متى لا تساوي القوة العمودية الوزن؟ فيزياء HSC
تعرّف لماذا لا تساوي القوة العمودية وزن الجسم دائمًا، حتى عندما يكون ساكنًا. تعلّم حل مسائل الأسطح المائلة والقوى المائلة والمصاعد والاحتكاك باستخدام مخططات الجسم الحر وخطوات واضحة ومنهجية.
أنت تحل مسألة عن سطح مائل، والكتلة ساكنة، فتكتب \(N=mg\). يبدو ذلك منطقيًا: فالتسارع الصفري يعني أن القوى متزنة. لكنك تجد أن قيمة القوة العمودية التي حسبتها أكبر من اللازم.
الخطأ هو اعتبار أن «اتزان القوى» يعني أن «القوة العمودية توازن الوزن كله». فهذان أمران مختلفان.
قبل المتابعة، توقّع الإجابة عن السؤال الآتي: تستقر كتلة مقدارها \(4.0\ \text{kg}\) على منحدر ثابت يميل بزاوية \(30^\circ\) عن الأفقي. هل تساوي القوة العمودية \(39.2\ \text{N}\)، أم \(19.6\ \text{N}\)، أم لا تساوي أيًّا منهما؟
الإجابة هي: لا تساوي أيًّا منهما. فالقوة العمودية تساوي تقريبًا \(33.9\ \text{N}\). أما الوزن الكلي فيساوي \(39.2\ \text{N}\)، في حين أن \(19.6\ \text{N}\) هي مركبة قوة الجاذبية المؤثرة إلى أسفل المنحدر.
يكمن الحل في تحديد الاتجاه الذي تؤثر فيه القوة العمودية، ثم حساب القوى في ذلك الاتجاه.
01التشخيص: أنت توازن القوى غير الصحيحة
القوة العمودية، \(N\)، هي قوة التلامس التي يؤثر بها السطح، وتكون عمودية على ذلك السطح. أما الوزن، \(mg\)، فهو قوة الجاذبية المؤثرة رأسيًا إلى أسفل.
هنا، يرمز \(m\) إلى الكتلة بالكيلوغرام، ويرمز \(g\) إلى شدة مجال الجاذبية، التي تبلغ نحو \(9.8\ \text{m s}^{-2}\) بالقرب من سطح الأرض.
على طاولة أفقية، تتجه القوة العمودية رأسيًا إلى أعلى، بينما يتجه الوزن رأسيًا إلى أسفل. ولذلك يمكن للقوتين أن تتزنا مباشرةً.
أما على سطح مائل، فتكون القوة العمودية مائلة بالنسبة إلى الاتجاه الرأسي. ولا يمكنها موازنة الوزن كله لأن القوتين لا تؤثران في اتجاهين متعاكسين.
هذا أول أمر يجب التحقق منه في مخطط الجسم الحر: ارسم القوة العمودية عمودية على سطح التلامس الفعلي، ولا تفترض تلقائيًا أنها تتجه رأسيًا إلى أعلى.
متى تساوي القوة العمودية الوزن؟
| سطح أفقي | N = mg تسارع رأسي صفري؛ لا توجد قوى رأسية أخرى. |
|---|---|
| سطح مائل بزاوية θ | N = mg cos θ سطح مستقيم ثابت؛ تسارع صفري عموديًا عليه؛ لا توجد قوى أخرى عمودية عليه. |
| قوة سحب مائلة إلى أعلى | N = mg − F sin β تؤثر قوة السحب F بزاوية β فوق الأفقي؛ التسارع الرأسي صفري؛ يستمر التلامس. |
ما الذي ينبغي أن يوضحه مخطط الجسم الحر؟
يعزل مخطط الجسم الحر جسمًا واحدًا ويُظهر جميع القوى المؤثرة فيه. وفي مسائل القوة العمودية، احرص على تسمية هذه القوى بدقة.
| الحالة | تسميات القوى الأساسية | معادلة القوى في الاتجاه العمودي على السطح |
|---|---|---|
| طاولة أفقية | \(N\) إلى أعلى، و\(mg\) إلى أسفل | \(N-mg=ma_y\) |
| سطح مائل | \(N\) عمودية على السطح، و\(mg\) رأسيًا إلى أسفل | \(N-mg\cos\theta=ma_\perp\) |
| سطح أفقي مع قوة سحب مائلة إلى أعلى | \(N\) إلى أعلى، و\(mg\) إلى أسفل، والمركبة الرأسية إلى أعلى لقوة السحب | \(N+F_y-mg=ma_y\) |
هنا، يمثّل \(a_y\) التسارع الرأسي، ويمثّل \(a_\perp\) التسارع العمودي على السطح، بينما تمثّل \(F_y\) المركبة الرأسية إلى أعلى للقوة المؤثرة. يفترض الجدول عدم وجود قوى أخرى لها مركبات عمودية على السطح؛ ويجب إدراج أي قوى إضافية عند وجودها.
في معادلة السطح المائل، تمثّل \(\theta\) الزاوية بين السطح والأفقي. وتستخدم المعادلة مركبة الجاذبية العمودية على السطح، وهي \(mg\cos\theta\).
لاحظ ما تشترك فيه هذه المعادلات: إنها تطبّق قانون نيوتن الثاني على الاتجاه العمودي على السطح.
\[ \boxed{\sum F_\perp=ma_\perp} \]
يرمز \(\sum F_\perp\) إلى محصلة القوى العمودية على السطح. وهذه هي المعادلة التي ينبغي أن تبدأ بها بدلًا من افتراض أن \(N=mg\).
02متى تكون العلاقة \(N=mg\) صحيحة فعلًا؟
تأمل كتابًا يستقر على مكتب أفقي.
ليس للكتاب تسارع رأسي. وإذا كانت القوتان الوحيدتان المؤثرتان فيه رأسيًا هما القوة العمودية ووزنه، فلا بد أن تكون محصلة القوى الرأسية صفرًا.
باعتبار الاتجاه إلى أعلى موجبًا،
\[ N-mg=0 \]
إذن،
\[ \boxed{N=mg} \]
هذه النتيجة صحيحة بسبب الظروف المحددة للمسألة، وليس لمجرد أن الكتاب ساكن.
لنغيّر الآن شرطًا واحدًا في كل مرة.
الحالة 1: جسم على سطح مائل
حلّل قوة الجاذبية إلى مركبتين:
- \(mg\cos\theta\)، عمودية على السطح ومتجهة إلى داخله.
- \(mg\sin\theta\)، موازية للسطح ومتجهة إلى أسفل المنحدر.
إذا ظل الجسم ملامسًا لسطح مائل ثابت ومستقيم، فإن تسارعه العمودي على السطح يساوي صفرًا. وإذا لم توجد قوة أخرى لها مركبة عمودية على السطح، فإن القوة العمودية توازن المركبة العمودية من قوة الجاذبية فقط.
\[ N-mg\cos\theta=0 \]
ومن ثم،
\[ \boxed{N=mg\cos\theta} \]
يمكن أن يكون الجسم ساكنًا أو متسارعًا إلى أسفل المنحدر. وفي كلتا الحالتين، تكون القوة العمودية بهذه القيمة، ما دام التسارع العمودي على السطح يساوي صفرًا ولا تؤثر أي قوى أخرى في هذا الاتجاه.
- N/(mg) = cos θ
يوضح الرسم البياني سبب انخفاض القوة العمودية كلما ازداد انحدار السطح، وفقًا لهذه الافتراضات. عند \(0^\circ\)، يكون السطح أفقيًا، ولذلك \(N=mg\). أما عند \(60^\circ\)، فلا تتجاوز القوة العمودية نصف الوزن.
المركبة \(mg\sin\theta\) ليست هي القوة العمودية. فهي تؤثر على طول المنحدر، وتكون مهمة عند تحليل الحركة الموازية للسطح.
الحالة 2: تؤثر قوة إضافية في الجسم
عد إلى المكتب الأفقي، وافترض أنك تسحب صندوقًا إلى أعلى بزاوية.
تؤثر إحدى مركبتي قوة السحب أفقيًا، بينما تؤثر المركبة الأخرى رأسيًا إلى أعلى، فتساعد على حمل الصندوق.
إذا لم يكن للصندوق تسارع رأسي، فإن القوى الرأسية تحقق المعادلة الآتية:
\[ N+F_y-mg=0 \]
إذن،
\[ \boxed{N=mg-F_y} \]
تقلل المركبة المتجهة إلى أعلى من قوة السحب مقدار القوة العمودية. أما إذا دفعت الصندوق إلى أسفل بزاوية، فإن المركبة المتجهة إلى أسفل تزيد القوة العمودية.
القوة التي تؤثر بالكامل في اتجاه موازٍ لسطح مستقيم لا تمتلك مركبة عمودية على ذلك السطح، ولذلك لا تغيّر القوة العمودية مباشرةً ما دام التسارع العمودي على السطح يساوي صفرًا.
الحالة 3: يتسارع الجسم رأسيًا
ضع الجسم الآن على ميزان داخل مصعد.
يقيس الميزان قوة التلامس العمودية المؤثرة في الجسم. فإذا تسارع المصعد إلى أعلى، فلا بد أن تتجاوز القوة العمودية الوزن حتى تتولد محصلة قوة إلى أعلى.
باعتبار الاتجاه إلى أعلى موجبًا،
\[ N-mg=ma_y \]
بإعادة الترتيب،
\[ \boxed{N=m(g+a_y)} \]
إذا كان مقدار التسارع إلى أعلى هو \(a\)، فإن
\[ N=m(g+a) \]
أما إذا كان مقدار التسارع إلى أسفل هو \(a\)، فإن
\[ N=m(g-a) \]
لذلك قد يشعر الشخص بأنه أثقل أو أخف من دون أي تغيير في كتلته أو في شدة مجال الجاذبية. فقد تغيّرت قوة الإسناد بسبب تغيّر التسارع.
في السقوط الحر، تكون القوة العمودية صفرًا رغم استمرار تأثير الجاذبية. يتسارع الشخص والمصعد إلى أسفل معًا، ولذلك لا يعود الميزان يسند الشخص.
03طريقة موثوقة لحل أسئلة الامتحانات
اتبع الخطوات الآتية كلما طُلب منك حساب قوة عمودية.
الخطوة 1: حدّد سطح التلامس.
هل الجسم على أرضية أفقية، أم على سطح مائل، أم على جدار، أم على سطح منحني؟ يجب أن تكون القوة العمودية متعامدة مع السطح عند نقطة التلامس.
الخطوة 2: ارسم مخطط الجسم الحر.
أدرج الوزن والقوة العمودية وكل قوة مؤثرة أخرى، بما فيها القوى المسلطة والشد والاحتكاك. يتجه الوزن دائمًا رأسيًا إلى أسفل بالقرب من سطح الأرض، بينما تكون القوة العمودية متعامدة مع سطح التلامس.
الخطوة 3: اختر المحور العمودي على السطح.
استخدم المحور الرأسي لسطح أفقي، واستخدم محورين متوازيين ومتعامدين على السطح في حالة سطح مائل مستقيم.
الخطوة 4: حلّل القوى إلى مركبات.
تدخل في معادلة القوى العمودية على السطح المركبات العمودية عليه فقط. أما القوة الموازية للسطح المائل، فلا تسهم في هذه المعادلة.
الخطوة 5: طبّق قانون نيوتن الثاني.
اكتب
\[ \sum F_\perp=ma_\perp \]
اجعل \(a_\perp=0\) فقط عندما لا يكون للجسم تسارع عمودي على السطح. ويؤدي التلامس مع سطح ثابت ومستقيم عادةً إلى تحقق هذا الشرط.
الخطوة 6: تحقّق من إمكانية استمرار التلامس فيزيائيًا.
يمكن للقوة العمودية أن تدفع الجسم بعيدًا عن السطح، لكنها لا تستطيع سحبه باتجاه السطح. ووفقًا لهذا النموذج، لا يمكن أن تكون \(N\) سالبة.
إذا أعطاك الحساب \(N<0\)، فإن شرط التلامس المفترض مستحيل. اجعل \(N=0\) عند فقدان التلامس، ثم حلّل حركة الجسم من دون تلك القوة العمودية.
طريقة موثوقة لحساب القوة العمودية
- حدّد السطح
حدّد اتجاه القوة العمودية على سطح التلامس.
- حدّد جميع القوى
أدرج الوزن والقوة العمودية والقوى المسلطة والشد والاحتكاك.
- حلّل المركبات العمودية
أدرج مركبات القوى العمودية على السطح فقط.
- طبّق قانون نيوتن الثاني
ΣF⊥ = ma⊥
استخدم a⊥ = 0 فقط عندما يكون التسارع العمودي على السطح صفرًا.
- تحقّق من التلامس
N ≥ 0: يمكن أن يستمر التلامس. N < 0: اجعل N = 0 وأعد تحليل الحركة دون تلامس.
04أمثلة محلولة
مثال محلول: صندوق ساكن على سطح مائل
يستقر صندوق كتلته \(6.0\ \text{kg}\) على سطح مائل أملس يصنع زاوية \(25^\circ\) مع الأفقي. يمسكه حبل موازٍ للسطح المائل فيبقيه ساكنًا. احسب القوة العمودية. خذ \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).
الخطوة 1
تؤثر القوة العمودية في اتجاه عمودي على السطح. أما الجاذبية فتؤثر رأسيًا إلى أسفل، وتكون مركبتها العمودية على السطح والمتجهة إلى داخله هي \(mg\cos25^\circ\).
يؤثر الحبل في اتجاه موازٍ للسطح، ولذلك لا يمتلك مركبة عمودية عليه.
الخطوة 2
ليس للصندوق تسارع عمودي على السطح، ولذلك
\[ N-mg\cos25^\circ=0 \]
إذن،
\[ N=mg\cos25^\circ \]
الخطوة 3
\[ \begin{aligned} N&=(6.0\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2}) \cos25^\circ\\ &=58.8\ \text{N}\times0.9063\\ &=53.3\ \text{N} \end{aligned} \]
القوة العمودية هي \(\boxed{53.3\ \text{N}}\).
لماذا تكون الإجابة المغرية خاطئة؟ إن كتابة \(N=mg=58.8\ \text{N}\) تعني موازنة القوة العمودية مع الوزن كله، رغم أن القوتين ليستا متعاكستين في الاتجاه. يوازن الحبل مركبة الجاذبية الموازية للسطح المائل، بينما توازن القوة العمودية المركبة المتعامدة عليه.
الصندوق ساكن، لكن ذلك لا يجعل القوة العمودية مساوية لوزنه.
مثال محلول: صندوق يُسحب بزاوية
يُسحب صندوق كتلته \(10.0\ \text{kg}\) على أرضية أفقية بواسطة قوة مقدارها \(50.0\ \text{N}\)، تؤثر بزاوية \(30^\circ\) فوق الأفقي. يتسارع الصندوق أفقيًا، لكنه لا يمتلك تسارعًا رأسيًا ويظل ملامسًا للأرضية. احسب القوة العمودية.
الخطوة 1
تؤثر القوة العمودية إلى أعلى، والوزن إلى أسفل، وللقوة المسلطة مركبة متجهة إلى أعلى.
المركبة المتجهة إلى أعلى من قوة السحب هي
\[ F_y=F\sin30^\circ \]
الخطوة 2
لا يوجد تسارع رأسي، ولذلك
\[ N+F\sin30^\circ-mg=0 \]
بإعادة الترتيب نحصل على
\[ N=mg-F\sin30^\circ \]
الخطوة 3
\[ \begin{aligned} N&=(10.0)(9.8)-50.0\sin30^\circ\\ &=98.0-25.0\\ &=73.0\ \text{N} \end{aligned} \]
القوة العمودية هي \(\boxed{73.0\ \text{N}}\).
الخطوة 4
تؤثر المركبة الأفقية لقوة السحب في الحركة الأفقية. لكنها لا تظهر في معادلة القوى الرأسية لأنها لا تمتلك مركبة رأسية.
القوة العمودية أقل من الوزن لأن المركبة المتجهة إلى أعلى من قوة السحب تسند جزءًا من وزن الصندوق.
الطريقة الخاطئة هي كتابة \(N=mg=98.0\ \text{N}\) لمجرد أن الأرضية أفقية. فاتجاه الأرضية وحده لا يكفي؛ بل يجب أيضًا مراعاة جميع القوى الأخرى والتسارع العمودي عليها.
كيف تغيّر القوى المائلة القوة العمودية
| لا توجد قوة مائلة | N = mg = 98 N القوتان الرأسيّتان الوحيدتان هما N والوزن. |
|---|---|
| قوة سحب 50 N إلى أعلى بزاوية 30° | N = mg − F sin 30° = 73 N تقلّل المركبة المتجهة إلى أعلى N بمقدار 25 N. |
| قوة دفع 50 N إلى أسفل بزاوية 30° | N = mg + F sin 30° = 123 N تزيد المركبة المتجهة إلى أسفل N بمقدار 25 N. |
05اختصارات لا تصمد أمام ظروف الامتحان
| ما تقوله المسألة | ما ينبغي أن تتحقق منه فعليًا |
|---|---|
| «الجسم ساكن». | هل توجد قوى أخرى؟ وهل السطح أفقي؟ لا يعني انعدام التسارع تلقائيًا أن \(N=mg\). |
| «يتحرك الجسم بسرعة ثابتة». | تعني السرعة الثابتة في خط مستقيم انعدام التسارع، لكن لا يزال عليك موازنة مركبات القوى الصحيحة. |
| «يتسارع الجسم أفقيًا». | قد تظل القوة العمودية مساوية لـ \(mg\) إذا كان السطح أفقيًا، والتسارع الرأسي صفرًا، ولم تؤثر أي قوى رأسية أخرى. |
| «تسحب قوة الجسم إلى أعلى المنحدر». | هل تؤثر القوة موازية للمنحدر أم بزاوية مبتعدة عن سطحه؟ الحالة الثانية فقط هي التي تقلل \(N\) مباشرةً. |
| «يُضغط الجسم على جدار رأسي». | تكون القوة العمودية أفقية. وإذا كان الجسم ساكنًا، فقد يسند الاحتكاك وزنه رأسيًا. |
| «القوة العمودية المحسوبة سالبة». | لا يمكن استمرار التلامس في ظل الظروف المفترضة. أعد تحليل الحركة مع \(N=0\). |
هناك حالة خاصة أخرى تستحق الانتباه. على مسار منحني، يمكن للجسم أن يتسارع في اتجاه عمودي على السطح، ولذلك قد تكون العلاقة \(N=mg\cos\theta\) غير صحيحة أيضًا. عُد إلى قانون نيوتن الثاني بدلًا من الاعتماد على معادلة محفوظة.
كذلك، لا تشكّل القوة العمودية والوزن زوجًا من قوى قانون نيوتن الثالث. فكلتاهما تؤثران في الجسم نفسه. والقوة التي تقابل الوزن هي قوة الجاذبية التي يؤثر بها الجسم في الأرض، أما القوة التي تقابل القوة العمودية فهي قوة التلامس التي يؤثر بها الجسم في السطح.
لماذا تهم القوة العمودية عند حساب الاحتكاك؟
هنا يمكن أن يؤدي هذا التصور الخاطئ إلى خطأ ثانٍ.
يُعطى الحد الأقصى للاحتكاك السكوني بالعلاقة
\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]
هنا، يمثّل \(f_{s,\max}\) أقصى مقدار متاح للاحتكاك السكوني، ويمثّل \(\mu_s\) معامل الاحتكاك السكوني. ولا يساوي الاحتكاك السكوني هذا الحد الأقصى تلقائيًا؛ بل يتكيف مع القيمة اللازمة لمنع الانزلاق، حتى يصل إلى الحد الأقصى.
إذا سحبت قوة مسلطة الجسم بعيدًا عن سطح مائل، فإن القوة العمودية تقل. ويؤدي ذلك أيضًا إلى انخفاض الحد الأقصى للاحتكاك السكوني.
وبالتالي، قد تصبح القوة التي تسحب الجسم إلى أعلى المنحدر أكثر فاعلية بطريقتين في الوقت نفسه: فمركبتها الموازية للمنحدر تزيد الميل إلى الحركة صعودًا، بينما تقلل مركبتها المتجهة إلى الخارج مقدار الاحتكاك المتاح لمقاومة تلك الحركة.
- القوة العمودية N
- الحد الأقصى للاحتكاك السكوني μₛN
06اختبار ذاتي في 30 ثانية
قبل الانتقال إلى السؤال التالي بعد حساب القوة العمودية، اسأل نفسك:
- هل رسمت \(N\) عمودية على السطح الفعلي؟
- هل أدرجت جميع القوى المؤثرة في الجسم؟
- هل حلّلت القوى إلى مركبات على امتداد الاتجاه العمودي على السطح؟
- هل استخدمت \(\sum F_\perp=ma_\perp\) بدلًا من افتراض أن \(N=mg\)؟
- هل إجابتي ممكنة فيزيائيًا، بحيث \(N\geq0\) ما دام التلامس مستمرًا؟
- إذا كان الاحتكاك موجودًا، فهل حسبت \(N\) قبل إيجاد الحد الأقصى للاحتكاك المتاح؟
اختبر الآن قدرتك على تطبيق الطريقة عندما تتغير الظروف.
07الأسئلة والحلول
السؤال 1
يستقر صندوق كتلته \(4.0\ \text{kg}\) على طاولة أفقية. لا تؤثر فيه أي قوى رأسية أخرى. احسب القوة العمودية التي تؤثر بها الطاولة في الصندوق. خذ \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).
الحل 1
القوة العمودية هي \(\boxed{39.2\ \text{N}}\)، لأن التسارع الرأسي للصندوق يساوي صفرًا، والقوتين الرأسيّتين الوحيدتين المؤثرتين فيه هما القوة العمودية والوزن.
باعتبار الاتجاه إلى أعلى موجبًا،
\[ N-mg=ma_y \]
وبما أن \(a_y=0\)، فإن
\[ N=mg \]
بالتعويض بالقيم:
\[ N=(4.0\ \text{kg})(9.8\ \text{m s}^{-2}) =39.2\ \text{N} \]
تكون العلاقة \(N=mg\) صحيحة هنا لأن السطح أفقي، ولا توجد قوى رأسية إضافية، وليس للصندوق تسارع رأسي. لا تعمّم هذه النتيجة على جميع الأسطح أو جميع الحالات.
السؤال 2
يوضع صندوق كتلته \(8.0\ \text{kg}\) في حالة سكون على سطح مائل ثابت يصنع زاوية \(30^\circ\) مع الأفقي. تؤثر فيه قوة مقدارها \(25\ \text{N}\) موازية للسطح المائل ومتجهة إلى أعلى المنحدر. ويؤثر فيه أيضًا احتكاك سكوني، ويمكن للسطح توفير أي مقدار مطلوب من الاحتكاك السكوني.
احسب:
(أ) القوة العمودية؛
(ب) مقدار قوة الاحتكاك السكوني واتجاهها.
خذ \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).
الحل 2
القوة العمودية هي \(\boxed{67.9\ \text{N}}\)، وقوة الاحتكاك السكوني هي \(\boxed{14.2\ \text{N}}\) إلى أعلى المنحدر. تؤثر القوة المسلطة والاحتكاك في اتزان القوى على امتداد المنحدر، لكن لا يمتلك أي منهما مركبة عمودية على السطح.
الجزء (أ): القوة العمودية
مركبة الجاذبية العمودية على السطح المائل هي \(mg\cos30^\circ\). وليس للصندوق تسارع عمودي على السطح، ولذلك
\[ N-mg\cos30^\circ=0 \]
إذن،
\[ \begin{aligned} N&=(8.0)(9.8)\cos30^\circ\\ &=78.4(0.8660)\\ &=67.9\ \text{N} \end{aligned} \]
الجزء (ب): الاحتكاك السكوني
مركبة الجاذبية المتجهة إلى أسفل المنحدر هي
\[ mg\sin30^\circ =(8.0)(9.8)(0.5) =39.2\ \text{N} \]
تؤثر القوة المسلطة بمقدار \(25\ \text{N}\) إلى أعلى المنحدر. وفي غياب الاحتكاك، ستكون محصلة القوة على امتداد المنحدر
\[ 39.2-25.0=14.2\ \text{N} \]
إلى أسفل المنحدر.
وبما أن الصندوق ساكن، يجب أن يقاوم الاحتكاك هذا الميل إلى الحركة. لذلك يؤثر إلى أعلى المنحدر بمقدار \(14.2\ \text{N}\).
الخطأ الشائع هنا هو افتراض أن الاحتكاك يجب أن يؤثر إلى أسفل المنحدر لأن للجاذبية مركبة متجهة إلى أسفل المنحدر. لكن الاحتكاك يقاوم الميل إلى الحركة النسبية بين السطحين، وليس قوة الجاذبية بحد ذاتها.
السؤال 3
يتحرك صندوق كتلته \(12.0\ \text{kg}\) إلى اليمين على أرضية أفقية. يُسحب بقوة مقدارها \(60.0\ \text{N}\) تؤثر بزاوية \(35^\circ\) فوق الأفقي، كما تؤثر فيه قوة أخرى مقدارها \(20.0\ \text{N}\) تدفعه رأسيًا إلى أسفل. معامل الاحتكاك الحركي هو \(\mu_k=0.25\).
افترض أن الصندوق لا يمتلك تسارعًا رأسيًا، وأنه يظل ملامسًا للأرضية.
احسب:
(أ) القوة العمودية؛
(ب) التسارع الأفقي للصندوق.
خذ \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).
الحل 3
القوة العمودية هي \(\boxed{103.2\ \text{N}}\)، والتسارع الأفقي يساوي تقريبًا \(\boxed{1.95\ \text{m s}^{-2}}\) إلى اليمين. تزيد قوة الدفع المتجهة إلى أسفل من القوة العمودية، مما يزيد الاحتكاك الحركي ويقلل محصلة القوة الأفقية.
الجزء (أ): القوة العمودية
تتمثل القوى الرأسية في القوة العمودية والمركبة المتجهة إلى أعلى من قوة السحب، وهما تتوازنان مع الوزن وقوة الدفع الإضافية المتجهة إلى أسفل.
وبما أن التسارع الرأسي يساوي صفرًا،
\[ N+60.0\sin35^\circ-mg-20.0=0 \]
بإعادة الترتيب،
\[ N=mg+20.0-60.0\sin35^\circ \]
بالتعويض:
\[ \begin{aligned} N&=117.6+20.0-34.4\\ &=103.2\ \text{N} \end{aligned} \]
الجزء (ب): التسارع الأفقي
تؤثر قوة الاحتكاك الحركي إلى اليسار لأن الصندوق يتحرك إلى اليمين بالنسبة إلى الأرضية.
مقدارها هو
\[ f_k=\mu_kN \]
إذن،
\[ f_k=0.25(103.2)=25.8\ \text{N} \]
المركبة الأفقية لقوة السحب هي
\[ F_x=60.0\cos35^\circ =49.1\ \text{N} \]
باعتبار الاتجاه إلى اليمين موجبًا، تكون محصلة القوى الأفقية
\[ \begin{aligned} F_{\text{net},x}&=F_x-f_k\\ &=49.1-25.8\\ &=23.3\ \text{N} \end{aligned} \]
طبّق قانون نيوتن الثاني أفقيًا:
\[ a_x=\frac{F_{\text{net},x}}{m} \]
\[ a_x=\frac{23.3}{12.0} =1.94\ \text{m s}^{-2} \]
يتسارع الصندوق إلى اليمين بمقدار يقارب \(1.95\ \text{m s}^{-2}\).
من الأخطاء الشائعة استخدام \(N=mg\) عند حساب الاحتكاك. فهذا يهمل كلًا من المركبة المتجهة إلى أعلى من قوة السحب والقوة الإضافية المتجهة إلى أسفل، مما يؤدي إلى حساب قوة احتكاك خاطئة، ومن ثم تسارع خاطئ.
السؤال 4
يقف راكب كتلته \(60.0\ \text{kg}\) على ميزان داخل مصعد. يشير الميزان إلى \(510\ \text{N}\).
(أ) احسب التسارع الرأسي للراكب.
(ب) ماذا يمكنك أن تستنتج عن حركة المصعد؟ وضّح لماذا لا تحدد قراءة الميزان وحدها ما إذا كان المصعد يتحرك إلى أعلى أم إلى أسفل.
خذ \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\). افترض أن قراءة الميزان تساوي القوة العمودية المؤثرة في الراكب، وأنه لا توجد قوى رأسية أخرى.
الحل 4
تسارع الراكب هو \(\boxed{1.30\ \text{m s}^{-2}}\) إلى أسفل. تحدد قراءة الميزان اتجاه التسارع، وليس اتجاه السرعة.
الجزء (أ): التسارع
اعتبر الاتجاه إلى أعلى موجبًا. تكون معادلة القوى الرأسية
\[ N-mg=ma_y \]
بإعادة الترتيب،
\[ a_y=\frac{N-mg}{m} \]
وزن الراكب هو
\[ mg=(60.0)(9.8)=588\ \text{N} \]
بالتعويض:
\[ \begin{aligned} a_y&=\frac{510-588}{60.0}\\ &=\frac{-78}{60.0}\\ &=-1.30\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]
تعني الإشارة السالبة أن التسارع يتجه إلى أسفل.
الجزء (ب): اتجاه الحركة
يتسارع المصعد إلى أسفل. فإذا كان يتحرك إلى أعلى، فلا بد أنه يتباطأ. أما إذا كان يتحرك إلى أسفل، فلا بد أنه تزداد سرعته.
وقد يكون المصعد ساكنًا لحظيًا أيضًا عند بدء حركته إلى أسفل. لا تخبرك قراءة الميزان وحدها بسرعة المصعد المتجهة.
الخطأ المغري هو القول إن قراءة أقل من وزن الراكب تعني أن المصعد يتحرك إلى أسفل. لكن القراءة تحدد التسارع، وليس اتجاه الحركة. فالسرعة والتسارع كميتان مختلفتان.
السؤال 5
يستقر جسم كتلته \(5.0\ \text{kg}\) على سطح مائل خشن وثابت يصنع زاوية \(30^\circ\) مع الأفقي. معامل الاحتكاك السكوني هو \(\mu_s=0.70\).
تؤثر قوة \(F\) بزاوية \(20^\circ\) فوق السطح المائل، متجهة إلى أعلى المنحدر وبعيدًا عن السطح. تبدأ القوة من \(F=0\)، ثم تزداد ببطء.
افترض أن الجسم يبقى ساكنًا في البداية، وأن السطح المائل مستقيم، وأن تسارع الجسم العمودي على السطح يساوي صفرًا ما دام التلامس مستمرًا. خذ \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).
حدّد:
(أ) القوة التي يتغير عندها اتجاه الاحتكاك السكوني؛
(ب) القوة التي يبدأ عندها الجسم بالانزلاق إلى أعلى المنحدر؛
(ج) ما إذا كان الجسم يفقد التلامس مع السطح المائل قبل أن يبدأ بالانزلاق إلى أعلى المنحدر.
وضّح لماذا يؤدي التعامل مع \(N=mg\cos30^\circ\) بوصفها قيمة ثابتة إلى إجابة خاطئة عن الجزء (ب).
الحل 5
يتغير اتجاه الاحتكاك السكوني عند قوة مقدارها نحو \(\boxed{26.1\ \text{N}}\). ويبدأ الجسم بالانزلاق إلى أعلى المنحدر عند قوة مقدارها نحو \(\boxed{46.0\ \text{N}}\)، وذلك قبل وقت طويل من وصول القوة إلى نحو \(\boxed{124\ \text{N}}\)، وهي القيمة التي تجعل القوة العمودية تساوي صفرًا.
الفكرة الأساسية هي أن للقوة المسلطة مركبتين: تؤثر إحداهما إلى أعلى المنحدر، بينما تسحب الأخرى الجسم بعيدًا عن السطح. تقلل المركبة الثانية القوة العمودية، وبالتالي تقلل الحد الأقصى للاحتكاك السكوني المتاح.
الخطوة 1: تحقّق من إمكانية بقاء الجسم ساكنًا في البداية.
عندما تكون \(F=0\)، تكون القوة العمودية
\[ N=mg\cos30^\circ \]
\[ N=(5.0)(9.8)\cos30^\circ =42.4\ \text{N} \]
مركبة الجاذبية المتجهة إلى أسفل المنحدر هي
\[ mg\sin30^\circ =(5.0)(9.8)(0.5) =24.5\ \text{N} \]
الحد الأقصى للاحتكاك السكوني هو
\[ f_{s,\max}=\mu_sN \]
\[ f_{s,\max}=0.70(42.4)=29.7\ \text{N} \]
بما أن \(24.5\ \text{N}<29.7\ \text{N}\)، يمكن للاحتكاك السكوني أن يُبقي الجسم ساكنًا في البداية. ولذلك فإن شرط البداية المذكور ممكن فيزيائيًا.
الخطوة 2: أوجد القوة التي يتغير عندها اتجاه الاحتكاك.
المركبة الموازية للسطح المائل من القوة المسلطة هي \(F\cos20^\circ\)، وتتجه إلى أعلى المنحدر.
في البداية، تكون مركبة الجاذبية المتجهة إلى أسفل المنحدر أكبر، ولذلك يؤثر الاحتكاك إلى أعلى المنحدر لمنع الجسم من الانزلاق إلى أسفل.
تنعدم قوة الاحتكاك عندما تتوازن المركبتان المتوازيتان للسطح:
\[ F\cos20^\circ=mg\sin30^\circ \]
إذن،
\[ F=\frac{mg\sin30^\circ}{\cos20^\circ} \]
بالتعويض:
\[ \begin{aligned} F&=\frac{(5.0)(9.8)\sin30^\circ} {\cos20^\circ}\\ &=\frac{24.5}{0.9397}\\ &=26.1\ \text{N} \end{aligned} \]
عند \(26.1\ \text{N}\)، لا تكون هناك حاجة إلى الاحتكاك لموازنة القوى على امتداد المنحدر.
عند قوى مسلطة أصغر من هذه القيمة، يؤثر الاحتكاك إلى أعلى المنحدر. أما عند قوى أكبر، فتتجاوز المركبة المتجهة إلى أعلى من القوة المسلطة مركبة الجاذبية المتجهة إلى أسفل، ولذلك يجب أن يؤثر الاحتكاك إلى أسفل المنحدر لمنع الجسم من الحركة إلى أعلى.
الخطوة 3: خذ تغيّر القوة العمودية في الحسبان.
للقوة المسلطة مركبة متجهة إلى الخارج مقدارها \(F\sin20^\circ\). وتقلل هذه المركبة القوة العمودية.
بما أن الجسم لا يتسارع عموديًا على السطح ما دام التلامس مستمرًا،
\[ N+F\sin20^\circ-mg\cos30^\circ=0 \]
إذن،
\[ \boxed{N=mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ} \]
بالتعويض بالقيم المعروفة:
\[ N=42.4-F\sin20^\circ \]
هذه هي العلاقة الأساسية. فالقوة العمودية ليست ثابتة مع زيادة \(F\).
الخطوة 4: أوجد القوة التي يبدأ عندها الجسم بالانزلاق إلى أعلى المنحدر.
عند اللحظة التي يكون فيها الجسم على وشك الانزلاق إلى أعلى، يؤثر الاحتكاك السكوني إلى أسفل المنحدر بأقصى مقدار له:
\[ f_s=\mu_sN \]
تظل محصلة القوى على امتداد المنحدر صفرًا عند حد بدء الحركة. ولذلك،
\[ F\cos20^\circ-mg\sin30^\circ=\mu_sN \]
عوّض عن \(N\) باستخدام العلاقة السابقة:
\[ F\cos20^\circ-mg\sin30^\circ =\mu_s(mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ) \]
اجمع الحدود التي تحتوي على \(F\):
\[ F(\cos20^\circ+\mu_s\sin20^\circ) =mg(\sin30^\circ+\mu_s\cos30^\circ) \]
أعد الترتيب:
\[ F= \frac{mg(\sin30^\circ+\mu_s\cos30^\circ)} {\cos20^\circ+\mu_s\sin20^\circ} \]
بالتعويض عن \(m=5.0\ \text{kg}\)، و\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)، و\(\mu_s=0.70\)،
\[ \begin{aligned} F&= \frac{49.0(0.500+0.70\times0.8660)} {0.9397+0.70\times0.3420}\\ &=\frac{54.2}{1.1791}\\ &=46.0\ \text{N} \end{aligned} \]
يبدأ الجسم بالانزلاق إلى أعلى المنحدر عندما تبلغ القوة المسلطة نحو \(46.0\ \text{N}\).
لماذا تكون هذه القيمة أقل من القيمة الناتجة عن حساب يفترض أن \(N=mg\cos30^\circ\) ثابتة؟ إذا افترضت خطأً أن القوة العمودية تظل عند \(42.4\ \text{N}\)، فستحصل على
\[ F= \frac{mg\sin30^\circ+\mu_smg\cos30^\circ} {\cos20^\circ} \]
وهذا يعطي قيمة تقارب \(57.7\ \text{N}\).
هذه الإجابة أكبر من اللازم لأنها تفترض أن الحد الأقصى للاحتكاك السكوني يظل ثابتًا. لكن المركبة المتجهة إلى الخارج من القوة المسلطة تقلل \(N\) فعليًا، ولذلك ينخفض الحد الأقصى للاحتكاك كلما زادت القوة المسلطة. وهكذا يصل الجسم إلى حد الاحتكاك في وقت أبكر.
الخطوة 5: تحقّق مما إذا كان التلامس يُفقد أولًا.
يُفقد التلامس عندما تصبح القوة العمودية صفرًا:
\[ mg\cos30^\circ-F\sin20^\circ=0 \]
إذن،
\[ F=\frac{mg\cos30^\circ}{\sin20^\circ} \]
بالتعويض:
\[ \begin{aligned} F&=\frac{(5.0)(9.8)\cos30^\circ} {\sin20^\circ}\\ &=\frac{42.4}{0.3420}\\ &=124\ \text{N} \end{aligned} \]
عند حد بدء الانزلاق إلى أعلى، أي عند \(46.0\ \text{N}\)، تظل القوة العمودية موجبة:
\[ \begin{aligned} N&=42.4-46.0\sin20^\circ\\ &\approx26.7\ \text{N} \end{aligned} \]
إذن، يبدأ الجسم بالانزلاق إلى أعلى قبل أن يفقد التلامس مع السطح.
تكمن أهمية هذا التفاعل في أن القوة تغيّر كلًا من الميل إلى الحركة على امتداد السطح المائل وقوة التلامس العمودية عليه. وتحدد القوة العمودية الحد الأقصى للاحتكاك السكوني المتاح، ولذلك لا يمكنك حساب حد بدء الانزلاق بصورة صحيحة من دون مراعاة مركبتي القوة المسلطة كلتيهما.
في المرة القادمة التي تتناول فيها مسألة تتضمن الاحتكاك، احسب القوة العمودية قبل استخدام العلاقة \(f_{s,\max}=\mu_sN\). وفي مسائل المصعد، استخدم المنطق نفسه المتعلق بالقوى العمودية لتحديد الوزن الظاهري. تظل العادة الموثوقة واحدة دائمًا: حدّد السطح، وحلّل القوى إلى مركبات، وطبّق قانون نيوتن الثاني في الاتجاه العمودي على سطح التلامس.