تطبيقات الحركة الدائرية: امتحان تدريبي في فيزياء HSC

تقيس ورقة التدريب الأصلية هذه من tutorgum مدى إتقانك للنطاق المحدد لمادة الفيزياء لعام 2017 فيما يتعلق بتطبيقات الحركة الدائرية. ستعمل على تحليل القوى المؤثرة في كتلة تتحرك في دائرة أفقية بواسطة خيط، وتحليل مركبات القوة العمودية على المسارات المائلة، وحساب قوة الاحتكاك اللازمة للسيارات التي تسير حول منعطفات مستوية. تركز الورقة على تحديد القوى الحقيقية المؤثرة في نظام ما، وتحديد محصلتها المتجهة نحو المركز.

هذه ورقة مراجعة مركزة، وليست امتحانًا شاملًا للمقرر بأكمله. وهي ورقة تدريب أصلية من tutorgum، وليست ورقة رسمية صادرة عن NESA أو معتمدة منها، ولا ورقة امتحان سابقة أو ورقة تتنبأ بمحتوى امتحان مستقبلي.

01تعليمات الامتحان

• الوقت المقترح للإجابة: 50 دقيقة.
• وقت القراءة المقترح: 5 دقائق.
• الدرجة الكلية: 40 درجة.
• الأدوات المسموح بها: آلة حاسبة علمية، ومسطرة، وأدوات الكتابة. لا يُسمح باستخدام الملاحظات.
• شدة مجال الجاذبية: استخدم \(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\) في جميع المسائل.
• خطوات الحل والدقة: أظهر خطوات الحل، وأدرج الوحدات، واكتب الإجابات العددية بعدد مناسب من الأرقام المعنوية.

المحتوى الذي يتم تقييمه

تغطي هذه الورقة ما يلي:

• تحليل قوة الشد والوزن إلى مركباتهما لكتلة تتحرك في دائرة أفقية بواسطة خيط.
• تحليل القوة العمودية على مسار مائل وحساب سرعة التصميم.
• تحليل الاحتكاك السكوني باعتباره مصدر القوة المركزية على منعطف دائري مستوٍ.
• تفسير العلاقة بين محصلة القوة المتجهة نحو المركز والسرعة.

تُستثنى الحركة الدائرية الرأسية، والحسابات المتعلقة بالمسارات المائلة التي يساعد فيها الاحتكاك، وغيرها من موضوعات الحركة الدائرية.

في المسارات المائلة، قِس زاوية الميل بالنسبة إلى الأفقي. وبالنسبة إلى كتلة متصلة بخيط، قِس زاوية الخيط بالنسبة إلى الرأسي. افترض أن مقاومة الهواء مهملة. وعندما يوصف المسار بأنه عديم الاحتكاك، أهمل الاحتكاك تمامًا.

02الأسئلة

السؤال 1 (7 درجات)

تتصل كتلة مقدارها \(0.500\,\text{kg}\) بخيط خفيف، وتتحرك بسرعة ثابتة مقدارها \(4.00\,\text{m s}^{-1}\) في دائرة أفقية نصف قطرها \(0.600\,\text{m}\). يصنع الخيط زاوية \(\theta\) مع الرأسي.

(a) حدّد القوى المؤثرة في الكتلة، واذكر اتجاه تسارعها. (درجتان)

(b) احسب محصلة القوة المتجهة نحو المركز والمؤثرة في الكتلة. (درجتان)

(c) حلّل قوة الشد إلى مركبتين رأسية وأفقية. احسب قوة الشد في الخيط والزاوية \(\theta\). (3 درجات)

السؤال 2 (7 درجات)

تتحرك سيارة حول مسار دائري مائل عديم الاحتكاك نصف قطره \(85.0\,\text{m}\). يميل المسار بزاوية \(12.0^\circ\) بالنسبة إلى الأفقي.

في هذا السؤال، تُعرَّف سرعة التصميم بأنها السرعة التي تستطيع عندها السيارة اتباع المسار الدائري دون الاعتماد على الاحتكاك.

(a) حدّد القوى المؤثرة في السيارة، واشرح العلاقة بين مركبات القوة العمودية وحركة السيارة الرأسية وحركتها نحو المركز. (درجتان)

(b) من خلال تحليل القوى إلى مركباتها، اشتق تعبيرًا عن سرعة التصميم \(v\) بدلالة نصف القطر \(r\)، وزاوية الميل \(\theta\)، وشدة مجال الجاذبية \(g\). (3 درجات)

(c) احسب سرعة التصميم لهذا المسار. (درجتان)

السؤال 3 (8 درجات)

تتحرك سيارة كتلتها \(1.20\times10^3\,\text{kg}\) بسرعة \(14.0\,\text{m s}^{-1}\) حول منعطف أفقي مستوٍ نصف قطره \(55.0\,\text{m}\). الاحتكاك السكوني هو القوة الأفقية الوحيدة المؤثرة في السيارة.

(a) احسب محصلة القوة المتجهة نحو المركز اللازمة لكي تتبع السيارة المنعطف. (درجتان)

(b) حدّد اتجاه قوة الاحتكاك، واحسب الحد الأدنى لمعامل الاحتكاك السكوني اللازم لمنع السيارة من الانزلاق عند هذه السرعة. (3 درجات)

(c) تسلك السيارة المنعطف نفسه بعد ذلك بسرعة \(16.8\,\text{m s}^{-1}\). معامل الاحتكاك السكوني المتاح هو \(0.450\). حدّد ما إذا كانت السيارة تستطيع الاستمرار في المسار الدائري. ادعم إجابتك بحساب. (3 درجات)

السؤال 4 (5 درجات)

تتصل كتلة مقدارها \(0.750\,\text{kg}\) بخيط. عند لحظة معينة، تبلغ قوة الشد في الخيط \(12.0\,\text{N}\)، ويصنع الخيط زاوية \(25.0^\circ\) مع الرأسي. الشد والوزن هما القوتان الوحيدتان المؤثرتان في الكتلة.

(a) احسب المركبة الرأسية لقوة الشد. (درجتان)

(b) يدّعي طالب أن الكتلة تتحرك في دائرة أفقية عند ارتفاع ثابت مع قيم القوى هذه. قيّم هذا الادعاء. إذا كانت القيم المذكورة صحيحة، فاحسب التسارع الرأسي الابتدائي للكتلة، مع تحديد اتجاهه. (3 درجات)

السؤال 5 (6 درجات)

يتحرك جسم في دائرة أفقية نصف قطرها ثابت. تتغير سرعته، وتُقاس محصلة القوة المتجهة نحو المركز \(F_{\text{in}}\). سُجّلت النتائج أدناه.

يمثل الرسم البياني التالي القياسات المعطاة.

• البيانات المقاسة
• خط أفضل مطابقة

(a) صِف العلاقة بين محصلة القوة المتجهة نحو المركز ومربع السرعة. (درجتان)

(b) احسب ميل الرسم البياني، واذكر ما الذي يمثله هذا الميل بدلالة كتلة الجسم \(m\) ونصف قطر المسار الدائري \(r\). (درجتان)

(c) إذا كان نصف قطر المسار الدائري \(1.50\,\text{m}\)، فاحسب كتلة الجسم. (درجتان)

السؤال 6 (7 درجات)

صُمّم مسار اختبار مائل عديم الاحتكاك بحيث تكون سرعة التصميم \(20.0\,\text{m s}^{-1}\) على جزء دائري نصف قطره \(120.0\,\text{m}\). تتحرك سيارة كتلتها \(900.0\,\text{kg}\) بسرعة التصميم هذه.

(a) احسب زاوية الميل المطلوبة. (3 درجات)

(b) احسب مقدار القوة العمودية المؤثرة في السيارة. (درجتان)

(c) احسب المركبة المتجهة نحو المركز للقوة العمودية. تحقّق من نتيجتك بمقارنتها بمحصلة القوة المتجهة نحو المركز اللازمة للحركة الدائرية للسيارة. (درجتان)

03الحلول المفصّلة ودليل توزيع الدرجات

حل السؤال 1

(a) تحديد القوى والتسارع. (درجتان)

القوتان المؤثرتان في الكتلة هما:

• قوة الشد، \(T\)، وتتجه على امتداد الخيط نحو نقطة التثبيت.
• الوزن، \(mg\)، ويتجه رأسيًا إلى الأسفل.

تتسارع الكتلة أفقيًا نحو مركز الدائرة. وبما أنها تبقى عند ارتفاع ثابت، فإن تسارعها الرأسي يساوي صفرًا، ولذلك تتوازن المركبتان الرأسيتان للقوتين.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لتحديد كلٍّ من قوة الشد والوزن.
• درجة واحدة لتحديد اتجاه التسارع نحو المركز.

(b) حساب محصلة القوة المتجهة نحو المركز. (درجتان)

في الحركة الدائرية المنتظمة، تكون محصلة القوة المتجهة نحو المركز

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

حيث \(m\) هي الكتلة بالكيلوغرام، و\(v\) هي السرعة بالمتر لكل ثانية، و\(r\) هو نصف القطر بالمتر.

بالتعويض بالقيم:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(0.500)(4.00)^2}{0.600}\\ &=13.3\,\text{N} \end{aligned} \]

محصلة القوة المتجهة نحو المركز هي \(13.3\,\text{N}\).

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لكتابة المعادلة الصحيحة والتعويض الصحيح.
• درجة واحدة للإجابة الصحيحة مع الوحدات.

(c) حساب قوة الشد والزاوية. (3 درجات)

لتكن \(\theta\) الزاوية بين الخيط والرأسي.

توازن المركبة الرأسية لقوة الشد الوزن:

\[ T\cos\theta=mg \]

وتوفّر المركبة الأفقية محصلة القوة المتجهة نحو المركز:

\[ T\sin\theta=F_{\text{in}} \]

أولًا، احسب قوة الشد باستخدام المركبتين المتعامدتين:

\[ \begin{aligned} T&=\sqrt{(mg)^2+F_{\text{in}}^2}\\ &=\sqrt{(4.90)^2+(13.3)^2}\\ &=14.2\,\text{N} \end{aligned} \]

بعد ذلك، اقسم معادلة المركبة الأفقية على معادلة المركبة الرأسية:

\[ \tan\theta=\frac{F_{\text{in}}}{mg} \]

إذًا،

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{13.3}{4.90}\right)\\ &=69.8^\circ \end{aligned} \]

قوة الشد هي \(14.2\,\text{N}\)، ويميل الخيط بزاوية \(69.8^\circ\) بالنسبة إلى الرأسي.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لتحليل قوة الشد بصورة صحيحة إلى مركبتين رأسية وأفقية.
• درجة واحدة لحساب قوة الشد.
• درجة واحدة لحساب الزاوية.

تُمنح درجات متابعة للحسابين المتعلقين بقوة الشد والزاوية إذا استُخدم خطأ عددي سابق بصورة متسقة في بقية الحل.

حل السؤال 2

(a) تحديد القوى ومركباتها. (درجتان)

القوى المؤثرة في السيارة هي وزنها، \(mg\)، المتجه رأسيًا إلى الأسفل، والقوة العمودية، \(F_N\)، التي يؤثر بها المسار وتكون عمودية على سطحه.

للقوة العمودية مركبتان مهمتان:

• مركبة رأسية، \(F_N\cos\theta\)، توازن الوزن.
• مركبة أفقية، \(F_N\sin\theta\)، تتجه نحو مركز المسار الدائري.

لا توجد قوة احتكاك لأن المسار موصوف بأنه عديم الاحتكاك.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لتحديد الوزن والقوة العمودية.
• درجة واحدة لوصف المركبتين الرأسية والمتجهة نحو المركز وصفًا صحيحًا.

(b) اشتقاق معادلة سرعة التصميم. (3 درجات)

بما أن السيارة تحافظ على ارتفاع ثابت، فإن القوى الرأسية تتوازن:

\[ F_N\cos\theta=mg \]

وتوفّر المركبة المتجهة نحو المركز للقوة العمودية القوة المركزية:

\[ F_N\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

اقسم معادلة القوة المتجهة نحو المركز على معادلة القوة الرأسية:

\[ \frac{F_N\sin\theta}{F_N\cos\theta} =\frac{mv^2/r}{mg} \]

اختزل العوامل المشتركة، واستخدم العلاقة \(\sin\theta/\cos\theta=\tan\theta\):

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

بإعادة ترتيب المعادلة لإيجاد السرعة، نحصل على

\[ \boxed{v=\sqrt{rg\tan\theta}} \]

توضح المعادلة أن سرعة التصميم تعتمد على نصف قطر المسار، وزاوية ميله، وشدة مجال الجاذبية.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لمعادلة القوى الرأسية الصحيحة.
• درجة واحدة لمعادلة القوى المتجهة نحو المركز الصحيحة.
• درجة واحدة لقسمة المعادلتين واشتقاق تعبير سرعة التصميم.

(c) حساب سرعة التصميم. (درجتان)

باستخدام \(r=85.0\,\text{m}\)، و\(g=9.80\,\text{m s}^{-2}\)، و\(\theta=12.0^\circ\):

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{rg\tan\theta}\\ &=\sqrt{(85.0)(9.80)\tan12.0^\circ}\\ &=13.3\,\text{m s}^{-1} \end{aligned} \]

سرعة التصميم هي \(13.3\,\text{m s}^{-1}\).

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة للتعويض الصحيح في معادلة سرعة التصميم.
• درجة واحدة للإجابة العددية الصحيحة مع الوحدات.

حل السؤال 3

(a) حساب محصلة القوة المتجهة نحو المركز. (درجتان)

محصلة القوة المطلوبة والمتجهة نحو المركز هي

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

عوّض بكتلة السيارة وسرعتها ونصف قطر المنعطف:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}} &=\frac{(1.20\times10^3)(14.0)^2}{55.0}\\ &=4.28\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

تحتاج السيارة إلى محصلة قوة متجهة نحو المركز مقدارها \(4.28\times10^3\,\text{N}\).

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة للمعادلة الصحيحة والتعويض الصحيح.
• درجة واحدة للإجابة الصحيحة مع الوحدات.

(b) حساب الحد الأدنى لمعامل الاحتكاك السكوني. (3 درجات)

على طريق أفقي مستوٍ، تؤثر قوة الاحتكاك السكوني نحو مركز المنعطف. وهي التي توفّر محصلة القوة المتجهة نحو المركز.

تتوازن القوى الرأسية، ولذلك

\[ F_N=mg \]

يُعطى الحد الأقصى للاحتكاك السكوني المتاح بالعلاقة

\[ f_{s,\max}=\mu_s F_N \]

حيث \(f_{s,\max}\) هو الحد الأقصى لقوة الاحتكاك السكوني بوحدة النيوتن، و\(\mu_s\) هو معامل الاحتكاك السكوني.

عند الحد الأدنى للمعامل اللازم لتجنّب الانزلاق، تساوي قوة الاحتكاك القصوى القوة المتجهة نحو المركز المطلوبة:

\[ \mu_s mg=\frac{mv^2}{r} \]

اختزل الكتلة وأعد ترتيب المعادلة:

\[ \mu_{s,\min}=\frac{v^2}{rg} \]

عوّض بالقيم:

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\min} &=\frac{(14.0)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.364 \end{aligned} \]

الحد الأدنى لمعامل الاحتكاك السكوني هو \(0.364\).

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لتحديد الاحتكاك السكوني بوصفه القوة المتجهة نحو المركز.
• درجة واحدة لربط قوة الاحتكاك القصوى بالقوة العمودية والوزن.
• درجة واحدة لحساب الحد الأدنى للمعامل بصورة صحيحة.

(c) تحديد ما إذا كانت السيارة تستطيع اجتياز المنعطف عند السرعة الأعلى. (3 درجات)

عند سرعة \(16.8\,\text{m s}^{-1}\)، يكون معامل الاحتكاك المطلوب

\[ \mu_{s,\text{required}}=\frac{v^2}{rg} \]

بالتعويض:

\[ \begin{aligned} \mu_{s,\text{required}} &=\frac{(16.8)^2}{(55.0)(9.80)}\\ &=0.524 \end{aligned} \]

معامل الاحتكاك المطلوب، \(0.524\)، أكبر من المعامل المتاح، \(0.450\).

لذلك، لا يكفي الاحتكاك السكوني المتاح لتوفير القوة المطلوبة نحو المركز. ولا تستطيع السيارة الحفاظ على المسار الدائري، وستنزلق نحو الجانب الخارجي من المنعطف.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة للمعادلة الصحيحة والتعويض الصحيح.
• درجة واحدة للحصول على معامل الاحتكاك المطلوب، وهو نحو \(0.524\).
• درجة واحدة لمقارنة المعامل المطلوب بالمعامل المتاح والوصول إلى الاستنتاج الصحيح.

حل السؤال 4

(a) حساب المركبة الرأسية لقوة الشد. (درجتان)

يصنع الخيط زاوية \(25.0^\circ\) مع الرأسي. لذلك، فإن المركبة الرأسية لقوة الشد هي

\[ T_y=T\cos\theta \]

بالتعويض:

\[ \begin{aligned} T_y&=(12.0)\cos25.0^\circ\\ &=10.9\,\text{N} \end{aligned} \]

المركبة الرأسية لقوة الشد هي \(10.9\,\text{N}\)، وتتجه إلى الأعلى.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لاستخدام معادلة المركبة الصحيحة.
• درجة واحدة للإجابة العددية الصحيحة مع الوحدات.

(b) تقييم الادعاء وحساب التسارع الرأسي. (3 درجات)

وزن الكتلة هو

\[ \begin{aligned} mg&=(0.750)(9.80)\\ &=7.35\,\text{N} \end{aligned} \]

لكي تتحرك الكتلة في دائرة أفقية عند ارتفاع ثابت، يجب أن تساوي المركبة الرأسية لقوة الشد الوزن.

لكن،

\[ T_y=10.9\,\text{N}>mg=7.35\,\text{N} \]

القوى غير متوازنة في الاتجاه الرأسي. ولذلك، فإن ادعاء الطالب لا يتفق مع قيم القوى المذكورة.

محصلة القوة الرأسية تتجه إلى الأعلى:

\[ \begin{aligned} F_{\text{net},y}&=T_y-mg\\ &=10.9-7.35\\ &=3.53\,\text{N} \end{aligned} \]

وباستخدام قانون نيوتن الثاني،

\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{F_{\text{net},y}}{m}\\ &=\frac{3.53}{0.750}\\ &=4.70\,\text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

التسارع الرأسي الابتدائي هو \(4.70\,\text{m s}^{-2}\) إلى الأعلى. ولا تستطيع الكتلة الحفاظ على ارتفاع ثابت في هذه الظروف.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لمقارنة المركبة الرأسية لقوة الشد بالوزن وتحديد عدم الاتزان.
• درجة واحدة لحساب محصلة القوة الرأسية.
• درجة واحدة لحساب التسارع وتحديد اتجاهه.

حل السؤال 5

(a) وصف العلاقة. (درجتان)

يوضح الرسم البياني أن محصلة القوة المتجهة نحو المركز تزداد خطيًا مع مربع السرعة. وتتفق البيانات مع خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، ولذلك

\[ F_{\text{in}}\propto v^2 \]

بعبارة أخرى، إذا تضاعفت السرعة، تصبح محصلة القوة المطلوبة والمتجهة نحو المركز أربعة أمثال قيمتها، بشرط بقاء الكتلة ونصف القطر ثابتين.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لتحديد العلاقة الخطية مع مربع السرعة.
• درجة واحدة لذكر أن القوة تتناسب طرديًا مع \(v^2\).

(b) حساب الميل وتفسيره. (درجتان)

الميل هو مقدار التغير في محصلة القوة المتجهة نحو المركز مقسومًا على مقدار التغير في مربع السرعة:

\[ \begin{aligned} \text{الميل} &=\frac{\Delta F_{\text{in}}}{\Delta(v^2)}\\ &=\frac{6.40-0.400}{16.0-1.00}\\ &=0.400\,\frac{\text{N}}{\text{m}^2\text{s}^{-2}}\\ &=0.400\,\text{kg m}^{-1} \end{aligned} \]

تُبسَّط الوحدات إلى كيلوغرام لكل متر.

معادلة الحركة الدائرية هي

\[ F_{\text{in}}=\frac{mv^2}{r} \]

أعد ترتيبها لتصبح على صورة معادلة خط مستقيم:

\[ F_{\text{in}}=\frac{m}{r}v^2 \]

بمقارنة هذه المعادلة بالصيغة \(y=mx\)، نجد أن ميل الرسم البياني يمثل نسبة الكتلة إلى نصف القطر:

\[ \boxed{\text{الميل}=\frac{m}{r}} \]

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لحساب الميل بصورة صحيحة مع الوحدات.
• درجة واحدة لتحديد أن الميل يساوي \(m/r\).

(c) حساب الكتلة. (درجتان)

من الجزء (b)،

\[ \text{الميل}=\frac{m}{r} \]

أعد ترتيب المعادلة بحيث تصبح الكتلة هي المتغير المطلوب:

\[ m=(\text{الميل})r \]

عوّض بالميل ونصف القطر:

\[ \begin{aligned} m&=(0.400)(1.50)\\ &=0.600\,\text{kg} \end{aligned} \]

كتلة الجسم هي \(0.600\,\text{kg}\).

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لإعادة ترتيب العلاقة بين الميل والكتلة ونصف القطر بصورة صحيحة، والتعويض بنصف القطر.
• درجة واحدة للكتلة الصحيحة مع الوحدات.

تُمنح درجة متابعة إذا استُخدمت قيمة الميل المحسوبة في الجزء (b) بصورة متسقة، حتى لو كانت هناك أخطاء سابقة في الحساب.

حل السؤال 6

(a) حساب زاوية الميل. (3 درجات)

بالنسبة إلى مسار مائل عديم الاحتكاك، تكون العلاقة بين سرعة التصميم وزاوية الميل

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

عوّض بالسرعة ونصف القطر وشدة مجال الجاذبية المعطاة:

\[ \begin{aligned} \tan\theta &=\frac{(20.0)^2}{(120.0)(9.80)}\\ &=\frac{400}{1176}\\ &=0.340 \end{aligned} \]

وباستخدام دالة الظل العكسية، نحصل على

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}(0.340)\\ &=18.8^\circ \end{aligned} \]

زاوية الميل المطلوبة هي \(18.8^\circ\) بالنسبة إلى الأفقي.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لاستخدام العلاقة الصحيحة لسرعة التصميم.
• درجة واحدة للتعويض الصحيح.
• درجة واحدة للحصول على الزاوية الصحيحة.

(b) حساب القوة العمودية. (درجتان)

ليس للسيارة تسارع رأسي، ولذلك توازن المركبة الرأسية للقوة العمودية وزنها:

\[ F_N\cos\theta=mg \]

أعد ترتيب المعادلة:

\[ F_N=\frac{mg}{\cos\theta} \]

عوّض بالقيم:

\[ \begin{aligned} F_N&=\frac{(900.0)(9.80)}{\cos18.8^\circ}\\ &=9.31\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

مقدار القوة العمودية هو \(9.31\times10^3\,\text{N}\).

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لتحليل القوة العمودية إلى مركبة رأسية واستخدام المعادلة الصحيحة.
• درجة واحدة للقوة العمودية الصحيحة مع الوحدات.

(c) حساب المركبة المتجهة نحو المركز والتحقق منها. (درجتان)

المركبة المتجهة نحو المركز للقوة العمودية هي

\[ F_{N,\text{in}}=F_N\sin\theta \]

وباستخدام العلاقة \(F_N\cos\theta=mg\)، يمكن أيضًا كتابة هذه المركبة على الصورة

\[ F_{N,\text{in}}=mg\tan\theta \]

عوّض بالقيم:

\[ \begin{aligned} F_{N,\text{in}} &=(900.0)(9.80)\tan18.8^\circ\\ &\approx3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

احسب الآن محصلة القوة المتجهة نحو المركز المطلوبة للحركة الدائرية:

\[ \begin{aligned} F_{\text{in}}&=\frac{mv^2}{r}\\ &=\frac{(900.0)(20.0)^2}{120.0}\\ &=3.00\times10^3\,\text{N} \end{aligned} \]

تتطابق المركبة المتجهة نحو المركز للقوة العمودية مع محصلة القوة المتجهة نحو المركز المطلوبة، ضمن حدود التقريب. وهذا يؤكد أن القوة العمودية تستطيع توفير القوة المركزية اللازمة عند سرعة التصميم.

دليل توزيع الدرجات:

• درجة واحدة لحساب المركبة المتجهة نحو المركز للقوة العمودية.
• درجة واحدة لحساب محصلة القوة المطلوبة نحو المركز والتأكد من توافق القيمتين.

تُمنح درجات متابعة في الجزأين (b) و(c) عند استخدام الزاوية المحسوبة في الجزء (a) بصورة متسقة، بشرط أن تكون طريقة الحل صحيحة.