电荷对与偶极子的电场：HSC 物理
学习如何运用叠加原理、对称性和向量相加来建构及解读电场图样。内容包括例题、零电场判断及偶极子电场分析。
两个带电粒子相距几公分。在它们之间的某一点，每个电荷都会产生一个电场。那么，该点会发生甚么情况？
一个很容易想到的答案是，两个电场会在那里「相遇」并互相干涉。但电场并不会碰撞。每个电荷都会产生自己的电场，而这些电场只是以向量方式相加。
只要掌握这个叠加原理，你便可以建构电荷对周围的电场、解释偶极子电场的形状，并找出总电场为零的位置。
在继续之前，先作一个预测。把两个大小相等的正电荷并排放置。在正中央的中点，电场会指向哪个方向？
它不会指向任何方向。两个电场的大小相等、方向相反，因此净电场为零。
现在，把其中一个正电荷换成大小相等的负电荷。在中点，两个电场仍会互相抵消吗？
不会。现在两个电场都由正电荷指向负电荷，因此它们会相加。
这种反转，是理解电荷对电场时最有用的概念之一。
01从单一电荷的电场开始
对於单一点电荷，电场大小为
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} \]
其中：
- \(E\) 是电场强度，单位为牛顿每库仑（\(\text{N C}^{-1}\)），
- \(k\) 是库仑常数，\(8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}\)，
- \(q\) 是以库仑（\(\text{C}\)）为单位的电荷量，而
- \(r\) 是与电荷的距离，以米（\(\text{m}\)）为单位。
\(q\) 外面的绝对值符号表示，这条方程式给出的是电场的大小。电荷的正负则决定电场方向：
- 远离正电荷，
- 指向负电荷。
想像在附近放置一个很小的正试验电荷。正的源电荷会排斥它，负的源电荷会吸引它。电场方向定义为该正试验电荷所受力的方向。
这幅图很有用，但它只是第一层概念。当存在多于一个电荷时，我们必须考虑在该点作用的每一个电场。
02叠加原理就是向量相加
假设电荷 A 在某一点产生电场 \(\vec E_A\)，而电荷 B 在同一点产生 \(\vec E_B\)。
总电场为
\[ \vec E_{\text{net}}=\vec E_A+\vec E_B \]
符号上方的箭嘴很重要。电场是向量，所以必须同时考虑大小和方向。
除非两个电场刚好指向相同方向，否则这并不是普通的数值相加。
如果两个人以相同大小的力拉著你背包的两端，而且方向相反，你不会把两个力的大小相加，然后宣称背包会飞上天花板。方向很重要。电场也是同一道理，只是幸好通常不会弄坏那么多文具。
对任何选定的点，一个可靠的方法是：
- 分别求出每个电荷所产生的电场。
- 判断每个电场在该点的方向。
- 把各个电场以向量方式相加。
- 解读所得结果的方向和大小。
对于位于两个电荷连线上的点，向量通常只沿一个维度，因此你可以直接把它们的大小相加或相减。
离开这条连线后，你可能需要把电场分解成互相垂直的分量。
03两个同号电荷
考虑两个大小相等的正电荷。
在任何一个电荷附近，它本身的电场都会占主导，因为距离愈小，电场强度便会迅速增加。
然而，在两个电荷之间，两个电场的方向相反。
在正中央的中点：
- 与两个电荷的距离相等，
- 两个电荷的大小相等，
- 两个电场的大小相等，而且
- 它们的方向相反。
因此，
\[ \vec E_{\text{net}}=0 \]
这不代表该处不存在电场。每个电荷仍然各自产生一个电场。只是这两个向量在该特定位置相加后等于零。
只要稍微向其中一个电荷移动，这种抵消便会消失。由于 \(E\) 取决于 \(1/r^2\)，距离较近的电荷会立即产生较强的电场。
对于两个大小相等的负电荷，整个电场图样的方向会反转，但中点仍然存在一个电场为零的位置。
例题：两个正电荷中点的电场
两个 \(+3.0\ \text{nC}\) 的电荷相距 \(0.40\ \text{m}\)。求它们中点的净电场。
步骤 1
中点距离每个电荷
\[ r=\frac{0.40}{2}=0.20\ \text{m} \]
。
步骤 2
由于 \(3.0\ \text{nC}=3.0\times10^{-9}\ \text{C}\)，
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(3.0\times10^{-9})}{(0.20)^2} =6.74\times10^2\ \text{N C}^{-1} \]
因此，每个电荷产生的电场约为 \(674\ \text{N C}^{-1}\)。
步骤 3
两个电荷都是正电荷，所以各自的电场都指向远离其源电荷的方向。在中点，两个电场刚好指向相反方向。
因此，
\[ E_{\text{net}}=674-674=0\ \text{N C}^{-1} \]
净电场为零，因为在中点有两个大小相等但方向相反的电场向量作用。这是一个抵消点，而不是各个电场停止存在的位置。
04两个异号电荷
现在，把一个正电荷放在一个大小相等的负电荷旁边。
在继续阅读之前，先预测中点的电场方向。
正电荷所产生的电场指向远离正电荷的方向。负电荷所产生的电场指向负电荷。
在两个电荷之间，这两个方向相同。
所以，两个电场会相加。
这是学生经常作出错误预测的地方。直觉上很容易认为，异号电荷应该产生方向相反的电场，所以会互相抵消。但你必须判断每个电场在所考虑的那一点的方向。
在一个正电荷和一个负电荷之间，两个电场向量都由正电荷指向负电荷。
05电偶极子
一对大小相等、电荷分别为 \(+q\) 和 \(-q\)，并相距一段距离的电荷，称为电偶极子。
它的电场图样与任何一个孤立电荷周围的图样都不同。
电场线：
- 由正电荷开始，
- 终止于负电荷，
- 在周围空间中平滑地弯曲，而且
- 在电场较强的地方排列得较密。
电场线是电场的一种表示方式。它们并不是实际存在于空间中的绳线。
以下三条规则有助于解读电场线：
| 特征 | 意义 |
|---|---|
| 电场线的方向 | \(\vec E\) 的方向，由正电荷指向负电荷 |
| 电场线较密 | 电场较强 |
| 电场线在某点的切线方向 | 该点电场的方向 |
电场线亦永远不会相交。
为甚么？想像两条线在同一点相交。其中一条线表示电场指向某个方向，另一条则表示它指向另一个方向。但在同一点，一个向量只能有一个净方向。
电场线的疏密只提供定性资讯。除非该图本身就是按照这种定量关系绘制，否则一幅图中画出的电场线数目是另一幅的两倍，并不能自动证明电场强度刚好也是两倍。
06偶极子电场中的一种实用对称性
考虑等量异号偶极子中点正上方的一点。
两个电荷与该点的距离相同，因此它们产生大小相等的电场。
那么，这些电场会互相抵消吗？
不会完全抵消。
正电荷产生的电场指向远离 \(+q\) 的方向。负电荷产生的电场指向 \(-q\)。它们的垂直分量方向相反，因此互相抵消，但水平分量都由正电荷一侧指向负电荷一侧。
所以，净电场平行于偶极轴，并由 \(+q\) 指向 \(-q\)。
这很好地说明了为甚么「电场大小相等」并不自动代表「净电场为零」。必须逐个分量考虑其方向。
例题：电偶极子上方的电场
一个偶极子由位于 \(x=-0.15\ \text{m}\) 的 \(+4.0\ \text{nC}\) 和位于 \(x=+0.15\ \text{m}\) 的 \(-4.0\ \text{nC}\) 组成。P 点位于中点正上方 \(0.20\ \text{m}\) 处。求 P 点的净电场。
步骤 1
每个电荷、中点和 P 点组成一个直角三角形。
\[ r=\sqrt{(0.15)^2+(0.20)^2}=0.25\ \text{m} \]
步骤 2
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(4.0\times10^{-9})}{(0.25)^2} =5.75\times10^2\ \text{N C}^{-1} \]
因此，每个电荷在 P 点产生的电场约为 \(575\ \text{N C}^{-1}\)。
步骤 3
由三角形可得，
\[ \frac{0.15}{0.25}=0.60 \]
所以，每个电场的水平分量为
\[ E_x=(575)(0.60)=345\ \text{N C}^{-1} \]
垂直分量大小相等但方向相反，所以互相抵消。
两个水平分量都指向负电荷。
步骤 4
\[ E_{\text{net}}=345+345 =690\ \text{N C}^{-1} \]
因此，净电场约为
\[ \boxed{6.9\times10^2\ \text{N C}^{-1}} \]
方向水平地由正电荷指向负电荷。
重要的不只是数值。对称性使垂直分量互相抵消，而叠加原理则令水平分量彼此加强。
07不靠猜测建构电场图样
你很少需要计算数百个位置的电场。相反，你会利用各个电场的行为，再配合对称性和叠加原理，建构整体图样。
对于两个电荷，可以从以下几点开始判断。
1. 标示每个电荷附近的电场方向
在非常接近某一个电荷的位置，通常是该电荷本身的电场占主导。
因此，电场线：
- 从正电荷离开，
- 进入负电荷。
2. 检查两个电荷之间连线上的情况
对同号电荷而言，两个电场在电荷之间互相反向。
对异号电荷而言，两个电场在它们之间指向同一方向。
3. 寻找对称性
大小相等的电荷会产生对称的图样。
如果两个大小相等的正电荷分别位于原点的左、右两侧，整个图样必须关于垂直平分线呈镜像对称。
对称性亦可以让你在无须逐一计算的情况下，判断哪些分量会互相抵消。
4. 考虑相对距离
由于
\[ E\propto \frac{1}{r^2}, \]
距离较近的电荷可能变得影响大得多。
把距离减半，电场便会变成四倍。
5. 让电场线跟随净电场
在任何一点，电场线都必须与该处的合成电场相切，而不是只跟随其中一个电荷的电场。
这就是电场线会弯曲的原因。
你可以想像每个电荷都试图把一支箭嘴指向自己偏好的方向。最后的箭嘴，是所有这些「建议」的向量和。电场线则逐点跟随这支最终箭嘴的方向。
这个心像模型有其局限。电荷并不是真的在互相协商，而电场线也不会实际移动或弯曲。这个类比只是帮助你想像整个空间中不断进行的向量相加。
08最容易令人误解的观念：异号电荷会在两者之间抵消
这一点值得明确说明。
假设 \(+q\) 在左边，而 \(-q\) 在右边。
在它们之间的某一点：
- \(+q\) 产生的电场向右，远离 \(+q\)，
- \(-q\) 产生的电场也向右，指向 \(-q\)。
因此，净电场向右。
对于两个大小相等的正电荷：
- 左边的电荷在两者之间产生向右的电场，
- 右边的电荷在两者之间产生向左的电场。
这些电场可以互相抵消。
所以，有用的规则并不是「异号就会抵消」。
真正有用的规则是：
先画出每个电场在该点的方向，然后再把向量相加。
09哪些位置的净电场可以为零？
一个零电场点要求电场向量同时具备：
- 大小相等，以及
- 方向相反。
两个条件缺一不可。
对大小相等的同号电荷而言，这会发生在中点。
对大小不相等的同号电荷而言，零电场点仍可能出现在两者之间，但会较接近电荷量较小的那一个。
为甚么较接近较小的电荷？
在相同距离下，较小的电荷产生的电场较弱。若要使它的电场与较大电荷的电场相等，就必须移近较小的电荷。
对大小相等的异号电荷而言，在连接两个电荷的直线上不存在有限距离的零电场点。在两个电荷之间，两个电场方向相同。在电荷对外侧，两个电场方向相反，但距离较近的电荷同时具有恰当的大小优势，因此在任何有限位置都无法达到大小相等。
然而，对大小不相等的异号电荷而言，零电场点可能出现在电荷对外侧。在进行任何代数运算之前，应先判断方向。
这个习惯可以避免做很多没有意义的方程式计算。
10问题与解答
问题 1
两个相同的正电荷 \(+2.0\ \text{nC}\) 相距 \(0.30\ \text{m}\)。它们中点的净电场是多少？请解释你的推理，不要只依赖对称性。
解答 1
中点的净电场为 \(\boxed{0\ \text{N C}^{-1}}\)。
中点与每个电荷相距 \(0.15\ \text{m}\)。因此，每个电荷产生的电场为
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(2.0\times10^{-9})}{(0.15)^2} =7.99\times10^2\ \text{N C}^{-1} \]
所以，每个电场的大小约为 \(799\ \text{N C}^{-1}\)。
两个电荷都是正电荷。左边电荷产生的电场指向远离它的方向，也就是向右。右边电荷产生的电场同样指向远离它的方向，也就是向左。
因此，两个向量大小相等、方向相反：
\[ E_{\text{net}}=799-799=0\ \text{N C}^{-1} \]
重点是，各个电场本身并不是零。为零的是它们的向量和。
问题 2
一个 \(+5.0\ \text{nC}\) 电荷和一个 \(-5.0\ \text{nC}\) 电荷相距 \(0.20\ \text{m}\)。求中点电场的大小和方向。
解答 2
净电场为 \(\boxed{8.99\times10^3\ \text{N C}^{-1}}\)，方向由正电荷指向负电荷。
中点与每个电荷的距离为
\[ r=0.10\ \text{m} \]
。
每个电荷产生
\[ E=\frac{k|q|}{r^2} =\frac{(8.99\times10^9)(5.0\times10^{-9})}{(0.10)^2} =4.495\times10^3\ \text{N C}^{-1} \]
在中点，正电荷产生的电场指向远离正电荷的方向。负电荷产生的电场指向负电荷。
这两个方向相同，所以电场相加：
\[ E_{\text{net}} =4.495\times10^3+4.495\times10^3 =8.99\times10^3\ \text{N C}^{-1} \]
一个常见错误是因为两个电荷正负相反，便把两个电场相减。电荷的正负决定每个电场的方向，并不代表你应该自动把它们的大小相减。
问题 3
一个 \(+1.0\ \text{nC}\) 电荷位于 \(x=0\)，而一个 \(+4.0\ \text{nC}\) 电荷位于 \(x=0.30\ \text{m}\)。求两个电荷之间净电场为零的位置。
解答 3
零电场点为 \(\boxed{x=0.10\ \text{m}}\)，它较接近较小的 \(+1.0\ \text{nC}\) 电荷。
设零电场点与 \(+1.0\ \text{nC}\) 电荷的距离为 \(x\)。
那么，它与 \(+4.0\ \text{nC}\) 电荷的距离为
\[ 0.30-x \]
。
在两个正电荷之间，两个电场方向相反，因此有可能互相抵消。要使净电场为零，两者的大小必须相等：
\[ \frac{k(1.0\times10^{-9})}{x^2} = \frac{k(4.0\times10^{-9})}{(0.30-x)^2} \]
约去 \(k\) 和 \(10^{-9}\)：
\[ \frac{1}{x^2} = \frac{4}{(0.30-x)^2} \]
取正平方根得
\[ \frac{1}{x} = \frac{2}{0.30-x} \]
所以
\[ 0.30-x=2x \]
因此
\[ 3x=0.30 \]
\[ x=0.10\ \text{m} \]
这个位置在物理上是合理的。\( +1.0\ \text{nC}\) 电荷较弱，所以抵消点必须更接近它，才能令它的电场强至足以与 \(+4.0\ \text{nC}\) 电荷的电场相等。
问题 4
一个 \(+9.0\ \text{nC}\) 电荷位于 \(x=0\)，而一个 \(-1.0\ \text{nC}\) 电荷位于 \(x=0.40\ \text{m}\)。
一名学生声称，由于两个电荷正负相反，零电场点一定在两个电荷之间的某处。
判断这项说法是否正确，并找出 \(x\) 轴上任何有限距离的净电场为零的位置。
解答 4
这名学生的说法不正确。有限距离的零电场点为 \(\boxed{x=0.60\ \text{m}}\)，位于 \(-1.0\ \text{nC}\) 电荷的右方。
先考虑两个电荷之间的区域。
正电荷产生的电场指向远离 \(+9.0\ \text{nC}\) 的方向，所以向右。负电荷产生的电场指向 \(-1.0\ \text{nC}\)，同样向右。
因此，在两个电荷之间，两个电场会相加。无论它们的大小如何，都不可能在该区域互相抵消。
零电场点必须位于电荷对外侧。由于负电荷的大小较小，我们检查它右方的区域。
设 \(x\) 为由 \(+9.0\ \text{nC}\) 电荷起量度的位置，且 \(x>0.40\ \text{m}\)。
与两个电荷的距离分别为
\[ r_+=x \]
以及
\[ r_-=x-0.40 \]
。
在这个区域，正电荷产生的电场向右，而负电荷产生的电场向左。因此有可能互相抵消。
令两者的大小相等：
\[ \frac{k(9.0\times10^{-9})}{x^2} = \frac{k(1.0\times10^{-9})}{(x-0.40)^2} \]
约去共同因子：
\[ \frac{9}{x^2} = \frac{1}{(x-0.40)^2} \]
取正平方根，
\[ \frac{3}{x} = \frac{1}{x-0.40} \]
因此，
\[ 3(x-0.40)=x \]
\[ 3x-1.20=x \]
\[ 2x=1.20 \]
\[ x=0.60\ \text{m} \]
更重要的概念是，你应该在求解电场大小之前先判断方向。如果只由代数开始，有可能算出一个位于实际上不可能发生抵消区域的位置。
问题 5
两个大小相等的电荷 \(+Q\) 和 \(-Q\) 组成一个偶极子。P 点位于连接两个电荷线段的垂直平分线上。
一名学生认为：「P 与两个电荷的距离相同，所以两个电场大小相等，必定互相抵消。」
请准确解释这项推理错在哪里，并指出 P 点净电场的方向。
解答 5
两个电场大小相等，但它们并不指向相反方向，所以不会完全抵消。P 点的净电场平行于偶极轴，方向由 \(+Q\) 指向 \(-Q\)。
由于 P 与两个电荷的距离相同，
\[ E_+=E_-=\frac{kQ}{r^2} \]
其中 \(r\) 是任一电荷与 P 的距离。
然而，只有大小相等并不足以产生抵消。
在 P 点，由 \(+Q\) 产生的电场指向远离正电荷的方向。由 \(-Q\) 产生的电场则指向负电荷。
如果把每个向量分解为平行于偶极轴的分量，以及垂直于偶极轴的分量，垂直分量大小相等、方向相反，因此互相抵消。
平行于偶极轴的分量则指向相同方向，也就是由正电荷指向负电荷，所以它们会相加。
这名学生隐含的错误假设是，电场大小相等就一定代表电场向量方向相反。叠加原理要求同时考虑大小和方向。
11这为你之后的学习作了甚么准备
叠加原理把复杂的电场图样化成一连串可处理的步骤：计算每一个贡献、判断其方向，再把向量相加。
同一种方法亦可以延伸至多于两个电荷。即使有三个或更多电荷，基本原理都没有改变，只是需要相加的向量更多。
这亦为你之后学习静电学中的一个重要分别作好准备。某一点的电场可以为零，即使该点的电势并不为零。电场是向量，而电势是纯量，因此两者的组合方式不同。理解成对电荷所产生的电场，会令这个分别更容易看清。