HSC भौतिकी के लिए दर्पणों में परावर्तन और प्रतिबिंब निर्माण
जानें कि किरण आरेख समतल, अवतल और उत्तल दर्पणों से बनने वाले प्रतिबिंबों का स्थान और स्वरूप कैसे निर्धारित करते हैं। इसमें हल किए गए उदाहरण, सामान्य भ्रांतियाँ और मौलिक HSC-शैली के अभ्यास प्रश्न शामिल हैं।
एक सपाट बाथरूम दर्पण, एक वक्र मेकअप दर्पण और कार का साइड मिरर-तीनों परावर्तन के एक ही नियम का पालन करते हैं, फिर भी वे ऐसे प्रतिबिंब बना सकते हैं जो समान आकार के, बड़े, छोटे, सीधे या उल्टे हों। तो दर्पण वास्तव में अलग क्या कर रहा है?
आगे पढ़ने से पहले इसका अनुमान लगाइए: यदि परावर्तित प्रकाश किरणें दर्पण से निकलने के बाद एक-दूसरे से दूर फैलती हैं, तो क्या वे फिर भी प्रतिबिंब बना सकती हैं? ऐसा लग सकता है कि उत्तर नहीं होना चाहिए, क्योंकि किरणें कभी मिलती ही नहीं हैं। लेकिन आपकी आँखें उन किरणों को पीछे की ओर बढ़ाकर देख सकती हैं और उन्हें ऐसा प्रतीत करा सकती हैं मानो वे किसी एक बिंदु से आ रही हों। आभासी प्रतिबिंबों को समझने की यही कुंजी है।
01किरण आरेख वास्तव में क्या खोजने की कोशिश करता है
मान लीजिए कि प्रकाश किसी वस्तु के ऊपरी भाग से निकलकर दर्पण पर पड़ता है। केवल एक किरण यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं है कि प्रतिबिंब कहाँ बनेगा। आपको वस्तु के उसी बिंदु से निकलने वाली कम-से-कम दो किरणों का अनुसरण करना होता है और देखना होता है कि परावर्तन के बाद उनके साथ क्या होता है।
दो संभावनाएँ हैं:
- परावर्तित किरणें वास्तव में मिलती हैं। उनका मिलने का बिंदु एक वास्तविक प्रतिबिंब होता है।
- परावर्तित किरणें एक-दूसरे से दूर फैलती हैं, लेकिन उनके पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार मिलते हैं। वह प्रतीत होने वाला मिलन-बिंदु एक आभासी प्रतिबिंब होता है।
अपनी आँख को थोड़ा-सा जासूसी काम करते हुए समझिए। वह एक परावर्तित किरण प्राप्त करती है और मान लेती है कि प्रकाश उसकी ओर सीधी रेखा में चला है। वह मानसिक रूप से उस किरण को पीछे की ओर बढ़ाती है। यदि कई परावर्तित किरणें एक ही स्थान से आती हुई प्रतीत होती हैं, तो आपको प्रतिबिंब वहीं दिखाई देता है।
इस उपमा की एक सीमा है। आपका मस्तिष्क वास्तव में बिंदीदार निर्माण-रेखाएँ नहीं खींचता। किरण आरेख एक मॉडल है, जो प्रकाश के प्रतीत होने वाले उद्गम का अनुमान लगाता है।
वास्तविक और आभासी प्रतिबिंब
यह अंतर महत्त्वपूर्ण है क्योंकि केवल वास्तविक प्रतिबिंब को सीधे किसी स्क्रीन पर प्रक्षेपित किया जा सकता है।
यदि प्रतिबिंब के स्थान पर रखे गए कागज़ के टुकड़े पर परावर्तित किरणें वास्तव में पहुँचती हैं, तो प्रकाश वहाँ एक दृश्य आकृति बना सकता है। यदि प्रतिबिंब आभासी है, तो प्रकाश वास्तव में उस प्रतीत होने वाले प्रतिबिंब-स्थान से होकर नहीं गुजरता, इसलिए वहाँ स्क्रीन रखने पर प्रतिबिंब प्राप्त नहीं होगा।
इससे आपको एक उपयोगी जाँच मिलती है:
| प्रतिबिंब का प्रकार | क्या परावर्तित किरणें वास्तव में वहाँ मिलती हैं? | क्या इसे स्क्रीन पर प्रक्षेपित किया जा सकता है? |
|---|---|---|
| वास्तविक | हाँ | हाँ |
| आभासी | नहीं | नहीं |
02परावर्तन के नियम से शुरुआत करें
दर्पण का हर किरण आरेख एक ही नियम से निकलता है:
\[
\theta_i = \theta_r
\]
जहाँ \(\theta_i\) आपतन कोण है और \(\theta_r\) परावर्तन कोण है।
दोनों कोण अभिलंब से मापे जाते हैं, दर्पण की सतह से नहीं।
अभिलंब एक काल्पनिक रेखा है जो उस बिंदु पर दर्पण के लंबवत खींची जाती है जहाँ किरण दर्पण से टकराती है।
एक सामान्य गलती यह है कि कोणों को दर्पण की सतह से मापा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई किरण दर्पण की सतह के साथ \(20^\circ\) का कोण बनाती है, तो वह अभिलंब के साथ \(70^\circ\) का कोण बनाती है। इसलिए उसका आपतन कोण \(70^\circ\) है, \(20^\circ\) नहीं।
03समतल दर्पण: प्रतिबिंब काँच के पीछे क्यों दिखाई देता है
एक सपाट दर्पण के सामने खड़े होकर अपना प्रतिबिंब देखिए। आपके चेहरे से प्रकाश दर्पण की ओर जाता है, परावर्तित होता है और आपकी आँखों में प्रवेश करता है।
परावर्तित प्रकाश दर्पण से दूर जा रहा होता है। काँच के पीछे वास्तव में आपकी कोई दूसरी प्रतिकृति बैठी नहीं होती।
फिर भी आपकी आँख उन परावर्तित किरणों को पीछे की ओर बढ़ाकर देखती है। उनके पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार दर्पण के पीछे एक-दूसरे को काटते हैं, इसलिए प्रतिबिंब वहीं स्थित दिखाई देता है।
समतल दर्पण में प्रतिबिंब:
- वस्तु के समान आकार का होता है
- सीधा होता है
- आभासी होता है
- दर्पण के पीछे उतनी ही लंबवत दूरी पर होता है जितनी दूरी पर वस्तु दर्पण के सामने होती है
इसमें पार्श्व उत्क्रमण भी होता है। यदि आप अपना दायाँ हाथ उठाते हैं, तो प्रतिबिंब में हाथ प्रतिबिंब की विपरीत ओर उठा हुआ दिखाई देता है।
अधिक सटीक रूप से कहें तो दर्पण अपनी सतह के लंबवत दिशा को उलटता है। परिचित “बाएँ-दाएँ उलटने” का वर्णन इस बात से आता है कि हम अपनी तुलना उस प्रतिबिंब से करते हैं जो हमारी ओर मुख किए हुए दिखाई देता है।
हल किया हुआ उदाहरण: समतल दर्पण में प्रतिबिंब का स्थान निर्धारित करना
एक विद्यार्थी समतल दर्पण के सामने \(0.80\ \text{m}\) की दूरी पर खड़ा है। प्रतिबिंब कहाँ बनेगा और विद्यार्थी तथा प्रतिबिंब के बीच कितनी दूरी होगी?
चरण 1
प्रतिबिंब दर्पण के पीछे उतनी ही दूरी पर होता है जितनी दूरी पर वस्तु दर्पण के सामने होती है।
इसलिए प्रतिबिंब दर्पण के पीछे \(0.80\ \text{m}\) की दूरी पर है।
चरण 2
विद्यार्थी दर्पण के सामने \(0.80\ \text{m}\) की दूरी पर है और प्रतिबिंब उसके पीछे \(0.80\ \text{m}\) की दूरी पर है।
\[
\text{अंतर} = 0.80\ \text{m} + 0.80\ \text{m} = 1.60\ \text{m}
\]
चरण 3
प्रतिबिंब आभासी, सीधा और विद्यार्थी के समान आकार का है।
महत्त्वपूर्ण बात यह है कि \(1.60\ \text{m}\) का यह अंतर वह दूरी नहीं है जिसे प्रकाश विद्यार्थी से दर्पण के पीछे मौजूद किसी वास्तविक वस्तु तक सीधे तय करता है। इस दूरी का एक भाग परावर्तित किरणों को पीछे की ओर बढ़ाने से बनने वाली एक प्रतीत स्थिति है।
04वक्र दर्पण बदलते हैं कि परावर्तित किरणें किस दिशा में जाएँगी
समतल दर्पण की अभिविन्यास दिशा हर स्थान पर समान होती है। वक्र दर्पण में ऐसा नहीं होता।
इसका अर्थ है कि दो समानांतर किरणें दर्पण के अलग-अलग हिस्सों पर पड़ सकती हैं, जहाँ अभिलंब अलग-अलग दिशाओं में होते हैं। किरणें फिर भी \(\theta_i=\theta_r\) का पालन करती हैं, लेकिन वे अलग दिशाओं में निकलती हैं।
इसी कारण वक्र दर्पण किरणों को अभिसरित या अपसरित कर सकता है।
दो महत्त्वपूर्ण प्रकार हैं।
अवतल दर्पण परावर्तक सतह की ओर अंदर की तरफ मुड़ा होता है, जैसे चम्मच का अंदरूनी भाग।
उत्तल दर्पण वस्तु की ओर बाहर की तरफ उभरा होता है, जैसे चम्मच का पिछला भाग।
गोलीय दर्पणों के लिए हम कई संदर्भ बिंदुओं का उपयोग करते हैं:
- मुख्य अक्ष दर्पण के केंद्र से होकर जाने वाली सीधी रेखा है
- ध्रुव वह बिंदु है जहाँ मुख्य अक्ष दर्पण से मिलता है
- वक्रता केंद्र, \(C\), उस गोले का केंद्र है जिससे दर्पण की सतह को काटकर प्राप्त किया जा सकता था
- फोकस, \(F\), वह बिंदु है जो मुख्य अक्ष के समानांतर चलने वाली किरणों से संबंधित है
- फोकस दूरी, \(f\), ध्रुव से \(F\) तक की दूरी है
मुख्य अक्ष के निकट की किरणों का उपयोग करने वाले गोलीय दर्पण के लिए,
\[
f \approx \frac{R}{2}
\]
जहाँ \(R\) वक्रता त्रिज्या है।
“मुख्य अक्ष के निकट की किरणें” वाक्यांश महत्त्वपूर्ण है। पूर्णतः गोलीय दर्पण बहुत दूर-दूर स्थित प्रत्येक समानांतर किरण को ठीक एक ही बिंदु पर नहीं लाता। मानक HSC किरण मॉडल पराक्षीय किरणों का उपयोग करता है, अर्थात ऐसी किरणें जो मुख्य अक्ष के पर्याप्त निकट हों।
05अवतल दर्पण के प्रमुख किरण नियम
आप वक्र दर्पण के प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग परावर्तन नियम लागू कर सकते हैं। यह काम करेगा, लेकिन इसमें बहुत अधिक समय लगेगा।
इसके बजाय किरण आरेख कुछ ऐसी किरणों का उपयोग करते हैं जिनके पथ का अनुमान आसानी से लगाया जा सकता है।
अवतल दर्पण के लिए:
| आपतित किरण | परावर्तित किरण |
|---|---|
| मुख्य अक्ष के समानांतर | \(F\) से होकर गुजरती है |
| \(F\) से होकर गुजरती है | मुख्य अक्ष के समानांतर चलती है |
| \(C\) से होकर गुजरती है | उसी पथ पर वापस लौटती है |
\(C\) से गुजरने वाली किरण अपने ही पथ पर वापस लौटती है क्योंकि वह गोलीय सतह पर त्रिज्या की दिशा में टकराती है। त्रिज्या सतह की अभिलंब होती है, इसलिए आपतन कोण \(0^\circ\) होता है।
आमतौर पर प्रतिबिंब का स्थान निर्धारित करने के लिए इनमें से केवल दो किरणें पर्याप्त होती हैं। तीसरी किरण जाँच के लिए उपयोगी होती है।
06अवतल दर्पण का किरण आरेख कैसे बनाएँ
अपनी किरणों को एक ही बिंदु से शुरू करें, आमतौर पर वस्तु के शीर्ष से।
एक किरण मुख्य अक्ष के समानांतर खींचें। परावर्तन के बाद उसे \(F\) से होकर भेजें।
फिर कोई दूसरी सुविधाजनक प्रमुख किरण खींचें, जैसे \(F\) की ओर जाने वाली किरण। परावर्तन के बाद वह मुख्य अक्ष के समानांतर चलती है।
जहाँ परावर्तित किरणें मिलती हैं, वही प्रतिबिंब का शीर्ष है।
यदि वे वास्तव में नहीं मिलतीं, तो परावर्तित किरणों को बिंदीदार रेखाओं से पीछे की ओर बढ़ाएँ। जहाँ ये विस्तार मिलते हैं, वहीं आभासी प्रतिबिंब होता है।
आपतित किरणों को दर्पण के पीछे न बढ़ाएँ। आपकी आँख उस प्रकाश का पथ प्राप्त करती है जो परावर्तन के बाद आता है और उसी को पीछे की ओर बढ़ाकर देखती है।
07अवतल दर्पण कई अलग-अलग प्रकार के प्रतिबिंब बना सकते हैं
नीचे दिया गया व्यवहार केवल रटने के बजाय समझना उपयोगी है।
| वस्तु की स्थिति | प्रतिबिंब की स्थिति | आकार | अभिविन्यास | प्रकार |
|---|---|---|---|---|
| \(C\) से परे | \(C\) और \(F\) के बीच | छोटा | उल्टा | वास्तविक |
| \(C\) पर | \(C\) पर | समान आकार | उल्टा | वास्तविक |
| \(C\) और \(F\) के बीच | \(C\) से परे | बड़ा | उल्टा | वास्तविक |
| \(F\) पर | कोई सीमित प्रतिबिंब-स्थिति नहीं | – | – | किरणें समानांतर निकलती हैं |
| \(F\) और दर्पण के बीच | दर्पण के पीछे | बड़ा | सीधा | आभासी |
तालिका में एक पैटर्न छिपा हुआ है।
जब वस्तु फोकस के बाहर होती है, तो परावर्तित किरणें वास्तव में दर्पण के सामने अभिसरित हो सकती हैं। प्रतिबिंब वास्तविक और उल्टा होता है।
जब वस्तु फोकस दूरी के भीतर आ जाती है, तो परावर्तित किरणें दर्पण से अपसरित होकर निकलती हैं। उनके पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार दर्पण के पीछे मिलते हैं। प्रतिबिंब आभासी और सीधा हो जाता है।
इसी कारण अवतल मेकअप या शेविंग दर्पण आपके चेहरे को बड़ा दिखा सकता है, यदि आप उसके पर्याप्त निकट आ जाएँ।
हल किया हुआ उदाहरण: वक्रता केंद्र से परे स्थित वस्तु
एक अवतल दर्पण की फोकस दूरी \(12\ \text{cm}\) है। एक वस्तु दर्पण के सामने \(36\ \text{cm}\) की दूरी पर है। प्रतिबिंब का स्थान और उसका स्वरूप निर्धारित करें।
चरण 1
फोकस दर्पण से \(12\ \text{cm}\) की दूरी पर है।
गोलीय-दर्पण मॉडल के लिए,
\[
R = 2f = 2(12\ \text{cm}) = 24\ \text{cm}
\]
इसलिए \(C\) दर्पण के सामने \(24\ \text{cm}\) की दूरी पर है।
वस्तु \(36\ \text{cm}\) पर है, इसलिए वह \(C\) से परे है।
चरण 2
अक्ष के समानांतर किरण परावर्तन के बाद \(F\) से गुजरती है।
\(C\) से गुजरने वाली दूसरी किरण अपने ही पथ पर वापस परावर्तित होती है।
ये परावर्तित किरणें \(F\) और \(C\) के बीच मिलती हैं, इसलिए प्रतिबिंब वास्तविक, उल्टा और वस्तु से छोटा होना चाहिए।
चरण 3
गोलीय दर्पण के लिए,
\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}
\]
जहाँ \(f\) फोकस दूरी, \(d_o\) वस्तु दूरी और \(d_i\) प्रतिबिंब दूरी है।
\(f=12\ \text{cm}\) और \(d_o=36\ \text{cm}\) रखने पर,
\[
\frac{1}{12}=\frac{1}{36}+\frac{1}{d_i}
\]
\[
\frac{1}{d_i}
=\frac{1}{12}-\frac{1}{36}
=\frac{3-1}{36}
=\frac{1}{18}
\]
इसलिए
\[
d_i=18\ \text{cm}
\]
प्रतिबिंब दर्पण के सामने \(18\ \text{cm}\) की दूरी पर है, जो वास्तव में \(12\ \text{cm}\) पर स्थित \(F\) और \(24\ \text{cm}\) पर स्थित \(C\) के बीच है।
चरण 4
दर्पण का आवर्धन है
\[
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o}
\]
जहाँ \(h_i\) और \(h_o\) क्रमशः प्रतिबिंब और वस्तु की ऊँचाइयाँ हैं।
\[
m=-\frac{18}{36}=-0.50
\]
ऋणात्मक चिह्न का अर्थ है कि प्रतिबिंब उल्टा है। इसका परिमाण, \(0.50\), बताता है कि इसकी ऊँचाई वस्तु की ऊँचाई की आधी है।
इसलिए प्रतिबिंब वास्तविक, उल्टा, वस्तु की आधी ऊँचाई का और दर्पण के सामने \(18\ \text{cm}\) की दूरी पर है।
08फोकस एक सीमा है, कोई जादुई दीवार नहीं
अब अनुमान लगाइए कि जब कोई वस्तु फोकस दूरी के बाहर से \(F\) की ओर बढ़ती है तो क्या होता है।
आपको लग सकता है कि प्रतिबिंब भी दर्पण के पास आएगा। वास्तव में इसका उल्टा होता है।
परावर्तित किरणों का अभिसरण कम तीव्र होता जाता है, इसलिए वे अधिक से अधिक दूर जाकर मिलती हैं। ठीक \(F\) पर, आदर्श मॉडल में अक्ष पर स्थित किसी बिंदु से आने वाली किरणें समानांतर निकलती हैं। समानांतर किरणें किसी सीमित दूरी पर नहीं मिलतीं।
हम कहते हैं कि प्रतिबिंब अनंत पर है।
अब वस्तु को \(F\) के ठीक अंदर ले जाएँ। परावर्तित किरणें अब अपसरित होती हैं। उनके पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार दर्पण के पीछे मिलते हैं और एक सीधा आभासी प्रतिबिंब बनाते हैं।
यही परिवर्तन फोकस को किरण आरेखों में इतनी महत्त्वपूर्ण सीमा बनाता है।
हल किया हुआ उदाहरण: फोकस दूरी के भीतर स्थित वस्तु
एक अवतल दर्पण की फोकस दूरी \(10\ \text{cm}\) है। एक वस्तु उसके सामने \(6.0\ \text{cm}\) की दूरी पर रखी जाती है। प्रतिबिंब का स्थान और उसका स्वरूप निर्धारित करें।
चरण 1
वस्तु \(F\) और दर्पण के बीच स्थित है।
अक्ष के समानांतर किरण परावर्तन के बाद \(F\) से गुजरती है। \(F\) की ओर भेजी गई दूसरी किरण परावर्तन के बाद अक्ष के समानांतर चलती है।
परावर्तन के बाद ये किरणें एक-दूसरे से दूर फैलती हैं। इन्हें दर्पण के पीछे की ओर बढ़ाने पर उनके विस्तार मिलते हैं।
इसलिए प्रतिबिंब आभासी और सीधा होना चाहिए।
चरण 2
यहाँ प्रयुक्त चिह्न परंपरा में अवतल दर्पण के लिए \(f\) धनात्मक है, दर्पण के सामने स्थित सामान्य वस्तु के लिए \(d_o\) धनात्मक है और दर्पण के पीछे स्थित आभासी प्रतिबिंब के लिए \(d_i\) ऋणात्मक है।
\[
\frac{1}{10}=\frac{1}{6.0}+\frac{1}{d_i}
\]
इसलिए,
\[
\frac{1}{d_i}
=\frac{1}{10}-\frac{1}{6}
=\frac{3-5}{30}
=-\frac{1}{15}
\]
अतः
\[
d_i=-15\ \text{cm}
\]
ऋणात्मक मान का अर्थ है कि प्रतिबिंब दर्पण के पीछे \(15\ \text{cm}\) की दूरी पर है।
चरण 3
\[
m=-\frac{d_i}{d_o}
=-\frac{-15}{6.0}
=+2.5
\]
धनात्मक चिह्न का अर्थ है कि प्रतिबिंब सीधा है। परिमाण \(2.5\) का अर्थ है कि प्रतिबिंब की ऊँचाई वस्तु की ऊँचाई की \(2.5\) गुना है।
अतः प्रतिबिंब आभासी, सीधा, \(2.5\) गुना बड़ा और दर्पण के पीछे \(15\ \text{cm}\) की प्रतीत दूरी पर है।
यह समझने के लिए सबसे उपयोगी स्थितियों में से एक है क्योंकि यह एक सामान्य शॉर्टकट को गलत साबित करती है: अवतल दर्पण हमेशा वास्तविक, उल्टा प्रतिबिंब नहीं बनाता। वस्तु की स्थिति महत्त्वपूर्ण है।
09उत्तल दर्पण हमेशा अपसरित परावर्तित किरणें बनाते हैं
उत्तल दर्पण अलग तरह से व्यवहार करता है।
मुख्य अक्ष के समानांतर चलने वाली किरण परावर्तन के बाद अक्ष से दूर जाती है। यदि आप परावर्तित किरण को पीछे की ओर बढ़ाएँ, तो वह दर्पण के पीछे स्थित फोकस से आती हुई प्रतीत होती है।
उत्तल दर्पण के लिए:
- मुख्य अक्ष के समानांतर किरण परावर्तन के बाद ऐसी प्रतीत होती है मानो वह \(F\) से आई हो
- दर्पण के पीछे स्थित \(F\) की ओर भेजी गई किरण परावर्तन के बाद अक्ष के समानांतर चलती है
- दर्पण के पीछे स्थित \(C\) की ओर भेजी गई किरण अपने मूल पथ पर वापस लौटती है
\(F\) और \(C\), दोनों दर्पण के पीछे होते हैं।
किसी सामान्य वास्तविक वस्तु को उत्तल दर्पण के सामने कहीं भी रखा जाए, उसका प्रतिबिंब:
- आभासी
- सीधा
- वस्तु से छोटा
- दर्पण के पीछे
- दर्पण और \(F\) के बीच
होता है।
यही कारण है कि जब विस्तृत दृष्टिक्षेत्र महत्त्वपूर्ण होता है, तब उत्तल दर्पण उपयोगी होते हैं। प्रत्येक प्रतिबिंब को छोटा बनाने से अधिक दिशाओं से आने वाला प्रकाश दर्पण के दृश्य क्षेत्र में समा सकता है।
इसका एक महत्त्वपूर्ण समझौता भी है: वस्तुएँ छोटी दिखाई देती हैं, इसलिए उनके प्रतीत आकार से उनकी दूरी का अनुमान लगाना भ्रामक हो सकता है।
10किसी भी दर्पण प्रतिबिंब का वर्णन करने का विश्वसनीय तरीका
किरणें खींच लेने के बाद प्रतिबिंब का वर्णन चार विशेषताओं से करें:
- आकार: बड़ा, छोटा या समान आकार।
- अभिविन्यास: सीधा या उल्टा।
- स्थान: \(F\), \(C\) और दर्पण के सापेक्ष कहाँ बनता है।
- प्रकार: वास्तविक या आभासी।
कुछ विद्यार्थी इसे SALT के रूप में याद रखते हैं: size, attitude, location, type। यह संक्षिप्त रूप उपयोगी है, लेकिन उत्तर का औचित्य फिर भी किरण आरेख से सिद्ध होना चाहिए।
केवल इसलिए यह निर्णय न लें कि प्रतिबिंब वास्तविक है क्योंकि आपने रेखाओं को एक-दूसरे को काटते हुए खींचा है। पूछें कि किस प्रकार की रेखाएँ कट रही हैं।
यदि ठोस परावर्तित किरणें एक-दूसरे को काटती हैं, तो प्रतिबिंब वास्तविक है।
यदि केवल पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार एक-दूसरे को काटते हैं, तो प्रतिबिंब आभासी है।
11किरण आरेख में होने वाली सबसे आकर्षक गलतियाँ
गलती 1: हर प्रतिबिंब को दर्पण के सामने बनाने की कोशिश करना
ऐसा अक्सर इसलिए होता है क्योंकि विद्यार्थी अपेक्षा करते हैं कि प्रतिबिंब वहीं होना चाहिए जहाँ प्रकाश वास्तव में जाता है।
आभासी प्रतिबिंब इस सहज धारणा को तोड़ते हैं। प्रतिबिंब की स्थिति दर्पण के पीछे हो सकती है, भले ही कोई परावर्तित प्रकाश वास्तव में वहाँ न जाए।
गलती 2: गलत किरणों को आगे बढ़ाना
आभासी प्रतिबिंब के लिए परावर्तित किरणों को पीछे की ओर बढ़ाएँ।
आपतित किरणों को दर्पण के आर-पार सीधा आगे न बढ़ाएँ। प्रतीत होने वाला प्रतिबिंब उस दिशा के अनुरूप होना चाहिए जहाँ से परावर्तित प्रकाश आता हुआ प्रतीत होता है।
गलती 3: एक किरण खींचकर बाकी का अनुमान लगा लेना
एक किरण केवल एक दिशा देती है, कोई अद्वितीय प्रतिबिंब-बिंदु नहीं।
वस्तु के उसी बिंदु से खींची गई दो सही किरणें उनके प्रतिच्छेद को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त होती हैं।
गलती 4: फोकस को ऐसा स्थान मानना जिससे हर किरण को गुजरना ही चाहिए
केवल कुछ विशेष प्रमुख किरणें ही ऐसा व्यवहार करती हैं।
अवतल दर्पण में मुख्य अक्ष के समानांतर किरण परावर्तन के बाद \(F\) से गुजरती है। कोई भी मनमानी आपतित किरण अपने-आप फोकस से होकर परावर्तित नहीं होती।
गलती 5: असंभव आरेख बनाने के बाद भी समीकरण पर भरोसा करना
दर्पण समीकरण उपयोगी है, लेकिन किरण आरेख आपको बताता है कि चिह्नों और परिणाम का भौतिक अर्थ क्या है।
यदि आपकी गणना में \(d_i<0\) आता है, लेकिन आपने दर्पण के सामने ठोस परावर्तित किरणों को मिलते हुए खींचा है, तो कहीं न कहीं असंगति है। आरेख और चिह्न परंपरा की जाँच करें।
12प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1
एक खिलौना कार समतल दर्पण के सामने \(45\ \text{cm}\) की दूरी पर रखी गई है।
उसके प्रतिबिंब का स्थान, आकार, अभिविन्यास और प्रकार बताइए। साथ ही कार और उसके प्रतिबिंब के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
समाधान 1
प्रतिबिंब दर्पण के पीछे \(45\ \text{cm}\) की दूरी पर, कार के समान आकार का, सीधा और आभासी है, और कार तथा प्रतिबिंब के बीच की दूरी \(90\ \text{cm}\) है।
समतल दर्पण प्रतिबिंब को दर्पण के पीछे उतनी ही लंबवत दूरी पर बनाता है जितनी दूरी पर वस्तु उसके सामने होती है।
इसलिए,
\[
\text{अंतर}=45\ \text{cm}+45\ \text{cm}=90\ \text{cm}
\]
प्रतिबिंब आभासी है क्योंकि परावर्तित किरणें वास्तव में दर्पण के पीछे स्थित उस बिंदु से होकर नहीं गुजरतीं। उनके पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार वहाँ मिलते हैं।
प्रश्न 2
एक विद्यार्थी उत्तल दर्पण का किरण आरेख बनाता है। परावर्तित किरणें एक-दूसरे से दूर फैलती हैं, इसलिए विद्यार्थी निष्कर्ष निकालता है, “कोई प्रतिबिंब नहीं बनता क्योंकि किरणें कभी मिलती ही नहीं हैं।”
त्रुटि समझाइए और बनने वाले प्रतिबिंब का वर्णन कीजिए।
समाधान 2
एक प्रतिबिंब बनता है, और वह आभासी, सीधा, छोटा तथा दर्पण के पीछे दर्पण और \(F\) के बीच होता है।
विद्यार्थी की गलती यह मानना है कि किसी भी प्रतिबिंब के बनने के लिए किरणों का वास्तव में मिलना आवश्यक है।
उत्तल दर्पण से परावर्तन के बाद किरणें अपसरित होती हैं। फिर भी एक प्रेक्षक उन किरणों को सीधी रेखाओं में पीछे की ओर बढ़ाकर देखता है। ये पीछे की ओर बढ़ाए गए विस्तार दर्पण के पीछे एक-दूसरे को काटते हैं, जिससे प्रकाश का एक प्रतीत स्रोत बनता है।
क्योंकि वहाँ केवल परावर्तित किरणों के विस्तार मिलते हैं, इसलिए प्रतिबिंब वास्तविक नहीं बल्कि आभासी होता है।
प्रश्न 3
एक अवतल दर्पण के लिए \(f=8.0\ \text{cm}\) है। एक वस्तु दर्पण के सामने \(24\ \text{cm}\) की दूरी पर रखी गई है।
प्रतिबिंब की स्थिति और आवर्धन की गणना कीजिए, फिर प्रतिबिंब का वर्णन कीजिए।
समाधान 3
प्रतिबिंब दर्पण के सामने \(12\ \text{cm}\) की दूरी पर बनता है और वास्तविक, उल्टा तथा वस्तु की आधी ऊँचाई का है।
उपयोग करें
\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}
\]
जहाँ \(f=8.0\ \text{cm}\) और \(d_o=24\ \text{cm}\):
\[
\frac{1}{8.0}=\frac{1}{24}+\frac{1}{d_i}
\]
\[
\frac{1}{d_i}
=\frac{1}{8}-\frac{1}{24}
=\frac{3-1}{24}
=\frac{1}{12}
\]
अतः,
\[
d_i=12\ \text{cm}
\]
धनात्मक प्रतिबिंब दूरी का अर्थ है कि दर्पण के सामने वास्तविक प्रतिबिंब बनता है।
अब आवर्धन की गणना करें:
\[
m=-\frac{d_i}{d_o}
=-\frac{12}{24}
=-0.50
\]
ऋणात्मक चिह्न का अर्थ है कि प्रतिबिंब उल्टा है, जबकि \(|m|=0.50\) का अर्थ है कि वह आधे आकार का है।
किरण आरेख से एक उपयोगी जाँच भी की जा सकती है। चूँकि \(C=2f=16\ \text{cm}\), इसलिए \(24\ \text{cm}\) पर रखी वस्तु \(C\) से परे है। अतः अवतल दर्पण को \(C\) और \(F\) के बीच एक छोटा वास्तविक प्रतिबिंब बनाना चाहिए। गणना से प्राप्त स्थिति, \(12\ \text{cm}\), ठीक इसी क्षेत्र में है।
प्रश्न 4
एक वस्तु को धीरे-धीरे अवतल दर्पण की ओर ले जाया जाता है। वह शुरुआत में \(C\) से परे होती है, फिर \(C\) से गुजरती है और \(F\) की ओर बढ़ती रहती है, लेकिन \(F\) के अंदर नहीं जाती।
एक विद्यार्थी दावा करता है कि चूँकि वस्तु दर्पण की ओर बढ़ रही है, इसलिए प्रतिबिंब को भी लगातार दर्पण की ओर बढ़ना चाहिए।
क्या यह अनुमान सही है? बताइए कि प्रतिबिंब वास्तव में कैसे बदलता है।
समाधान 4
यह अनुमान गलत है। जब वस्तु \(C\) से परे की स्थिति से \(F\) की ओर बढ़ती है, तो वास्तविक प्रतिबिंब सामान्यतः दर्पण से दूर जाता है और साथ ही बड़ा होता जाता है।
जब वस्तु \(C\) से परे होती है, तो प्रतिबिंब \(F\) और \(C\) के बीच बनता है और छोटा होता है।
जब वस्तु \(C\) पर पहुँचती है, तो प्रतिबिंब भी \(C\) पर बनता है और वस्तु के समान आकार का होता है।
जब वस्तु \(C\) और \(F\) के बीच आती है, तो प्रतिबिंब \(C\) से परे चला जाता है और बड़ा हो जाता है।
जैसे-जैसे वस्तु \(F\) के पास पहुँचती है, परावर्तित किरणें अधिक समानांतर होती जाती हैं, इसलिए उनका प्रतिच्छेद और दूर चला जाता है। आदर्श मॉडल में, जैसे-जैसे वस्तु दूरी फोकस दूरी के पास पहुँचती है, प्रतिबिंब दूरी अनंत की ओर बढ़ती है।
आकर्षक लेकिन गलत धारणा यह है कि वस्तु और प्रतिबिंब की गति की दिशा समान ही होनी चाहिए। प्रतिबिंब की स्थिति परावर्तित किरणों की बदलती दिशाओं से निर्धारित होती है, न कि वस्तु की गति को यांत्रिक रूप से दोहराने से।
प्रश्न 5
एक छोटी वस्तु आदर्श अवतल दर्पण के ठीक फोकस पर रखी जाती है।
एक विद्यार्थी कहता है कि \(F\) पर वास्तविक प्रतिबिंब बनता है क्योंकि “फोकस वह स्थान है जहाँ परावर्तित किरणें मिलती हैं”। दूसरा कहता है कि कोई परावर्तन नहीं होता क्योंकि दर्पण प्रतिबिंब नहीं बना सकता।
दोनों दावों का मूल्यांकन कीजिए और बताइए कि किरण मॉडल क्या भविष्यवाणी करता है।
समाधान 5
दोनों दावे गलत हैं। दर्पण अभी भी प्रकाश को परावर्तित करता है, लेकिन आदर्श किरण मॉडल किसी भी सीमित दूरी पर प्रतिबिंब नहीं देता।
वस्तु के किसी बिंदु से निकलने वाली किरणों पर विचार करें। एक प्रमुख किरण जो दर्पण से टकराने से पहले \(F\) से गुजरती है, परावर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समानांतर चलती है। अधिक सामान्य रूप से, फोकल तल पर स्थित वस्तु से निकलने वाली किरणें इस प्रकार परावर्तित होती हैं कि पराक्षीय मॉडल में संबंधित प्रतिबिंब प्रभावी रूप से अनंत पर होता है।
पहले विद्यार्थी की गलती यह मानना है कि \(F\) परावर्तित किरणों के लिए कोई सार्वभौमिक मिलन-बिंदु है। फोकस का एक विशिष्ट अर्थ है: अवतल दर्पण के लिए जो किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर आती हैं, वे परावर्तन के बाद \(F\) से गुजरती हैं। इसका अर्थ यह नहीं है कि हर परावर्तित किरण हमेशा \(F\) से होकर गुजरती है।
दूसरे विद्यार्थी की गलती “कोई सीमित प्रतिबिंब नहीं” को “कोई परावर्तन नहीं” समझ लेना है। दर्पण की सतह पर परावर्तन का नियम सामान्य रूप से लागू रहता है।
दर्पण समीकरण इस सीमित व्यवहार को दर्शाता है:
\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}
\]
जब \(d_o=f\),
\[
\frac{1}{f}=\frac{1}{f}+\frac{1}{d_i}
\]
इसलिए
\[
\frac{1}{d_i}=0
\]
जो \(d_i\) के अनंत की ओर बढ़ने के अनुरूप है।
इसलिए रोचक भौतिकी यह नहीं है कि प्रकाश गायब हो जाता है, बल्कि यह है कि परावर्तित किरणें किसी भी सीमित स्थिति पर अभिसरित नहीं होतीं।
13यह विचार आगे कहाँ ले जाता है
किरण आरेख परावर्तन के नियम को इस बारे में एक भविष्यवाणी में बदल देते हैं कि प्रेक्षक वास्तव में क्या देखता है। एक बार जब आप यह तय कर सकते हैं कि परावर्तित किरणें कहाँ वास्तव में मिलती हैं, या कहाँ वे केवल मिलती हुई प्रतीत होती हैं, तो यही तर्क स्वाभाविक रूप से अपवर्तन और लेंसों पर भी लागू किया जा सकता है।
जब प्रकाश विभिन्न माध्यमों के बीच जाता है, तो ज्यामिति बदल जाती है क्योंकि किरण परावर्तित होने के बजाय मुड़ सकती है, लेकिन केंद्रीय प्रश्न वही रहता है: प्रकाश की दिशा बदल जाने के बाद किरणें वास्तव में कहाँ जाती हैं, और कोई प्रेक्षक उन्हें पीछे की ओर बढ़ाकर किस स्थान से आता हुआ मानेगा?