شرح سعة الموجة والإزاحة في فيزياء HSC

يمكن أن تكون إزاحة نقطة على موجة تساوي صفرًا، ومع ذلك تنتمي هذه النقطة إلى موجة ذات سعة كبيرة. قد يبدو ذلك متناقضًا في البداية. فإذا كانت النقطة تقع تمامًا على الخط الأوسط، أفلا يعني ذلك أن الموجة قد اختفت عندها؟

توقّع الإجابة قبل مواصلة القراءة: تعبر نقطة على خيط موضعه الأوسط بأقصى سرعة ممكنة. في تلك اللحظة، هل تكون إزاحتها صفرًا، أم تساوي القيمة العظمى، أم تقع في مكان ما بينهما؟

إزاحتها تساوي صفرًا. فالنقطة عند موضع اتزانها. ومع ذلك، يمكن أن تكون سرعتها كبيرة، لأن الإزاحة تخبرنا بموضع النقطة، لا بمدى سرعة حركتها.

هذا التمييز هو المفتاح لفهم موضع الاتزان، والإزاحة اللحظية، والإزاحة العظمى.

01ابدأ بنقطة واحدة على الموجة

تخيّل حبلًا طويلًا مشدودًا أفقيًا. قبل أن يحركه أي شخص، تقع جميع نقاط الحبل على خط مستقيم.

والآن، حرّك أحد طرفيه إلى أعلى وأسفل. تنتقل موجة على طول الحبل، بينما تتحرك أجزاء الحبل الفردية إلى أعلى مواضعها الأصلية وأسفلها.

اختر نقطة صغيرة جدًا على الحبل، وتتبّع حركة هذه النقطة وحدها.

قد تتحرك على النحو الآتي:

• تبدأ عند الخط الأوسط
• تتحرك مسافة 2 cm فوقه
• تتحرك مسافة 4 cm فوقه
• تعود عابرةً الخط الأوسط
• تتحرك مسافة 4 cm أسفله
• تعود مرة أخرى

يمثّل الخط الأوسط مرجعنا. ويعطي موضع النقطة بالنسبة إلى هذا الخط إزاحتها.

02موضع الاتزان هو الموضع المرجعي

موضع الاتزان هو الموضع الذي يشغله جسيم في الوسط عندما لا تكون الموجة قد أزاحته عن موضعه الأصلي.

في حالة الحبل المشدود، يكون موضع الاتزان هو وضع الحبل المستقيم قبل وصول الاضطراب.

عادةً ما نُسنِد إلى هذا الموضع إزاحة تساوي صفرًا:

\[ y = 0 \]

هنا، يمثّل \(y\) إزاحة الجسيم عن موضع الاتزان، وتقاس بالمتر (m).

يكتسب موضع الاتزان أهميته لأن الإزاحة لا تُقاس عادةً من الأرضية أو المكتب أو أي نقطة أخرى اختيرت اعتباطيًا. بل تُقاس من موضع الجسيم نفسه قبل اضطرابه.

افترض أن حبلًا يتدلى على ارتفاع 1.2 m فوق الأرضية. إذا كان أحد مواضع الحبل أعلى من موضع اتزانه بمقدار 3 cm في لحظة معينة، فإن إزاحته تساوي \(+0.03\) m. ولا تساوي إزاحته 1.23 m.

لا علاقة للأرضية بحركة الموجة.

الاتزان لا يعني «التوقف»

من الأخطاء الشائعة الاعتقاد بأن الجسيم يجب أن يتوقف عند وصوله إلى موضع الاتزان.

لكن العكس هو ما يحدث غالبًا للجسيم المتذبذب.

فكّر في أرجوحة في ملعب. عند موضعيها الطرفيين، تتوقف الأرجوحة لحظة قصيرة قبل أن تعكس اتجاه حركتها. أما عند مرورها بالمنتصف، فتكون سرعتها أكبر ما يمكن.

ويحدث النمط نفسه لجسيم يخضع لحركة توافقية بسيطة:

يصف الجدول الحركة التوافقية البسيطة المثالية. ولا تتبع كل حركة موجية ممكنة نمط السرعة هذا تمامًا، لكنه النموذج المستخدم للموجات الجيبية في فيزياء HSC.

03تخبرك الإزاحة اللحظية بموضع الجسيم الآن

الإزاحة اللحظية هي إزاحة الجسيم عن موضع الاتزان في لحظة زمنية محددة.

إذا اخترنا الاتجاه إلى أعلى موجبًا، فإن:

• النقطة التي تقع على ارتفاع 2 cm فوق موضع الاتزان تكون إزاحتها \(+2\) cm
• النقطة التي تقع على مسافة 2 cm أسفل موضع الاتزان تكون إزاحتها \(-2\) cm
• النقطة الواقعة تمامًا عند موضع الاتزان تكون إزاحتها \(0\)

الإشارة مهمة لأن للإزاحة اتجاهًا.

وكلمة لحظية مهمة أيضًا، إذ يمكن أن تتغير قيمة الإزاحة باستمرار أثناء تذبذب الجسيم.

تخيّل أنك تتحقق من موقع شخص خلال موعد يتسم بالتكرار الشديد، حيث يمشي الشخص مسافة 5 m بالضبط على كل جانب من طاولة. قد تكون المسافة الحالية للشخص عن الطاولة واتجاهه بالنسبة إليها \(+3\) m في هذه اللحظة، رغم قدرته على الوصول إلى \(+5\) m. يمثّل الرقم الأول إزاحته الحالية، بينما يوضح الرقم الثاني أكبر إزاحة يسمح بها هذا الموعد الغريب.

لكن هذا التشبيه لا ينطبق تمامًا، لأن جسيمات الموجة لا تمشي عمدًا ذهابًا وإيابًا، ولأن حركة الموجة قد تتضمن مسافات أصغر بكثير. ومع ذلك، فهو يوضح الفرق بين الفكرتين بجلاء: الموضع الحالي ليس هو نفسه أقصى إزاحة ممكنة.

04الإزاحة العظمى هي السعة

لنفترض الآن أن النقطة على الحبل تتحرك بين \(+4\) cm و\(-4\) cm.

أكبر إزاحة ممكنة لها عن موضع الاتزان، من حيث المقدار، هي 4 cm.

وتسمى هذه القيمة السعة، ويرمز إليها بـ \(A\).

\[ A = \text{أكبر مقدار للإزاحة عن موضع الاتزان} \]

وبصورة أدق، إذا مُثّلت إزاحة الجسيم بالرمز \(y\)، فإن:

\[ A = \max |y| \]

تعني علامتا القيمة المطلقة أننا نهتم بمقدار الإزاحة، لا باتجاهها الموجب أو السالب.

لذلك، إذا وصل الجسيم إلى:

\[ y_{\max}=+0.040\text{ m} \]

و

\[ y_{\min}=-0.040\text{ m}, \]

فإن سعته تساوي:

\[ A=0.040\text{ m}. \]

تُعطى السعة عادةً بوصفها كمية موجبة.

لا تقس السعة من القمة إلى القاع

من السهل الوقوع في هذا الخطأ، لأن الارتفاع الكامل للموجة واضح بصريًا.

إذا امتدت الموجة مسافة 6 cm فوق موضع الاتزان ومسافة 6 cm أسفله، فإن المسافة من القمة إلى القاع تساوي 12 cm.

لكن السعة تساوي فقط:

\[ A=6\text{ cm}. \]

المسافة من القمة إلى القاع تساوي \(2A\).

يمكن الاستعانة بالقاعدة الآتية لاتخاذ القرار:

تُقاس السعة من موضع الاتزان إلى أحد الموضعين الطرفيين، لا من أحد الموضعين الطرفيين إلى الآخر.

05مقارنة الكميات الثلاث جنبًا إلى جنب

بالنسبة إلى جسيم في موجة جيبية:

\[ -A \leq y \leq A. \]

لذلك، إذا كانت \(A=5.0\) cm، فمن الممكن أن تكون الإزاحة اللحظية \(+3.0\) cm. ومن الممكن أيضًا أن تكون \(-4.7\) cm.

لكن الإزاحة اللحظية \(+6.0\) cm غير ممكنة ما لم تتغير السعة.

07وصف الإزاحة رياضيًا

في الموجة الجيبية، تتغير الإزاحة بسلاسة بين \(+A\) و\(-A\).

يمكن وصفها رياضيًا بإحدى الصيغ الآتية:

\[ y(x,t)=A\sin(kx-\omega t), \]

حيث:

• \(y(x,t)\) هي الإزاحة اللحظية بالمتر
• \(A\) هي السعة بالمتر
• \(x\) هو الموضع على امتداد اتجاه انتشار الموجة، بالمتر
• \(t\) هو الزمن بالثواني
• \(k\) هو العدد الموجي، بوحدة الراديان لكل متر
• \(\omega\) هو التردد الزاوي، بوحدة الراديان لكل ثانية

لا تحتاج إلى دالة الجيب من أجل تعريف الإزاحة أو السعة. فالمعادلة تجعل الصورة التي شرحناها سابقًا أكثر دقة فحسب.

بما أن دالة الجيب لا يمكن أن تأخذ إلا قيمًا بين \(-1\) و\(+1\)، فإن:

\[ -1\leq\sin(kx-\omega t)\leq1. \]

وبضرب الطرفين في \(A\)، نحصل على:

\[ -A\leq y\leq A. \]

وهذا هو السبب في أن \(A\) تمثل أكبر مقدار للإزاحة.

08تنتقل الموجة عبر الوسط، لكن الجسيمات لا تنتقل معها

يصبح هذا التمييز مفيدًا بصورة خاصة عند النظر إلى لقطة لموجة مستعرضة.

قد يبدو شكل الموجة وكأنه ينتقل إلى اليمين. لكن الجسيمات الفردية في الخيط تتحرك في الغالب إلى أعلى وأسفل.

لذلك، عندما تكون نقطة على الرسم البياني أعلى من موضع الاتزان بمقدار 2 cm، فإن الرسم يبيّن إزاحة جسيم عند ذلك الموضع. ولا يعني ذلك أن الجسيم قد انتقل أفقيًا مع القمة.

في الموجة المستعرضة:

• يكون اتجاه انتشار الموجة واتجاه إزاحة الجسيم متعامدين.

في الموجة الطولية:

• يكون اتجاه انتشار الموجة واتجاه إزاحة الجسيم متوازيين.

تظل مفاهيم موضع الاتزان والإزاحة اللحظية والإزاحة العظمى قابلة للتطبيق في الحالتين.

يصعب رسم الموجة الطولية لأن الجسيمات تتحرك ذهابًا وإيابًا على امتداد الاتجاه نفسه الذي تنتشر فيه الموجة. ومع ذلك، يمكن لرسم بياني للإزاحة مقابل الموضع أن يوضّح إزاحات الجسيمات الموجبة والسالبة، رغم أن الوسط الفيزيائي لا يتخذ حرفيًا شكلًا متموجًا إلى أعلى وأسفل.

09أهم فكرة خاطئة: الإزاحة الصفرية لا تعني عدم وجود موجة

تأمل لقطة لموجة جيبية. فقد تقع عدة نقاط تمامًا على خط الاتزان.

قد يكون من المغري القول: «لا يوجد اضطراب عند هذه النقاط».

لكن الإزاحة لا تعطينا سوى جزء واحد من المعلومات.

فقد يكون الجسيم عند موضع الاتزان أثناء مروره به. وبعد لحظة واحدة، لن تعود إزاحته صفرًا.

لذلك، يمكن أن تكون نقطة إزاحتها صفرًا في موجة جيبية منتقلة جزءًا من موجة عادية تمامًا ذات سعة وطاقة غير صفريتين.

ويوضح ذلك أيضًا سبب عدم إمكانية تحديد السعة من قياس واحد للإزاحة اللحظية، إلا إذا أُجري القياس عند أحد الموضعين الطرفيين.

افترض أنك قست:

\[ y=2.0\text{ cm}. \]

هل يمكنك استنتاج أن \(A=2.0\) cm؟

لا. كل ما تعرفه هو أن:

\[ A\geq2.0\text{ cm}. \]

فقد تصل إزاحة الجسيم لاحقًا إلى 3 cm أو 5 cm أو أي مقدار أكبر آخر.

10الأسئلة والحلول

السؤال 1

موضع الاتزان لنقطة على خيط هو \(y=0\). وفي لحظة معينة، تقع النقطة على ارتفاع 2.4 cm فوق موضع الاتزان. سعة الموجة 5.0 cm.

اذكر الإزاحة اللحظية للنقطة والإزاحة العظمى لها.

الحل 1

الإزاحة اللحظية هي \(+2.4\) cm، والإزاحة العظمى هي \(5.0\) cm.

باعتبار الاتجاه إلى أعلى موجبًا، فإن الموضع الحالي للجسيم يعطينا:

\[ y=+2.4\text{ cm}. \]

وتعطي السعة أكبر مقدار لإزاحته:

\[ A=5.0\text{ cm}. \]

إذن، يقع الجسيم في موضع بين الاتزان وموضعه الطرفي الموجب. ولا يشترط أن تساوي إزاحته الحالية السعة.

السؤال 2

يتحرك جسيم في موجة جيبية بين \(y=+8.0\) mm و\(y=-8.0\) mm.

يقول أحد الطلاب: «السعة هي 16 mm لأن الجسيم يتحرك ضمن نطاق رأسي كامل مقداره 16 mm».

هل الطالب محق؟ حدّد السعة واشرح الخطأ.

الحل 2

لا. السعة هي \(8.0\) mm.

تُقاس السعة من موضع الاتزان إلى أحد الموضعين الطرفيين:

\[ A=8.0\text{ mm}. \]

أما المسافة بين الموضعين الطرفيين فهي:

\[ (+8.0)-(-8.0)=16.0\text{ mm}, \]

وهي تساوي \(2A\).

لقد خلط الطالب بين النطاق الكامل من أحد الموضعين الطرفيين إلى الآخر وبين الإزاحة العظمى عن موضع الاتزان.

السؤال 3

تُوصف موجة بالمعادلة:

\[ y(x,t)=0.020\sin(5\pi x-4\pi t), \]

حيث تُقاس الإزاحة \(y\) والموضع \(x\) بالمتر، ويُقاس الزمن \(t\) بالثواني.

حدّد ما يأتي:

• الإزاحة العظمى
• الإزاحة اللحظية عند \(x=0.10\) m و\(t=0\)
• ما إذا كان الجسيم عند موضع الاتزان في تلك اللحظة

الحل 3

الإزاحة العظمى هي \(0.020\) m، والإزاحة اللحظية هي \(0.020\) m، والجسيم ليس عند موضع الاتزان.

السعة هي المعامل الذي يسبق دالة الجيب:

\[ A=0.020\text{ m}. \]

عند \(x=0.10\) m و\(t=0\):

\[ y=0.020\sin(5\pi(0.10)-4\pi(0)) \]

\[ =0.020\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) =0.020(1) =0.020\text{ m}. \]

يقابل موضع الاتزان \(y=0\). وبما أن:

\[ y=+0.020\text{ m}, \]

فإن الجسيم يقع عند موضعه الطرفي الموجب بدلًا من ذلك.

وتساوي النتيجة أيضًا \(+A\)، مما يؤكد أن هذه إزاحة موجبة عظمى.

السؤال 4

في لحظة معينة، تكون إزاحتا نقطتين على الموجة الجيبية نفسها كما يأتي:

\[ y_P=0 \]

و

\[ y_Q=+3.0\text{ cm}. \]

يجادل أحد الطلاب بأن النقطة \(Q\) لا بد أن تكون ذات سعة أكبر لأن إزاحتها أكبر في تلك اللحظة.

سعة الموجة ثابتة على امتداد هذا الجزء من الوسط. قيّم استدلال الطالب.

الحل 4

استدلال الطالب غير صحيح. فالنقطتان لهما السعة نفسها لأن المسألة تنص على أن سعة الموجة ثابتة على امتداد ذلك الجزء.

تخبرنا الإزاحة اللحظية بموضع كل جسيم في لحظة معينة. لكنها لا تخبرنا عمومًا بإزاحته العظمى.

تصادف أن النقطة \(P\) تقع عند موضع الاتزان:

\[ y_P=0. \]

أما النقطة \(Q\)، فتصادف أنها تقع فوق موضع الاتزان:

\[ y_Q=+3.0\text{ cm}. \]

تصف هاتان القيمتان موضعيهما الحاليين، لا سعتين مختلفتين للموجة.

في الواقع، قد تصل النقطة \(P\) لاحقًا إلى الموضعين الطرفيين الموجَب والسالب نفسيهما اللذين تصل إليهما النقطة \(Q\). ويتمثل الخطأ المغري هنا في التعامل مع لقطة للإزاحة كما لو كانت تُظهر النطاق الكامل لحركة كل جسيم.

السؤال 5

يسجّل مستشعر إزاحة نقطة واحدة على خيط. وخلال أول 0.20 s من التسجيل، كان أكبر مقدار للإزاحة المقاسة 4.0 mm.

يستنتج أحد الطلاب أن سعة الموجة لا بد أن تكون 4.0 mm.

هل هذا الاستنتاج مبرر بناءً على المعلومات المعطاة؟

الحل 5

لا. لا تثبت البيانات إلا أن السعة لا تقل عن 4.0 mm.

لقد رصد المستشعر:

\[ |y|_{\max,\text{ observed}}=4.0\text{ mm}. \]

لكن السعة هي أكبر مقدار فعلي للإزاحة خلال التذبذب:

\[ A=\max|y|. \]

ما لم يكن معلومًا أن الفترة الزمنية البالغة 0.20 s تشمل موضعًا طرفيًا، فمن الممكن أن يصل الجسيم لاحقًا إلى إزاحة أكبر من 4.0 mm.

لذلك:

\[ A\geq4.0\text{ mm}. \]

إذا غطّى التسجيل دورة تذبذب كاملة على الأقل لموجة جيبية مستقرة، فمن المفترض أن يكشف أكبر مقدار مقاس عن السعة. أما من دون هذه المعلومة الإضافية، فإن مساواة أكبر إزاحة مرصودة حتى الآن بالإزاحة العظمى الحقيقية هي افتراض لا تدعمه المعلومات المتاحة.

السؤال 6

تكون نقطة على خيط عند \(y=0\) لحظيًا. وتكون نقطة أخرى على الخيط نفسه عند \(y=A\) لحظيًا، حيث تمثّل \(A\) سعة الموجة.

يدّعي أحد الطلاب أن النقطة عند \(y=A\) «تتأثر بالموجة بدرجة أكبر» لأن إزاحتها أكبر.

بالنسبة إلى موجة جيبية، اشرح لماذا لا تكفي الإزاحة اللحظية وحدها لدعم هذا الاستنتاج. وضمّن في إجابتك ما يمكن قوله عن حركة كل جسيم في تلك اللحظة.

الحل 6

لا يمكن استخدام الإزاحة اللحظية وحدها لقياس مدى مشاركة الجسيم في الموجة. فقد ينتمي الجسيمان إلى الموجة نفسها، ولهما السعة نفسها، رغم اختلاف إزاحتيهما اللحظيتين.

بالنسبة إلى الجسيم الأول:

\[ y=0. \]

إنه عند موضع الاتزان. وفي الحركة الجيبية المثالية، يكون مقدار سرعته أعظميًا عند مروره بهذا الموضع.

أما الجسيم الثاني:

\[ y=A. \]

فهو عند أقصى إزاحة موجبة. وتكون سرعته في تلك اللحظة صفرًا لأنه على وشك عكس اتجاه حركته.

لذلك، قد يتحرك الجسيم ذو الإزاحة الصفرية بسرعة أكبر من الجسيم الموجود عند الإزاحة العظمى.

يتمثل خطأ الطالب في التعامل مع الإزاحة كما لو كانت وصفًا كاملًا لحركة الجسيم. لكنها لا تصف سوى موضعه بالنسبة إلى موضع الاتزان في لحظة واحدة. وللوصف الكامل للحركة، نحتاج أيضًا إلى كميات مثل السرعة والتردد والطور، ثم الطاقة في نهاية المطاف.

وهذه هي الخطوة التالية المفيدة: بعد أن يتضح مفهوما موضع الاتزان والإزاحة، يخبرنا الطور بموضع الجسيمات المختلفة ضمن تذبذباتها، بينما تخبرنا الدورة والتردد بمدى سرعة تكرار تلك التذبذبات.