HSC 物理中的抛体运动假设解析

计算器的计算可以完全正确，却仍然预测出错误的落点。把一颗球发射出去，使用抛体运动方程式，你可能算出射程是 50 m。但在现实世界中，球可能在短了几公尺的地方落地。

那么，究竟是哪一部分出了问题：代数运算、方程式，还是方程式背后的模型？

在继续阅读之前，先作一个预测。如果把同一颗球以快得多的速度发射，简单的抛体模型通常会变得更准确，还是更不准确？对于在空气中运动的物体，通常会更不准确。物体移动得越快，空气阻力往往就越重要。

这正是抛体运动假设的重点。这些方程式并不是在宣称现实中的抛体真的受到恒定重力，而且完全没有空气阻力。它们描述的是一个简化的物理模型。在 HSC 物理中，你的任务是了解这个模型会预测甚么、为甚么它在许多情况下都非常有效，以及甚么时候你应该停止信任它。

01标准抛体模型作出了哪些假设

当物体被发射出去，而且发射装置不再对它施力后，最简单的模型认为，重力是唯一显著作用于物体的力。

因此，我们有两个主要假设：

我们通常也把地面视为局部平坦，并把抛体视为一个大小可以忽略的质点。

正是这些假设，使我们熟悉的抛体运动方程式能够成立。一旦移除这些假设，方程式就可能不再能描述物体的运动。

02从同时发生的两个运动建立模型

想像你正在拍摄一个抛体，并每隔 0.1 s 标记一次它的位置。

如果没有空气阻力，水平方向上的标记会等距分布。这表示水平速度是恒定的。

在垂直方向上，各标记之间的距离则会改变，因为重力会持续改变垂直速度。

一个很有用的方法，是把这看成同一个运动的两个分量：

• 水平运动的加速度为零，
• 垂直运动具有恒定的向下加速度。

它们共用同一个时间。如果抛体在水平方向已经运动了 2 s，那么在垂直方向上，它也正好受到重力作用了 2 s。

这有点像两名学生在同一段考试时间里应考不同科目。一个做数学，一个做物理，所以他们的作答进展不同，但墙上的时钟对两人都是一样的。这个类比也有其限制，因为这两个运动并不是真正分离的两个物体；它们其实是同一个速度向量的两个分量。

假设一个抛体以速度 \(u\)，并以高于水平线的角度 \(\theta\) 发射。它的初速度分量为

\[
u_x=u\cos\theta
\]

以及

\[
u_y=u\sin\theta
\]

其中：

• \(u\) 是发射速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)，
• \(u_x\) 是初始水平速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)，
• \(u_y\) 是初始垂直速度，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)，
• \(\theta\) 是高于水平线的发射角。

在标准模型下，

\[
a_x=0
\]

以及

\[
a_y=-g
\]

如果我们把向上定义为正方向。

因此有

\[
x=u_x t
\]

以及

\[
y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2
\]

前提是抛体从 \(x=0\) 和 \(y=0\) 开始运动。

之后的速度分量为

\[
v_x=u_x
\]

以及

\[
v_y=u_y-gt
\]

其中 \(t\) 是以秒为单位的时间。

注意这里发生了甚么。我们并不是从背诵四条方程式开始。我们是从两个物理叙述开始：没有水平力，以及向下的重力加速度近似恒定。这些方程式就是由这两个叙述推导出来的。

03假设 1：重力加速度恒定

一个常见错误，是听到「重力恒定」后，就以为抛体向下的速度也必须恒定。

其实不是。

重力加速度恒定，是指加速度保持恒定。因此，速度每秒都会改变相同的量。

在地球表面附近，

\[
g\approx9.8\text{ m s}^{-2}
\]

所以，如果忽略空气阻力，垂直速度每秒大约会向下改变 \(9.8\text{ m s}^{-1}\)。

如果一颗球起初有

\[
v_y=+15\text{ m s}^{-1},
\]

那么大约一秒后，

\[
v_y=+5.2\text{ m s}^{-1}.
\]

再过一秒，它便会向下运动，此时

\[
v_y\approx-4.6\text{ m s}^{-1}.
\]

加速度保持不变，但速度并没有保持不变。

为甚么 \(g\) 只可以视为近似恒定？

实际上，离地球越远，重力就越弱。

对于距离地心 \(r\) 的位置，

\[
g(r)=\frac{GM_E}{r^2}
\]

其中：

• \(G\) 是万有引力常数，
• \(M_E\) 是地球的质量，
• \(r\) 是距离地心的距离。

在地球表面，\(r\) 大约等于地球半径 \(R_E\)。在高度 \(h\) 处，

\[
g(h)=g_0\left(\frac{R_E}{R_E+h}\right)^2
\]

其中 \(g_0\) 是地表的重力加速度。

对于一颗只在运动场上方几十公尺高度飞行的足球而言，\(h\) 与约为 \(6.37\times10^6\text{ m}\) 的地球半径相比，小得几乎可以忽略。因此，把 \(g\) 视为恒定是非常好的近似。

但假设某个物体上升了 100 km。

取 \(R_E=6370\text{ km}\)，

\[
g=9.8\left(\frac{6370}{6470}\right)^2
\approx9.50\text{ m s}^{-2}.
\]

这比地表值低约 3%。此时，把 \(g\) 视为恒定就不再是那么无关紧要的近似。

还有另一个问题。重力始终指向地心。在学校运动场的范围内，各处的「向下」实际上可视为同一方向。但在数百或数千公里的尺度上，就不是如此。

因此，恒定重力模型包含两个近似：

• \(g\) 的大小不会显著改变，
• \(g\) 的方向不会显著改变。

对于地球表面附近一般的 HSC 抛体运动题目，这两个近似都非常好。

04假设 2：空气阻力可忽略

把一张平放的纸和同一张纸揉成紧密的纸团后分别放下。

简单的抛体模型会预测它们有不同的加速度吗？

不会。它们具有相同的重力加速度，因为在这个模型中，重力是唯一重要的力。

但现实中的结果却有明显差异。平放的纸相对于自身重量会受到大得多的空气阻力。

这告诉我们一件重要的事：「空气阻力可忽略」并不是说空气真的消失了。它的意思是，空气所施加的力足够小，以致在我们想回答的问题中，忽略它仍能得到可接受的预测。

空气阻力实际上会做甚么？

在静止的空气中，阻力的方向与物体相对于空气的速度方向相反。

如果抛体正在向右上方运动，阻力就会向左下方作用。

如果它正在向右下方运动，阻力就会向左上方作用。

这立即破坏了简单抛体模型中最方便的特性之一。存在阻力时，水平速度不再恒定。

在足够高的速度下，一个常见的近似阻力模型是

\[
F_D=\frac{1}{2}\rho C_D A v^2
\]

其中：

• \(F_D\) 是阻力，单位为牛顿，
• \(\rho\) 是空气密度，单位为 \(\text{kg m}^{-3}\)，
• \(C_D\) 是与形状有关的无因次阻力系数，
• \(A\) 是截面积，单位为 \(\text{m}^2\)，
• \(v\) 是物体相对于空气的速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)。

在一般 HSC 抛体运动计算中，你不需要使用这个式子。这里列出它，是因为它显示了为甚么「加上空气阻力」并不是对原本方程式作一个很小的修正。力会随速率改变，而且其方向也会随速度方向改变。

因此，加速度并不是恒定的。

速度更快，不只是「同一条抛物线，但缩短一点」

这是一个很诱人的想法：先算出没有阻力时的抛物线，再把它稍微压短。

一般而言，这并不正确。

空气阻力可以：

• 在整个飞行过程中降低水平速度，
• 改变到达最高点所需的时间，
• 降低最大高度，
• 降低物体在之后某一位置的速率，
• 破坏上升与下降过程之间的对称性，
• 令轨迹不再是抛物线。

由于阻力方向取决于完整的速度向量，抛体的水平和垂直方程式也会透过阻力彼此耦合。

这正是简单 HSC 模型如此有用的原因。忽略空气阻力，可以把一个作用力不断变化的复杂问题，变成两个恒加速度问题。

05这些假设在数学上带来了甚么好处

对于以速率 \(u\) 和角度 \(\theta\) 发射的抛体，

\[
u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta.
\]

在 \(g\) 恒定且空气阻力可忽略的情况下，

\[
x=(u\cos\theta)t
\]

以及

\[
y=(u\sin\theta)t-\frac{1}{2}gt^2.
\]

如果抛体落地时的高度与发射时相同，总飞行时间为

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

其水平射程则为

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}.
\]

使用最后这条方程式时要小心。它并不是普遍适用的「抛体射程公式」。它假设：

• 发射速率固定，
• 发射和落地高度相同，
• 重力加速度恒定，
• 空气阻力可忽略，
• 采用局部平坦的参考系。

只要其中一个条件改变，你可能就需要回到分量方程式来处理。

06如何判断空气阻力是否可以安全忽略

不存在一个神奇的速度界线，低于它之后空气阻力就会突然消失。

一个有用的比较方法，是比较空气力与物体的重量 \(mg\)。

如果

\[
F_{\text{air}}\ll mg,
\]

那么至少在该瞬间，空气力所造成的加速度远小于重力加速度。

不过，作用时间也很重要。一个很小的额外加速度，如果作用很长时间，仍然可能造成明显的速度或位置变化。

在下列情况下，更应怀疑空气阻力是否可以忽略：

• 物体速度很快，
• 相对于其大小而言很轻，
• 形状宽大或不规则，
• 在空中停留很长时间，
• 在密度较高的空气中运动，
• 明显受到风的影响，
• 旋转得足以产生显著的空气动力升力。

一颗高密度的球在短距离内运动时，无阻力模型可能是很好的近似。羽毛球则几乎正好相反：它的运动主要由空气动力决定，因此即使飞行距离相当短，把它的水平速度视为恒定仍然是一个很差的近似。

07恒定重力的近似何时开始失效

对于一般投掷，抛体的高度和射程与地球半径相比都极小。局部恒定 \(g\) 模型会非常有效。

当尺度变大时，多种效应都可能变得重要。

首先，重力强度会随高度增加而减小：

\[
g(r)=\frac{GM_E}{r^2}.
\]

其次，重力方向会改变，因为「向下」始终指向地心。

第三，地球的曲面不能再被视为一条无限延伸的平坦水平线。

对于飞行时间和射程都非常大的情况，地球自转也可能变得重要。

这些是彼此分开的问题。一个抛体可能几乎不受空气阻力影响，但仍然飞得非常远，以致恒定向下的 \(g\) 成为一个不良模型。

太空就是最明显的例子。移除大气并不会神奇地令学校程度的抛体运动方程式永远完全精确。

08这些假设彼此独立

学生有时会把两个主要假设绑在一起：

「抛体模型不准确，因为重力会改变，而且有空气阻力。」

这样的说法可能会掩盖真正发生的情况。

这些假设彼此独立。

低高度的抛体可以具有几乎恒定的 \(g\)，同时空气阻力却非常重要。羽毛球就是一个很好的例子。

高空中的物体在接近真空的环境下，可以几乎没有空气阻力，同时重力强度却明显改变。

当模型失效时，应该问是哪一个假设变得不再适用，而不是只说「现实世界比较复杂」。

09五个很容易令人误信的观念

最后一点尤其值得记住。一旦阻力变得重要，使射程最大的角度一般就不再必然是 \(45^\circ\)。一旦发射与落地高度不同，即使没有阻力，结果也会改变。

10问题与解答

问题 1

一颗球以 \(12.0\text{ m s}^{-1}\) 的速度从一个高 \(19.6\text{ m}\) 的平台水平滚出。假设 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)，而且空气阻力可忽略。

计算：

• 到达地面所需的时间，
• 水平移动距离，
• 撞击速度的垂直分量，
• 撞击速率。

说明哪一个物理假设令你可以把水平速度保持为 \(12.0\text{ m s}^{-1}\)。

解答 1

球需要 \(2.00\text{ s}\)，水平移动 \(24.0\text{ m}\)，撞击时的垂直速度为 \(-19.6\text{ m s}^{-1}\)，撞击速率为 \(23.0\text{ m s}^{-1}\)。水平速度保持恒定，是因为忽略了空气阻力。

对于垂直运动，初始垂直速度为零：

\[
u_y=0.
\]

把向上定义为正方向，

\[
\Delta y=-19.6\text{ m}
\]

以及

\[
a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

使用

\[
\Delta y=u_yt+\frac{1}{2}a_yt^2.
\]

代入，

\[
\begin{aligned}
-19.6&=0+\frac{1}{2}(-9.8)t^2\\
t^2&=4.00\\
t&=2.00\text{ s}.
\end{aligned}
\]

水平方向上，

\[
\begin{aligned}
x&=v_xt\\
&=(12.0)(2.00)\\
&=24.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

撞击时的垂直速度为

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y+a_yt\\
&=0+(-9.8)(2.00)\\
&=-19.6\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

总撞击速率为

\[
\begin{aligned}
v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\
&=\sqrt{(12.0)^2+(-19.6)^2}\\
&=23.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

一个很容易犯的错误，是说水平速度保持恒定「因为水平和垂直运动彼此独立」。这略过了真正的物理原因。水平速度保持恒定，是因为在忽略空气阻力后，没有水平力，因此也没有水平加速度。

问题 2

两个抛体以相同的 \(30.0\text{ m s}^{-1}\) 速率从水平地面发射。抛体 A 的发射角为 \(35.0^\circ\)，抛体 B 的发射角为 \(55.0^\circ\)。

假设 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 恒定，而且空气阻力可忽略：

1. 计算每个抛体的射程，
2. 计算每个抛体的飞行时间，
3. 计算每个抛体的最大高度。

一个真实实验中，虽然量得的发射速率相同，但两个发射角所得到的射程有明显差异。这个观察本身是否足以证明差异是由空气阻力造成的？

解答 2

在简单模型下，两个抛体都会飞行 \(86.3\text{ m}\)，但以 \(55.0^\circ\) 发射的抛体会在空中停留更久，而且上升得高得多。量得的不同射程显示理想模型未能完整描述实验，但单凭射程差异并不能证明空气阻力就是原因。

当发射和落地高度相同时，

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}.
\]

对于抛体 A，

\[
\begin{aligned}
R_A&=\frac{(30.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8}\\
&=86.3\text{ m}.
\end{aligned}
\]

对于抛体 B，

\[
\begin{aligned}
R_B&=\frac{(30.0)^2\sin110.0^\circ}{9.8}.
\end{aligned}
\]

由于

\[
\sin110.0^\circ=\sin70.0^\circ,
\]

所以

\[
R_B=86.3\text{ m}.
\]

这个互补角结果是理想模型的结果。

现在计算飞行时间：

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

对于 A，

\[
\begin{aligned}
T_A&=\frac{2(30.0)\sin35.0^\circ}{9.8}\\
&=3.51\text{ s}.
\end{aligned}
\]

对于 B，

\[
\begin{aligned}
T_B&=\frac{2(30.0)\sin55.0^\circ}{9.8}\\
&=5.02\text{ s}.
\end{aligned}
\]

对于最大高度，

\[
H=\frac{(u\sin\theta)^2}{2g}.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
H_A&=\frac{[(30.0)\sin35.0^\circ]^2}{2(9.8)}\\
&=15.1\text{ m},
\end{aligned}
\]

而

\[
\begin{aligned}
H_B&=\frac{[(30.0)\sin55.0^\circ]^2}{2(9.8)}\\
&=30.8\text{ m}.
\end{aligned}
\]

一个很诱人的结论是：「实际射程不相等，所以已经证明有空气阻力。」

这个结论过头了。空气阻力的确是一个合理解释，因为飞行时间较长的抛体会受到空气动力作用更久，而且阻力会破坏互补角具有相同射程的结果。但发射角测量不准确、发射速率不完全相同、风、旋转，或其他实验效应，也可能造成射程不相等。

正确的结论应该更有限：在所述初始条件下，恒定 \(g\)、无空气阻力的模型无法解释所有观察结果。

问题 3

每隔 \(0.50\text{ s}\) 测量一次某抛体的位置。其座标如下：

假设测量完全准确。

1. 利用相等的时间间隔求水平和垂直加速度。
2. 这些数据能否代表空气阻力可忽略的理想抛体运动？
3. 假设有人反而声称，静止空气中的一般阻力可以解释这些数据。当抛体仍在上升时，这个说法是否与整个表格一致？

解答 3

这些数据表示 \(a_x=-4.0\text{ m s}^{-2}\)，而 \(a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}\)。因此，它们不能描述理想的无阻力抛体运动，而静止空气中的一般阻力也不能简单地解释这些数据。

对于相隔相同时间间隔 \(\Delta t\) 的测量，恒加速度会给出位置的二阶差分

\[
x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=a_x(\Delta t)^2.
\]

这里，

\[
\Delta t=0.50\text{ s}.
\]

对前三个水平位置，

\[
\begin{aligned}
18.0-2(9.5)+0&=-1.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
-1.0&=a_x(0.50)^2\\
a_x&=\frac{-1.0}{0.25}\\
&=-4.0\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

接下来三个点也会得到相同结果：

\[
25.5-2(18.0)+9.5=-1.0\text{ m}.
\]

在水平方向上，抛体明显正在减速。

现在使用垂直座标：

\[
11.100-2(6.775)+0=-2.450\text{ m}.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
-2.450&=a_y(0.50)^2\\
a_y&=\frac{-2.450}{0.25}\\
&=-9.8\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

接下来三个垂直位置也会得到相同结果：

\[
12.975-2(11.100)+6.775=-2.450\text{ m}.
\]

所以，在水平加速度不为零的同时，垂直加速度刚好等于当地的重力加速度。

理想抛体模型要求

\[
a_x=0,
\]

因此它立即失效。

但这里还有第二个陷阱。你可能很自然地说：「好吧，水平减速一定就是阻力造成的。」

当抛体在静止空气中向右上方运动时，一般阻力应该指向左下方。因此，它应该同时产生向左的分量和向下的分量。

但数据显示，在存在相当大的水平加速度时，垂直加速度仍然刚好保持为 \(-g\)。

因此，静止空气中单纯与速度方向相反的阻力，也不能符合完整的数据模式。还必须存在其他因素，例如另一种空气动力、流动的空气、另一个外力，或测量结果的说法有误。

更深层的重点是，只发现一个看起来像阻力造成的特征并不足够。任何提出的力，都必须能解释测得加速度的每一个分量。

问题 4

一个探测器从地球表面以 \(3.00\times10^3\text{ m s}^{-1}\) 的速度垂直向上发射。忽略大气和地球自转。

一名学生首先假设 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) 恒定。

1. 计算恒定 \(g\) 模型所预测的最大高度。
2. 接著利用重力位能，把重力强度的变化考虑在内

\[
U=-\frac{GM_Em}{r}.
\]

使用 \(R_E=6.37\times10^6\text{ m}\) 以及关系式

\[
GM_E=gR_E^2.
\]

计算改良后的最大高度。
3. 解释为甚么恒定 \(g\) 的预测会太小，而不是太大。

解答 4

恒定 \(g\) 模型预测约为 \(459\text{ km}\)，而考虑重力变化的模型预测约为 \(495\text{ km}\)。恒定 \(g\) 会低估高度，因为它假设在整个上升过程中，重力都保持地表时那么强。

对于恒定 \(g\) 模型，在最大高度时速率为零。利用

\[
v^2=u^2+2a\Delta y,
\]

得到

\[
\begin{aligned}
0&=(3.00\times10^3)^2+2(-9.8)h\\
h&=\frac{(3.00\times10^3)^2}{2(9.8)}\\
&=4.59\times10^5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
h\approx459\text{ km}.
\]

现在使用机械能守恒，并考虑重力场随位置改变。

发射时，

\[
E_i=\frac{1}{2}mu^2-\frac{GM_Em}{R_E}.
\]

在最大高度，速率为零，因此如果距离地心的最终距离为 \(r_{\max}\)，

\[
E_f=-\frac{GM_Em}{r_{\max}}.
\]

令 \(E_i=E_f\)，

\[
\frac{1}{2}mu^2-\frac{GM_Em}{R_E}
=
-\frac{GM_Em}{r_{\max}}.
\]

约去 \(m\)：

\[
\frac{u^2}{2}-\frac{GM_E}{R_E}
=
-\frac{GM_E}{r_{\max}}.
\]

使用

\[
GM_E=gR_E^2,
\]

得到

\[
\frac{1}{r_{\max}}
=
\frac{1}{R_E}
–
\frac{u^2}{2gR_E^2}.
\]

代入数值得到约

\[
r_{\max}=6.865\times10^6\text{ m}.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
h&=r_{\max}-R_E\\
&=(6.865-6.370)\times10^6\\
&=4.95\times10^5\text{ m}\\
&\approx495\text{ km}.
\end{aligned}
\]

两者相差约

\[
495-459=36\text{ km},
\]

约为恒定 \(g\) 预测值的 8%。

一个很诱人的想法是，重力变弱应该令计算「失去」某些东西，因此得到更小的高度。实际情况正好相反。随著探测器上升，实际向下加速度会变得小于 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)。因此，恒定 \(g\) 模型会令探测器减速得过快，并预测它过早停止上升。

在一般抛体的高度范围内，这个效应极小。但到了数百公里的尺度，单凭尺度本身就足以提醒我们需要检查这个近似。

问题 5

一颗球从水平地面以 \(25.0\text{ m s}^{-1}\) 的速率、水平线上方 \(40.0^\circ\) 的角度发射。它最后回到相同高度。

这一次，空气阻力不可忽略。假设空气静止、整个轨迹中的重力强度恒定，而且阻力始终与球相对于空气的瞬时速度方向相反。

在不尝试完整求解阻力方程式的情况下：

1. 比较球的撞击速率与发射速率，
2. 比较球在最高点的水平速率与其初始水平分量，
3. 一名学生提出忽略阻力，但把 \(g\) 换成一个较大的常数 \(g_{\text{eff}}\)，并选择这个数值，使修改后的无阻力模型能得到正确的实测飞行时间。这个模型能否同时重现最高点的实际水平速率和实际撞击速率？请解释。

解答 5

撞击速率必须小于 \(25.0\text{ m s}^{-1}\)，最高点的水平速率必须小于约 \(19.2\text{ m s}^{-1}\) 的初始值，而且不论选择哪一个恒定的 \(g_{\text{eff}}\)，都不能令无阻力模型同时重现所有这些观察结果。

首先计算初始水平分量：

\[
\begin{aligned}
u_x&=u\cos\theta\\
&=(25.0)\cos40.0^\circ\\
&=19.2\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

当阻力显著时，空气力会对球做负功，从球的系统中移除机械能。

发射点和落地点位于相同高度，因此具有相同的重力位能。所以最终动能必须小于初始动能：

\[
K_f<K_i.
\]

由于

\[
K=\frac{1}{2}mv^2,
\]

所以必须有

\[
v_{\text{impact}}<25.0\text{ m s}^{-1}.
\]

这揭示了一个常见陷阱。学生经常记得无阻力抛体回到相同高度时会恢复相同的速率，却不小心把这当成普遍定律。只有在没有耗散力移除机械能时，这才成立。

现在考虑最高点。

在最高点，

\[
v_y=0,
\]

但球仍然在水平方向运动。在整段向右运动期间，阻力一直具有向左的分量，因此水平速率已经降低。

所以，

\[
v_{x,\text{apex}}<19.2\text{ m s}^{-1}.
\]

现在考虑这名学生提出的「有效重力」修正方法。

假设他们选择某个较大的 \(g_{\text{eff}}\)，使无阻力计算刚好能重现实测飞行时间。这样只符合了一个观察结果，但模型本身的结构仍然错误。

没有空气阻力时，修改后的模型必须满足

\[
a_x=0.
\]

因此，它会预测

\[
v_x=19.2\text{ m s}^{-1}
\]

在整段飞行中都保持不变，包括在最高点。真实的抛体并非如此。

还存在一个更强的矛盾。在任何无阻力、恒定重力的模型中，只要抛体回到其发射高度，就必须以原本的速率返回，无论所选的 \(g_{\text{eff}}\) 是多少。

因此，修改后的模型坚持认为

\[
v_{\text{impact}}=25.0\text{ m s}^{-1},
\]

但真实的球必定以较少的动能到达，因此速率也较低。

这就是概念上的关键：符合一个实测数值，并不能验证一个模型。错误的模型有时也可以经过调整，以重现某一个结果。良好的模型检验会考察数个彼此独立的预测，尤其是那些模型无法个别调整的预测。

这个观念的重要性远远超出抛体运动。在之后的力学问题中，对模型最有力的检验往往不是它能否被调整到符合某一个结果，而是在同一组假设下，它能否同时正确预测运动中的多个不同特征。