HSC 物理库仑定律：力的大小与方向

两个微小的带电物体相距 20 cm。你把其中一个物体的电荷量加倍，同时也把它们之间的距离加倍。电力会变大、变小，还是保持不变？

一个很容易想到的猜测是「两个变化会互相抵消」。但其实不会。电荷量和距离对电力的影响方式不同。电力与电荷量成正比，但与距离遵循平方反比关系。把其中一个电荷量加倍，会使力乘以 2；而把距离加倍，则会使力除以 \(2^2 = 4\)。因此，最后的力会变成原来的一半。

这个关系就是库仑定律。计算本身通常相当直接。HSC 中较难掌握的技能，是理解算出的数值代表甚么：力指向哪个方向、计算中的正负号应如何处理，以及当存在两个以上的电荷时会有甚么不同？

01先从物理情境开始

想像两个小型带电球体彼此相距足够远，因此可以把每个球体视为其全部电荷都集中在一个点上。

只有两种可能：

• 同号电荷互相排斥
• 异号电荷互相吸引

所以，两个正电荷会互相推开。两个负电荷也会互相推开。一个正电荷和一个负电荷则会互相吸引。

在进行任何数学计算之前，先预测力的方向。

假设一个正电荷位于左侧，一个负电荷位于右侧。

正电荷所受的力朝哪个方向？

朝向负电荷，因此向右。

负电荷所受的力朝哪个方向？

朝向正电荷，因此向左。

两个力的方向相反，但大小相等。这与牛顿第三定律一致。

这个最初的示意图假设电荷表现得像点电荷。真实的带电物体具有大小。简单形式的库仑定律对点电荷完全适用；对球对称的电荷分布，也可以使用库仑定律，只要两者的间距是以它们的中心之间的距离来量度。

02甚么因素决定力的大小？

有三个因素会影响：

1. 第一个电荷的电荷量大小
2. 第二个电荷的电荷量大小
3. 它们之间的距离

如果任一电荷的电荷量变大，力就会变大。

如果两个电荷相距更远，力就会变小。

但距离的影响更强，因为距离要平方。

例如：

与其把这种平方反比关系当作奇怪的规则死记，不如真正理解它。

如果两个电荷的距离变成原来的两倍，它们之间的电相互作用分布在几何上更大的区域。结果并不是力单纯减半，而是减少为原来的四分之一。

03库仑定律

两个点电荷之间静电力的大小为

\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]

其中：

• \(F\) 是静电力的大小，单位为牛顿（N）
• \(q_1\) 和 \(q_2\) 是电荷量，单位为库仑（C）
• \(r\) 是两个电荷之间的距离，单位为公尺（m）
• \(k\) 是库仑常数

对真空中的电荷而言，以及近似地对空气中的电荷而言，

\[ k = 8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2} \]

在 \(q_1q_2\) 外加上绝对值符号，是因为这个版本的公式用来计算大小。大小不可能是负数。

电荷的正负号仍然很重要，但它们是用来判断力的方向。

把不同工作分开处理很有用：

• 把电荷量的大小代入库仑定律
• 电荷的正负号告诉你力是吸引还是排斥
• 你的示意图或座标系统告诉你该方向是正还是负

04单位换算陷阱

HSC 题目中的电荷量很少会写成几个完整的库仑。以小型物体的尺度而言，一库仑是非常大的电荷量。

你常会看到：

\[ 1\ \text{mC} = 1\times10^{-3}\ \text{C} \]

\[ 1\ \mu\text{C} = 1\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ 1\ \text{nC} = 1\times10^{-9}\ \text{C} \]

在使用库仑定律之前，你也必须把公分换算成公尺。

例如，

\[ 25\ \text{cm} = 0.25\ \text{m} \]

一个常见错误是直接把 \(25\) 代入 \(r^2\)。这等于告诉公式两个电荷相距 25 公尺。

05范例：两个正电荷之间的力

两个点电荷分别为 \(+3.0\ \mu\text{C}\) 和 \(+5.0\ \mu\text{C}\)，相距 \(0.40\ \text{m}\)。计算每个电荷所受静电力的大小和方向。

步骤 1：计算之前先预测方向。

两个电荷都是正电荷，因此互相排斥。

每个电荷所受的力都指向远离另一个电荷的方向。

步骤 2：把电荷量换算成库仑。

\[ q_1 = 3.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ q_2 = 5.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

距离已经以公尺表示：

\[ r = 0.40\ \text{m} \]

步骤 3：使用库仑定律求力的大小。

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(5.0\times10^{-6})}{(0.40)^2} \\ &= 0.843\ \text{N} \end{aligned} \]

取两位有效数字，

\[ F = 0.84\ \text{N} \]

步骤 4：加上方向。

每个电荷受到大小为 \(0.84\ \text{N}\)、方向远离另一个电荷的力。

如果 \(+3.0\ \mu\text{C}\) 电荷位于左侧，而 \(+5.0\ \mu\text{C}\) 电荷位于右侧，那么左侧电荷所受的力向左，右侧电荷所受的力向右。

这两个力大小相等、方向相反。

06为甚么不应用负的力来表示吸引

假设你直接把带正负号的数值 \(q_1 = +3.0\ \mu\text{C}\) 和 \(q_2 = -5.0\ \mu\text{C}\) 代入

\[ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} \]

你会得到一个负数。

这时很容易说：「负的力代表吸引。」

这种捷径并不可靠。

负的向量分量代表力指向你所选座标轴的负方向。吸引并不会自动代表左、右、正或负；它取决于另一个电荷位于甚么位置。

例如，想像一个正的试验电荷。

• 如果一个负电荷位于它的右侧，吸引力会向右。
• 如果把同一个负电荷移到它的左侧，吸引力便会向左。

两种情况中的相互作用都是吸引，但座标上的正负号改变了。

对大多数一维 HSC 计算而言，更可靠的方法是：

1. 在库仑定律中使用电荷量的大小
2. 判断是吸引还是排斥
3. 判断实际的物理方向
4. 只有在选定座标轴后，才加上正号或负号

07方向也是答案的一部分

假设两个电荷位于 \(x\) 轴上。

你规定向右为正方向。

那么：

• 向右的力具有正的 \(x\) 分量
• 向左的力具有负的 \(x\) 分量

选择哪个方向为正方向完全是任意的。物理本身并不偏好右边而不是左边。

可以把正负号想成决定一条走廊的哪一端称为「正方向」。即使你把两端的标签对调，走廊本身也没有改变。改变的只是你用来描述位置与方向的数值。

这个类比有其限制。电的吸引和排斥是真实的物理相互作用，而座标中的正方向与负方向只是记录和表示方式。

08范例：求带正负号的力分量

一个 \(+2.0\ \mu\text{C}\) 电荷位于 \(x = 0\)。一个 \(-6.0\ \mu\text{C}\) 电荷位于 \(x = 0.30\ \text{m}\)。规定向右为正 \(x\) 方向。计算 \(+2.0\ \mu\text{C}\) 电荷所受的力。

步骤 1：判断实际的物理方向。

两个电荷的正负号相反，因此互相吸引。

负电荷位于正电荷的右侧。因此，正电荷会被拉向右方。

所以，正电荷所受的力具有正的 \(x\) 分量。

步骤 2：以库仑为单位写出电荷量的大小。

\[ |q_1| = 2.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ |q_2| = 6.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

以及

\[ r = 0.30\ \text{m} \]

步骤 3：计算力的大小。

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(2.0\times10^{-6})(6.0\times10^{-6})}{(0.30)^2} \\ &= 1.20\ \text{N} \end{aligned} \]

步骤 4：套用座标方向。

向右为正，因此

\[ F_x = +1.20\ \text{N} \]

\( +2.0\ \mu\text{C}\) 电荷受到大小为 \(1.20\ \text{N}\)、朝向负电荷的力。

注意这个正号是如何产生的。它并不是因为两个电荷的正负号相乘得到正值。事实上，两个电荷是异号的。这个正号来自力指向所选定的正 \(x\) 方向。

09当有一个以上的电荷施力时会怎样？

库仑定律给出的是一个电荷对另一个电荷所造成的力。

如果一个电荷受到多个其他电荷影响，就要分别计算每一个力，再把这些力以向量方式相加。

这就是叠加原理。

对一个受到 \(\vec F_1\)、\(\vec F_2\) 和 \(\vec F_3\) 作用的电荷，

\[ \vec F_{\text{net}} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 \]

不要自动把力的大小相加。方向很重要。

想像你站在两个人中间，而他们都试图把你拉向自己。如果说「一个人用 80 N 拉，另一个人用 60 N 拉，所以总力是 140 N」，就忽略了一个麻烦的细节：他们拉的方向相反。你所受的合力是 20 N，方向朝向拉力较大的那一方。

当电力沿同一直线作用时，情况也是一样。

如果这些力不共线，这个类比就不再适用。此时你必须真正把二维向量相加，而不是只把力的大小相减。

10范例：另外两个电荷造成的合力

三个点电荷位于同一条水平直线上。

• 电荷 \(A = +4.0\ \mu\text{C}\)
• 电荷 \(B = +2.0\ \mu\text{C}\)
• 电荷 \(C = -3.0\ \mu\text{C}\)

电荷 \(A\) 位于 \(B\) 左方 \(0.20\ \text{m}\)。电荷 \(C\) 位于 \(B\) 右方 \(0.30\ \text{m}\)。

计算 \(B\) 所受的静电合力。规定向右为正。

步骤 1：判断 \(A\) 对 \(B\) 所施力的方向。

\(A\) 和 \(B\) 都是正电荷，因此互相排斥。

因为 \(A\) 位于 \(B\) 左侧，所以它会把 \(B\) 推向右方。

因此，

\[ F_{AB} > 0 \]

步骤 2：计算 \(A\) 所造成的力的大小。

\[ \begin{aligned} F_{AB} &= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(4.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\ &= 1.80\ \text{N} \end{aligned} \]

所以，

\[ F_{AB} = +1.80\ \text{N} \]

步骤 3：判断 \(C\) 对 \(B\) 所施力的方向。

\(B\) 是正电荷而 \(C\) 是负电荷，因此两者互相吸引。

因为 \(C\) 位于右侧，所以 \(B\) 会被拉向右方。

因此，

\[ F_{CB} > 0 \]

步骤 4：计算 \(C\) 所造成的力的大小。

\[ \begin{aligned} F_{CB} &= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.30)^2} \\ &= 0.599\ \text{N} \end{aligned} \]

所以，

\[ F_{CB} = +0.599\ \text{N} \]

步骤 5：把力的分量相加。

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= F_{AB} + F_{CB} \\ &= 1.80 + 0.599 \\ &= 2.40\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，\(B\) 所受的合力为

\[ \boxed{F_{\text{net}} = +2.40\ \text{N}} \]

也就是向右 \(2.40\ \text{N}\)。

虽然其中一个相互作用是排斥，另一个是吸引，但两者都把 \(B\) 推或拉向同一方向。

这正好说明了为甚么「吸引就代表负」是一条不好的规则。

11解答库仑定律问题的可靠方法

遇到电力问题时，可以依照以下顺序处理。

1. 把电荷画在正确的位置上

标示它们的正负号和间距。

即使排列看起来很明显，也要这样做。大多数方向上的错误，在按计算机之前就已经开始了。

2. 选定你要找哪一个电荷所受的力

问自己：有哪些力作用在这个电荷上？

除非题目要求，否则不要理会作用在其他电荷上的力。

3. 预测每一个力的方向

对每一对互相作用的电荷：

• 同号代表排斥
• 异号代表吸引

画一个箭头，表示作用在目标电荷上的力。

4. 把所有物理量换算成 SI 单位

使用：

• 电荷量用库仑
• 距离用公尺
• 力用牛顿

5. 分别计算每一个力的大小

使用

\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]

6. 为各个力加上向量正负号

到这一步才使用你的座标约定。

例如，如果向右为正：

• 向右的力：正
• 向左的力：负

7. 把各个力相加

对一维问题，

\[ F_{\text{net}} = F_1 + F_2 + \cdots \]

对二维排列，要先把力分解成分量，再进行相加。

12最容易出现的错误观念

「负电荷代表负的力」

不一定。

电荷的正负号描述的是电荷种类。力的正负号描述的是相对于某个座标系统的方向。

两者是不同的概念。

「异号电荷一定会得到负的答案」

异号电荷一定互相吸引。力的分量是正还是负，取决于电荷的位置以及你选择哪个方向为正。

「如果距离加倍，力就减半」

库仑定律中包含的是 \(r^2\)，不是 \(r\)。

距离加倍时，

\[ F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{2^2} = \frac{F_{\text{old}}}{4} \]

「电荷量较大的电荷会受到较大的力」

假设一个 \(+1\ \mu\text{C}\) 电荷与一个 \(+100\ \mu\text{C}\) 电荷互相作用。

直觉上可能会觉得，\(100\ \mu\text{C}\) 的电荷应该会以某种方式「胜出」，并施加较大的力。

其实不会。

无论你把哪个电荷称为 \(q_1\) 或 \(q_2\)，库仑定律中的乘积 \(q_1q_2\) 都相同。电荷 1 对电荷 2 的力，大小等于电荷 2 对电荷 1 的力。

如果两个物体的质量不同，它们的加速度仍然可以不同，因为

\[ \vec a = \frac{\vec F}{m} \]

力相等并不代表加速度相等。

「合力为零代表没有电力」

这也不正确。

两个或更多非零的力可以互相抵消。

一个电荷可能同时受到向左 \(3\ \text{N}\) 和向右 \(3\ \text{N}\) 的力。即使有两个静电力作用在它上面，它的合力仍然是零。

当你进一步学习电场和平衡时，这个区别尤其重要。

13问题与解答

问题 1

两个点电荷 \(+2.5\ \mu\text{C}\) 和 \(+4.0\ \mu\text{C}\) 相距 \(0.50\ \text{m}\)。

计算它们之间静电力的大小，并指出这个相互作用是吸引还是排斥。

解答 1

两个电荷互相排斥，力的大小为 \(0.360\ \text{N}\)。

两个电荷都是正电荷，因此相互作用是排斥。

把电荷量换算成库仑：

\[ q_1 = 2.5\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ q_2 = 4.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

距离为

\[ r = 0.50\ \text{m} \]

使用库仑定律，

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(2.5\times10^{-6})(4.0\times10^{-6})}{(0.50)^2} \\ &= 0.3596\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{F = 0.360\ \text{N}} \]

每个电荷都受到相同大小的力，方向远离另一个电荷。这里一个常见错误，是认为电荷量较大的 \(+4.0\ \mu\text{C}\) 电荷会受到较大的力。牛顿第三定律告诉我们，这两个相互作用力的大小相等。

问题 2

一个 \(+6.0\ \text{nC}\) 电荷位于 \(x = 0\)，另一个 \(-8.0\ \text{nC}\) 电荷位于 \(x = -0.12\ \text{m}\)。

规定向右为正。计算 \(+6.0\ \text{nC}\) 电荷所受的力。

解答 2

正电荷所受的力约为 \(-3.00\times10^{-5}\ \text{N}\)，表示力向左。

两个电荷异号，因此互相吸引。负电荷位于正电荷的左侧，所以正电荷所受的力也必须向左。

换算电荷量：

\[ |q_1| = 6.0\times10^{-9}\ \text{C} \]

\[ |q_2| = 8.0\times10^{-9}\ \text{C} \]

计算力的大小：

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(6.0\times10^{-9})(8.0\times10^{-9})}{(0.12)^2} \\ &= 2.997\times10^{-5}\ \text{N} \end{aligned} \]

取三位有效数字，

\[ F = 3.00\times10^{-5}\ \text{N} \]

因为向左是负 \(x\) 方向，

\[ \boxed{F_x = -3.00\times10^{-5}\ \text{N}} \]

这个负号来自所选的座标方向，而不只是因为其中一个电荷是负电荷。

问题 3

一个 \(+1.0\ \mu\text{C}\) 电荷因第二个点电荷而受到大小为 \(0.90\ \text{N}\) 的力。

两个电荷之间的距离加倍，而两者的电荷量大小都保持不变。

新的力大小是多少？不必从头重新进行完整的库仑定律计算，请解释你的答案。

解答 3

新的力大小为 \(0.225\ \text{N}\)。

库仑定律给出以下关系：

\[ F \propto \frac{1}{r^2} \]

如果距离由 \(r\) 变成 \(2r\)，那么

\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{r^2}{(2r)^2} = \frac{1}{4} \]

因此，

\[ \begin{aligned} F_{\text{new}} &= \frac{0.90}{4} \\ &= 0.225\ \text{N} \end{aligned} \]

所以，

\[ \boxed{F_{\text{new}} = 0.225\ \text{N}} \]

主要陷阱是把这个关系误认为普通反比，而不是平方反比。距离加倍并不会使力减半，而是使它减少到原来的四分之一。

问题 4

三个点电荷位于 \(x\) 轴上。

• \(A = +3.0\ \mu\text{C}\)，位于 \(x = -0.20\ \text{m}\)
• \(B = +1.0\ \mu\text{C}\)，位于 \(x = 0\)
• \(C = +12.0\ \mu\text{C}\)，位于 \(x = +0.40\ \text{m}\)

规定向右为正。

计算 \(B\) 所受的静电合力。

解答 4

即使有两个非零的静电力作用在 \(B\) 上，\(B\) 所受的合力仍然为零。

先考虑 \(A\) 所造成的力。

\(A\) 和 \(B\) 都是正电荷，因此 \(A\) 排斥 \(B\)。因为 \(A\) 在左侧，所以这个力指向右方。

它的大小为

\[ \begin{aligned} F_{AB} &= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\ &= 0.674\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，

\[ F_{AB} = +0.674\ \text{N} \]

现在考虑 \(C\) 所造成的力。

\(B\) 和 \(C\) 也都是正电荷，因此 \(C\) 排斥 \(B\)。因为 \(C\) 在右侧，所以这个力指向左方。

它的大小为

\[ \begin{aligned} F_{CB} &= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(12.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.40)^2} \\ &= 0.674\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，

\[ F_{CB} = -0.674\ \text{N} \]

把向量分量相加：

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= F_{AB} + F_{CB} \\ &= 0.674 - 0.674 \\ &= 0 \end{aligned} \]

所以，

\[ \boxed{F_{\text{net}} = 0\ \text{N}} \]

有趣的是，电荷 \(C\) 与 \(B\) 的距离是 \(A\) 与 \(B\) 距离的四倍吗？仔细检查实际距离：\(C\) 距离 \(B\) 为 \(0.40\ \text{m}\)，而 \(A\) 距离 \(B\) 为 \(0.20\ \text{m}\)，所以 \(C\) 其实是距离 \(B\) 两倍远。因为距离要平方，距离变成两倍会使力减弱为四分之一。\(C\) 上的电荷量正好是四倍，因此恰好补偿了这个减少。

所以，合力为零并不代表没有静电相互作用，而是各个向量力彼此抵消。

问题 5

两个固定的正点电荷位于同一直线上。

• \(Q_1 = +4.0\ \mu\text{C}\)，位于 \(x = 0\)
• \(Q_2 = +9.0\ \mu\text{C}\)，位于 \(x = 1.00\ \text{m}\)

一个小的正试验电荷被放置在同一直线上的某个位置。

找出在 \(Q_1\) 和 \(Q_2\) 之间，试验电荷所受静电合力为零的位置。并解释为甚么不需要知道试验电荷本身的电荷量。

解答 5

试验电荷必须放在 \(x = 0.400\ \text{m}\) 的位置，从 \(Q_1\) 起量。

因为试验电荷是正电荷，所以两个固定的正电荷都会排斥它。

在 \(Q_1\) 和 \(Q_2\) 之间：

• \(Q_1\) 把试验电荷推向右方
• \(Q_2\) 把试验电荷推向左方

要使合力为零，这两个力的大小必须相等。

设未知位置距离 \(Q_1\) 为 \(x\) 公尺。

因此，它与 \(Q_2\) 的距离为

\[ 1.00-x \]

设试验电荷为 \(q\)。令两个力的大小相等，可得

\[ k\frac{|Q_1q|}{x^2} = k\frac{|Q_2q|}{(1.00-x)^2} \]

因子 \(k\) 和 \(|q|\) 同时出现在等式两边，因此可以约去：

\[ \frac{Q_1}{x^2} = \frac{Q_2}{(1.00-x)^2} \]

代入电荷量的大小：

\[ \frac{4.0}{x^2} = \frac{9.0}{(1.00-x)^2} \]

取正平方根是合理的，因为 \(x\) 和 \(1.00-x\) 都代表正的距离：

\[ \frac{2}{x} = \frac{3}{1.00-x} \]

交叉相乘，

\[ \begin{aligned} 2(1.00-x) &= 3x \\ 2.00-2x &= 3x \\ 2.00 &= 5x \\ x &= 0.400\ \text{m} \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{x = 0.400\ \text{m}} \]

不需要知道试验电荷的大小，因为它会以相同方式乘在两个互相竞争的力上；当令两个力相等时，它便会被约去。

这个位置在物理上也合理。\( +9.0\ \mu\text{C}\) 电荷较强，所以平衡点必须更靠近较弱的 \(+4.0\ \mu\text{C}\) 电荷。在 \(x=0.400\ \text{m}\) 时，试验电荷距离 \(Q_1\) 为 \(0.400\ \text{m}\)，但距离较强的 \(Q_2\) 为 \(0.600\ \text{m}\)。

一个很容易想到的做法是寻找中点。但只有当两个固定电荷的电荷量大小相等时，中点才会成立。

14从力到电场

库仑定律告诉你特定电荷之间的力。下一个有用的步骤，是把相互作用的来源，与放置在该处的物体分开考虑。

如果一个电荷 \(Q\) 在周围产生电的影响，我们可以用电场来描述这种影响。当第二个电荷放入这个电场中时，它就会受到力。

这个观念上的转换把

\[ F = k\frac{|Qq|}{r^2} \]

变成密切相关的概念

\[ E = k\frac{|Q|}{r^2} \]

其中 \(E\) 是电场强度。

因此，你在这里所做的方向判断可以直接延伸到电场：先理解一个正试验电荷会被推向哪个方向，再加上向量方向。这就是从库仑定律通往电场、电场图、电势，以及最后研究带电粒子在电场中运动的桥梁。