حسابات القوة الصافية والاتزان في فيزياء HSC

عربة تتحرك إلى اليمين بسرعة ثابتة. يدفعها شخص إلى اليمين، بينما يدفعها الاحتكاك إلى اليسار. في أي اتجاه تكون القوة الصافية؟

قد يكون من المغري أن تقول «إلى اليمين»، لأن هذا هو اتجاه حركة العربة. لكن إذا كانت سرعتها المتجهة ثابتة، فإن تسارعها يساوي صفرًا. وعندئذ يخبرنا قانون نيوتن الثاني بشيء مهم: يجب أن تتجمع القوى لتعطي قوة صافية مقدارها صفر.

وهذه هي وظيفة القوة المحصلة. فبدلًا من التعامل مع كل قوة على حدة، نجمعها في قوة واحدة لها التأثير الكلي نفسه في حركة الجسم.

01ابدأ بالتفكير في الأسهم

القوة كمية متجهة. ولها مقدار واتجاه.

تخيل شخصين يسحبان صندوقًا ذا عجلات. يسحب أحدهما بقوة 40 N إلى اليمين، ويسحب الآخر بقوة 25 N إلى اليسار. تلغي القوتان إحداهما جزءًا من الأخرى، فيتبقى تأثير مكافئ لقوة واحدة مقدارها 15 N إلى اليمين.

نسمي هذه القوة المفردة الناتجة القوة المحصلة، أو القوة الصافية.

\[ \vec F_{\text{net}}=\sum \vec F \]

هنا، تمثل \(\vec F_{\text{net}}\) القوة الصافية، وتقاس بالنيوتن (N)، بينما تعني \(\sum \vec F\) المجموع المتجهي لجميع القوى المؤثرة في الجسم.

ويذكرنا السهم فوق \(F\) بأن للقوة اتجاهًا.

وهناك نقطة يجب الحذر منها منذ الآن: ليس من الضروري أن تشير القوة الصافية في اتجاه حركة الجسم.

تخبرك السرعة المتجهة بكيفية تحرك الجسم الآن. أما القوة الصافية فتخبرك بكيفية تغير تلك السرعة المتجهة.

02القوة المحصلة في بُعد واحد

عندما تؤثر كل القوى ذات الصلة على خط مستقيم واحد، تصبح المسألة الحسابية في الغالب مسألة إشارات.

اختر أحد الاتجاهين ليكون موجبًا. ويكون الاتجاه الآخر سالبًا.

على سبيل المثال، يمكننا اختيار:

• اليمين اتجاهًا موجبًا
• اليسار اتجاهًا سالبًا

وعندئذ تكون قوة مقدارها 30 N إلى اليمين \(+30\text{ N}\)، بينما تكون قوة مقدارها 12 N إلى اليسار \(-12\text{ N}\).

إذن:

\[ F_{\text{net}}=30+(-12)=18\text{ N} \]

وتخبرنا النتيجة الموجبة بأن القوة المحصلة مقدارها 18 N إلى اليمين.

ويمكنك بدلًا من ذلك اختيار اليسار اتجاهًا موجبًا. ستتغير الإشارات العددية، لكن الإجابة الفيزيائية لن تتغير. المهم هو أن تختار اصطلاحًا وتستخدمه باتساق.

03ماذا تعني القوة الصافية الصفرية فعليًا؟

افترض أن القوتين المتجهتين إلى اليمين وإلى اليسار متساويتان:

\[ F_{\text{net}}=0 \]

ومن قانون نيوتن الثاني،

\[ F_{\text{net}}=ma \]

لذلك، بالنسبة إلى جسم كتلته غير صفرية،

\[ a=0 \]

وهذا هو الاتزان الانتقالي.

فماذا يحدث للجسم؟

هناك احتمالان:

• إذا كان ساكنًا بالفعل، فإنه يظل ساكنًا.
• إذا كان يتحرك بالفعل بسرعة متجهة ثابتة، فإنه يستمر في الحركة بهذه السرعة المتجهة الثابتة.

والحالة الثانية تسبب كثيرًا من الأخطاء.

قد يتخيل طالب سيارة تتحرك شرقًا ويظن أنه لا بد من وجود قوة صافية نحو الشرق «لإبقائها في الحركة». ويبدو ذلك منطقيًا لأن الأجسام في حياتنا اليومية تتباطأ عادة عندما نتوقف عن دفعها. لكنها تتباطأ لأن الاحتكاك ومقاومة الهواء يوفران قوة غير متزنة.

إذا كانت جميع القوى متزنة بالفعل، فلا يلزم وجود قوة صافية إضافية إلى الأمام للحفاظ على سرعة متجهة ثابتة.

لاحظ الصياغة في الصف الثاني: سرعة متجهة ثابتة، وليس مجرد سرعة قياسية ثابتة. فالاتجاه مهم.

04القوة المحصلة في بُعدين

افترض الآن أن قوة تسحب نحو الشرق وأخرى تسحب نحو الشمال. لا يمكن ببساطة جمعهما كأعداد عادية لأنهما تشيران في اتجاهين مختلفين.

بدلًا من ذلك، تعامل مع الاتجاهين الأفقي والرأسي كلًّا على حدة.

ونسميهما عادة اتجاهي \(x\) و\(y\):

\[ \Sigma F_x = \text{مجموع مركبات القوة الأفقية} \]

\[ \Sigma F_y = \text{مجموع مركبات القوة الرأسية} \]

وبمجرد معرفة هاتين المركبتين، يكون مقدار القوة المحصلة

\[ F_{\text{net}}=\sqrt{(\Sigma F_x)^2+(\Sigma F_y)^2} \]

وهذا مجرد تطبيق لنظرية فيثاغورس على مثلث القوى.

ثم يمكن إيجاد اتجاهها باستخدام حساب المثلثات. إذا كانت الزاوية \(\theta\) تقاس من اتجاه \(x\) الموجب،

\[ \tan\theta=\frac{\Sigma F_y}{\Sigma F_x} \]

وتخبرك إشارات المركبات بالربع الذي تقع فيه المحصلة فعليًا. لا تدع زر الظل العكسي يحدد الاتجاه الفيزيائي نيابةً عنك من دون مراجعة الرسم.

05تحليل قوة مائلة إلى مركبات

يمكن استبدال قوة تشير قطريًا بمركبتين أفقية ورأسية.

لقوة مقدارها \(F\) وتميل بزاوية \(\theta\) فوق الاتجاه الأفقي الموجب:

\[ F_x=F\cos\theta \]

\[ F_y=F\sin\theta \]

هنا:

• \(F_x\) هي المركبة الأفقية
• \(F_y\) هي المركبة الرأسية
• \(F\) هو مقدار القوة الأصلية
• \(\theta\) هي زاويتها المقاسة من الاتجاه الأفقي

هذه المركبات ليست قوى إضافية. بل هي جزآن رياضيان للقوة الأصلية نفسها.

06التعرّف على الاتزان في بُعدين

في بُعد واحد، يتطلب الاتزان أن تلغي القوى في الاتجاهات المتعاكسة بعضها بعضًا.

أما في بُعدين، فهناك شرط إضافي:

\[ \Sigma F_x=0 \]

و

\[ \Sigma F_y=0 \]

يجب أن يتحقق الشرطان معًا.

افترض أن جسمًا معلقًا تؤثر فيه قوتان متوازنتان تمامًا إلى اليسار وإلى اليمين، لكن القوة إلى أعلى تزيد بمقدار 20 N على القوة إلى أسفل. عندها لا يكون الجسم في حالة اتزان. قد يكون تسارعه الأفقي صفرًا، لكن تسارعه الرأسي ليس صفرًا.

وهذا يعطينا قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار:

يكون الجسم في حالة اتزان انتقالي فقط عندما يكون متجه القوة المحصلة صفرًا.

ولا يلزم أن تقابل كل قوة منفردة قوة أخرى مطابقة لها ومعاكسة لها. فقد تتجمع عدة قوى لإلغاء قوة أخرى.

على سبيل المثال، قد تكون لشدَّي كابلين مائلين مركبات أفقية تلغي إحداها الأخرى، بينما تتجمع مركباتهما الرأسية لموازنة وزن الجسم.

07إيجاد القوة اللازمة للاتزان

أحيانًا لا تكون الكمية المجهولة هي المحصلة. بل يُطلب منك تحديد القوة الإضافية التي تجعل المحصلة صفرًا.

الطريقة بسيطة:

1. أوجد محصلة القوى المؤثرة بالفعل.
2. اجعل القوة الموازنة المطلوبة مساوية لها في المقدار ومعاكسة لها في الاتجاه.

إذا كانت محصلة القوى الموجودة 40 N شرقًا، فإن قوة أخرى مقدارها 40 N غربًا تحقق الاتزان.

وفي بُعدين، إذا كانت للمحصلة الموجودة مركبتان

\[ \vec F_{\text{net}}=(30\text{ N شرقًا},40\text{ N شمالًا}), \]

فيجب أن تكون للقوة الموازنة المركبتان

\[ (-30\text{ N},-40\text{ N}), \]

أي 30 N غربًا و40 N جنوبًا.

وتسمى هذه القوة المعاكسة أحيانًا قوة الاتزان.

08المفهوم الخاطئ الذي يجب تجنبه: الحركة ليست هي القوة الصافية

فكر في قرص ينزلق شرقًا بينما تؤثر فيه قوة صافية غربًا.

في أي اتجاه يتسارع؟

غربًا.

وفي أي اتجاه يتحرك مباشرة بعد بدء تأثير القوة؟

يظل متحركًا شرقًا.

لا يوجد تناقض. فالتسارع المتجه غربًا يغير السرعة المتجهة نحو الشرق. يتباطأ القرص أولًا. وإذا استمرت القوة المتجهة غربًا مدة كافية، فقد يتوقف القرص في النهاية ثم يبدأ في التحرك غربًا.

أبقِ هذه الكميات منفصلة:

• السرعة المتجهة تخبرك بالاتجاه الحالي للحركة ومعدلها
• التسارع يخبرك بكيفية تغير السرعة المتجهة
• القوة الصافية تشير في الاتجاه نفسه الذي يشير إليه التسارع، لأن \(\vec F_{\text{net}}=m\vec a\)

ولهذا لا يمكنك تحديد اتجاه القوة الصافية بمجرد النظر إلى اتجاه الحركة.

09طريقة موثوقة لمسائل القوى في HSC

عندما تظهر عدة قوى في مسألة، استخدم التسلسل نفسه في كل مرة.

1. حدد الجسم الذي تدرسه. قرر بدقة قوى أي جسم ستجمع.
2. اختر الاتجاهات الموجبة. في بُعدين، يُختار عادة اليمين على أنه \(+x\) والأعلى على أنه \(+y\).
3. حلل القوى المائلة. فككها إلى مركبات \(x\) و\(y\) عند الحاجة.
4. اجمع المركبات كلًّا على حدة. أوجد \(\Sigma F_x\) و\(\Sigma F_y\).
5. أعد تركيبها إذا لزم الأمر. استخدم فيثاغورس لإيجاد المقدار وحساب المثلثات لإيجاد الاتجاه.
6. فسر النتيجة. المحصلة الصفرية تعني تسارعًا انتقاليًا مقداره صفر. أما المحصلة غير الصفرية فتعطي اتجاه التسارع.

عادةً لا يكون الحساب هو الجزء الصعب. الجزء الصعب هو تحديد القوى التي يجب إدراجها في المجموع، وإبقاء السرعة المتجهة والتسارع والقوة مفاهيم منفصلة.

10أسئلة وحلول

السؤال 1

يتعرض راكب دراجة لقوة دفع مقدارها 180 N إلى الأمام. وتبلغ مقاومة الهواء 145 N إلى الخلف، بينما تبلغ مقاومة التدحرج 35 N إلى الخلف. احسب القوة المحصلة الأفقية. وماذا يخبرك ذلك عن التسارع الأفقي لراكب الدراجة؟

الحل 1

القوة المحصلة الأفقية تساوي 0 N، لذا فإن التسارع الأفقي لراكب الدراجة يساوي صفرًا.

اختر الاتجاه إلى الأمام ليكون موجبًا. تكون المحصلة

\[ F_{\text{net}} =180-145-35 =0\text{ N} \]

وباستخدام قانون نيوتن الثاني،

\[ F_{\text{net}}=ma, \]

فإن القوة الصافية الصفرية تعني أن \(a=0\).

وهذا لا يخبرنا بأن راكب الدراجة ساكن. فإذا كان يتحرك بالفعل، فيمكنه الاستمرار بسرعة متجهة ثابتة. والخطأ الشائع هو افتراض أن الحركة إلى الأمام تتطلب وجود قوة محصلة إلى الأمام.

السؤال 2

تتعرض عربة مختبر كتلتها 2.0 kg لأربع قوى في المستوى الأفقي: 24 N شرقًا، و10 N شمالًا، و8 N غربًا، و4 N جنوبًا. أوجد مقدار القوة المحصلة واتجاهها، ثم احسب تسارع العربة.

الحل 2

القوة المحصلة هي 17.1 N بزاوية \(20.6^\circ\) إلى الشمال من الشرق، وينتج عنها تسارع مقداره \(8.54\text{ m s}^{-2}\) في الاتجاه نفسه.

اعتبر الشرق اتجاه \(x\) الموجب، والشمال اتجاه \(y\) الموجب.

المحصلة الأفقية هي

\[ \Sigma F_x=24-8=16\text{ N} \]

والمحصلة الرأسية هي

\[ \Sigma F_y=10-4=6\text{ N}. \]

مقدار المحصلة هو

\[ F_{\text{net}} =\sqrt{16^2+6^2} =\sqrt{292} =17.1\text{ N}. \]

واتجاهها هو

\[ \theta =\tan^{-1}\left(\frac{6}{16}\right) =20.6^\circ. \]

كلتا المركبتين موجبتان، لذا يكون الاتجاه بزاوية \(20.6^\circ\) إلى الشمال من الشرق.

والآن نستخدم قانون نيوتن الثاني:

\[ a=\frac{F_{\text{net}}}{m} =\frac{17.1}{2.0} =8.54\text{ m s}^{-2}. \]

يشير التسارع في الاتجاه نفسه الذي تشير إليه القوة الصافية، وليس بالضرورة في اتجاه السرعة المتجهة الحالية للعربة.

السؤال 3

تؤثر قوتان في جسم صغير: 30 N شرقًا و40 N شمالًا. أوجد القوة الإضافية الوحيدة اللازمة لوضع الجسم في حالة اتزان انتقالي.

الحل 3

القوة المطلوبة هي 50 N موجهة بزاوية \(53.1^\circ\) إلى الجنوب من الغرب.

أوجد أولًا محصلة القوى الموجودة.

مقدارها هو

\[ F_{\text{resultant}} =\sqrt{30^2+40^2} =50\text{ N}. \]

زاوية هذه المحصلة إلى الشمال من الشرق هي

\[ \theta =\tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) =53.1^\circ. \]

إذن تتجمع القوى الموجودة لتعطي 50 N بزاوية \(53.1^\circ\) إلى الشمال من الشرق.

ولتحقيق الاتزان، يجب أن تجعل القوة الإضافية المجموع المتجهي الكلي مساويًا للصفر. ولذلك يجب أن يكون لها المقدار نفسه والاتجاه المعاكس تمامًا:

\[ F_{\text{additional}}=50\text{ N بزاوية }53.1^\circ\text{ إلى الجنوب من الغرب}. \]

ومركبتاها هما 30 N غربًا و40 N جنوبًا، فتُلغي كل منهما المركبة الأصلية المناظرة لها.

والخطأ هو إضافة قوة أخرى مقدارها 50 N في أي اتجاه مناسب. فتساوي المقدارين وحده لا يكفي. يجب أن تجعل الاتجاهات المجموع المتجهي صفرًا.

السؤال 4

تتحرك عربة كتلتها 4.0 kg في البداية غربًا بسرعة \(3.0\text{ m s}^{-1}\). ثم تؤثر فيها قوة محصلة ثابتة مقدارها 8.0 N شرقًا لمدة 2.0 s. هل العربة في حالة اتزان؟ أوجد سرعتها المتجهة بعد الفترة البالغة 2.0 s.

الحل 4

العربة ليست في حالة اتزان، وبعد 2.0 s تكون متحركة شرقًا بسرعة \(1.0\text{ m s}^{-1}\).

القوة الصافية هي 8.0 N شرقًا، وهي ليست صفرًا. لذلك للعربة تسارع وليست في حالة اتزان.

باستخدام قانون نيوتن الثاني،

\[ a=\frac{F_{\text{net}}}{m} =\frac{8.0}{4.0} =2.0\text{ m s}^{-2}\text{ شرقًا}. \]

اعتبر الشرق موجبًا. لذلك تكون السرعة المتجهة الابتدائية نحو الغرب

\[ u=-3.0\text{ m s}^{-1}. \]

وباستخدام

\[ v=u+at, \]

نحصل على

\[ v=-3.0+(2.0)(2.0) =+1.0\text{ m s}^{-1}. \]

وتعني الإشارة الموجبة الاتجاه شرقًا.

والجزء المثير للاهتمام هو ما يحدث خلال هذه الفترة. تشير القوة شرقًا بينما تتحرك العربة في البداية غربًا، لذلك تتباطأ العربة أولًا. وتصل سرعتها المتجهة إلى الصفر بعد

\[ 0=-3.0+(2.0)t, \]

ومنها

\[ t=1.5\text{ s}. \]

وتظل القوة مؤثرة، لذلك تبدأ العربة بعد ذلك في التسارع شرقًا. وهذا تذكير مفيد بأن القوة تحدد التسارع، لا الاتجاه اللحظي لحركة الجسم.

السؤال 5

تتحرك سيارة كتلتها 900 kg حول مضمار دائري مستوٍ بسرعة ثابتة مقدارها \(12\text{ m s}^{-1}\). نصف قطر المضمار 30 m. يجادل طالب بأن القوى المؤثرة في السيارة لا بد أن تكون في حالة اتزان لأن سرعتها القياسية ثابتة. قيّم هذا الادعاء واحسب القوة المحصلة.

الحل 5

الادعاء غير صحيح. تؤثر في السيارة قوة محصلة مقدارها \(4.32\times10^3\text{ N}\) وموجهة نحو مركز الدائرة، ولذلك فهي ليست في حالة اتزان انتقالي.

تكمن المشكلة في كلمة السرعة القياسية. فالسرعة القياسية ليس لها اتجاه، أما السرعة المتجهة فلها اتجاه.

وعلى الرغم من أن سرعة السيارة القياسية تظل \(12\text{ m s}^{-1}\)، فإن اتجاه حركتها يتغير باستمرار أثناء تحركها حول الدائرة. لذلك تتغير سرعتها المتجهة، ما يعني أن لها تسارعًا.

في الحركة الدائرية، يكون مقدار التسارع نحو الداخل

\[ a=\frac{v^2}{r}, \]

حيث \(v\) هي السرعة القياسية و\(r\) هو نصف قطر المسار الدائري.

بالتعويض،

\[ a=\frac{12^2}{30} =\frac{144}{30} =4.8\text{ m s}^{-2}. \]

وباستخدام قانون نيوتن الثاني،

\[ F_{\text{net}}=ma =(900)(4.8) =4320\text{ N}. \]

إذن

\[ F_{\text{net}}=4.32\times10^3\text{ N} \]

نحو مركز الدائرة.

أما السرعة المتجهة الثابتة فتعني تسارعًا صفريًا وقوة محصلة صفرية. لكن السرعة القياسية الثابتة مع تغير الاتجاه لا تعني ذلك.

11ما الذي تتيحه لك القوة الصافية بعد ذلك؟

بمجرد أن تتمكن من استبدال عدة قوى بمتجه محصلة واحد، يصبح استخدام قوانين نيوتن أسهل بكثير. يعطيك مخطط الجسم الحر القوى المنفردة، ويعطيك جمع المتجهات \(\vec F_{\text{net}}\)، ثم يحول قانون نيوتن الثاني تلك المحصلة إلى تسارع.

وتظهر سلسلة الاستدلال نفسها مرة أخرى عندما تحلل الشد والقوى العمودية والاحتكاك والمستويات المائلة والحركة الدائرية. ويظل القرار الأساسي كما هو: قبل أن تسأل كيف سيتحرك جسم ما، حدِّد أولًا ما الذي تعطيه القوى عند جمعها.