القدرة الكهربائية في فيزياء HSC: استخدام صيغ القدرة المكافئة

يعمل جهاز بجهد 12 V ويسحب تيارًا مقداره 0.50 A. ويعمل جهاز آخر أيضًا بجهد 12 V، لكنه يسحب تيارًا مقداره 2.0 A. فأيهما ينقل طاقة كهربائية بمعدل أكبر؟

قد تميل إلى القول إنهما متماثلان لأن الجهد متساوٍ. لكن الجهد يخبرك فقط بمقدار الطاقة الكهربائية المنقولة لكل وحدة شحنة. ونحتاج أيضًا إلى معرفة مدى سرعة حركة الشحنة عبر الجهاز.

يسحب الجهاز الثاني تيارًا أكبر بأربع مرات، ولذلك تمر عبره شحنة أكبر بأربع مرات كل ثانية. وعند الجهد نفسه، يعني ذلك أن الطاقة الكهربائية تُنقل بمعدل أسرع بأربع مرات.

هذا المعدل لانتقال الطاقة هو القدرة الكهربائية.

01ما الذي تقيسه القدرة الكهربائية فعليًا؟

القدرة هي معدل انتقال الطاقة:

\[
P = \frac{E}{t}
\]

حيث:

• \(P\) هي القدرة بوحدة الواط (W)،
• \(E\) هي الطاقة المنقولة بوحدة الجول (J)،
• \(t\) هو الزمن بوحدة الثانية (s).

يعني الواط الواحد انتقال جول واحد من الطاقة كل ثانية:

\[
1\text{ W} = 1\text{ J s}^{-1}
\]

إذن، ينقل جهاز قدرته 60 W الطاقة بمعدل 60 J كل ثانية.

ولا يعني ذلك أن كل الـ 60 J تتحول إلى طاقة مفيدة. فقد يحول المحرك جزءًا من الطاقة الكهربائية إلى طاقة حركية وجزءًا آخر إلى طاقة حرارية. أما المدفأة فهي مصممة عمدًا بحيث تكون الطاقة الحرارية هي الناتج المفيد.

لحساب القدرة الكهربائية الداخلة إلى جهاز، نحتاج إلى الربط بين فكرتين قد تعرفهما بالفعل:

• الجهد يخبرنا بالطاقة المنقولة لكل وحدة شحنة،
• التيار يخبرنا بالشحنة المتدفقة لكل وحدة زمن.

إذا كانت أي من هاتين الفكرتين غير واضحة تمامًا، فمن المفيد مراجعة فرق الجهد والشغل الكهربائي باستخدام \(W=qV\) والتيار بوصفه معدل تدفق الشحنة باستخدام \(I=q/t\).

02لماذا \(P = VI\)؟

لنفترض أن شحنة \(q\) تمر عبر جهاز له فرق جهد \(V\).

الشغل الكهربائي المبذول هو:

\[
E = qV
\]

القدرة هي الطاقة المنقولة لكل وحدة زمن، لذلك:

\[
P = \frac{E}{t}
\]

نعوّض \(E=qV\):

\[
P = \frac{qV}{t}
\]

لكن التيار هو:

\[
I = \frac{q}{t}
\]

إذن:

\[
\boxed{P = VI}
\]

حيث:

• \(P\) هي القدرة الكهربائية بوحدة الواط (W)،
• \(V\) هو فرق الجهد عبر الجهاز بوحدة الفولت (V)،
• \(I\) هو التيار المار عبر الجهاز بوحدة الأمبير (A).

هذه المعادلة ليست مجرد صيغة ينبغي حفظها. فهي تقول:

تعتمد القدرة الكهربائية على كل من الطاقة المنقولة إلى كل كولوم من الشحنة وعدد الكولومات التي تمر كل ثانية.

03الصيغ المكافئة: \(P = I^2R\) و\(P = \frac{V^2}{R}\)

أحيانًا يعطيك السؤال المقاومة بدلًا من إعطائك كلًا من الجهد والتيار.

بالنسبة إلى موصل يمكن فيه استخدام العلاقة \(V=IR\) عند نقطة التشغيل، يمكننا دمجها مع:

\[
P = VI
\]

ابدأ باستبدال \(V\) بـ \(IR\):

\[
P = I(IR)
\]

إذن:

\[
\boxed{P = I^2R}
\]

وبديلًا من ذلك، أعد ترتيب قانون أوم:

\[
I = \frac{V}{R}
\]

ثم عوّض بذلك في \(P=VI\):

\[
P = V\left(\frac{V}{R}\right)
\]

فنحصل على:

\[
\boxed{P = \frac{V^2}{R}}
\]

هذه الصيغ الثلاث مفيدة في حالات مختلفة:

العادة المهمة ليست أن «تختار الصيغة التي تحتوي على الرموز المناسبة». بل اسأل: ما الكمية التي تبقى ثابتة فعليًا؟

ويصبح ذلك مهمًا بوجه خاص عندما تتغير المقاومة.

04خطأ شائع: هل تعني المقاومة الأكبر قدرة أكبر؟

إليك سؤالًا يستحق أن تتنبأ بإجابته.

لنفترض أن مقاومة جهاز تزداد. هل تزداد قدرته أم تنخفض؟

لا توجد إجابة واحدة تنطبق دائمًا.

قد يبدو ذلك مزعجًا لأن:

\[
P=I^2R
\]

تبدو وكأنها تقول إن زيادة \(R\) تزيد \(P\).

لكن:

\[
P=\frac{V^2}{R}
\]

تبدو وكأنها تقول إن زيادة \(R\) تقلل \(P\).

كلتا العبارتين صحيحتان. فكل منهما تصف شروطًا مختلفة.

إذا ظل التيار ثابتًا

باستخدام:

\[
P=I^2R
\]

إذا ظل \(I\) ثابتًا، فإن زيادة \(R\) تزيد القدرة.

فعلى سبيل المثال، مضاعفة \(R\) مع إبقاء \(I\) ثابتًا تضاعف \(P\).

إذا ظل الجهد ثابتًا

باستخدام:

\[
P=\frac{V^2}{R}
\]

إذا ظل \(V\) ثابتًا، فإن زيادة \(R\) تقلل القدرة.

مضاعفة \(R\) مع إبقاء \(V\) ثابتًا تخفّض \(P\) إلى النصف.

فكّر في الأمر كما لو أن شخصًا يسأل ما إذا كانت إضافة شخص ثالث إلى موعد بين شخصين تجعل المحادثة أسرع أم أبطأ. تعتمد الإجابة بدرجة كبيرة على ما تفترض أنه سيبقى ثابتًا أيضًا. فمعرفة المقاومة وحدها لا تكفي.

لكن التشبيه لا يصح تمامًا لأن المقاومة الكهربائية لها علاقة كمية دقيقة بالجهد والتيار، بينما لا تخضع محادثات العشاء المحرجة لمثل هذه العلاقة.

05لماذا يمكن أن يكون لتغيير الجهد تأثير كبير بصورة مفاجئة؟

تخيل مقاومًا مثاليًا تظل مقاومته ثابتة.

إذا تضاعف الجهد عبره، فماذا يحدث لقدرته؟

قد يكون التخمين الأول هو أن «القدرة تتضاعف» لأن \(P=VI\) تحتوي على \(V\).

لكن زيادة الجهد تزيد التيار أيضًا.

وبما أن:

\[
I=\frac{V}{R}
\]

فإن مضاعفة \(V\) تضاعف \(I\) عندما تظل \(R\) ثابتة.

لذلك، في:

\[
P=VI
\]

يتضاعف كلا العاملين:

\[
P_{\text{new}}=(2V)(2I)=4VI
\]

فتصبح القدرة أكبر بأربع مرات.

وتظهر النتيجة نفسها مباشرة من:

\[
P=\frac{V^2}{R}
\]

مع ثبات \(R\):

\[
P\propto V^2
\]

إذن:

• مضاعفة الجهد تعطي قدرة أكبر بأربع مرات،
• جعل الجهد ثلاثة أضعاف يعطي قدرة أكبر بتسع مرات،
• خفض الجهد إلى النصف يعطي ربع القدرة.

من السهل إغفال هذه العلاقة التربيعية.

06عندما لا تكون المقاومة ثابتة

لا تكون مقاومة الأجهزة الحقيقية ثابتة دائمًا.

فعلى سبيل المثال، ترتفع درجة حرارة فتيلة المصباح المتوهج عندما يزداد التيار فيها. وتتغير مقاومتها مع درجة الحرارة. وفي هذه الحالة، لا يمكنك افتراض أن قيمة ثابتة واحدة لـ \(R\) ستصف الجهاز عند كل جهد.

وهنا يمكن أن يؤدي الاستخدام غير المدروس لـ:

\[
P=\frac{V^2}{R}
\]

إلى مشكلة.

المعادلة نفسها ليست المشكلة. المشكلة هي التعامل مع \(R\) كما لو أنها لم تتغير، مع أن سلوك الجهاز يشير إلى عكس ذلك.

بالنسبة إلى موصل أومي عند ثبات الظروف الفيزيائية، يكون \(V\) متناسبًا طرديًا مع \(I\)، ولذلك تظل المقاومة ثابتة. وتُشرح الافتراضات التي تقوم عليها هذه العلاقة في قانون أوم في فيزياء HSC.

أما في الجهاز غير الأومي، فاستخدم القيم الفعلية للجهد والتيار عند نقطة التشغيل متى كانت متاحة:

\[
P=VI
\]

قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار

عند تحليل جهاز:

1. إذا كنت تعرف \(V\) و\(I\)، فاستخدم \(P=VI\).
2. إذا كنت تحتاج إلى صيغة مكافئة تتضمن \(R\)، فتحقق مما إذا كانت المقاومة معروفة عند حالة التشغيل تلك.
3. قبل إصدار عبارات مثل «المقاومة الأكبر تعني قدرة أكبر»، حدّد ما الذي يبقى ثابتًا.
4. إذا كان الجهاز غير أومي، فلا تفترض أن مقاومة ثابتة واحدة تنطبق عندما يتغير الجهد أو التيار.

07تصنيفات القدرة تصف حالة تشغيل

عندما يُكتب على جهاز أنه بقدرة 24 W، فهذا يخبرك بمعدل انتقال الطاقة عند تشغيله تحت الظروف المحددة.

لنفترض أن جهازًا مصنف على أنه:

• 12 V،
• 24 W.

يمكننا حساب تيار تشغيله:

\[
I=\frac{P}{V}
\]

\[
I=\frac{24\text{ W}}{12\text{ V}}
=2.0\text{ A}
\]

إذا كان يتصرف كمقاومة مقدارها \(6.0\ \Omega\) عند نقطة التشغيل تلك، فإن:

\[
R=\frac{V}{I}
=\frac{12\text{ V}}{2.0\text{ A}}
=6.0\ \Omega
\]

تتفق الكميات الثلاث:

\[
P=VI=(12)(2.0)=24\text{ W}
\]

وكذلك:

\[
P=I^2R=(2.0)^2(6.0)=24\text{ W}
\]

وأيضًا:

\[
P=\frac{V^2}{R}=\frac{12^2}{6.0}=24\text{ W}
\]

هذه ليست ثلاثة أنواع مختلفة من القدرة. بل هي ثلاث طرق لوصف معدل انتقال الطاقة نفسه.

08أسئلة وحلول

السؤال 1

تعمل مروحة محمولة بجهد 9.0 V وتسحب تيارًا مقداره 0.40 A.

احسب القدرة الكهربائية المزودة للمروحة واشرح ما الذي تعنيه إجابتك فيزيائيًا.

الحل 1

تتلقى المروحة قدرة كهربائية مقدارها \(3.6\text{ W}\)، أي أن الطاقة الكهربائية تُنقل إليها بمعدل \(3.6\text{ J}\) كل ثانية.

استخدم:

\[
P=VI
\]

عوّض:

\[
P=(9.0\text{ V})(0.40\text{ A})
\]

\[
P=3.6\text{ W}
\]

الواط يساوي جولًا واحدًا في الثانية، ولذلك تعني النتيجة أن المروحة تتلقى 3.6 J من الطاقة الكهربائية كل ثانية. وقد تتحول هذه الطاقة إلى طاقة حركية للشفرات، وطاقة حرارية، وصوت، وأشكال أخرى.

السؤال 2

يمر تيار مقداره 0.30 A في عنصر تسخين مقاومته \(50\ \Omega\).

احسب القدرة الكهربائية المنقولة إلى العنصر.

إذا تضاعف التيار بينما ظلت المقاومة ثابتة، فحدّد القدرة الجديدة.

الحل 2

القدرة الأصلية هي \(4.5\text{ W}\)، ومضاعفة التيار تزيد القدرة إلى \(18\text{ W}\).

بما أن التيار والمقاومة معروفان:

\[
P=I^2R
\]

في البداية:

\[
P=(0.30\text{ A})^2(50\ \Omega)
\]

\[
P=(0.090)(50)\text{ W}
=4.5\text{ W}
\]

بعد مضاعفة التيار:

\[
I_{\text{new}}=0.60\text{ A}
\]

إذن:

\[
P_{\text{new}}=(0.60\text{ A})^2(50\ \Omega)
\]

\[
P_{\text{new}}=(0.36)(50)\text{ W}
=18\text{ W}
\]

تضاعف التيار، لكن القدرة زادت بمعامل أربعة لأن:

\[
P\propto I^2
\]

عندما تكون المقاومة ثابتة.

السؤال 3

يُوصَل مقاوم مثالي مقداره \(30\ \Omega\) أولًا بمصدر جهد 6.0 V، ثم بمصدر جهد 12 V.

من دون إجراء الحساب أولًا، تنبأ بكيفية تغير القدرة. ثم احسب القدرة في كل حالة.

الحل 3

تصبح القدرة أكبر بأربع مرات، إذ تزداد من \(1.2\text{ W}\) إلى \(4.8\text{ W}\).

بما أن المقاومة تظل ثابتة:

\[
P=\frac{V^2}{R}
\]

فإن مضاعفة \(V\) تضرب \(P\) في:

\[
2^2=4
\]

عند 6.0 V:

\[
P_1=\frac{(6.0\text{ V})^2}{30\ \Omega}
=\frac{36}{30}\text{ W}
=1.2\text{ W}
\]

عند 12 V:

\[
P_2=\frac{(12\text{ V})^2}{30\ \Omega}
=\frac{144}{30}\text{ W}
=4.8\text{ W}
\]

الخطأ المغري هنا هو افتراض أن مضاعفة الجهد تؤدي فقط إلى مضاعفة القدرة. وهذا يتجاهل حقيقة أن التيار يتضاعف أيضًا عندما تكون المقاومة ثابتة.

السؤال 4

لدى عنصرين مقاومين متماثلين، ولكل منهما مقاومة \(R\).

يوصَل العنصر A بمصدر يحافظ على ثبات الجهد عبره. ثم ترتفع مقاومته بنسبة 25 في المئة بسبب ارتفاع درجة حرارته.

ويوصَل العنصر B بدائرة مختلفة تحافظ على ثبات التيار المار فيه. وترتفع مقاومته أيضًا بنسبة 25 في المئة.

حدّد كيف تتغير قدرة كل عنصر.

الحل 4

تنخفض قدرة العنصر A بنسبة 20 في المئة، بينما تزداد قدرة العنصر B بنسبة 25 في المئة.

تحدث النتيجتان المختلفتان لأن الكميات التي تبقى ثابتة مختلفة.

بالنسبة إلى العنصر A، الجهد ثابت، لذلك:

\[
P=\frac{V^2}{R}
\]

لتكن المقاومة الأصلية \(R\). بعد زيادة مقدارها 25 في المئة:

\[
R_{\text{new}}=1.25R
\]

لذلك:

\[
P_{\text{new}}
=
\frac{V^2}{1.25R}
=
\frac{1}{1.25}P_{\text{old}}
=
0.80P_{\text{old}}
\]

إذن تنخفض قدرته بنسبة:

\[
100\%-80\%=20\%
\]

بالنسبة إلى العنصر B، التيار ثابت، لذلك:

\[
P=I^2R
\]

ومن ثم:

\[
P_{\text{new}}
=
I^2(1.25R)
=
1.25P_{\text{old}}
\]

تزداد قدرته بنسبة 25 في المئة.

الخطأ هو القول إن «المقاومة الأعلى تعني قدرة أعلى» أو «المقاومة الأعلى تعني قدرة أقل» من دون التحقق أولًا من القيد الذي تفرضه الدائرة.

السؤال 5

يدرس طالب جهازًا غير أومي ويسجل نقاط التشغيل الآتية:

يقول الطالب:

«عندما يرتفع الجهد من 2.0 V إلى 6.0 V، يصبح الجهد ثلاثة أضعاف، ولذلك يجب أن تصبح القدرة أكبر بتسع مرات لأن \(P=V^2/R\).»

حدّد القدرة عند 2.0 V وعند 6.0 V، وقيّم استدلال الطالب.

الحل 5

ترتفع القدرة من \(0.80\text{ W}\) إلى \(4.92\text{ W}\)، أي بمعامل \(6.15\)، وليس تسعة. ويخطئ استدلال الطالب لأنه يفترض ثبات المقاومة.

عند 2.0 V:

\[
P=VI
\]

\[
P=(2.0\text{ V})(0.40\text{ A})
=0.80\text{ W}
\]

عند 6.0 V:

\[
P=(6.0\text{ V})(0.82\text{ A})
=4.92\text{ W}
\]

معامل الزيادة هو:

\[
\frac{4.92}{0.80}=6.15
\]

لا تتحقق توقعات الطالب بأن تصبح القدرة أكبر بتسع مرات إلا إذا ظلت المقاومة ثابتة، لأنه عندئذٍ:

\[
P=\frac{V^2}{R}
\]

تعطي:

\[
P\propto V^2
\]

لكن البيانات المقاسة تُظهر أن التيار لم يصبح ثلاثة أضعاف عندما أصبح الجهد ثلاثة أضعاف.

عند 2.0 V، تكون مقاومة التشغيل:

\[
R=\frac{V}{I}
=\frac{2.0}{0.40}
=5.0\ \Omega
\]

وعند 6.0 V:

\[
R=\frac{6.0}{0.82}
\approx7.3\ \Omega
\]

لقد تغيرت المقاومة، ولذلك لا يصح التنبؤ القائم على ثبات \(R\).

ولهذا تكون \(P=VI\) غالبًا نقطة البداية الأكثر أمانًا عندما تُعطى القيم الفعلية للجهد والتيار لجهاز غير أومي.

09ما الذي يتيح لك هذا تحليله بعد ذلك؟

تربط القدرة الكهربائية كميات الدائرة بانتقال الطاقة. وبمجرد أن تتمكن بثقة من الانتقال بين \(P=VI\)، و\(P=I^2R\)، و\(P=V^2/R\)، يمكنك فعل أكثر من مجرد حساب قيمة بالواط.

يمكنك التنبؤ بكيفية استجابة جهاز عند تغير جهد مصدره، ومقارنة التسخين تحت ظروف مختلفة للدائرة، وتفسير تصنيفات القدرة، واكتشاف الحالات التي يختبئ فيها افتراض ثبات المقاومة داخل عملية حسابية.

وتصبح هذه النقطة الأخيرة مهمة بوجه خاص عند دراسة المكونات الحقيقية. فسلوك التيار والجهد فيها يخبرك بما إذا كان نموذج المقاومة الثابتة مناسبًا، وبالتالي بما إذا كانت التنبؤات التناسبية البسيطة مثل \(P\propto V^2\) جديرة بالاعتماد فعلًا.