كيف تنقل الموجات الميكانيكية الطاقة في فيزياء HSC

حرائق الموجات الميكانيكية: كيف تنقل الطاقة في فيزياء HSC

حرّك أحد طرفي حبل، ويمكن لنبضة أن تنتقل عدة أمتار على طوله. والآن، ثبّت قطعة صغيرة من الشريط اللاصق في منتصف الحبل. ماذا تتوقع أن يحدث عندما تصل النبضة إلى الشريط: هل ينتقل الشريط على طول الحبل مع النبضة، أم يتحرك لفترة وجيزة ثم يبقى قريبًا من موضعه نفسه؟

يبقى الشريط قريبًا من موضعه نفسه. فهو يتحرك عندما يتعرض الحبل للاضطراب، ثم يعود باتجاه موضعه الأصلي. ومع ذلك، فمن المؤكد أن شيئًا ما انتقل من يدك إلى الطرف البعيد. وهذا الشيء المنتقل هو الاضطراب وطاقته، وليس جزءًا من الحبل.

هذا التمييز هو المفتاح لفهم الموجات الميكانيكية.

01يمكن للموجة أن تتحرك حتى عندما لا ينتقل الوسط من مكانه

تخيّل جمهورًا في ملعب يؤدي موجة جماهيرية مكسيكية. يقف شخص ثم يجلس. وبعد ذلك يفعل الشخص التالي الشيء نفسه، ثم الذي يليه. يمكن للنمط أن ينتقل حول الملعب من دون أن يضطر أي شخص إلى الركض بين المقاعد مع الموجة.

يمثّل الأشخاص جسيمات الوسط. وتمثّل حركتهم الموضعية إلى الأعلى والأسفل اهتزاز الوسط. أما النمط المتحرك فيمثّل الموجة.

هذا التشبيه مفيد، لكن له حدودًا. يختار الأشخاص في الملعب متى يقفون. أما جسيمات الوسط الميكانيكي فلا تتخذ قرارات، بل تستجيب للقوى التي تؤثر بها الجسيمات المجاورة.

الموجة الميكانيكية هي اضطراب ينتقل عبر وسط مادي، وينقل الطاقة من مكان إلى آخر من خلال التفاعلات داخل ذلك الوسط.

من المفيد التمييز بين ثلاثة أشياء مختلفة:

هذا ما يقصده الفيزيائيون عندما يقولون إن الموجات تنقل الطاقة من دون نقل كلي للمادة.

لا تعني عبارة «من دون نقل كلي» أن الجسيمات ساكنة تمامًا. فلو لم تتحرك إطلاقًا، لما وُجدت موجة ميكانيكية. والمقصود أن المادة بوصفها ككل لا يلزم أن تنتقل من المصدر إلى المستقبِل.

02كيف ينقل جزء من الوسط الطاقة إلى الجزء التالي؟

تخيّل حبلًا مشدودًا مكوّنًا من أجزاء صغيرة عديدة متصلة بعضها ببعض.

تسحب الجزء الأول إلى الأعلى. وبما أن الحبل خاضع لقوة شد، فإن هذا الجزء يسحب الجزء المجاور له. ويتسارع الجزء الثاني، ثم يسحب الجزء الثالث، وهكذا.

ينتشر الاضطراب لأن الأجزاء المتجاورة من الحبل تؤثر بعضها في بعض بقوى.

هناك عنصران مهمان:

• القصور الذاتي، ويعني أن الجزء المتحرك من الوسط لا يتوقف فورًا.
• تفاعل الإرجاع، وهو تفاعل يميل إلى إعادة الجزء المزاح من الوسط نحو موضع الاتزان.

يمتلك كل جزء طاقة حركية أثناء حركته. وعندما يتمدد الحبل أو يتشوه، تُخزَّن الطاقة أيضًا على هيئة طاقة وضع. وتبذل القوى بين الأجزاء المتجاورة شغلًا، لذلك يمكن للطاقة أن تنتقل من منطقة في الحبل إلى المنطقة التالية.

ليس من الضروري أن يتبع الجزء المنفرد هذه الطاقة حتى نهاية الحبل.

تظهر الفكرة الأساسية نفسها في الصوت. إذ يدفع مكبر الصوت المهتز الهواء القريب منه، فينشأ نطاق ذو ضغط مرتفع. وتدفع جسيمات الهواء هذه الجسيمات المجاورة لها، ولذلك ينتقل اضطراب الضغط عبر الغرفة.

ليس من الضروري أن ينتقل الهواء القريب من مكبر الصوت حتى يصل إلى أذنك.

03يهتز الوسط حول موضع الاتزان

موضع الاتزان هو الموضع الذي يشغله جزء من الوسط عندما لا يمر عبره أي اضطراب موجي.

أما الاهتزاز فهو حركة متكررة حول موضع الاتزان.

في الموجة الدورية المستمرة، تتحرك الجسيمات مرارًا مبتعدة عن موضع الاتزان ثم عائدة إليه. وتعتمد حركتها على نوع الموجة.

الموجات المستعرضة

في الموجة المستعرضة، يهتز الوسط في اتجاه عمودي على اتجاه انتشار الموجة.

في موجة تنتشر أفقيًا على طول خيط:

• قد تنتشر الموجة نحو اليمين.
• يتحرك كل جزء صغير من الخيط أساسًا إلى الأعلى والأسفل.

لا تخلط بين هذين الاتجاهين.

قد يرى الطالب قمةً تتحرك نحو اليمين، فيتخيل أن أجزاء الخيط التي تكوّن القمة لا بد أن تتحرك هي أيضًا نحو اليمين. يبدو ذلك منطقيًا، لأن الشكل المتحرك في الأجسام العادية يعني عادةً أن المادة التي تكوّنه تنتقل معه.

لكن الموجة مختلفة. فالقمة هي نمط يتكوّن من جسيمات مختلفة في أزمنة مختلفة.

الموجات الطولية

في الموجة الطولية، يهتز الوسط في اتجاه موازٍ لاتجاه انتشار الموجة.

يُعد الصوت في الهواء المثال المعتاد على ذلك.

افترض أن موجة صوتية تنتشر نحو اليمين. تتحرك مناطق صغيرة من الهواء ذهابًا وإيابًا، وينتج عن ذلك تعاقب مناطق:

• التضاغط، حيث تكون الجسيمات متقاربة بعضها من بعض مؤقتًا.
• التخلخل، حيث تكون الجسيمات متباعدة بعضها عن بعض مؤقتًا.

تنتقل أنماط التضاغط والتخلخل هذه عبر الهواء، رغم أن كل جزء صغير من الهواء لا يفعل سوى الاهتزاز حول موضع اتزانه.

04سرعة الموجة ليست سرعة الجسيمات

يؤدي هذا التمييز إلى كثير من الأخطاء.

تبيّن سرعة الموجة مدى سرعة انتشار سمة محددة من الاضطراب، مثل قمة أو تضاغط، عبر الوسط.

في الموجة الدورية:

\[ v = f\lambda \]

حيث:

• \(v\) هي سرعة الموجة بوحدة المتر في الثانية، \(\text{m s}^{-1}\).
• \(f\) هو التردد بوحدة الهرتز، \(\text{Hz}\).
• \(\lambda\) هو الطول الموجي بوحدة المتر، \(\text{m}\).

تصف هذه المعادلة سرعة نمط الموجة. ولا تعني أن كل جسيم في الوسط يتحرك إلى الأمام بسرعة \(v\).

يخبرنا التردد \(f\) أيضًا بمدى سرعة اهتزاز كل نقطة في الوسط. فإذا كان \(f = 4.0\text{ Hz}\)، فإن كل نقطة تكمل أربعة اهتزازات في كل ثانية.

أما الزمن الدوري \(T\)، وهو الزمن اللازم لإكمال اهتزازة واحدة، فيُعطى بالعلاقة:

\[ T = \frac{1}{f} \]

حيث يُقاس \(T\) بالثواني.

05يصف الطول الموجي النمط أيضًا، وليس المسافة التي يقطعها جسيم

الطول الموجي \(\lambda\) هو المسافة بين نقطتين متجاورتين تكونان في المرحلة نفسها من الاهتزاز، مثل قمة وقمة تليها.

افترض أن موجة لها:

\[ f = 3.0\text{ Hz} \]

و

\[ \lambda = 4.0\text{ m}. \]

تكون سرعة الموجة:

\[ v = f\lambda = (3.0\text{ Hz})(4.0\text{ m}) = 12\text{ m s}^{-1}. \]

إذن تتحرك القمة مسافة \(12\text{ m}\) على طول الوسط في كل ثانية.

لكن جسيمًا معينًا لا يتحرك إلى الأمام مسافة \(12\text{ m}\). بل يُكمل ثلاثة اهتزازات موضعية خلال تلك الثانية.

وهذا أحد أسباب أهمية فهم المعادلة \(v=f\lambda\) على النحو الآتي:

سرعة النمط = عدد الاهتزازات في الثانية × المسافة التي يتقدمها النمط خلال اهتزازة واحدة

وليس «سرعة الجسيمات».

06يخبرنا الاتساع بشيء عن الطاقة المنتقلة

السعة \(A\) هي أقصى إزاحة لنقطة مهتزة عن موضع اتزانها.

إذا أرسلت نبضة صغيرة جدًا على طول حبل، فلن تتحرك أجزاء الحبل إلا قليلًا. أما إذا أحدثت اضطرابًا أكبر، فستتحرك الأجزاء مسافة أكبر، وتمتلك عمومًا طاقة حركية وطاقة وضع أكبر.

في كثير من الموجات الميكانيكية الخطية، وعندما يبقى الوسط والتردد والظروف الأخرى ذات الصلة دون تغيير، يتناسب معدل انتقال الطاقة طرديًا مع مربع السعة:

\[ P \propto A^2 \]

تمثل \(P\) هنا معدل انتقال الطاقة، أو القدرة، وتمثل \(A\) السعة.

تترتب على هذا التناسب نتيجة مهمة. فمضاعفة السعة لا تؤدي إلى مضاعفة معدل انتقال الطاقة فحسب، بل تزيده في ظل تلك الظروف بمقدار:

\[ 2^2 = 4. \]

انتبه إلى الشرط المرتبط بهذه العبارة. فلا يمكنك مقارنة وسطين أو ترددين مختلفين تمامًا بالاعتماد على السعة وحدها، ثم افتراض نسبة دقيقة للطاقة تلقائيًا.

07أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: «إذا انتقلت الطاقة، فلا بد أن تنتقل المادة أيضًا»

في الحياة اليومية، تصل الطاقة غالبًا لأن جسمًا يحملها يصل إلى المكان المقصود.

تنقل كرة كريكيت متحركة المادة والطاقة الحركية معًا. كما ينقل الماء الساخن المتدفق في أنبوب المادة والطاقة الحرارية معًا. لذلك، من المنطقي توقع أن انتقال الطاقة يتطلب انتقال المادة معها.

لكن الموجات الميكانيكية تبيّن أن ذلك ليس صحيحًا دائمًا.

يمكن للوسط نقل الطاقة من خلال سلسلة من التفاعلات الموضعية. إذ يبذل أحد الأجزاء شغلًا على الجزء التالي. وينتشر الاضطراب بينما تبقى الجسيمات قريبة من مواضع اتزانها الخاصة.

تخيّل صفًا طويلًا من عربات التسوق المتلامسة بمصداتها. ادفع العربة الأولى دفعة قصيرة، ويمكن أن ينتقل التأثير على طول الصف، حتى لو لم تنتقل أي عربة منفردة من أحد طرفي الصف إلى الطرف الآخر. الموجات الحقيقية أكثر استمرارية، وتتضمن قوى إرجاع واهتزازات، لذا فإن تشبيه العربات غير مكتمل. لكنه يوضح الفكرة المهمة: يمكن تمرير الطاقة من خلال التفاعلات.

وهناك تفصيل دقيق آخر. إن القول إن الموجة لا تسبب «نقلًا كليًا للمادة» هو عبارة تصف النموذج، وليس ادعاءً بأن الجسيمات لا يمكن أن تتحرك أبدًا حركة صافية في نظام حقيقي.

فعلى سبيل المثال، قد يحتوي الماء على موجات سطحية وتيار مائي في الوقت نفسه. وقد ينجرف جسم عائم بينما تمر الموجات بجانبه. ولا يعني هذا الانجراف أن الموجة وتدفق الماء ظاهرة واحدة. بل يجب التمييز بين حركة الموجة الاهتزازية وأي تدفق كلي منفصل.

08طريقة مفيدة لقراءة أي مخطط للموجات الميكانيكية

عندما ترى مخططًا لحبل أو نابض أو سطح ماء أو موجة صوتية، اطرح الأسئلة التالية بالترتيب:

1. ما الوسط؟
   ما المادة التي تهتز فعلًا؟

2. في أي اتجاه تنتشر الموجة؟
   هذا هو الاتجاه الذي يتحرك فيه الاضطراب والطاقة.

3. في أي اتجاه يهتز الوسط؟
   قارن هذا الاتجاه باتجاه الانتشار.

4. أين يقع موضع الاتزان؟
   يتحرك كل جزء من الوسط بالنسبة إلى موضع اتزانه الخاص.

5. هل أنظر إلى المادة أم إلى نمط؟
   القمة أو القاع أو التضاغط أو التخلخل سمة من سمات النمط، وليست مجموعة دائمة من الجسيمات نفسها.

يمنع السؤال الأخير عددًا مفاجئًا من الأخطاء.

09الأسئلة والحلول

السؤال 1

تنتقل نبضة من اليسار إلى اليمين على طول حبل. ثُبّتت علامة صغيرة على الحبل عند النقطة P. أثناء مرور النبضة بالنقطة P، ترتفع العلامة بمقدار \(3.0\text{ cm}\)، ثم تعود إلى ارتفاعها الأصلي، وتبقى قريبة من موضعها الأفقي نفسه.

اشرح كيف يمكن للنبضة أن تنقل الطاقة متجاوزةً النقطة P، رغم أن العلامة لا تنتقل على طول الحبل.

الحل 1

تنقل النبضة الطاقة لأن جزء الحبل عند النقطة P يتفاعل مع الأجزاء المجاورة، رغم أن ذلك الجزء لا يتحرك على طول الحبل مع النبضة.

عندما تصل النبضة إلى النقطة P، ينزاح الجزء الذي تحمل عليه العلامة ويتسارع. ويكتسب مؤقتًا طاقة حركية وطاقة وضع مرونية. ثم تبذل القوى في الحبل شغلًا على الأجزاء المجاورة، مما يسمح للاضطراب وطاقته بمواصلة الانتشار.

تمثل إزاحة العلامة بمقدار \(3.0\text{ cm}\) حركة موضعية حول موضع الاتزان. ولا ينبغي تفسيرها على أنها المسافة التي قطعتها الموجة.

يكمن التمييز الأساسي في أن الوسط يهتز موضعيًا، بينما ينتشر الاضطراب عبره.

السؤال 2

لدى موجة ميكانيكية دورية تردد مقداره \(5.0\text{ Hz}\) وطول موجي مقداره \(0.80\text{ m}\).

احسب:

أ. سرعة الموجة.
ب. الزمن اللازم لانتقال الاضطراب مسافة \(12\text{ m}\) عبر الوسط.

الحل 2

سرعة الموجة هي \(4.0\text{ m s}^{-1}\)، ويستغرق الاضطراب \(3.0\text{ s}\) لقطع مسافة \(12\text{ m}\).

في الجزء أ، استخدم العلاقة:

\[ v=f\lambda. \]

بالتعويض:

\[ v=(5.0\text{ Hz})(0.80\text{ m}) =4.0\text{ m s}^{-1}. \]

في الجزء ب، استخدم العلاقة:

\[ t=\frac{d}{v}. \]

إذن:

\[ t = \frac{12\text{ m}}{4.0\text{ m s}^{-1}} = 3.0\text{ s}. \]

تمثل القيمة \(4.0\text{ m s}^{-1}\) سرعة انتشار نمط الموجة وطاقتها. ولا تعني أن جسيمات الوسط تقطع مسافة \(12\text{ m}\) خلال \(3.0\text{ s}\).

السؤال 3

يقول أحد الطلاب:

«سرعة الموجة على الخيط هي \(20\text{ m s}^{-1}\)، لذا لا بد أن يتحرك كل جزء صغير من الخيط بسرعة \(20\text{ m s}^{-1}\)».

تهتز جسيمات الخيط بسعة \(0.015\text{ m}\) وتردد \(5.0\text{ Hz}\).

اشرح الخطأ. ثم حدّد المسافة الكلية التي يقطعها جسيم واحد من الخيط خلال اهتزازة كاملة.

الحل 3

ادعاء الطالب غير صحيح لأن سرعة الموجة وسرعة الجسيم تصفان حركتين مختلفتين. يقطع جسيم واحد من الخيط مسافة كلية مقدارها \(0.060\text{ m}\) خلال اهتزازة كاملة.

تصف القيمة \(20\text{ m s}^{-1}\) سرعة انتقال نمط الموجة على طول الخيط.

أما جسيم معين من الخيط، فيهتز حول موضع اتزانه الخاص. وتتغير سرعته اللحظية خلال الدورة، لذا لا يمكن إسناد سرعة الموجة إليه ببساطة.

بما أن السعة هي:

\[ A=0.015\text{ m}, \]

فإن الجسيم ينتقل من أحد الطرفين الأقصيين إلى الطرف الآخر، ثم يعود خلال دورة كاملة. وتكون المسافة الكلية:

\[ d=4A. \]

بالتعويض:

\[ d = 4(0.015\text{ m}) = 0.060\text{ m}. \]

إذن يتحرك الجسيم مسافة كلية مقدارها \(0.060\text{ m}\) خلال اهتزازة واحدة، مع بقائه متمركزًا حول الموضع نفسه تقريبًا على طول الخيط.

الخطأ المغري هنا هو التعامل مع الشكل المنتقل للموجة كما لو كان جزءًا من المادة ينتقل معها.

السؤال 4

ينتج مكبر صوت نبضة صوتية في هواء ساكن. يكتشف ميكروفون يبعد \(6.0\text{ m}\) النبضة بعد \(0.018\text{ s}\) من إنتاجها.

احسب سرعة النبضة الصوتية. ثم يدّعي أحد الطلاب أن بعض الهواء الذي كان يلامس مكبر الصوت في البداية لا بد أن يكون قد قطع المسافة الكاملة البالغة \(6.0\text{ m}\) حتى الميكروفون. قيّم هذا الادعاء.

الحل 4

تنتقل النبضة بسرعة تقارب \(3.3\times10^2\text{ m s}^{-1}\)، لكن الهواء القريب من مكبر الصوت ليس مضطرًا إلى قطع مسافة \(6.0\text{ m}\) حتى يصل إلى الميكروفون.

سرعة الموجة هي:

\[ v=\frac{d}{t}. \]

بالتعويض:

\[ v = \frac{6.0\text{ m}}{0.018\text{ s}} = 333\text{ m s}^{-1}. \]

وبالتقريب إلى رقمين معنويين:

\[ v=3.3\times10^2\text{ m s}^{-1}. \]

هذه هي سرعة انتشار اضطراب الضغط.

في الموجة الصوتية، تهتز مناطق صغيرة من الهواء ذهابًا وإيابًا. وتدفع إحدى المناطق المنطقة التي تليها، مما يؤدي إلى تكوّن تضاغطات وتخلخلات تنتشر عبر الهواء. لذلك تنتقل الطاقة عبر الفجوة البالغة \(6.0\text{ m}\) من خلال التفاعلات الموضعية بين مناطق الهواء المتجاورة.

يتمثل خطأ الطالب في افتراض أن وصول الطاقة إلى الميكروفون يعني أن المادة نفسها لا بد أن تصل إليه أيضًا.

السؤال 5

تنتقل نبضة مستعرضة نحو اليمين على طول خيط. وفي لحظة معينة، تقع النقطة P على جزء من النبضة يرتفع ميله عند النظر من اليسار إلى اليمين.

وفي اللحظة نفسها، يتحرك جزء الخيط عند النقطة P إلى الأسفل.

يجادل أحد الطلاب بأن هذا مستحيل لأن «الموجة التي تنتقل إلى اليمين يجب أن تجعل الخيط يتحرك إلى اليمين».

هل يمكن أن تكون هذه الملاحظة صحيحة؟ وضّح استدلالك من دون افتراض أن جسيمات الخيط تنتقل مع النبضة.

الحل 5

نعم. هذه الملاحظة تتفق تمامًا مع انتقال النبضة نحو اليمين.

تخيّل أنك التقطت صورة لحظية للنبضة، ثم أزحت شكل النبضة بأكمله قليلًا نحو اليمين.

تبقى النقطة P نفسها في الموضع الأفقي نفسه، لأنها تحدد جزءًا معينًا من الخيط. وبعد انتقال النبضة نحو اليمين، تصبح الإزاحة الموجودة عند P هي الإزاحة التي كانت موجودة سابقًا عند نقطة تقع قليلًا إلى يسار P.

وبما أن النبضة الأصلية ترتفع من اليسار إلى اليمين، فإن النقطة الواقعة قليلًا إلى يسار P لها إزاحة أقل من إزاحة P. وعندما يصل ذلك الجزء ذي الإزاحة الأقل إلى P، لا بد أن يتحرك جسيم الخيط عند P إلى الأسفل.

إذن:

• تنتشر النبضة نحو اليمين.
• يتحرك الجسيم عند P إلى الأسفل.

لا يوجد أي تناقض، لأن اتجاه الانتشار واتجاه حركة الجسيم كميتان مختلفتان.

وهذا يفسر أيضًا كيف يمكن لموجة مستعرضة أن تنتشر أفقيًا بينما يهتز وسطها رأسيًا. وعندما نميّز هاتين الحركتين بوضوح، تصبح مفاهيم مثل الانعكاس والتداخل والموجات الواقفة أسهل بكثير في التحليل.