التسارع المركزي: لماذا يتجه إلى الداخل في فيزياء HSC

يمكن لسيارة أن تسير حول منعطف بسرعة ثابتة تمامًا مقدارها 15 m/s، ومع ذلك تكون متسارعة. قد يبدو ذلك غير منطقي للوهلة الأولى. إذا لم تتغير قراءة عداد السرعة مطلقًا، فما الذي يتغير تحديدًا؟

توقّع الإجابة قبل متابعة القراءة: إذا كانت السيارة تتحرك شرقًا ثم انعطفت يسارًا فأصبحت تتحرك شمالًا، فهل تغيرت سرعتها المتجهة حتى لو ظلت سرعتها القياسية 15 m/s؟

نعم. تتضمن السرعة المتجهة المقدار والاتجاه معًا. ظل المقدار مساويًا لـ 15 m/s، لكن الاتجاه تغير من الشرق إلى الشمال. وأي تغير في السرعة المتجهة يعني وجود تسارع.

تعتمد الحركة الدائرية على هذه الفكرة. فالجسم الذي يتحرك على مسار دائري يغيّر اتجاه سرعته المتجهة باستمرار، ولذلك لا بد أن يكون متسارعًا. ويتجه هذا التسارع نحو مركز الدائرة، ويكون مقداره

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

حيث \(a_c\) هو التسارع المركزي بوحدة \(\text{m s}^{-2}\)، و\(v\) هي السرعة اللحظية للجسم بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)، و\(r\) هو نصف قطر المسار الدائري بالمتر.

هذه المعادلة مفيدة، لكن فهم سبب اتجاه التسارع نحو الداخل أهم من مجرد معرفة المعادلة.

01السرعة القياسية الثابتة لا تعني سرعة متجهة ثابتة

تخيّل كرة تتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة حول مسار دائري.

في كل لحظة، يشير متجه سرعتها إلى المماس للدائرة. بعبارة أخرى، يشير متجه سرعة الكرة إلى الاتجاه الذي ستتحرك فيه لو اختفى المسار الدائري فجأة.

افترض أن الكرة تقع عند الجانب الأيمن من الدائرة. عندئذٍ يشير متجه سرعتها إلى الأعلى. وبعد فترة زمنية قصيرة، عندما تكون قد تحركت قليلًا إلى الأمام على المسار الدائري، يصبح متجه سرعتها متجهًا إلى الأعلى وإلى اليسار قليلًا.

للمتجهين الطول نفسه لأن السرعة القياسية لم تتغير. لكنهما لا يشيران إلى الاتجاه نفسه.

يعتمد التسارع على التغير في السرعة المتجهة:

\[ \vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} \]

هنا، يشير الرمز \(\Delta \vec v\) إلى التغير في متجه السرعة، وليس مجرد التغير في السرعة القياسية.

وهذا التمييز هو جوهر الفكرة كلها.

02لماذا يتجه التسارع نحو المركز؟

خذ متجهي سرعة من لحظتين متقاربتين جدًا. لهما المقدار نفسه، لكن اتجاهيهما مختلفان قليلًا.

اطرح الآن متجه السرعة الأول من متجه السرعة الثاني لإيجاد \(\Delta \vec v\).

خلال فترة زمنية قصيرة جدًا، يشير التغير في السرعة المتجهة إلى اتجاه يكاد يكون مباشرًا نحو مركز الدائرة. وكلما صغرت الفترة الزمنية أكثر فأكثر، اقترب اتجاه هذا التغير من الاتجاه الشعاعي نحو الداخل تمامًا.

وبما أن

\[ \vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}, \]

فإن التسارع يشير إلى الاتجاه نفسه الذي يشير إليه \(\Delta \vec v\)، أي نحو المركز.

يُسمّى هذا التسارع المتجه نحو الداخل التسارع المركزي. وكلمة «مركزي» تصف حرفيًا شيئًا يتجه نحو المركز.

يمكنك الاستعانة بصورة ذهنية بسيطة: تخيّل عربة تسوق تحاول الاستمرار في التحرك بخط مستقيم بينما تغيّر اتجاهها باستمرار لتسير حول مسار دائري. في كل لحظة، تكون حركة العربة الحالية مماسية للدائرة، بينما يؤدي توجيهك لها إلى تغيير حركتها نحو داخل المنعطف.

لكن لهذا التشبيه حدودًا. فالعربة لا «تحاول» فعل أي شيء في الحقيقة، كما أن التسارع نحو الداخل ليس مادة منفصلة أو قوة غامضة. إنه ببساطة التسارع اللازم لجعل متجه السرعة يستمر في الدوران.

03اشتقاق العلاقة \(a_c=\frac{v^2}{r}\)

يمكننا الآن توضيح الفكرة بدقة أكبر.

خلال فترة زمنية قصيرة جدًا \(\Delta t\)، يقطع جسم يتحرك بسرعة \(v\) مسافة تساوي تقريبًا

\[ \Delta s=v\Delta t. \]

إذا كان نصف قطر المسار الدائري هو \(r\)، فإن الزاوية الصغيرة التي يتحرك خلالها الجسم، مقاسة بالراديان، تساوي تقريبًا

\[ \Delta \theta=\frac{\Delta s}{r}. \]

بالتعويض عن \(\Delta s=v\Delta t\)، نحصل على

\[ \Delta \theta=\frac{v\Delta t}{r}. \]

يدور متجه السرعة خلال الزاوية الصغيرة نفسها \(\Delta\theta\). وعندما تكون الزاوية صغيرة بما يكفي، يكون مقدار التغير في السرعة المتجهة مساويًا تقريبًا

\[ \Delta v=v\Delta\theta. \]

إذن

\[ \Delta v = v\left(\frac{v\Delta t}{r}\right) = \frac{v^2\Delta t}{r}. \]

نقسم على \(\Delta t\):

\[ a_c = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v^2}{r}. \]

عندما تصبح الفترة الزمنية متناهية الصغر، نحصل على القيمة اللحظية الدقيقة للتسارع المركزي.

يوضح لنا هذا الاشتقاق أكثر مما توضحه المعادلة وحدها. فالتسارع يزداد عندما يتعين على اتجاه السرعة المتجهة أن يدور بسرعة أكبر.

وهناك طريقتان واضحتان لتحقيق ذلك:

• زيادة السرعة \(v\)، أو
• جعل المسار الدائري أشد انحناءً عن طريق تقليل \(r\).

وللسرعة تأثير قوي بشكل خاص لأنها مرفوعة إلى التربيع.

04ما الذي تخبرنا به المعادلة فعلًا؟

تعطينا العلاقة

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

بعض التوقعات المفيدة.

لهذا السبب، يؤدي زيادة سرعتك أثناء اجتياز منعطف إلى تغيير الوضع بصورة كبيرة. فالتحرك بسرعة تعادل ضعف السرعة الأصلية لا يتطلب مجرد مضاعفة التسارع المركزي، بل يتطلب تسارعًا مركزيًا يعادل أربعة أضعاف قيمته الأصلية.

05إيجاد السرعة من الزمن الدوري

أحيانًا لا يعطيك سؤال في اختبار HSC قيمة \(v\) مباشرة.

إذا أكمل جسم دورة كاملة حول دائرة نصف قطرها \(r\)، فإنه يقطع مسافة تساوي محيط الدائرة:

\[ 2\pi r. \]

إذا استغرق إكمال دورة واحدة زمنًا دوريًا مقداره \(T\)، فإن سرعته تكون

\[ v=\frac{2\pi r}{T}, \]

حيث يُقاس \(T\) بالثواني.

بعد ذلك، يمكنك التعويض بهذه السرعة في العلاقة \(a_c=v^2/r\).

06الفكرة الخاطئة المغرية: «إذا كان التسارع يتجه نحو الداخل، أفلا ينبغي أن يتحرك الجسم نحو الداخل؟»

ربما يكون هذا أهم تصور خاطئ ينبغي تصحيحه.

في لحظة معينة، يكون للجسم الذي يتحرك حركة دائرية منتظمة:

• سرعة متجهة مماسية للدائرة، و
• تسارع عمودي على متجه السرعة، ومتجه نحو المركز.

يخبرك التسارع بكيفية تغير السرعة المتجهة، لكنه لا يخبرك باتجاه السرعة المتجهة نفسها.

تخيّل جسمًا يتحرك إلى الأعلى عند الجانب الأيمن من دائرة. خلال فترة زمنية ضئيلة، يضيف التسارع المتجه إلى الداخل تغيرًا صغيرًا نحو اليسار إلى سرعته المتجهة. لذلك يصبح اتجاه متجه سرعته الجديد إلى الأعلى وإلى اليسار قليلًا.

وبعد لحظة، يؤدي تغير آخر نحو الداخل إلى تدوير اتجاه السرعة أكثر قليلًا.

ومع استمرار هذه التغيرات، ينحني المسار ليصبح دائريًا.

لا يبدأ الجسم فجأة بالتحرك نحو المركز، لأنه يمتلك أصلًا سرعة متجهة مماسية. بل يحافظ التسارع المتجه إلى الداخل على انحناء متجه السرعة بدلًا من استبداله.

07لا تعني كلمة «مركزي» وجود نوع جديد من القوة

تصف كلمة «مركزي» اتجاه التسارع ودوره: أي نحو مركز المسار الدائري.

ولا تعني أن هناك بالضرورة قوة فيزيائية خاصة تُسمّى «القوة المركزية».

يمكن لقوى حقيقية مختلفة أن تنتج التسارع المتجه إلى الداخل المطلوب في الأنظمة المختلفة. فالجاذبية يمكن أن تحقق ذلك لقمر صناعي يدور في مداره، ويمكن لقوة الشد أن تحققه لجسم مربوط بخيط، كما يمكن لقوة الاحتكاك أن تسهم فيه عندما تنعطف سيارة على طريق أفقي.

يصبح هذا التمييز مهمًا عند الانتقال من دراسة حركيات الحركة الدائرية إلى قوانين نيوتن.

في الوقت الحالي، احرص على فهم تسلسل الاستدلال بوضوح:

\[ \text{يتغير اتجاه السرعة المتجهة} \rightarrow \text{يكون التسارع نحو الداخل} \rightarrow a_c=\frac{v^2}{r}. \]

08الأسئلة والحلول

السؤال 1

يتحرك راكب دراجة بسرعة ثابتة مقدارها \(15.0\text{ m s}^{-1}\) حول مسار دائري نصف قطره \(25.0\text{ m}\).

احسب التسارع المركزي لراكب الدراجة، وحدّد اتجاهه.

الحل 1

يبلغ التسارع المركزي لراكب الدراجة \(9.00\text{ m s}^{-2}\)، ويتجه نحو مركز المسار.

العلاقة الأساسية هي

\[ a_c=\frac{v^2}{r}. \]

عوّض بـ \(v=15.0\text{ m s}^{-1}\) و\(r=25.0\text{ m}\):

\[ a_c = \frac{(15.0\text{ m s}^{-1})^2}{25.0\text{ m}} = \frac{225\text{ m}^2\text{ s}^{-2}}{25.0\text{ m}} = 9.00\text{ m s}^{-2}. \]

الخطأ المغري هنا هو القول إن التسارع يساوي صفرًا لأن السرعة القياسية ثابتة. فالسرعة القياسية لراكب الدراجة ثابتة، لكن اتجاه سرعته المتجهة يتغير باستمرار، ولذلك فإن سرعته المتجهة ليست ثابتة.

السؤال 2

تتحرك سيارة حول مسار دائري محيطه \(120\text{ m}\). وتكمل دورة واحدة في \(8.00\text{ s}\) بسرعة ثابتة.

أ. احسب نصف قطر المسار.

ب. احسب سرعة السيارة.

ج. احسب تسارعها المركزي.

د. يزيد السائق سرعته بعد ذلك بنسبة \(10\%\) مع الاستمرار في اتباع المسار الدائري نفسه. ما النسبة المئوية التي يزداد بها التسارع المركزي؟

الحل 2

يبلغ نصف القطر نحو \(19.1\text{ m}\)، وتبلغ السرعة الأصلية \(15.0\text{ m s}^{-1}\)، ويبلغ التسارع المركزي الأصلي نحو \(11.8\text{ m s}^{-2}\)، وتؤدي زيادة السرعة بنسبة \(10\%\) إلى زيادة التسارع المركزي بنسبة \(21\%\).

في الجزء أ، يُعطى محيط الدائرة \(C\) بالعلاقة

\[ C=2\pi r. \]

إذن

\[ r = \frac{C}{2\pi} = \frac{120\text{ m}}{2\pi} = 19.1\text{ m}. \]

في الجزء ب،

\[ v = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}} = \frac{120\text{ m}}{8.00\text{ s}} = 15.0\text{ m s}^{-1}. \]

في الجزء ج،

\[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(15.0\text{ m s}^{-1})^2}{19.1\text{ m}} \approx 11.8\text{ m s}^{-2}. \]

في الجزء د، تصبح السرعة الجديدة \(1.10v\). لذلك،

\[ a_c' = \frac{(1.10v)^2}{r} = 1.21\frac{v^2}{r} = 1.21a_c. \]

إذن يزداد التسارع بنسبة \(21\%\).

الخطأ المغري هو القول إن زيادة السرعة بنسبة \(10\%\) تؤدي إلى زيادة التسارع بنسبة \(10\%\). ولا يصح ذلك إلا إذا كان التسارع يتناسب طرديًا مع \(v\). لكن العلاقة هنا هي \(a_c\propto v^2\)، ولذلك يكون تأثير النسبة المئوية أكبر.

السؤال 3

يقف طالبان على منصة دوّارة أفقية كبيرة تدور بمعدل ثابت. يقع الطالب أ على بُعد \(2.0\text{ m}\) من المركز، بينما يقع الطالب ب على بُعد \(4.0\text{ m}\) من المركز.

يكمل كلا الطالبين كل دورة في الزمن نفسه.

يقول أحد الطلاب:

تسارع الطالب ب المركزي أصغر لأن \(a_c=v^2/r\)، ولأن نصف قطر مسار ب أكبر.

هل هذا الاستدلال صحيح؟ حدّد النسبة \(a_B:a_A\).

الحل 3

الاستدلال غير صحيح. فتسارع الطالب ب المركزي يساوي ضعف تسارع الطالب أ، ولذلك

\[ a_B:a_A=2:1. \]

يكمن الخطأ في التعامل مع \(v\) كما لو أنها تظل ثابتة عند تغير \(r\).

يكمل كلا الطالبين دورة واحدة خلال الزمن الدوري نفسه \(T\)، لكن الطالب ب يقطع محيطًا أكبر خلال ذلك الزمن نفسه. ولذلك لا بد أن يتحرك بسرعة أكبر.

بالنسبة إلى جسم يكمل دورة واحدة خلال زمن دوري \(T\)،

\[ v=\frac{2\pi r}{T}. \]

عوّض بهذه العلاقة في

\[ a_c=\frac{v^2}{r}: \]

\[ a_c = \frac{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2}{r} = \frac{4\pi^2r}{T^2}. \]

بما أن المنصة لها الزمن الدوري نفسه لكلا الطالبين،

\[ a_c\propto r. \]

يقع الطالب ب على بُعد يعادل ضعف بُعد الطالب أ عن المركز:

\[ r_B=2r_A. \]

إذن

\[ a_B=2a_A. \]

توضح المعادلة \(a_c=v^2/r\) بالفعل أن زيادة \(r\) تقلل التسارع إذا ثبتت \(v\). لكن في هذه الحالة، لا تكون \(v\) ثابتة بين الطالبين. فنصف القطر الأكبر يؤدي أيضًا إلى سرعة أكبر بالنسبة نفسها، ويكون تأثير السرعة المربعة هو العامل الحاسم في الحساب.

السؤال 4

يتحرك جسيم عكس اتجاه عقارب الساعة بسرعة ثابتة \(v\) حول دائرة نصف قطرها \(r\). يبدأ الجسيم من أقصى نقطة إلى اليمين في الدائرة، حيث يشير متجه سرعته رأسيًا إلى الأعلى. ثم يتحرك مسافة تعادل ربع دورة حتى يصل إلى أعلى الدائرة.

أ. ما اتجاه سرعته المتجهة النهائية؟

ب. احسب مقدار التغير في سرعته المتجهة خلال ربع الدائرة.

ج. احسب مقدار تسارعه المتوسط خلال هذه الفترة.

د. قارن مقدار هذا التسارع المتوسط بالتسارع المركزي اللحظي \(v^2/r\).

الحل 4

يشير متجه السرعة النهائية إلى اليسار، ويبلغ مقدار التغير في السرعة المتجهة \(\sqrt{2}v\)، بينما يبلغ مقدار التسارع المتوسط

\[ \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\frac{v^2}{r}, \]

وهو ما يعادل تقريبًا \(0.900\,v^2/r\).

عند أقصى نقطة إلى اليمين، تكون السرعة المتجهة الابتدائية

\[ \vec v_i=(0,v). \]

وعند أعلى الدائرة، تؤدي الحركة عكس اتجاه عقارب الساعة إلى أن يشير متجه السرعة النهائية إلى اليسار:

\[ \vec v_f=(-v,0). \]

يكون التغير في السرعة المتجهة

\[ \Delta\vec v = \vec v_f-\vec v_i = (-v,-v). \]

لذلك يكون مقداره

\[ |\Delta\vec v| = \sqrt{(-v)^2+(-v)^2} = \sqrt{2}v. \]

يقطع الجسيم ربع محيط الدائرة:

\[ \Delta s = \frac14(2\pi r) = \frac{\pi r}{2}. \]

وبما أن سرعته تساوي \(v\)، فإن

\[ \Delta t = \frac{\Delta s}{v} = \frac{\pi r}{2v}. \]

يكون مقدار التسارع المتوسط

\[ a_{\text{المتوسط}} = \frac{|\Delta\vec v|}{\Delta t} = \frac{\sqrt{2}v}{\pi r/(2v)} = \frac{2\sqrt{2}v^2}{\pi r}. \]

وبما أن

\[ \frac{2\sqrt{2}}{\pi}\approx0.900, \]

فإننا نحصل على

\[ a_{\text{المتوسط}}\approx0.900\frac{v^2}{r}. \]

الافتراض المغري هو أن مقدار التسارع المتوسط خلال هذه الفترة يجب أن يساوي ببساطة \(v^2/r\)، لأن مقدار التسارع المركزي اللحظي يساوي هذه القيمة في كل نقطة. لكن التسارع كمية متجهة، ويتغير اتجاهه باستمرار أثناء حركة الجسيم حول الدائرة، ولذلك فإن حساب متوسط المتجه خلال جزء محدود من المدار لا يعادل حساب متوسط مقداره فقط.

السؤال 5

يتحرك جسيم حول دائرة نصف قطرها \(10.0\text{ m}\). في لحظة معينة، تبلغ سرعته \(8.00\text{ m s}^{-1}\)، وتكون سرعته في ازدياد.

في تلك اللحظة، يبلغ مقدار تسارعه الكلي \(10.0\text{ m s}^{-2}\).

أ. احسب مركبة التسارع المركزية المتجهة إلى الداخل.

ب. احسب مركبة التسارع المماسية للدائرة.

ج. هل يشير متجه التسارع الكلي مباشرة نحو المركز؟ وضّح إجابتك.

د. يقول أحد الطلاب: «إذا كان الجسم يتحرك في دائرة، فلا بد أن يشير تسارعه دائمًا نحو المركز تمامًا». حدّد الافتراض الضمني في هذه العبارة.

الحل 5

تبلغ مركبة التسارع المركزية المتجهة إلى الداخل \(6.40\text{ m s}^{-2}\)، وتبلغ المركبة المماسية \(7.68\text{ m s}^{-2}\)، ولا يشير التسارع الكلي مباشرة نحو المركز لأن سرعة الجسيم القياسية تزداد أيضًا.

في الجزء أ،

\[ a_c=\frac{v^2}{r}. \]

بالتعويض بالقيم،

\[ a_c = \frac{(8.00\text{ m s}^{-1})^2}{10.0\text{ m}} = 6.40\text{ m s}^{-2}. \]

لا بد أن تتجه هذه المركبة نحو المركز، لأنها الجزء من التسارع المسؤول عن تغيير اتجاه السرعة المتجهة.

في الجزء ب، تزداد سرعة الجسيم أيضًا، ولذلك يكون له تسارع مماسي \(a_t\) في اتجاه الحركة.

الاتجاهان الشعاعي والمماسي متعامدان. لذلك يحقق مقدار التسارع الكلي العلاقة

\[ a^2=a_c^2+a_t^2. \]

ومن ثم،

\[ a_t = \sqrt{a^2-a_c^2} = \sqrt{(10.0\text{ m s}^{-2})^2-(6.40\text{ m s}^{-2})^2} = 7.68\text{ m s}^{-2}. \]

في الجزء ج، لا يشير التسارع الكلي مباشرة نحو المركز. بل هو محصلة متجهين:

• \(6.40\text{ m s}^{-2}\) شعاعيًا نحو الداخل، وهو ما يغيّر اتجاه السرعة المتجهة.
• \(7.68\text{ m s}^{-2}\) مماسيًا إلى الأمام، وهو ما يزيد السرعة القياسية.

الإجابة المغرية هي وصف التسارع كله، ومقداره \(10.0\text{ m s}^{-2}\)، بأنه «تسارع مركزي». وهذا غير صحيح. فالتسارع المركزي المطلوب هو المركبة المتجهة نحو الداخل، وقيمتها \(v^2/r\).

في الجزء د، الافتراض الضمني هو أن الجسم يخضع لحركة دائرية منتظمة، أي حركة دائرية بسرعة قياسية ثابتة.

إذا كانت السرعة القياسية ثابتة، فلا توجد مركبة مماسية للتسارع، ولذلك يكون التسارع الكلي مركزيًا بالكامل ومتجهًا نحو المركز.

أما إذا تغيرت السرعة القياسية، فيمكن للجسم أن يستمر في اتباع مسار دائري، لكن تسارعه الكلي يتضمن عمومًا مركبتين: شعاعية ومماسية.

وهذا التمييز هو الخطوة المفيدة التالية. فبمجرد أن تعرف مقدار التسارع المتجه إلى الداخل الذي يتطلبه المسار المنحني، تتيح لك قوانين نيوتن طرح سؤال جديد: أي قوة حقيقية، أو مجموعة من القوى، تُنتج ذلك التسارع المتجه إلى الداخل؟