الكميات القياسية والمتجهة في علم الحركة لفيزياء HSC
تعرّف على كيفية تعامل الكميات القياسية والمتجهة مع مسائل الحركة، بما في ذلك المسافة والإزاحة والسرعة القياسية والسرعة المتجهة والتسارع واتفاقيات الإشارات.
تنتقل سيارة مسافة 60 m شرقًا، ثم تستدير وتقطع مسافة 20 m غربًا. ما المسافة التي قطعتها؟ الأمر سهل: 80 m. ولكن أين انتهى بها المطاف فعليًا؟ على بُعد 40 m فقط شرق نقطة انطلاقها.
تصف هاتان الإجابتان الرحلة نفسها. والفرق بينهما هو أن إحدى الكميتين تهتم فقط بالمقدار، بينما تهتم الأخرى أيضًا بالاتجاه.
قبل المتابعة، توقّع الإجابة عن السؤال الآتي: إذا تحركت السيارة مسافة 60 m شرقًا ثم 60 m غربًا، فهل تكون محصلة حركتها الكلية صفرًا؟
ليس تمامًا. فـالإزاحة تساوي صفرًا لأنها تنتهي عند نقطة انطلاقها. أما المسافة المقطوعة فتساوي 120 m. وهذا الاختلاف هو السبب في أهمية الكميات القياسية والمتجهة في علم الحركة.
01الفكرة الأساسية: بعض القياسات تحتاج إلى اتجاه
تخيّل أن شخصًا أخبرك: «تتحرك السيارة بسرعة 15 m/s».
أنت تعرف مدى سرعة حركتها، لكنك لا تعرف إلى أين تتجه.
قارن ذلك بالعبارة الآتية:
«تتحرك السيارة بسرعة 15 m/s شرقًا».
تتضمن العبارة الثانية معلومات أكثر؛ فهي تحدد المقدار والاتجاه معًا.
الكمية القياسية هي كمية لها مقدار فقط. والمقدار هو حجم الكمية أو قيمتها العددية.
أما الكمية المتجهة فلها مقدار واتجاه معًا.
| الكمية | قياسية أم متجهة؟ | مثال |
|---|---|---|
| الزمن | قياسية | 5 s |
| المسافة | قياسية | 40 m |
| السرعة القياسية | قياسية | 12 m/s |
| الإزاحة | متجهة | 40 m شرقًا |
| السرعة المتجهة | متجهة | 12 m/s شرقًا |
| التسارع | متجه | 3 m/s² غربًا |
من القواعد الأولية المفيدة:
إذا كان تغيير الاتجاه قادرًا على تغيير الكمية حتى عندما يبقى مقدارها ثابتًا، فمن المرجح أن تكون الكمية متجهة.
على سبيل المثال، لهاتين الكميتين المقدار نفسه للسرعة القياسية: 10 m/s شرقًا و10 m/s غربًا، لكن السرعتين المتجهتين مختلفتان.
تحقّق من فهمك
يتحرك راكب دراجة بسرعة 8 m/s شمالًا. ما السرعة القياسية لراكب الدراجة، وما سرعته المتجهة؟
الإجابة:
السرعة القياسية هي 8 m/s.
السرعة المتجهة هي 8 m/s شمالًا.
تحتاج السرعة القياسية إلى المقدار فقط، بينما تحتاج السرعة المتجهة إلى المقدار والاتجاه.
02المسافة والإزاحة ليستا القياس نفسه
تجيب المسافة عن السؤال:
ما مقدار المسافة التي قطعها الجسم على مساره؟
أما الإزاحة فتجيب عن السؤال:
ما مقدار التغيّر في موضع الجسم من البداية إلى النهاية، وما اتجاه هذا التغيّر؟
لنفترض أنك مشيت مسافة 30 m شرقًا ثم 10 m غربًا.
تكون المسافة الكلية:
\[ 30 + 10 = 40\text{ m} \]
أما إزاحتك فهي 20 m شرقًا، لأن موضعك النهائي يقع على بُعد 20 m شرق موضع انطلاقك.
النقطة المهمة هي أن الإزاحة لا تأخذ كل جزء من الرحلة في الحسبان. بل تقارن الموضع الابتدائي بالموضع النهائي فقط.
ويمكن تصوّر الفرق بطريقة طريفة قليلًا: المسافة تشبه الصديق الذي يتذكر كل خطوة من تاريخ علاقتك المعقدة. أما الإزاحة فتتجاهل كل ذلك وتسأل: «حسنًا، ولكن أين أنت الآن مقارنةً بالمكان الذي بدأت منه؟»
لكن هذا التشبيه ليس دقيقًا تمامًا، لأن الإزاحة كمية فيزيائية محددة بدقة، وليست ضررًا عاطفيًا.
سؤال تدريبي
يمشي طالب مسافة 25 m شمالًا، ثم 7 m جنوبًا. أوجد:
- المسافة الكلية المقطوعة.
- الإزاحة.
الإجابة:
الخطوة 1: إيجاد المسافة
نجمع المسافتين اللتين قطعهما الطالب في جزأي الرحلة.
\[ d = 25 + 7 = 32\text{ m} \]
إذًا، المسافة الكلية المقطوعة هي 32 m.
الخطوة 2: إيجاد الإزاحة
يتحرك الطالب مسافة 25 m شمالًا، ثم يعود مسافة 7 m جنوبًا.
\[ \Delta x = 25 - 7 = 18\text{ m north} \]
إذًا، الإزاحة هي 18 m شمالًا.
03يمكن تمثيل الاتجاه باستخدام الإشارتين الموجبة والسالبة
قد تصبح كتابة «شرقًا» و«غربًا» في كل مرة أمرًا غير عملي. لذلك، نختار عادةً اتجاهًا واحدًا ليكون موجبًا عند دراسة الحركة في بُعد واحد.
على سبيل المثال:
- الشرق = موجب
- الغرب = سالب
وبذلك:
- \(+12\text{ m}\) تعني 12 m شرقًا.
- \(-12\text{ m}\) تعني 12 m غربًا.
هذا الاختيار اعتباطي. ويمكنك بدلًا من ذلك اختيار الغرب بوصفه الاتجاه الموجب. وستظل قوانين الفيزياء صحيحة ما دمت ملتزمًا بالاختيار نفسه في جميع خطوات الحل.
ويُسمّى ذلك اختيار اتفاقية الإشارات.
لا تعني الإشارة السالبة تلقائيًا «أبطأ» أو «أصغر» أو «سيئًا». بل إنها تحدد الاتجاه بالنسبة إلى اتفاقية الإشارات المختارة.
على سبيل المثال:
\[ v = -6\text{ m/s} \]
قد تعني أن الجسم يتحرك غربًا بسرعة قياسية مقدارها 6 m/s، إذا كان الشرق قد اختير اتجاهًا موجبًا.
سؤال تدريبي
اعتُبر الشرق اتجاهًا موجبًا. وكانت السرعة المتجهة لسيارة:
\[ -18\text{ m/s} \]
ماذا تعني الإشارة السالبة؟
الإجابة:
تتحرك السيارة غربًا بسرعة قياسية مقدارها 18 m/s.
مقدار السرعة المتجهة هو 18 m/s، أما الإشارة السالبة فتحدد اتجاه الحركة.
04تختلف السرعة القياسية عن السرعة المتجهة
توضح السرعة القياسية مدى سرعة قطع المسافة.
تُحسب السرعة القياسية المتوسطة بالعلاقة:
\[ \text{السرعة القياسية المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الكلية}}{\text{الزمن الكلي}} \]
أما السرعة المتجهة فتوضح معدل تغيّر الإزاحة.
تُحسب السرعة المتجهة المتوسطة بالعلاقة:
\[ v_{\text{av}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \]
حيث:
- \(v_{\text{av}}\) هي السرعة المتجهة المتوسطة بوحدة المتر لكل ثانية، m/s.
- \(\Delta x\) هي الإزاحة بوحدة المتر، m.
- \(\Delta t\) هي الفترة الزمنية بوحدة الثانية، s.
تبدو هاتان العلاقتان متشابهتين تقريبًا. لكن الفرق الأساسي يكمن في البسط.
تستخدم السرعة القياسية المسافة.
وتستخدم السرعة المتجهة الإزاحة.
مثال محلول: عدّاء يذهب إلى الأمام ثم يعود جزءًا من الطريق
يقطع عدّاء مسافة 200 m شرقًا، ثم 80 m غربًا. وتستغرق الرحلة بأكملها 40 s. احسب السرعة القياسية المتوسطة والسرعة المتجهة المتوسطة للعدّاء.
الخطوة 1إيجاد المسافة الكلية
تشمل المسافة جميع أجزاء المسار.
\[ d = 200 + 80 = 280\text{ m} \]
الخطوة 2حساب السرعة القياسية المتوسطة
\[ \text{السرعة القياسية المتوسطة} = \frac{280}{40} = 7.0\text{ m/s} \]
إذًا، السرعة القياسية المتوسطة للعدّاء هي 7.0 m/s.
الخطوة 3إيجاد الإزاحة
اعتبر الشرق اتجاهًا موجبًا.
\[ \Delta x = 200 - 80 = 120\text{ m} \]
إذًا، الإزاحة هي 120 m شرقًا.
الخطوة 4حساب السرعة المتجهة المتوسطة
\[ v_{\text{av}} = \frac{120}{40} = 3.0\text{ m/s east} \]
إذًا، السرعة المتجهة المتوسطة للعدّاء هي 3.0 m/s شرقًا.
تختلف الإجابتان لأن العدّاء قطع مسافة إجمالية قدرها 280 m، لكنه أنهى الرحلة على بُعد 120 m فقط شرق نقطة انطلاقه.
05تؤدي العودة إلى نقطة الانطلاق إلى نتيجة مهمة
لنفترض أن عدّاءً أكمل دورة واحدة حول مضمار طوله 400 m، وانتهى تمامًا عند نقطة انطلاقه.
توقّع السرعة المتجهة المتوسطة للعدّاء.
قد تميل إلى القول إنها لا بد أن تكون كبيرة نسبيًا، لأن العدّاء ظل يتحرك بسرعة طوال الدورة.
لكن الإزاحة تساوي صفرًا.
لذلك:
\[ v_{\text{av}} = \frac{0}{\Delta t} = 0\text{ m/s} \]
تكون السرعة المتجهة المتوسطة للعدّاء صفرًا، رغم أن سرعته القياسية المتوسطة ليست صفرًا.
لا يعني ذلك أن العدّاء ظل ساكنًا، بل يعني أنه لم يحدث أي تغيّر صافٍ في موضعه.
يتكرر هذا التمييز كثيرًا في مسائل الحركة في امتحانات الشهادة الثانوية العليا (HSC).
سؤال تدريبي
تقطع سيارة مسافة 3 km شرقًا ثم 3 km غربًا خلال 10 دقائق.
أوجد إزاحتها وسرعتها المتجهة المتوسطة.
الإجابة:
تنتهي السيارة عند نقطة انطلاقها، لذلك:
\[ \Delta x = 0\text{ km} \]
ومن ثم تكون السرعة المتجهة المتوسطة:
\[ v_{\text{av}} = \frac{0}{10} = 0 \]
إذًا، الإزاحة هي 0 km، والسرعة المتجهة المتوسطة هي 0 km/min.
ومع ذلك، قطعت السيارة مسافة إجمالية قدرها 6 km، ولذلك لن تكون سرعتها القياسية المتوسطة صفرًا.
06يمكن للمتجهات أن تلغي بعضها بعضًا
تُجمع الكميات القياسية عادةً بالطريقة المعتادة.
إذا تحركت لمدة 4 s ثم واصلت الحركة لمدة 3 s أخرى، فإن الزمن الكلي هو:
\[ 4 + 3 = 7\text{ s} \]
لا يرتبط الزمن بأي اتجاه.
أما المتجهات فتختلف، لأن الاتجاه مهم فيها.
لنفترض أن الشرق هو الاتجاه الموجب. تحرك شخص كما يأتي:
\[ +12\text{ m} \]
ثم:
\[ -5\text{ m} \]
تكون إزاحته الكلية:
\[ \Delta x = 12 + (-5) = 7\text{ m} \]
إذًا، الإزاحة النهائية هي 7 m شرقًا.
وهذا يوضح سبب إمكانية أن يلغي متجهان متعاكسا الاتجاه بعضهما بعضًا جزئيًا أو كليًا.
لو تحرك الشخص بدلًا من ذلك مسافة \(+12\text{ m}\)، ثم مسافة \(-12\text{ m}\)، لكانت:
\[ \Delta x = 12 + (-12) = 0 \]
ومع ذلك، ستظل المسافة المقطوعة تساوي 24 m.
07التسارع كمية متجهة أيضًا
غالبًا ما يُساء فهم التسارع على أنه «زيادة السرعة».
وهذا تعريف غير مكتمل.
يصف التسارع معدل تغيّر السرعة المتجهة.
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]
حيث:
- \(a\) هو التسارع بوحدة المتر لكل ثانية مربعة، m/s².
- \(\Delta v\) هو التغيّر في السرعة المتجهة بوحدة m/s.
- \(\Delta t\) هي الفترة الزمنية بوحدة s.
بما أن السرعة المتجهة كمية متجهة، فقد يحدث تغيّر فيها عندما:
- يتغيّر مقدار السرعة.
- يتغيّر اتجاه الحركة.
- يتغيّر المقدار والاتجاه معًا.
وهذا يعني أن الجسم قد يتسارع حتى عندما يبقى مقدار سرعته ثابتًا.
على سبيل المثال، تتسارع سيارة تتحرك حول منعطف دائري بسرعة ثابتة مقدارها 15 m/s، لأن اتجاهها يتغيّر، وبالتالي تتغيّر سرعتها المتجهة.
في مسائل الحركة في خط مستقيم ضمن منهج HSC، تتمثل الفكرة الأهم في أن إشارات السرعة المتجهة والتسارع تحدد اتجاهيهما.
المفهوم الخاطئ الشائع: التسارع السالب يعني التباطؤ
هذا أحد أكثر الأخطاء إغراءً عند دراسة علم الحركة.
لا يعني التسارع السالب بالضرورة أن الجسم يتباطأ.
بل يعني أن اتجاه التسارع هو الاتجاه السالب.
لتحديد ما إذا كان الجسم يزداد سرعةً أم يتباطأ، قارن اتجاه السرعة المتجهة باتجاه التسارع.
| السرعة المتجهة | التسارع | ماذا يحدث للسرعة القياسية؟ |
|---|---|---|
| موجب | موجب | تزداد السرعة |
| موجب | سالب | تقل السرعة |
| سالب | سالب | تزداد السرعة |
| سالب | موجب | تقل السرعة |
القاعدة هي:
إذا كانت السرعة المتجهة والتسارع في الاتجاه نفسه، تزداد سرعة الجسم. أما إذا كانا في اتجاهين متعاكسين، فإن الجسم يتباطأ.
لنفترض أن:
\[ v = -8\text{ m/s} \]
وأن:
\[ a = -2\text{ m/s}^2 \]
كلتا الكميتين سالبتان، لذا فهما في الاتجاه نفسه. وهذا يعني أن الجسم تزداد سرعته بالفعل.
قد تتغير سرعته المتجهة من \(-8\text{ m/s}\) إلى \(-10\text{ m/s}\). تصبح قيمة السرعة المتجهة أكثر سلبية، لكن السرعة القياسية تزداد من 8 m/s إلى 10 m/s.
سؤال تدريبي
اعتُبر الشرق اتجاهًا موجبًا. وكانت لسيارة القيمتان الآتيتان:
\[ v = +20\text{ m/s} \]
و:
\[ a = -4\text{ m/s}^2 \]
هل تزداد سرعة السيارة أم تتباطأ؟
الإجابة:
السرعة المتجهة موجبة، لذا تتحرك السيارة شرقًا.
أما التسارع فسالب، لذا يتجه نحو الغرب.
وبما أن السرعة المتجهة والتسارع في اتجاهين متعاكسين، فإن السيارة تتباطأ.
08مقدار المتجه هو حجمه دائمًا، وليس قيمته ذات الإشارة
لنفترض أن:
\[ v = -12\text{ m/s} \]
السرعة المتجهة هي \(-12\text{ m/s}\)، لكن مقدارها هو:
\[ |v| = 12\text{ m/s} \]
يشير الخطان العموديان إلى «المقدار» أو القيمة المطلقة.
وبالنسبة إلى السرعة المتجهة، فإن مقدارها يساوي السرعة القياسية.
لذلك:
\[ \text{السرعة القياسية} = |v| \]
هذا التمييز مهم كلما طلب السؤال إيجاد مقدار كمية ما.
فالمقدار لا يكون سالبًا.
09مثال محلول: الحركة مع تغيّر الاتجاه
تتحرك عربة على مسار مستقيم. اعتُبر الشرق اتجاهًا موجبًا. تتغير سرعتها المتجهة من \(+6.0\text{ m/s}\) إلى \(-2.0\text{ m/s}\) خلال 4.0 s.
احسب تسارعها المتوسط، واشرح ما الذي تدل عليه الإشارات.
الخطوة 1كتابة معادلة التسارع
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]
التغيّر في السرعة المتجهة هو:
\[ \Delta v = v_f - v_i \]
حيث \(v_i\) هي السرعة المتجهة الابتدائية، و\(v_f\) هي السرعة المتجهة النهائية.
الخطوة 2التعويض بقيم السرعة المتجهة مع الاحتفاظ بإشاراتها
\[ \Delta v = -2.0 - (+6.0) = -8.0\text{ m/s} \]
لاحظ أن التغيّر في السرعة المتجهة يساوي 8.0 m/s غربًا، وليس 4.0 m/s. فقد انتقلت العربة من الحركة شرقًا إلى الحركة غربًا.
الخطوة 3حساب التسارع
\[ a = \frac{-8.0}{4.0} = -2.0\text{ m/s}^2 \]
إذًا، التسارع المتوسط هو:
\[ \boxed{-2.0\text{ m/s}^2} \]
أو 2.0 m/s² غربًا.
الخطوة 4تفسير الحركة
في البداية، تتحرك العربة شرقًا بينما يتجه التسارع غربًا، ولذلك تتباطأ.
عند لحظة ما، تصبح سرعتها المتجهة صفرًا.
بعد ذلك، تبدأ في التحرك غربًا. وبمجرد أن تصبح السرعة المتجهة والتسارع في اتجاه الغرب نفسه، تزداد سرعتها في الاتجاه الغربي.
لهذا السبب، تكون الإشارات أكثر فائدة من مجرد وصف التسارع بأنه «موجب» أو «سالب». فهي تتيح لك إعادة تكوين صورة لما يفعله الجسم فعليًا.
10الكميات القياسية والمتجهة في الرسوم البيانية
يساعد التمييز بين الكميات القياسية والمتجهة أيضًا عند تفسير الرسوم البيانية للحركة.
في الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن، يمكن أن تكون الإزاحة موجبة أو سالبة، لأن الموضع يُقاس بالنسبة إلى نقطة أصل واتجاه مختارين.
يمثل ميل الرسم البياني للإزاحة مقابل الزمن السرعة المتجهة:
\[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \]
لذلك، يعني الميل السالب أن السرعة المتجهة سالبة.
وفي الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن، يمكن أن تكون السرعة المتجهة موجبة أو سالبة أيضًا.
لا تعني النقطة الواقعة أسفل محور الزمن أن الجسم يمتلك «سرعة قياسية سالبة»، بل تعني أن الجسم يتحرك في الاتجاه السالب.
يمثل ميل الرسم البياني للسرعة المتجهة مقابل الزمن التسارع:
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]
وهنا تصبح اتفاقية الإشارات مفيدة على نحو خاص. فبدلًا من حفظ قواعد منفصلة لكل شكل من أشكال الرسوم البيانية، يمكنك أن تسأل عن الاتجاه الذي تمثله السرعة المتجهة والتسارع.
11ما الذي يتغير عند الحركة في بُعدين؟
حتى الآن، ركّزنا أساسًا على الحركة على طول خط واحد. وهذا يسمح لنا بتمثيل الاتجاه باستخدام الإشارتين الموجبة والسالبة.
أما في بُعدين، فقد يحتاج المتجه إلى معلومات إضافية.
على سبيل المثال:
\[ 20\text{ m/s at }30^\circ\text{ north of east} \]
يمثل متجه سرعة.
وله:
- مقدار يساوي 20 m/s.
- اتجاه يساوي \(30^\circ\) شمال الشرق.
لا يمكنك وصف هذا المتجه وصفًا كاملًا باستخدام كلمة «موجب» أو «سالب» فقط.
يمكن تحليل المتجهات في بُعدين إلى مركبات متعامدة، تكون عادةً أفقية ورأسية. ويصبح ذلك مهمًا في دراسة حركة المقذوفات.
لا تتغير الفكرة الأساسية المتعلقة بالكميات القياسية والمتجهة. فالسرعة القياسية لا تزال تمثل مقدار السرعة المتجهة فقط، بينما تتطلب السرعة المتجهة المقدار والاتجاه معًا.
12قاعدة مختصرة لاتخاذ القرار
عندما تصادف كمية تتعلق بالحركة، اطرح على نفسك سؤالين.
1. هل يُعد الاتجاه جزءًا من المعنى الفيزيائي للكمية؟
إذا كانت الإجابة لا، فالكمية قياسية.
أمثلة: المسافة، والسرعة القياسية، والزمن.
أما إذا كانت الإجابة نعم، فالكمية متجهة.
أمثلة: الإزاحة، والسرعة المتجهة، والتسارع.
2. إذا كانت الكمية متجهة، فما اتفاقية الإشارات أو الاتجاه الذي تم اختياره؟
بعد ذلك، التزم بهذه الاتفاقية طوال عملية الحساب.
يمنع ذلك كثيرًا من أخطاء الإشارات التي تظهر لاحقًا عند استخدام معادلات الحركة.
13اختبار أخير
تتحرك سيارة غربًا وتزداد سرعتها. وقد اختير الشرق اتجاهًا موجبًا.
ما الإشارتان اللتان ينبغي أن تحملهما السرعة المتجهة والتسارع؟
الإجابة:
الغرب هو الاتجاه السالب، لذا يجب أن تكون السرعة المتجهة سالبة.
وبما أن سرعة السيارة تزداد أثناء تحركها غربًا، فيجب أن يتجه تسارعها غربًا أيضًا.
لذلك:
\[ v < 0 \]
و:
\[ a < 0 \]
كلتا الكميتين سالبتان، ومع ذلك تزداد سرعة السيارة.
هذه هي الفكرة الأساسية التي ينبغي أن تتذكرها: إشارة المتجه تحدد اتجاهه، ولا تحدد ما إذا كانت الحركة تزداد أم تتناقص.
بمجرد أن تتقن هذه الفكرة، يصبح استخدام معادلات التسارع الثابت أسهل بكثير. فبدلًا من التعامل مع الإشارات الموجبة والسالبة باعتبارها رموزًا جبرية غامضة، يمكنك قراءتها بوصفها وصفًا لحركة الجسم.