شدة مجال الجاذبية مقابل طاقة الوضع الثقالية: كيف تؤثر المسافة في كل منهما

يُنقل مسبار من مسافة \(r\) إلى مسافة \(2r\) من مركز كوكب. توقّع ما سيحدث لشدة مجال الجاذبية وطاقة الوضع الثقالية للمسبار. هل تنخفض الكميتان إلى النصف لأن المسافة تضاعفت؟

تنخفض إحدى الكميتين فقط إلى النصف. ينخفض مقدار شدة المجال إلى الربع، بينما تصبح طاقة الوضع نصف قيمتها السالبة السابقة، أي أقل سلبية. على سبيل المثال، تصبح طاقة وضع مقدارها \(-100\ \mathrm{J}\) مساويةً لـ \(-50\ \mathrm{J}\). وبذلك تكون قيمتها العددية قد زادت فعليًا بمقدار \(50\ \mathrm{J}\).

يعود السبب إلى أن شدة مجال الجاذبية وطاقة الوضع الثقالية تعتمدان على المسافة بطريقتين مختلفتين. ومعرفة الكمية التي يطلبها السؤال هي الخطوة الأولى لاختيار المعادلة الصحيحة.

هنا، يمثّل \(r\) المسافة من مركز الكوكب، وليس الارتفاع فوق سطحه. ويرمز \(R\) إلى نصف قطر الكوكب.

• شدة المجال: 1/x²
• طاقة الوضع: −1/x
• x = 1: g/g(R) = 1
• x = 2: g/g(R) = 1/4
• x = 1: U/(GMm/R) = −1
• x = 2: U/(GMm/R) = −1/2

01قاعدة سريعة لاتخاذ القرار

عندما يتناول السؤال الجاذبية، حدّد أولًا ما الذي تحتاج إلى حسابه.

• شدة المجال، أو تسارع الجاذبية، أو القوة لكل وحدة كتلة: استخدم علاقة التناسب العكسي مع مربع المسافة، \(g=\dfrac{GM}{r^2}\).
• طاقة الوضع الثقالية عند نصف قطر معين: استخدم \(U=-\dfrac{GMm}{r}\)، بافتراض أن طاقة الوضع تساوي صفرًا عند اللانهاية.
• الطاقة المنتقلة عندما يتحرك جسم بين نصفي قطر: احسب \(\Delta U=U_f-U_i\)، أو استخدم المعادلة الموحّدة التالية:

\[ \Delta U=GMm\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right). \]

عند الحركة ببطء دون حدوث تغير في الطاقة الحركية، يساوي الشغل الذي يبذله مؤثر خارجي \(\Delta U\). أما الشغل الذي تبذله الجاذبية فيساوي \(-\Delta U\).

قبل التعويض في المعادلات، تحقّق من أمرين: يجب قياس المسافة من مركز الكوكب، ويجب أن يكون المرجع الذي تُحدَّد بالنسبة إليه طاقة الوضع واضحًا.

02ما الذي تقيسه كل كمية فعليًا؟

1. شدة مجال الجاذبية: القوة لكل وحدة كتلة

تخيّل وضع جسمين في الموقع نفسه خارج كوكب. كتلة أحدهما \(1\ \mathrm{kg}\)، وكتلة الآخر \(10\ \mathrm{kg}\).

يتعرض الجسم الأثقل لقوة جاذبية أكبر بعشرة أضعاف. فهل يعني ذلك أن مجال الجاذبية أقوى بعشرة أضعاف بالنسبة إلى الجسم الأثقل؟

لا. فالمجال خاصية للموقع نفسه، وتتحدد شدته بكتلة الكوكب والمسافة من مركزه. ويتعرض الجسم الأثقل لقوة أكبر لأن كتلته أكبر.

شدة مجال الجاذبية هي قوة الجاذبية لكل وحدة كتلة:

\[ g=\frac{F_g}{m}=\frac{GM}{r^2} \]

حيث:

• \(g\) هو مقدار شدة مجال الجاذبية، ويُقاس بوحدة \(\mathrm{N\,kg^{-1}}\) أو \(\mathrm{m\,s^{-2}}\).
• \(F_g\) هو مقدار قوة الجاذبية، ويُقاس بالنيوتن \((\mathrm{N})\).
• \(G\) هو ثابت الجذب العام، وقيمته \(6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\).
• \(M\) هي كتلة الكوكب، وتُقاس بالكيلوغرام.
• \(m\) هي كتلة الجسم الذي يتعرض للجاذبية، وتُقاس بالكيلوغرام.
• \(r\) هي المسافة من مركز الكوكب، وتُقاس بالمتر.

لاحظ أن كتلة الجسم \(m\) تُختزل عند حساب شدة المجال. فعند الموقع نفسه، يتعرض الجسم الأكبر كتلةً لقوة أكبر، لكن شدة المجال لا تتغير.

يتجه مجال الجاذبية نحو مركز الكوكب. وتعطي المعادلة أعلاه مقدار شدة المجال، وهو مقدار موجب.

2. طاقة الوضع الثقالية: طاقة نظام الكوكب والجسم

لنتناول الآن سؤالًا مختلفًا. ما مقدار الطاقة التي يجب أن تزوّد بها جسمًا لنقله من موضعه الحالي إلى مسافة لا نهائية من الكوكب، بافتراض أنه يبدأ وينتهي ساكنًا؟

هذا سؤال عن الطاقة، وليس عن القوة لكل وحدة كتلة.

عندما تُعرَّف طاقة الوضع الثقالية بأنها تساوي صفرًا عند اللانهاية، تكون المعادلة:

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

للرموز \(G\) و\(M\) و\(m\) و\(r\) المعاني نفسها المذكورة سابقًا. لكن \(U\) تُقاس بالجول \((\mathrm{J})\).

هناك اختلافان مهمان بين هذه المعادلة ومعادلة شدة المجال:

• تعتمد طاقة الوضع على كتلة الجسم \(m\).
• تكون طاقة الوضع سالبة عند أي مسافة محدودة إذا عُرّفت قيمتها بالصفر عند اللانهاية.

لماذا تكون سالبة؟ عند مسافة محدودة، يكون الجسم مرتبطًا بالكوكب بفعل الجاذبية. ويجب تزويده بالطاقة لفصله عنه تمامًا والوصول إلى اللانهاية من دون أن تبقى لديه طاقة حركية.

إذا ضاعفت كتلة الجسم مع إبقاء موضعه ثابتًا، فإن مقدار طاقة وضعه الثقالية يتضاعف. أما شدة مجال الجاذبية عند ذلك الموضع فلا تتغير.

3. ميّز بين الجهد الثقالي وطاقة الوضع

هناك كمية ثالثة قد تسبب بعض الالتباس، وهي الجهد الثقالي، الذي يُرمز إليه عادةً بـ \(\phi\).

الجهد الثقالي هو طاقة الوضع لكل وحدة كتلة:

\[ \phi=\frac{U}{m}=-\frac{GM}{r} \]

ويُقاس بوحدة \(\mathrm{J\,kg^{-1}}\). وعلى خلاف \(U\)، لا يعتمد الجهد الثقالي على كتلة الجسم الذي ندرسه.

تنطبق هذه المعادلات على كتلة نقطية أو على موقع خارج كوكب متماثل كرويًا، حيث يمكن التعامل مع الكوكب كما لو كانت كتلته مركّزة في مركزه. وهي تتجاهل تأثيرات الجاذبية الناتجة عن الأجرام الأخرى.

أما داخل الكوكب، فلا تكون معادلة شدة المجال المستخدمة خارج الكوكب صحيحة بوجه عام. وستحتاج إلى معلومات عن كيفية توزّع كتلة الكوكب.

03لماذا تختلف علاقة كل كمية بنصف القطر؟

المفتاح هو التمييز بين قياس محلي وتغيّر في الطاقة.

توضح شدة المجال مقدار قوة الجاذبية التي تتعرض لها كل كيلوغرام عند موقع محدد. وهي تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة:

\[ g\propto\frac{1}{r^2} \]

أما طاقة الوضع، فتوضح طاقة نظام الكوكب والجسم بالنسبة إلى المرجع المختار للصفر. وهي تتناسب عكسيًا مع المسافة:

\[ U\propto-\frac{1}{r} \]

طاقة الوضع ليست مجرد طريقة أخرى لقياس القوة عند نقطة واحدة، بل تعبّر عن الشغل اللازم لنقل الجسم بين مواضع مختلفة. ويعتمد هذا الشغل على قوة الجاذبية المؤثرة خلال المسافة التي يقطعها الجسم.

كلما ابتعد الجسم، ضعفت الجاذبية وفقًا لمربع المسافة. وتقل الطاقة المتبقية اللازمة للوصول إلى اللانهاية مع زيادة المسافة، ما يؤدي إلى علاقة طاقة الوضع بالتناسب العكسي مع المسافة نفسها، وليس مع مربعها.

قارن التغيرات مباشرةً

افترض أن نصف القطر يزداد بعامل \(k\)، مع بقاء الكوكب والجسم دون تغيير. تعطينا المعادلات:

\[ g(kr)=\frac{g(r)}{k^2} \]

و

\[ U(kr)=\frac{U(r)}{k}. \]

تفترض العلاقة الثانية أن \(U=0\) عند اللانهاية.

على سبيل المثال، إذا انتقل جسم من \(r\) إلى \(3r\)، يصبح مقدار شدة المجال عنده مساويًا لتسع قيمته الأصلية. أما طاقة وضعه فتصبح ثلث قيمتها الأصلية.

إذا كانت طاقة الوضع الأصلية \(-90\ \mathrm{J}\)، فإن قيمتها الجديدة هي \(-30\ \mathrm{J}\)، وليست \(-10\ \mathrm{J}\).

يكون الجسم قد اكتسب \(60\ \mathrm{J}\) من طاقة الوضع، رغم أن مقدار هذه الطاقة قد انخفض.

04لماذا تقترب طاقة الوضع الثقالية من الصفر من الأسفل؟

عندما تكون طاقة الوضع مساوية للصفر عند اللانهاية:

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

عند أي نصف قطر موجب ومحدود، يكون المقام موجبًا، بينما تحمل البسط إشارة سالبة. لذلك تكون \(U\) سالبة.

كلما زادت \(r\)، تناقص مقدار \(GMm/r\). ونتيجة لذلك، تصبح طاقة الوضع أقل سلبية وتقترب من الصفر من الأسفل.

وفي هذا النموذج المثالي، لا تصل طاقة الوضع إلى الصفر عند أي مسافة محدودة.

تختلف شدة المجال من حيث الإشارة، لكنها تتصرف بطريقة مشابهة من حيث القيمة التي تقترب منها عند المسافات الكبيرة. إذ يظل مقدارها موجبًا عند كل نصف قطر محدود، ويقترب من الصفر كلما زادت المسافة.

ولهذا يختلف شكل المنحنيين:

• تتناقص \(g\) نحو الصفر من الأعلى.
• تزداد \(U\) نحو الصفر من الأسفل.

اختيار الصفر لطاقة الوضع

تستخدم المعادلة \(U=-GMm/r\) اللانهاية مرجعًا للصفر. وهذا اختيار ملائم، لكنه ليس الاختيار الوحيد الممكن.

افترض بدلًا من ذلك أنك عرّفت طاقة الوضع بأنها تساوي صفرًا عند سطح الكوكب، حيث \(r=R\). عندئذ تصبح طاقة الوضع خارج الكوكب:

\[ U_R(r)=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right). \]

عند السطح، تكون \(U_R(R)=0\). وعند أنصاف الأقطار الأكبر، تكون هذه القيمة موجبة.

لا يعني ذلك أن التفاعل الثقالي قد تغير. بل تغيّر المرجع، ولذلك أُضيف الثابت نفسه إلى جميع قيم طاقة الوضع للجسم نفسه.

ويظل التغير في طاقة الوضع بين موضعين كما هو، لأن الثابت يُختزل عند طرح القيمة الابتدائية من القيمة النهائية.

يمكنك التعمق في إشارة طاقة الوضع والمرجع المختار في لماذا تكون طاقة الوضع الثقالية سالبة حول كوكب.

• الصفر عند اللانهاية: U∞
• الصفر عند السطح: U_R
• U∞ عند R: −1
• U∞ عند 2R: −0.5
• U_R عند R: 0
• U_R عند 2R: +0.5

05أمثلة محلولة

06أخطاء شائعة

• استخدام الارتفاع بدلًا من نصف القطر. إذا كان الجسم على ارتفاع \(h\) فوق السطح، فاستخدم \(r=R+h\). تتطلب المعادلات المسافة من المركز، لا المسافة من سطح الأرض أو الكوكب.

• استخدام علاقة التناسب العكسي مع مربع المسافة لطاقة الوضع. تتبع شدة المجال العلاقة \(1/r^2\)، بينما تتبع طاقة الوضع العلاقة \(-1/r\). تؤدي مضاعفة نصف القطر إلى جعل \(g\) ربع قيمتها، وإلى خفض مقدار \(U\) إلى النصف.

• القول إن طاقة الوضع تنخفض عندما يتحرك الجسم إلى الخارج. عندما يكون الصفر عند اللانهاية، تصبح \(U\) أقل سلبية، ولذلك تزداد قيمتها العددية. أما مقدارها فينخفض.

• إدراج كتلة الجسم في معادلة شدة المجال. تُختزل كتلة الاختبار عند حساب \(g\)، لكنها تبقى في معادلة طاقة الوضع.

• اعتبار طاقة الوضع السالبة خاصية مطلقة. تعتمد الإشارة على المرجع المختار للصفر. وتظل التغيرات في طاقة الوضع والتنبؤات الفيزيائية الناتجة عنها متسقة عند تغيير المرجع بطريقة صحيحة.

• استخدام المعادلات الخارجية داخل الكوكب. تنطبق الصيغ الواردة هنا خارج كوكب كروي أو على كتلة نقطية. أما داخل الكوكب، فيعتمد مجال الجاذبية على كيفية توزّع الكتلة داخله.

07أسئلة وحلول

السؤال 1

عند نصف قطر معين \(r=4R\)، يبلغ مقدار شدة مجال الجاذبية \(2.4\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)، وتبلغ طاقة وضع جسم ثقالية \(-3.0\times10^8\ \mathrm{J}\)، مع اتخاذ اللانهاية مرجعًا للصفر.

نُقل الجسم نفسه إلى \(r=8R\). احسب مقدار شدة المجال الجديد وطاقة الوضع الجديدة.

الحل 1

يصبح مقدار شدة المجال \(0.60\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)، وتصبح طاقة الوضع \(-1.5\times10^8\ \mathrm{J}\). تؤدي مضاعفة نصف القطر إلى خفض شدة المجال إلى الربع، لكنها تخفض مقدار طاقة الوضع إلى النصف.

بالنسبة إلى شدة المجال:

\[ \begin{aligned} g_2&=g_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\\[4pt] &=2.4\left(\frac{4R}{8R}\right)^2\\[4pt] &=0.60\ \mathrm{N\,kg^{-1}}. \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى طاقة الوضع:

\[ \begin{aligned} U_2&=U_1\frac{r_1}{r_2}\\[4pt] &=(-3.0\times10^8)\frac{4R}{8R}\\[4pt] &=-1.5\times10^8\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

تزداد طاقة الوضع بمقدار \(+1.5\times10^8\ \mathrm{J}\). فهي تصبح أقل سلبية، رغم أن مقدارها ينخفض.

السؤال 2

كتلة كوكب كروي \(4.8\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)، ونصف قطره \(6.0\times10^6\ \mathrm{m}\). يُرفع مسبار كتلته \(750\ \mathrm{kg}\) ببطء من سطح الكوكب إلى ارتفاع يساوي نصف قطر الكوكب.

احسب:

(أ) مقدار شدة مجال الجاذبية عند الموضعين الابتدائي والنهائي؛

(ب) التغير في طاقة الوضع، مع اتخاذ اللانهاية مرجعًا للصفر؛

(ج) الشغل الذي تبذله الجاذبية.

الحل 2

تنخفض شدة المجال من \(8.9\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\) إلى \(2.2\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\). وتزداد طاقة الوضع بمقدار \(+2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}\)، بينما تبذل الجاذبية شغلًا مقداره \(-2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}\).

(أ) شدة المجال

عند السطح، يكون \(r_i=R\). أما عند الموضع النهائي، فيكون ارتفاع المسبار \(h=R\)، ولذلك تصبح المسافة من المركز:

\[ r_f=R+h=2R. \]

شدة المجال الابتدائية هي:

\[ \begin{aligned} g_i&=\frac{GM}{R^2}\\[4pt] &=\frac{(6.67\times10^{-11})(4.8\times10^{24})} {(6.0\times10^6)^2}\\[4pt] &=8.9\ \mathrm{N\,kg^{-1}}. \end{aligned} \]

أما شدة المجال النهائية فهي:

\[ \begin{aligned} g_f&=\frac{GM}{(2R)^2}\\[4pt] &=\frac{g_i}{4}\\[4pt] &=2.2\ \mathrm{N\,kg^{-1}}. \end{aligned} \]

(ب) التغير في طاقة الوضع

استخدم نصفي القطر الابتدائي والنهائي:

\[ \begin{aligned} \Delta U &=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{2R}\right)\\[4pt] &=\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=\frac{(6.67\times10^{-11})(4.8\times10^{24})(750)} {1.2\times10^7}\\[4pt] &=+2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

التغير في الطاقة موجب لأن المسبار يتحرك إلى الخارج ويصبح ارتباطه الثقالي بالكوكب أضعف.

(ج) الشغل الذي تبذله الجاذبية

الشغل الذي تبذله الجاذبية هو سالب التغير في طاقة الوضع:

\[ W_{\text{gravity}}=-\Delta U =-2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}. \]

يبذل المؤثر الخارجي شغلًا مقداره \(+2.0\times10^{10}\ \mathrm{J}\)، لأن المسبار يُرفع ببطء من دون حدوث تغير صافٍ في طاقته الحركية.

التفصيل المهم هنا هو أن الارتفاع النهائي يساوي \(R\)، لكن المسافة النهائية بين مركز الكوكب والمسبار تساوي \(2R\). والخلط بين الارتفاع ونصف القطر يؤدي إلى نتائج غير صحيحة.

السؤال 3

عند أحد المواقع خارج كوكب كروي، تبلغ كتلة مسبار \(300\ \mathrm{kg}\)، ومقدار شدة مجال الجاذبية عنده \(4.0\ \mathrm{N\,kg^{-1}}\)، بينما تبلغ طاقة وضعه الثقالية \(-1.2\times10^{10}\ \mathrm{J}\).

افترض أن طاقة الوضع تساوي صفرًا عند اللانهاية. حدّد بُعد المسبار عن مركز الكوكب وكتلة الكوكب.

الحل 3

يبعد المسبار مسافة \(1.0\times10^7\ \mathrm{m}\) عن مركز كوكب كتلته نحو \(6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}\). ويتمثل المفتاح في الجمع بين المعادلتين للتخلص من كتلة الكوكب المجهولة.

ابدأ بمقداري الكميتين:

\[ g=\frac{GM}{r^2}, \qquad |U|=\frac{GMm}{r}. \]

بقسمة المعادلة الثانية على الأولى نحصل على:

\[ \frac{|U|}{g}=mr. \]

إذًا:

\[ r=\frac{|U|}{mg}. \]

بالتعويض بالقيم:

\[ \begin{aligned} r&=\frac{1.2\times10^{10}} {(300)(4.0)}\\[4pt] &=1.0\times10^7\ \mathrm{m}. \end{aligned} \]

استخدم الآن معادلة شدة المجال لإيجاد كتلة الكوكب:

\[ M=\frac{gr^2}{G}. \]

بالتعويض:

\[ \begin{aligned} M&=\frac{(4.0)(1.0\times10^7)^2} {6.67\times10^{-11}}\\[4pt] &=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}. \end{aligned} \]

العلاقة المفيدة هنا هي \(|U|=mgr\)، وهي تنطبق عند الموقع نفسه خارج الكوكب عندما تكون طاقة الوضع مساوية للصفر عند اللانهاية. وتنتج هذه العلاقة مباشرةً من الجمع بين المعادلتين، ولا تتطلب إدخال قانون جديد.

السؤال 4

بالنسبة إلى كوكب معين، تكون \(GM/R=4.0\times10^7\ \mathrm{J\,kg^{-1}}\)، حيث \(R\) هو نصف قطر الكوكب.

يوجد مسبار كتلته \(100\ \mathrm{kg}\) عند \(r=2R\). يعرّف أحد الكتابين المدرسيين طاقة الوضع بأنها تساوي صفرًا عند اللانهاية، بينما يعرّفها كتاب آخر بأنها تساوي صفرًا عند سطح الكوكب.

احسب طاقة الوضع عند \(2R\) وفقًا لكلا المرجعين. ثم احسب التغير في طاقة الوضع عندما ينتقل المسبار من السطح إلى \(2R\). هل يوجد تعارض بين الكتابين؟

الحل 4

تبلغ طاقة الوضع عند \(2R\) مقدار \(-2.0\times10^9\ \mathrm{J}\) وفقًا لمرجع الصفر عند اللانهاية، ومقدار \(+2.0\times10^9\ \mathrm{J}\) وفقًا لمرجع الصفر عند السطح. ويعطي المرجعان التغير نفسه في طاقة الوضع، وهو \(+2.0\times10^9\ \mathrm{J}\). لذلك لا يوجد تعارض بين الكتابين.

مرجع الصفر عند اللانهاية

باستخدام \(U=-GMm/r\):

\[ \begin{aligned} U_\infty(2R) &=-\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=-\frac{m}{2}\frac{GM}{R}\\[4pt] &=-\frac{100}{2}(4.0\times10^7)\\[4pt] &=-2.0\times10^9\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

مرجع الصفر عند السطح

تصبح طاقة الوضع الآن:

\[ U_R(r)=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right). \]

عند \(r=2R\):

\[ \begin{aligned} U_R(2R) &=GMm\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{2R}\right)\\[4pt] &=\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=+2.0\times10^9\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

التغير في طاقة الوضع

من السطح إلى \(2R\)، يكون التغير وفقًا لكلا المرجعين:

\[ \begin{aligned} \Delta U &=\frac{GMm}{2R}\\[4pt] &=+2.0\times10^9\ \mathrm{J}. \end{aligned} \]

تختلف القيمتان عند \(2R\) لأن المرجع قد تغير بمقدار \(GMm/R=4.0\times10^9\ \mathrm{J}\). ويؤثر هذا التغيير بالتساوي في جميع قيم طاقة الوضع لهذا المسبار، ولذلك يُختزل عند طرح القيمة الابتدائية من القيمة النهائية.

يكمن الخطأ المحتمل في التعامل مع القيمة العددية لطاقة الوضع كما لو كانت مستقلة عن المرجع المختار. فالتغير في طاقة الوضع هو الذي يحدد الشغل اللازم لنقل المسبار.

• الكوكب A: g/g_s
• الكوكب B: g/g_s (يتطابق مع A)
• الكوكب A: U/(m g_s R) = −1/x
• الكوكب B: U/(m g_s R) = −2/x
• x = 1: g/g_s = 1
• x = 2: g/g_s = 0.25

السؤال 5

كتلة الكوكب A هي \(M\)، ونصف قطره \(R\). أما كتلة الكوكب B فهي \(4M\)، ونصف قطره \(2R\). الكوكبان كرويان، ويمكن إهمال تأثيرات الجاذبية الناتجة عن الأجرام الأخرى.

لذلك يتساوى مقدارا شدة مجال الجاذبية عند سطحي الكوكبين:

\[ g_s=\frac{GM}{R^2}. \]

يُنقل مسباران متماثلان، كتلة كل منهما \(m\)، ببطء من سطح كل كوكب إلى ضعف نصف قطر ذلك الكوكب نفسه. افترض أن طاقة الوضع الثقالية تساوي صفرًا عند اللانهاية.

يقول أحد الطلاب:

«يبدأ المسباران في مجال شدته \(g_s\)، وينتهيان في مجال شدته \(g_s/4\)، ولذلك لا بد أن يكون الشغل اللازم لنقل كل مسبار متساويًا».

قيّم هذا الادعاء. وقارن التغير في طاقة الوضع للمسبارين، ثم حدّد النسبة بين سرعتي الإفلات من سطحي الكوكبين.

الحل 5

ادعاء الطالب غير صحيح. يتطلب نقل المسبار من سطح الكوكب B إلى ضعف نصف قطره شغلًا خارجيًا يعادل ضعفي الشغل اللازم للمسبار على الكوكب A:

\[ \Delta U_A=\frac12 mg_sR, \qquad \Delta U_B=mg_sR. \]

كما أن سرعة الإفلات من الكوكب B أكبر بعامل \(\sqrt{2}\).

المفتاح هو أن تساوي شدة المجال عند مواضع متناظرة لا يضمن تساوي التغير في الطاقة. فنصفا القطر الفعليان للكوكبين مختلفان، ولذلك تختلف المسافات التي تؤثر خلالها قوة الجاذبية.

الخطوة 1: تحقّق من شدة المجال.

بالنسبة إلى الكوكب A، تكون شدة المجال عند السطح:

\[ g_{s,A}=\frac{GM}{R^2}=g_s. \]

أما بالنسبة إلى الكوكب B:

\[ g_{s,B}=\frac{G(4M)}{(2R)^2} =\frac{GM}{R^2} =g_s. \]

إذًا شدة المجال عند السطح متساوية في الكوكبين.

وعند ضعف نصف قطر كل كوكب، تصبح شدة المجال ربع قيمتها عند السطح:

\[ g_A(2R)=g_B(4R)=\frac{g_s}{4}. \]

لذلك فإن الطالب محق بشأن شدة المجال عند موضعي البداية والنهاية.

الخطوة 2: احسب التغير في الطاقة للكوكب A.

يبدأ المسبار عند \(R\)، وينتهي عند \(2R\).

طاقة وضعه الابتدائية هي:

\[ U_{A,i}=-\frac{GMm}{R}=-mg_sR. \]

وطاقة وضعه النهائية هي:

\[ U_{A,f}=-\frac{GMm}{2R} =-\frac12 mg_sR. \]

لذلك:

\[ \begin{aligned} \Delta U_A &=U_{A,f}-U_{A,i}\\[4pt] &=-\frac12 mg_sR+mg_sR\\[4pt] &=\frac12 mg_sR. \end{aligned} \]

الخطوة 3: احسب التغير في الطاقة للكوكب B.

يبدأ المسبار عند \(2R\)، وينتهي عند \(4R\). وهاتان المسافتان تساويان ضعفي المسافتين المناظرتين للكوكب A.

طاقة وضعه الابتدائية هي:

\[ U_{B,i}=-\frac{G(4M)m}{2R} =-2mg_sR. \]

وطاقة وضعه النهائية هي:

\[ U_{B,f}=-\frac{G(4M)m}{4R} =-mg_sR. \]

لذلك:

\[ \begin{aligned} \Delta U_B &=U_{B,f}-U_{B,i}\\[4pt] &=-mg_sR+2mg_sR\\[4pt] &=mg_sR. \end{aligned} \]

بمقارنة التغيرين:

\[ \frac{\Delta U_B}{\Delta U_A} =\frac{mg_sR}{\frac12 mg_sR} =2. \]

يتطلب الكوكب B ضعف الشغل لأن مسباره يقطع مسافة شعاعية تعادل ضعفي المسافة التي يقطعها مسبار الكوكب A. وتتطابق منحنيات شدة المجال عند التعبير عنها بدلالة الكسر الذي يمثله نصف القطر من نصف قطر الكوكب، لكن منحنى الكوكب B يمتد على مسافة فعلية تعادل الضعف. ويعتمد الشغل على القوة المؤثرة طوال الرحلة، وليس على شدة المجال عند نقطتي البداية والنهاية فقط.

الخطوة 4: قارن سرعتي الإفلات.

سرعة الإفلات هي أقل سرعة لازمة للوصول إلى اللانهاية مع انعدام الطاقة الحركية النهائية، مع إهمال مقاومة الغلاف الجوي وتأثير الأجرام الأخرى.

باستخدام مبدأ حفظ الطاقة، يجب أن تساوي الطاقة الحركية الابتدائية مقدار طاقة الوضع الثقالية الابتدائية:

\[ \frac12 mv_e^2=\frac{GMm}{R}. \]

بالنسبة إلى الكوكب A:

\[ v_{e,A}=\sqrt{\frac{2GM}{R}} =\sqrt{2g_sR}. \]

أما بالنسبة إلى الكوكب B:

\[ \begin{aligned} v_{e,B} &=\sqrt{\frac{2G(4M)}{2R}}\\[4pt] &=\sqrt{\frac{4GM}{R}}\\[4pt] &=\sqrt{2}\,v_{e,A}. \end{aligned} \]

سرعة الإفلات من الكوكب B أكبر بعامل \(\sqrt{2}\). فرغم أن شدة المجال عند سطحه مساوية لشدة المجال عند سطح الكوكب A، فإن نصف قطره الأكبر يعني أن الوصول إلى اللانهاية يتطلب طاقة أكبر لكل وحدة كتلة.

وهذا هو الفرق الجوهري: تصف شدة المجال تأثير الجاذبية عند موقع محدد، بينما تأخذ طاقة الوضع في الحسبان الطاقة المرتبطة بموضع الجسم داخل مجال الجاذبية.

08الخطوة التالية: استخدم طاقة الوضع لحل مسائل الطاقة

بعد أن تتمكن من التمييز بين \(g\) و\(U\)، تكون الخطوة التالية هي تحديد ما إذا كان السؤال يتناول الجاذبية عند موقع واحد أم الطاقة المنتقلة بين موقعين.

في مسائل الرفع، استخدم \(\Delta U\) لإيجاد التغير في الطاقة. وفي مسائل سرعة الإفلات، اجمع الزيادة في طاقة الوضع الثقالية مع الطاقة الحركية الابتدائية باستخدام مبدأ حفظ الطاقة. يعتمد كلا التطبيقين على المبدأ نفسه: تصف شدة المجال التأثير المحلي للجاذبية، بينما تتتبّع طاقة الوضع كيفية تغيّر طاقة النظام مع تغيّر موضعه.