\]

而且

\[
\theta_r = 90^\circ
\]

因此，折射光線會沿著交界面傳播。

這時候還未發生全內反射。

只有當：

\[
\theta_i > \theta_c
\]

才會發生 TIR。

這個嚴格的不等式很容易令人失分。

推導臨界角

斯涅爾定律是

\[
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2
\]

其中 \(n_1\) 和 \(n_2\) 是兩種材料的折射率，而 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 是相應由法線量起的角度。

在臨界角時，折射角為 \(90^\circ\)。因此：

\[
n_1\sin\theta_c = n_2\sin90^\circ
\]

由於 \(\sin90^\circ = 1\)：

\[
n_1\sin\theta_c = n_2
\]

所以

\[
\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}
\]

因此：

\[
\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)
\]

只有當 \(n_1 > n_2\) 時，這條公式才會給出一個實際存在的臨界角。

為甚麼？如果 \(n_2 > n_1\)，那麼 \(n_2/n_1\) 就會大於 1。但實數角的正弦值不可能大於 1。

數學正在告訴你與物理相同的事情：當光由較低折射率射向較高折射率時，並不存在臨界角。

05角度由法線量起，而不是由表面量起

想像一束看起來幾乎貼著交界面掠過的光線。學生可能會稱它為「小角度」，因為光線與表面之間只有一個很小的夾角。

在折射題目中，這並不是正確的角度。

入射角、反射角和折射角都是由法線量起，而法線與表面垂直。

所以，如果一束光線與表面形成 \(20^\circ\)，那麼它與法線形成：

\[
90^\circ – 20^\circ = 70^\circ
\]

這個 \(70^\circ\) 才是入射角。

這一點很重要，因為由法線量起的角度愈大，愈有利於發生 TIR。

一個有點傻氣的想像方法，是把光線想成正試圖離開一個派對。幾乎正面朝著門走，就像入射角很小。幾乎橫向掠過門口，就像入射角很大。當角度大到某個程度時，我們的光線就會被拒諸門外，只能留在裡面。

這個比喻的局限在於，光並不是在交界面上「作決定」。它的行為遵循折射和反射所描述的波動條件。

06低於、等於和高於臨界角時會發生甚麼？

對於沿正確方向傳播，也就是由較高 \(n\) 射向較低 \(n\) 的光，有三種實用情況。

假設臨界角是 \(42^\circ\)。

在 \(40^\circ\) 時，不會發生 TIR。

在剛好 \(42^\circ\) 時，仍然不會發生 TIR。折射光線會沿著交界面傳播。

在 \(43^\circ\) 時，會發生 TIR。

「大於」這個詞在這裡非常重要。

07一個較微妙的比較：玻璃射入水

學生有時會背熟「玻璃射向空氣可以發生全內反射」，卻不小心把這個例子當成規則。

其實並不一定要有空氣。

考慮光從折射率 \(n = 1.52\) 的玻璃射入折射率 \(n = 1.33\) 的水。

因為：

\[
1.52 > 1.33
\]

所以符合方向條件。

因此有可能發生 TIR。

臨界角為：

\[
\theta_c
= \sin^{-1}\left(\frac{1.33}{1.52}\right)
= 61.0^\circ
\]

現在比較兩束光線。

入射角為 \(58^\circ\) 的光線不會發生全內反射，因為：

\[
58^\circ < 61.0^\circ
\]

入射角為 \(65^\circ\) 的光線會發生全內反射，因為：

\[
65^\circ > 61.0^\circ
\]

關鍵在於兩個折射率之間的關係，而不是其中一種材料是否剛好是空氣。

08最容易令人誤解的一點

學生看到一個非常大的入射角，便立即寫下「TIR」。

這看起來很合理。大角度的確有助於產生 TIR。

但只有角度大並不足夠。

假設光從水 \(n = 1.33\) 射入玻璃 \(n = 1.50\)，而入射角為 \(85^\circ\)。

這是一個非常大的入射角，但：

\[
1.33 < 1.50
\]

光正由較低折射率射向較高折射率。

因此，不可能發生全內反射。

這就是為甚麼在拿起計算機之前先檢查方向，是一個非常實用的習慣。

09為甚麼全內反射很有用

TIR 可以讓光即使沿彎曲路徑傳播，仍然被限制在透明材料內。

這就是光纖背後的基本概念。光纖有一個折射率略高於外圍包層的核心。當光線以足夠大的入射角射到核心與包層的交界面時，會反覆發生全內反射，使光持續被導引在光纖內傳播。

兩者的折射率可以非常接近。TIR 並不要求兩者之間有很大的差異。它要求的是正確的傳播方向，以及大於相應臨界角的入射角。

這也解釋了為甚麼改變透明物體外面的材料，可能會改變是否發生 TIR。臨界角取決於兩個折射率：

\[
\theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)
\]

例如，把空氣換成水後，\(n_2\) 會增加。臨界角亦會增加，因此在相同入射角下，要達到 TIR 會變得更困難。

10問題與解答

問題 1

一束光由折射率為 \(1.33\) 的水射入折射率為 \(1.00\) 的空氣。臨界角為 \(48.8^\circ\)。光線以相對法線 \(53.0^\circ\) 的角度射到交界面。

會發生全內反射嗎？

解答 1

會，會發生全內反射。

因為光由折射率較高的材料–水–射向折射率較低的材料–空氣，所以符合方向條件：

\[
1.33 > 1.00
\]

入射角亦大於臨界角：

\[
53.0^\circ > 48.8^\circ
\]

因此兩個條件都符合，所以光線會發生全內反射。

陷阱在於只檢查角度。只有在方向條件已經符合之後，角度是否足夠大才有意義。

問題 2

一個透明物塊的折射率為 \(1.70\)。物塊內的光到達與空氣的交界面。

計算臨界角。然後說明當入射角為以下各值時會發生甚麼：

a. \(30.0^\circ\)

b. 等於臨界角

c. \(40.0^\circ\)

解答 2

臨界角為 \(36.0^\circ\)。在 \(30.0^\circ\) 時，光會折射進入空氣；在 \(36.0^\circ\) 時，折射光線會沿著交界面傳播；在 \(40.0^\circ\) 時，會發生全內反射。

因為光由 \(n_1 = 1.70\) 射向 \(n_2 = 1.00\)，所以符合方向條件。

計算臨界角：

\[
\theta_c
= \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)
= \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.70}\right)
= 36.0^\circ
\]

對於 a：

\[
30.0^\circ < 36.0^\circ
\]

所以光線可以折射進入空氣。

對於 b：

\[
\theta_i = \theta_c = 36.0^\circ
\]

所以折射角為 \(90^\circ\)。折射光線會沿著交界面傳播。這是極限情況，而不是 TIR。

對於 c：

\[
40.0^\circ > 36.0^\circ
\]

所以會發生全內反射。

關鍵區別在於入射角是等於臨界角，還是大於臨界角。

問題 3

一條光纖的核心折射率為 \(1.480\)，包層折射率為 \(1.460\)。

一束在核心中傳播的光，以相對法線 \(82.0^\circ\) 的角度射到核心與包層的交界面。

判斷這束光是否會發生全內反射。

解答 3

會，這束光會發生全內反射。

先檢查方向：

\[
n_{\text{核心}} = 1.480 > n_{\text{包層}} = 1.460
\]

所以有可能發生 TIR。

臨界角為：

\[
\theta_c
= \sin^{-1}\left(\frac{1.460}{1.480}\right)
= 80.6^\circ
\]

入射角為：

\[
\theta_i = 82.0^\circ
\]

因此：

\[
82.0^\circ > 80.6^\circ
\]

所以會發生全內反射。

兩個折射率非常接近，因此臨界角相當大。這表示只有那些以相對法線足夠大的角度射到交界面的光線，才會被限制在光纖內。

問題 4

一個玻璃物塊的折射率為 \(1.50\)。它被一種未知的透明液體包圍。

在玻璃內傳播的光，當入射角為 \(58^\circ\) 時會發生全內反射，但當入射角為 \(52^\circ\) 時則不會發生全內反射。

利用這些資料，求液體折射率 \(n_L\) 的一個可能範圍。

解答 4

液體的折射率必須約滿足 \(1.18 \leq n_L < 1.27\)。

由於在 \(58^\circ\) 時會發生 TIR，所以臨界角必須小於 \(58^\circ\)：

\[
\theta_c < 58^\circ
\]

對於玻璃射入液體：

\[
\sin\theta_c = \frac{n_L}{1.50}
\]

因此：

\[
\frac{n_L}{1.50} < \sin58^\circ
\]

所以：

\[
n_L < 1.50\sin58^\circ
\]

\[
n_L < 1.27
\]

現在使用在 \(52^\circ\) 時的觀察結果。

在 \(52^\circ\) 時沒有發生 TIR，所以臨界角必須至少為 \(52^\circ\)：

\[
\theta_c \geq 52^\circ
\]

因此：

\[
\frac{n_L}{1.50} \geq \sin52^\circ
\]

而：

\[
n_L \geq 1.50\sin52^\circ
\]

\[
n_L \geq 1.18
\]

把兩個限制合併：

\[
1.18 \leq n_L < 1.27
\]

不等號是否包含等號很重要。如果臨界角剛好是 \(52^\circ\)，那麼在剛好 \(52^\circ\) 的入射角下，折射光線會沿著交界面傳播，因此仍然不會發生全內反射。然而，在 \(58^\circ\) 時已經觀察到 TIR，所以臨界角必須嚴格小於 \(58^\circ\)。

問題 5

一束光在折射率為 \(1.50\) 的玻璃內傳播，並以 \(50.0^\circ\) 的入射角射到交界面。

交界面另一側的材料可以換成不同的透明液體。

求第二種材料在這個入射角下仍然可以發生全內反射時所允許的最大折射率。並解釋在剛好等於極限值時會發生甚麼。

解答 5

要發生全內反射，第二種材料必須約滿足 \(n_2 < 1.15\)。在剛好等於極限值時，折射光線會沿著交界面傳播，因此不會發生 TIR。

在極限情況下，入射角等於臨界角：

\[
\theta_c = 50.0^\circ
\]

使用：

\[
\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}
\]

而 \(n_1 = 1.50\)：

\[
\sin50.0^\circ = \frac{n_2}{1.50}
\]

因此：

\[
n_2 = 1.50\sin50.0^\circ
\]

\[
n_2 = 1.15
\]

約為此值。

當 \(n_2 = 1.15\) 時，臨界角剛好是 \(50.0^\circ\)。因此光線正處於臨界條件，折射光線與法線成 \(90^\circ\)，沿著交界面傳播。

要發生 TIR，入射角必須大於臨界角。當入射角固定為 \(50.0^\circ\) 時，這要求臨界角低於 \(50.0^\circ\)，因此：

\[
n_2 < 1.15
\]

這道題把一般的計算方向反過來。你不是利用兩個折射率去求角度，而是利用所需的角度，去判斷第二種材料所允許的折射率。

11這個概念接下來會帶你到哪裡

當你能夠分別檢查方向條件和角度條件後，分析光纖就會容易得多。下一個實用步驟，是把 TIR 與光纖的幾何結構連結起來：哪些入射光線進入光纖後，最終會以高於臨界角的角度射到核心與包層的交界面，以及哪些光線反而會逸出。