قانون الغاز المثالي والعلاقات بين الغازات في كيمياء HSC

احبس غازًا داخل زجاجة معدنية صلبة ثم سخّنه. لا يزداد حجم الزجاجة، ولا يدخل أي غاز إليها أو يخرج منها. ماذا يحدث للضغط؟

قد يبدو من المغري توقّع أن الضغط سيبقى ثابتًا لأن كمية الغاز ما زالت نفسها وتشغل الحيز نفسه. لكن الضغط يرتفع. فالتسخين يجعل الجسيمات تتحرك بسرعة أكبر، ولذلك تصطدم بالجدران بوتيرة أعلى ويصاحب اصطدامها تغيّر أكبر في الزخم.

غيّر التجربة الآن. ضع الغاز في محقنة ذات مكبس متحرك بدلًا من ذلك. سخّنه مع إبقاء الضغط ثابتًا. هذه المرة يمكن للغاز أن يتمدد.

يتصرف الغاز نفسه بطريقة مختلفة لأن الضغط والحجم ودرجة الحرارة والكمية مترابطة. ويعطينا قانون الغاز المثالي نموذجًا واحدًا يربط المتغيرات الأربعة جميعها.

01ابدأ بالجسيمات

تخيّل جسيمات الغاز وهي تتحرك عشوائيًا داخل وعاء. وبين التصادمات، تنتقل الجسيمات عبر فراغ معظمه خالٍ.

هناك ثلاث أفكار مهمة مباشرةً:

• الضغط ينتج عن اصطدام الجسيمات بجدران الوعاء.
• درجة الحرارة تخبرنا عن متوسط الطاقة الحركية للجسيمات.
• الحجم يحدد مقدار الحيز المتاح لتلك الجسيمات كي تتحرك فيه.

كما أن كمية الغاز مهمة أيضًا. فزيادة عدد الجسيمات تعني زيادة فرص اصطدامها بالجدران.

وهذا يتيح لنا إجراء بعض التوقعات المفيدة.

إذا ضغطت غازًا إلى حجم أصغر من دون تغيير درجة حرارته، فماذا ينبغي أن يحدث للضغط؟

ستكون المسافة التي تقطعها الجسيمات قبل الوصول إلى أحد الجدران أقصر، ولذلك تحدث الاصطدامات بالجدران بوتيرة أعلى. فيرتفع الضغط.

وإذا سخّنت غازًا في حين لا يستطيع حجمه أن يتغير، تتحرك الجسيمات بسرعة أكبر. وتحدث اصطداماتها بالجدران بوتيرة أعلى، ويصاحبها تغيّر أكبر في الزخم. ومرة أخرى، يرتفع الضغط.

يعطينا نموذج الجسيمات هذا اتجاه كل علاقة. أما المعادلات فتخبرنا بدقة بمقدار التغير المتوقع لغاز مثالي.

05قوانين الغازات الأربعة المألوفة مشتقة من معادلة واحدة

قد تصادف قانون بويل، وقانون شارل، وقانون غاي-لوساك، وقانون أفوجادرو بوصفها أربع قواعد منفصلة.

لكنها ليست في الحقيقة أربع حقائق غير مترابطة. فكل واحدة منها حالة خاصة من

\[ PV=nRT \]

تُثبَّت فيها بعض المتغيرات.

المهارة المهمة ليست حفظ أربعة أسماء، بل ملاحظة ما الذي أُبقي ثابتًا.

06قانون بويل: الضغط والحجم

افترض أن درجة الحرارة وكمية الغاز تظلان ثابتتين.

من

\[ PV=nRT \]

يكون الطرف الأيمن ثابتًا، ولذلك

\[ PV=\text{ثابت} \]

وبالنسبة إلى حالتين للغاز نفسه،

\[ P_1V_1=P_2V_2 \]

وهذا هو قانون بويل.

الضغط والحجم يتناسبان عكسيًا. فإذا انخفض الحجم إلى النصف، تضاعف الضغط، بشرط أن تظل درجة الحرارة وكمية الغاز ثابتتين.

فكّر في دفع مكبس مضخة دراجة إلى الداخل مع سدّ فتحة الخروج. تُضغط جسيمات الغاز في حيز أصغر، ولذلك تصل إلى الجدران بوتيرة أعلى.

هذه الصورة البسيطة مفيدة، لكن لها قيد: ضغط غاز حقيقي قد يؤدي أيضًا إلى تغير درجة حرارته. ولا ينطبق قانون بويل إلا إذا ظلت درجة الحرارة ثابتة بين الحالتين اللتين تتم مقارنتهما.

07قانون شارل: الحجم ودرجة الحرارة

افترض الآن أن الضغط وكمية الغاز يظلان ثابتين.

من

\[ PV=nRT \]

نحصل على

\[ V\propto T \]

ومن ثم

\[ \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2} \]

وهذا هو قانون شارل.

إذا ارتفعت درجة الحرارة المطلقة بنسبة 10%، يرتفع الحجم بنسبة 10%، بشرط أن يظل الضغط وكمية الغاز ثابتين.

تخيّل غازًا تحت مكبس يتحرك بحرية. يجعل التسخين الجسيمات تتحرك بسرعة أكبر، ما يؤدي في البداية إلى زيادة الضغط. ثم يدفع الضغط الأعلى المكبس إلى الخارج. ويستمر التمدد إلى أن يتساوى الضغط الداخلي مرة أخرى مع الضغط الخارجي.

لذلك فإن عبارة “التسخين يجعل الغاز يتمدد” غير مكتملة. يتمدد الغاز عند التسخين عندما تسمح الظروف بتغير حجمه مع بقاء الضغط ثابتًا.

08قانون غاي-لوساك: الضغط ودرجة الحرارة

افترض أن الحجم وكمية الغاز يظلان ثابتين.

عندئذٍ

\[ P\propto T \]

ومن ثم

\[ \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2} \]

وهذا هو قانون غاي-لوساك.

وهذه هي حالة الزجاجة الصلبة التي وردت في البداية.

إذا سُخّن وعاء صلب مغلق من \(300\ \text{K}\) إلى \(330\ \text{K}\)، فإن درجة حرارته المطلقة ترتفع بنسبة 10%. ويرتفع ضغطه أيضًا بنسبة 10%، بافتراض السلوك المثالي.

ومرة أخرى، تعتمد هذه العبارة على شروط ضمنية: يجب أن يكون الحجم ثابتًا، وألا يدخل أي غاز أو يخرج.

09قانون أفوجادرو: الحجم والكمية

افترض أن الضغط ودرجة الحرارة يظلان ثابتين.

عندئذٍ

\[ V\propto n \]

أو

\[ \frac{V_1}{n_1}=\frac{V_2}{n_2} \]

وهذا هو قانون أفوجادرو.

إذا ضاعفت كمية غاز مثالي مع إبقاء الضغط ودرجة الحرارة ثابتين، فإن حجمه يتضاعف.

لماذا؟ لأن إضافة جسيمات ستزيد في البداية معدل التصادمات، ومن ثم الضغط. وإذا كان لا بد أن يظل الضغط ثابتًا، فيجب أن يشغل الغاز حجمًا أكبر.

يمكن تصور ذلك بطريقة طريفة بعض الشيء: تخيّل إضافة أشخاص إلى حفلة هادئة بينما يصر الجميع على الحفاظ على المقدار نفسه من المساحة الشخصية. إذا تضاعف عدد الأشخاص، فيجب أن تصبح الغرفة أكبر بنحو الضعف.

لكن هذا التشبيه له حدود، لأن جسيمات الغاز لا تحافظ بوعي على مساحة شخصية، كما أن الجسيمات الحقيقية تتفاعل من خلال قوى بين جزيئية. والجزء المفيد من التشبيه هو ببساطة العلاقة التناسبية بين عدد الجسيمات والحجم المطلوب.

10يمكن لعلاقة واحدة التعامل مع الظروف المتغيرة

تكون قوانين الغازات المسماة مفيدة عندما يظل متغيران ثابتين.

لكن أحيانًا يتغير أكثر من متغيرين.

انطلاقًا من

\[ PV=nRT \]

اقسم الطرفين على \(nT\):

\[ \frac{PV}{nT}=R \]

وبالنسبة إلى حالتين،

\[ \frac{P_1V_1}{n_1T_1} = \frac{P_2V_2}{n_2T_2} \]

وهذه هي العلاقة العامة الأكثر شمولًا بين حالتين لغاز مثالي.

إذا لم تتغير كمية الغاز، أي \(n_1=n_2\)، فإن حدود \(n\) تُختصر:

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

وغالبًا ما يُطلق على هذه العلاقة اسم قانون الغازات الموحّد.

11قاعدة عملية لاتخاذ القرار

قبل اختيار معادلة، اكتب ما الذي يتغير وما الذي يبقى ثابتًا.

لا تحتاج إلى إجبار كل مسألة على أن تتبع قانونًا يحمل اسمًا معينًا. ابدأ بالظروف الفيزيائية، ثم بسّط قانون الغاز المثالي.

13لماذا يُعد الاستدلال بالتناسب قويًا؟

يمكنك غالبًا توقع اتجاه التغير قبل إجراء الحساب.

من

\[ P=\frac{nRT}{V} \]

افترض أن كمية الغاز تظل ثابتة.

إذا تضاعفت درجة الحرارة وتضاعف الحجم أيضًا،

\[ P_2=P_1 \]

لأن التغيرين يلغي أحدهما الآخر.

أما إذا تضاعفت درجة الحرارة بينما انخفض الحجم إلى النصف،

\[ P_2=4P_1 \]

لأن درجة الحرارة تضيف عاملًا مقداره \(2\)، بينما قسمة الحجم على \(2\) تضيف عاملًا آخر مقداره \(2\).

هذه الطريقة في التفكير مفيدة خصوصًا في الأسئلة الأصعب. فهي تتيح لك تقدير الإجابة قبل إجراء أي حساب عددي.

14أكثر المفاهيم الخاطئة شيوعًا: تتبّع متغير واحد فقط

افترض أن بالونًا مغلقًا تم تسخينه.

قد يقول طالب: “درجة حرارة أعلى تعني ضغطًا أعلى.”

يكون هذا التوقع منطقيًا إذا كان الحجم ثابتًا. لكن البالون يمكن أن يتمدد.

عندما يسخن الغاز، قد يتغير كل من الضغط والحجم. وتعتمد النتيجة النهائية على الضغط الخارجي، ومرونة البالون، ومقدار تمدده.

لا تنطبق العلاقة \(P\propto T\) إلا عندما يكون الحجم وكمية الغاز ثابتين.

وهذه هي المشكلة الأساسية في قوانين الغازات: كل عبارة تناسب تتضمن شروطًا ضمنية.

لا تكتب

\[ P\propto T \]

ثم تنسى ذهنيًا عبارة “عند ثبات الحجم وكمية الغاز”.

15فخ ثانٍ: يجب أن يكون الضغط مطلقًا

في قانون الغاز المثالي، يعني الضغط الضغط المطلق.

غالبًا ما يعرض مقياس الضغط قيمة الضغط بالنسبة إلى الضغط الجوي. وهذا يسمى ضغط القياس.

إذا أظهر مقياس ضغط إطار سيارة \(220\ \text{kPa}\)، وكان الضغط الجوي \(101\ \text{kPa}\)، فإن الضغط المطلق يساوي تقريبًا

\[ P_{\text{المطلق}} = 220+101 = 321\ \text{kPa} \]

وسيكون استخدام \(220\ \text{kPa}\) مباشرةً في حساب يعتمد على قانون الغاز المثالي غير صحيح إذا كانت هذه القيمة تمثل ضغط القياس.

تستند قوانين الغازات إلى صفر حقيقي للضغط، تمامًا كما تتطلب علاقات درجة الحرارة صفرًا حقيقيًا لدرجة الحرارة.

16أسئلة وحلول

السؤال 1

يشغل غاز حجمًا مقداره \(3.00\ \text{L}\) عند ضغط \(120\ \text{kPa}\). ويُضغط عند درجة حرارة ثابتة إلى \(2.40\ \text{L}\). لا تتغير كمية الغاز.

احسب الضغط النهائي.

الحل 1

الضغط النهائي هو

\[ \boxed{150\ \text{kPa}} \]

لأن درجة الحرارة وكمية الغاز ثابتتان، ولذلك ينطبق قانون بويل:

\[ P_1V_1=P_2V_2 \]

بإعادة الترتيب،

\[ P_2=\frac{P_1V_1}{V_2} \]

بالتعويض:

\[ P_2 = \frac{(120\ \text{kPa})(3.00\ \text{L})} {2.40\ \text{L}} = 150\ \text{kPa} \]

ضُغط الغاز إلى حجم أصغر، ولذلك فإن زيادة الضغط منطقية من الناحية الفيزيائية.

السؤال 2

يشغل غاز حجمًا مقداره \(850\ \text{mL}\) عند \(15.0^{\circ}\text{C}\). ويُسخن عند ضغط ثابت حتى تصل درجة حرارته إلى \(45.0^{\circ}\text{C}\). ولا تتغير كمية الغاز.

احسب الحجم النهائي.

يجادل أحد الطلاب بأنه بما أن \(45\) تساوي ثلاثة أمثال \(15\)، فيجب أن يكون الحجم النهائي \(2550\ \text{mL}\). اشرح الخطأ.

الحل 2

الحجم النهائي يساوي تقريبًا

\[ \boxed{939\ \text{mL}} \]

وتفشل حجة الطالب القائمة على عامل الثلاثة لأن نسب درجات الحرارة في قوانين الغازات يجب أن تُحسب بالكلفن، لا بالدرجات المئوية.

عند ثبات الضغط وكمية الغاز، ينطبق قانون شارل:

\[ \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2} \]

حوّل درجات الحرارة:

\[ T_1=15.0+273.15=288.15\ \text{K} \]

\[ T_2=45.0+273.15=318.15\ \text{K} \]

أعد الترتيب:

\[ V_2=V_1\frac{T_2}{T_1} \]

بالتعويض:

\[ \begin{aligned} V_2 &=(850\ \text{mL}) \frac{318.15\ \text{K}}{288.15\ \text{K}} \\ &=939\ \text{mL} \end{aligned} \]

ترتفع درجة الحرارة المطلقة بنحو 10.4% فقط، ولذلك يرتفع الحجم بالنسبة نفسها.

ينشأ المفهوم الخاطئ المغري من التعامل مع \(0^{\circ}\text{C}\) على أنه انعدام للطاقة الحرارية. وهذا غير صحيح. فدرجة \(0^{\circ}\text{C}\) تساوي \(273.15\ \text{K}\).

السؤال 3

يحتوي وعاء صلب حجمه \(5.00\ \text{L}\) على \(0.200\ \text{mol}\) من غاز مثالي عند \(300\ \text{K}\).

تُضاف كمية إضافية مقدارها \(0.0500\ \text{mol}\) من الغاز في أثناء تسخين الوعاء إلى \(360\ \text{K}\). ويظل الحجم ثابتًا.

الضغط الابتدائي هو \(99.8\ \text{kPa}\).

من دون استخدام ثابت الغاز المثالي أولًا، توقّع ما إذا كان الضغط النهائي أقل من \(120\ \text{kPa}\)، أو مساويًا له، أو أكبر منه. ثم احسب الضغط النهائي.

الحل 3

الضغط النهائي هو

\[ \boxed{150\ \text{kPa}} \]

ولذلك فهو أكبر من \(120\ \text{kPa}\).

لأن الحجم ثابت،

\[ P\propto nT \]

تزداد كمية الغاز من \(0.200\ \text{mol}\) إلى

\[ n_2=0.250\ \text{mol} \]

أي بعامل مقداره

\[ \frac{0.250}{0.200}=1.25 \]

وتزداد درجة الحرارة بعامل مقداره

\[ \frac{360}{300}=1.20 \]

إذًا ينبغي أن يزداد الضغط بعامل

\[ 1.25\times1.20=1.50 \]

ولذلك، حتى قبل إجراء الحساب الدقيق،

\[ P_2=1.50P_1 \]

وهو بوضوح أكبر من \(120\ \text{kPa}\).

باستخدام العلاقة العامة بين حالتين،

\[ \frac{P_1V_1}{n_1T_1} = \frac{P_2V_2}{n_2T_2} \]

وباختصار الحجم الذي لم يتغير نحصل على

\[ \frac{P_1}{n_1T_1} = \frac{P_2}{n_2T_2} \]

إذًا،

\[ P_2 = P_1 \frac{n_2T_2}{n_1T_1} \]

بالتعويض،

\[ \begin{aligned} P_2 &= (99.8\ \text{kPa}) \frac{(0.250\ \text{mol})(360\ \text{K})} {(0.200\ \text{mol})(300\ \text{K})} \\ &=149.7\ \text{kPa} \end{aligned} \]

إذًا،

\[ \boxed{P_2\approx150\ \text{kPa}} \]

الفكرة المهمة هي أن تأثيرين يرفعان الضغط في الوقت نفسه: يوجد عدد أكبر من الجسيمات، وتملك هذه الجسيمات متوسط طاقة حركية أكبر.

السؤال 4

يوجد وعاءان صلبان مغلقان لهما الحجم نفسه ودرجة الحرارة نفسها.

يحتوي الوعاء A على \(0.40\ \text{mol}\) من الهيليوم. ويحتوي الوعاء B على \(0.40\ \text{mol}\) من ثاني أكسيد الكربون.

يدّعي أحد الطلاب أن الوعاء B لا بد أن يكون ضغطه أعلى لأن جزيئات ثاني أكسيد الكربون لها كتلة مولية أكبر بكثير من ذرات الهيليوم.

باستخدام نموذج الغاز المثالي، حدّد ما إذا كان الطالب على صواب واشرح الاستدلال على المستوى الجزيئي.

الحل 4

الطالب غير محق. وفق نموذج الغاز المثالي، يكون للوعاءين الضغط نفسه.

لكل وعاء،

\[ P=\frac{nRT}{V} \]

قيم \(n\)، و\(R\)، و\(T\)، و\(V\) متطابقة، ولذلك لا بد أن يكون الضغط المحسوب متطابقًا أيضًا.

لا تظهر الكتلة المولية في معادلة الغاز المثالي.

عند درجة الحرارة نفسها، تمتلك ذرات الهيليوم متوسط سرعة أعلى من جزيئات ثاني أكسيد الكربون لأن جسيمات الهيليوم أخف. ومع ذلك، فإن الجسيم الخفيف الأسرع يُحدث تغيرًا أصغر في الزخم في التصادم الواحد مقارنةً بجسيم أثقل يتحرك ببطء أكبر.

بالنسبة إلى الغاز المثالي، تتكامل هذه التأثيرات بحيث تنتج الغازات التي لها الكمية والحجم ودرجة الحرارة نفسها الضغط نفسه.

يكمن المفهوم الخاطئ المغري في افتراض أن الجزيئات الأثقل لا بد أن تصطدم بالجدران “بقوة أكبر”، ومن ثم لا بد أن تولد ضغطًا أكبر. وهذا يأخذ كتلة الجسيم في الحسبان من دون أن يأخذ في الحسبان أيضًا اعتماد سرعة الجزيئات على الكتلة عند درجة الحرارة نفسها.

السؤال 5

تحتوي أسطوانة مغلقة مزودة بمكبس متحرك عديم الاحتكاك على غاز مثالي. في البداية،

\[ P_1=100\ \text{kPa},\quad V_1=2.00\ \text{L},\quad T_1=300\ \text{K} \]

يُسخن الغاز إلى \(450\ \text{K}\). وأثناء التسخين يتحرك المكبس إلى الخارج حتى يصبح الحجم \(3.00\ \text{L}\).

يقول أحد الطلاب: “زادت درجة الحرارة بنسبة 50%، ولذلك لا بد أن يزداد الضغط أيضًا بنسبة 50%.”

حدّد الضغط النهائي واشرح بدقة لماذا يفشل هذا الاستدلال.

الحل 5

الضغط النهائي هو

\[ \boxed{100\ \text{kPa}} \]

أي إن الضغط لا يزداد إطلاقًا.

كمية الغاز ثابتة، لكن الحجم ودرجة الحرارة يتغيران معًا. ولذلك نستخدم

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

بإعادة الترتيب،

\[ P_2 = P_1 \frac{V_1T_2}{T_1V_2} \]

بالتعويض:

\[ \begin{aligned} P_2 &= (100\ \text{kPa}) \frac{(2.00\ \text{L})(450\ \text{K})} {(300\ \text{K})(3.00\ \text{L})} \\ &=100\ \text{kPa} \end{aligned} \]

زادت درجة الحرارة بعامل

\[ \frac{450}{300}=1.50 \]

لكن الحجم زاد أيضًا بعامل

\[ \frac{3.00}{2.00}=1.50 \]

وبما أن

\[ P\propto \frac{T}{V} \]

لكمية ثابتة من الغاز، فإن العاملين يلغي أحدهما الآخر تمامًا.

يستخدم استدلال الطالب علاقة غاي-لوساك \(P\propto T\)، لكن هذه العلاقة تتطلب ثبات الحجم. وهنا يستطيع المكبس أن يتحرك بحرية، ولذلك فإن الحجم ليس ثابتًا.

السؤال 6

تبدأ عينة مغلقة من غاز مثالي عند \(300\ \text{K}\).

تُسخن في أثناء تقليل حجمها. وبعد التغير يصبح ضغطها ضعف ضغطها الابتدائي تمامًا.

يستنتج أحد الطلاب أن درجة الحرارة النهائية لا بد أن تكون \(600\ \text{K}\).

هل هذا الاستنتاج مبرر؟ إذا لم يكن كذلك، فاشتق علاقة بين درجة الحرارة النهائية والحجم النهائي، وأعطِ مثالًا واحدًا لحالة نهائية ممكنة.

الحل 6

الاستنتاج غير مبرر لأن كلًا من درجة الحرارة والحجم قد تغير. وتضاعف الضغط وحده لا يخبرنا بأن درجة الحرارة المطلقة قد تضاعفت.

لكمية ثابتة من الغاز،

\[ \frac{P_1V_1}{T_1} = \frac{P_2V_2}{T_2} \]

نعلم أن

\[ P_2=2P_1 \]

وأن

\[ T_1=300\ \text{K} \]

عوّض بهذه العلاقات:

\[ \frac{P_1V_1}{300} = \frac{(2P_1)V_2}{T_2} \]

اختصر \(P_1\):

\[ \frac{V_1}{300} = \frac{2V_2}{T_2} \]

بإعادة الترتيب،

\[ T_2 = 600\frac{V_2}{V_1} \]

ولأن الغاز مضغوط،

\[ V_2<V_1 \]

إذًا

\[ T_2<600\ \text{K} \]

ومن الحالات النهائية الممكنة:

\[ V_2=0.75V_1 \]

عندئذٍ

\[ T_2 = 600(0.75) = 450\ \text{K} \]

إذًا يمكن أن تكون الحالة النهائية

\[ \boxed{T_2=450\ \text{K},\quad V_2=0.75V_1} \]

مع تضاعف الضغط.

تفشل الطريقة الواضحة لأن \(P\propto T\) لا تصح إلا عندما يكون الحجم ثابتًا. وعندما تتغير عدة متغيرات معًا، يجب أخذ العلاقة الكاملة في الحسبان.

17إلى أين يقودنا هذا بعد ذلك؟

يفعل قانون الغاز المثالي أكثر من مجرد ربط أربعة متغيرات. فهو يمنحك وسيلة للانتقال بين القياسات العيانية للغاز وكمية المادة الموجودة.

وبمجرد معرفة \(n\)، يمكنك ربط قياسات الغاز بالكتلة المولية، والمعادلات الكيميائية، وكميات المواد المتفاعلة، وحسابات الاتزان. وتبقى العادة المفيدة نفسها: حدّد ما الذي يتغير فعليًا من الناحية الفيزيائية، وحدّد ما الذي يُبقى ثابتًا، وبعد ذلك فقط اختر المعادلة.