الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة: دليل فيزياء HSC

تعلّم كيفية استخدام \(W = Fs \cos \theta\) من خلال تحديد مركبة القوة الموازية للإزاحة، بما في ذلك الشغل الموجب والسالب والصفري.

تسحب حقيبة سفر مسافة 6 m على أرضية مطار، بينما ترفع مقبضها إلى الأعلى بزاوية. قد تكون القوة التي تؤثر بها 40 N، لكن هذه القوة لا تساعد بكاملها على تحريك الحقيبة إلى الأمام.

قبل إجراء أي حسابات، توقّع ما يلي: إذا سحبت المقبض بزاوية أكثر انحدارًا مع الحفاظ على القوة نفسها، ومقدارها 40 N، فهل تبذل شغلًا أكبر أم أقل أم المقدار نفسه على الحقيبة خلال المسافة الأفقية نفسها؟

ستبذل شغلًا أقل. والسبب هو الفكرة الأساسية التي يشرحها هذا الدليل: مركبة القوة الموازية للإزاحة وحدها هي التي تنقل الطاقة عن طريق الشغل.

01ابدأ بالجزء المؤثر من القوة

تخيّل أنك تدفع صندوقًا ثقيلًا مباشرة عبر الأرضية.

إذا دفعت أفقيًا وتحرك الصندوق أفقيًا، فإن القوة التي تؤثر بها كلها تكون في اتجاه الحركة. وهذه أبسط حالة ممكنة.

أما إذا دفعت الصندوق قطريًا إلى الأسفل، فستكون للقوة مركبتان مفيدتان ينبغي التفكير فيهما:

• مركبة أفقية موازية للإزاحة
• مركبة رأسية عمودية على الإزاحة

تساعد المركبة الأفقية على تحريك الصندوق عبر الأرضية. أما المركبة الرأسية فتضغط الصندوق بقوة أكبر نحو الأرضية، لكن الصندوق لا يتحرك إلى الأسفل عبر الأرضية.

لذلك، عند حساب الشغل الذي تبذله القوة المؤثرة منك، تكون المركبة الأفقية هي التي تنقل الطاقة.

وهذا يقودنا إلى أول نموذج ذهني مفيد:

يعتمد الشغل على مقدار القوة المؤثرة في اتجاه الإزاحة، وعلى المسافة التي يتحركها الجسم في ذلك الاتجاه.

هذا النموذج مفيد، لكننا نحتاج إلى صياغته بدقة.

02من مركبات القوة إلى معادلة الشغل

لنفترض أن قوة ثابتة \(F\) تؤثر بزاوية \(\theta\) بالنسبة إلى إزاحة جسم مقدارها \(s\).

مركبة القوة الموازية للإزاحة هي:

\[ F_{\parallel} = F\cos\theta \]

إذًا، الشغل الذي تبذله هذه القوة هو:

\[ W = F_{\parallel}s = Fs\cos\theta \]

حيث:

• \(W\) هو الشغل الذي تبذله القوة، ويُقاس بالجول (J).
• \(F\) هو مقدار القوة الثابتة، ويُقاس بالنيوتن (N).
• \(s\) هو مقدار الإزاحة، ويُقاس بالمتر (m).
• \(\theta\) هي الزاوية بين القوة والإزاحة.

تتسبب هذه النقطة الأخيرة في كثير من الأخطاء. فالزاوية لا تُقاس تلقائيًا من الاتجاه الأفقي، بل هي تحديدًا الزاوية بين المتجهين المعنيين: القوة والإزاحة.

وبما أن \(1\text{ N} = 1\text{ kg m s}^{-2}\)، فإن:

\[ 1\text{ J} = 1\text{ N m} \]

الشغل كمية قياسية. له مقدار، ويمكن أن يكون موجبًا أو سالبًا أو صفرًا، لكنه لا يمتلك اتجاهًا.

03لماذا تظهر دالة جيب التمام؟

ليست دالة جيب التمام مجرد حيلة عشوائية في المعادلات؛ فهي تستخرج مركبة القوة المتجهة على امتداد الإزاحة.

تخيّل متجه قوة مقداره \(F\) يصنع زاوية \(\theta\) مع الإزاحة. عند تحليل هذه القوة إلى مركبتين، نحصل على:

\[ F_{\parallel} = F\cos\theta \]

و

\[ F_{\perp} = F\sin\theta \]

لا تسهم المركبة العمودية في الشغل، لأنه لا توجد إزاحة في اتجاهها.

يمكن تصوّر الفكرة بطريقة طريفة قليلًا: تخيّل شخصين ينقلان أريكة عبر ممر ضيق. يدفع أحدهما الأريكة على امتداد الممر، بينما يدفع الآخر مباشرة نحو الجدار. قد يبذل الشخص الثاني جهدًا كبيرًا جدًا، لكن قوته لا تساعد على تحريك الأريكة عبر الممر.

لكن لهذا التشبيه حدودًا. فنقل الأرائك في الواقع يتضمن الاحتكاك والدوران والتشوه، وربما جدالًا حول صاحب الفكرة أصلًا. أما العبارة الفيزيائية فهي أبسط وأكثر دقة: عند حساب الشغل الانتقالي الذي تبذله قوة ثابتة، تسهم مركبة القوة الموازية للإزاحة وحدها في \(W\).

04الشغل الموجب والسالب والصفري

تحدد قيمة \(\cos\theta\) ما إذا كانت القوة تنقل الطاقة إلى الجسم، أو تسحب الطاقة منه، أو لا تنقل أي طاقة عن طريق الشغل.

الشغل الموجب

إذا كانت للقوة مركبة في اتجاه الإزاحة نفسه، فإن:

\[ W>0 \]

تنقل القوة الطاقة إلى الجسم.

على سبيل المثال، إذا دفعت عربة إلى الأمام وتحركت إلى الأمام، فإن القوة التي تؤثر بها تبذل شغلًا موجبًا.

الشغل السالب

إذا كانت للقوة مركبة تعاكس اتجاه الإزاحة، فإن:

\[ W<0 \]

تنقل القوة الطاقة بعيدًا عن الطاقة الميكانيكية للجسم.

غالبًا ما يبذل الاحتكاك شغلًا سالبًا لأنه يؤثر عكس اتجاه الانزلاق.

لا يعني الشغل السالب أن الحساب قد أُجري بطريقة خاطئة؛ فالإشارة تحمل معلومات فيزيائية.

الشغل الصفري

إذا كانت القوة عمودية على الإزاحة، فإن:

\[ \theta=90^\circ \]

وبالتالي:

\[ W=Fs\cos90^\circ=0 \]

إذًا، قد تكون القوة كبيرة ومع ذلك لا تبذل أي شغل.

قد تبدو هذه الفكرة غريبة في البداية. أليس من المفترض أن تكون للقوة الكبيرة «نتيجة ما»؟

قد تؤدي القوة إلى تأثير ما دون أن تنقل الطاقة عن طريق الشغل. على سبيل المثال، يمكن للقوة العمودية التي تؤثر بها أرضية أفقية أن تسند جسمًا متحركًا، مع بقائها عمودية على إزاحته الأفقية.

06الشغل الذي تبذله قوة واحدة ليس بالضرورة هو الشغل الكلي

هذا تمييز مهم.

لنفترض أنك تسحب صندوقًا إلى الأمام بينما يؤثر الاحتكاك إلى الخلف. تبذل قوتك شغلًا موجبًا، بينما يبذل الاحتكاك شغلًا سالبًا.

لكل قوة قيمة خاصة بها وفقًا للعلاقة \(W=Fs\cos\theta\).

أما الشغل الكلي فهو مجموع الأشغال التي تبذلها جميع القوى:

\[ W_{\text{net}}=W_1+W_2+W_3+\cdots \]

ويرتبط هذا لاحقًا مباشرة بمبرهنة الشغل والطاقة:

\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]

حيث تمثل \(\Delta K\) التغير في الطاقة الحركية.

لذلك، إذا طلب السؤال حساب الشغل الذي تبذله القوة المؤثرة، فاحسب مساهمة تلك القوة وحدها. أما إذا طلب الشغل الكلي، فعليك مراعاة جميع القوى التي تبذل شغلًا.

08الخطأ الأكثر إغراءً: استخدام القوة كاملة

لنفترض أن قوة مقدارها 100 N تؤثر بزاوية \(60^\circ\) بالنسبة إلى إزاحة جسم.

قد يحسب أحد الطلاب:

\[ W=Fs \]

ويستخدم مقدار القوة كاملًا، أي 100 N.

قد يبدو ذلك منطقيًا لأن السؤال يذكر تطبيق قوة مقدارها 100 N. لكن مركبة القوة الواقعة على امتداد الإزاحة وحدها هي التي تنقل الطاقة.

في هذه الحالة:

\[ F_{\parallel}=100\cos60^\circ=50\text{ N} \]

إذًا، تسهم القوة في الشغل كما لو كانت قوة مقدارها 50 N تؤثر مباشرة على امتداد الإزاحة.

أما المركبة المتبقية فهي عمودية على الحركة، ولذلك لا تسهم في الشغل.

هناك قاعدة عملية موثوقة لتجنب هذا الخطأ:

قبل استخدام \(W=Fs\cos\theta\)، ارسم متجهي القوة والإزاحة أو تخيّلهما، ثم حدّد الزاوية بينهما.

تمنع هذه العادة الواحدة عدة أخطاء شائعة في الوقت نفسه.

09ماذا لو تحرك الجسم دون أن تبذل القوة شغلًا؟

تأمل جسمًا يتحرك في دائرة أفقية بسرعة ثابتة.

في كل لحظة، تتجه القوة المركزية نحو مركز الدائرة، بينما تكون الإزاحة اللحظية مماسية للدائرة.

إذًا، يكون الاتجاهان متعامدين.

لذلك، في كل لحظة:

\[ W=Fs\cos90^\circ=0 \]

بالنسبة إلى القوة المركزية.

ومع ذلك، تظل هذه القوة تغيّر سرعة الجسم المتجهة، لأن السرعة المتجهة تشمل الاتجاه بالإضافة إلى المقدار.

وهذا تذكير مفيد: ليس من الضروري أن تبذل القوة شغلًا لكي تغيّر السرعة المتجهة. إذ يمكن لقوة عمودية أن تغيّر اتجاه السرعة المتجهة دون تغيير الطاقة الحركية للجسم.

10أحد قيود المعادلة \(W=Fs\cos\theta\)

تفترض المعادلة:

\[ W=Fs\cos\theta \]

بصورتها هذه أن القوة ثابتة، وأن الزاوية بين القوة والإزاحة تظل ثابتة خلال الإزاحة التي يجري النظر فيها.

إذا تغيّرت القوة أثناء حركة الجسم، فلا يمكنك بالضرورة استخدام قيمة واحدة لـ \(F\) طوال المسار.

في منهج فيزياء HSC، يفسر ذلك أهمية الرسوم البيانية للقوة مقابل الإزاحة. فعندما تتغير القوة مع الإزاحة، يرتبط الشغل المبذول بالمساحة الواقعة تحت منحنى القوة مقابل الإزاحة.

لذلك، لا تمثل معادلة القوة الثابتة حيلة منفصلة، بل هي أبسط حالة لفكرة أوسع: يقيس الشغل الطاقة التي تنقلها قوة تؤثر خلال إزاحة.

11الأسئلة والحلول

السؤال 1

تؤثر قوة أفقية مقدارها 35 N في عربة، فتدفعها مسافة 4.0 m على مسار أفقي. احسب الشغل الذي تبذله القوة.

الحل 1

تبذل القوة شغلًا مقداره \(\boxed{140\text{ J}}\).

تتجه القوة والإزاحة في الاتجاه نفسه، لذا فإن \(\theta=0^\circ\).

\[ \begin{aligned} W&=Fs\cos\theta\\ &=(35)(4.0)\cos0^\circ\\ &=140\text{ J} \end{aligned} \]

بما أن الشغل موجب، فإن القوة تنقل 140 J من الطاقة إلى العربة خلال هذه الإزاحة.

السؤال 2

تتحرك حقيبة سفر مسافة 15 m أفقيًا، بينما يسحبها صاحبها بقوة ثابتة مقدارها 60 N، بزاوية \(50^\circ\) فوق الاتجاه الأفقي.

احسب الشغل الذي تبذله قوة السحب.

الحل 2

تبذل قوة السحب شغلًا مقداره التقريبي \(\boxed{579\text{ J}}\).

تسهم مركبة القوة البالغة 60 N والموازية للإزاحة الأفقية وحدها في الشغل.

\[ \begin{aligned} W&=Fs\cos\theta\\ &=(60)(15)\cos50^\circ\\ &\approx579\text{ J} \end{aligned} \]

وبطريقة مكافئة، تبلغ المركبة الموازية:

\[ F_{\parallel}=60\cos50^\circ\approx38.6\text{ N} \]

ومن ثم:

\[ W=(38.6)(15)\approx579\text{ J} \]

لا تبذل المركبة المتجهة إلى الأعلى أي شغل، لأن الحقيبة لا تمتلك إزاحة رأسية.

السؤال 3

ينزلق جسم كتلته 2.0 kg مسافة 5.0 m نحو اليمين على سطح أفقي. تؤثر فيه ثلاث قوى:

• قوة مقدارها 24 N، تتجه بزاوية \(60^\circ\) فوق الاتجاه الأفقي نحو اليمين
• قوة احتكاك مقدارها 8.0 N نحو اليسار
• وزن الجسم والقوة العمودية

احسب الشغل الذي تبذله كل قوة، ثم حدّد الشغل الكلي.

الحل 3

تبذل القوة المؤثرة شغلًا مقداره \(\boxed{60\text{ J}}\)، ويبذل الاحتكاك شغلًا مقداره \(\boxed{-40\text{ J}}\)، بينما يبذل كل من الوزن والقوة العمودية شغلًا مقداره \(\boxed{0\text{ J}}\)، ويبلغ الشغل الكلي \(\boxed{20\text{ J}}\).

بالنسبة إلى القوة المؤثرة:

\[ \begin{aligned} W_{\text{applied}} &=Fs\cos\theta\\ &=(24)(5.0)\cos60^\circ\\ &=60\text{ J} \end{aligned} \]

أما بالنسبة إلى الاحتكاك، فالزاوية بين القوة والإزاحة هي \(180^\circ\):

\[ \begin{aligned} W_{\text{friction}} &=(8.0)(5.0)\cos180^\circ\\ &=-40\text{ J} \end{aligned} \]

الوزن والقوة العمودية متعامدان على الإزاحة الأفقية، لذلك:

\[ W_g=0\text{ J} \]

و

\[ W_N=0\text{ J} \]

وبالتالي:

\[ \begin{aligned} W_{\text{net}} &=60-40+0+0\\ &=20\text{ J} \end{aligned} \]

يعني الشغل الكلي الموجب أن الطاقة الحركية للجسم تزداد بمقدار 20 J.

من الأخطاء الشائعة هنا افتراض أن كل قوة تؤثر في الجسم لا بد أن تبذل شغلًا. فقد تؤثر قوة في جسم دون أن تبذل أي شغل إذا كانت عمودية على الإزاحة.

السؤال 4

يقول أحد الطلاب:

«إذا تحرك جسم مسافة 10 m بينما تؤثر فيه قوة مقدارها 200 N، فلا بد أن تبذل هذه القوة شغلًا مقداره 2000 J».

قدّم مثالًا مضادًا تؤثر فيه القوة طوال الإزاحة البالغة 10 m، لكنها لا تبذل أي شغل. وضّح السبب.

الحل 4

أحد الأمثلة المضادة الصحيحة هو قوة مقدارها 200 N تظل عمودية على إزاحة الجسم. عندئذ يكون الشغل المبذول \(\boxed{0\text{ J}}\).

باستخدام معادلة الشغل:

\[ \begin{aligned} W&=Fs\cos\theta\\ &=(200)(10)\cos90^\circ\\ &=0\text{ J} \end{aligned} \]

يفترض استدلال الطالب، على نحو غير صحيح، أن القوة كاملة تؤثر على امتداد الإزاحة.

لا يكفي مقدار القوة والمسافة المقطوعة لتحديد الشغل؛ إذ يعتمد الشغل أيضًا على الاتجاه النسبي. فمركبة القوة \(F\cos\theta\) الموازية للإزاحة وحدها هي التي تنقل الطاقة عن طريق الشغل.

السؤال 5

يسحب طالبان صندوقين متماثلين خلال الإزاحة الأفقية نفسها \(s\).

يؤثر الطالب A بقوة ثابتة مقدارها \(F\) أفقيًا.

أما الطالب B، فيؤثر بقوة ثابتة مقدارها \(2F\)، بزاوية \(\theta\) فوق الاتجاه الأفقي.

ما قيمة \(\theta\) التي تجعل الشغل الذي يبذله الطالبان على صندوقيهما متساويًا؟

وضّح لماذا يمكن للطالب B أن يؤثر بقوة أكبر دون أن يبذل شغلًا أكبر.

الحل 5

يتساوى الشغل الذي يبذله الطالبان عندما تكون \(\boxed{\theta=60^\circ}\).

تكون قوة الطالب A موازية للإزاحة، ولذلك:

\[ W_A=Fs \]

أما الطالب B، فيبذل شغلًا مقداره:

\[ W_B=(2F)s\cos\theta \]

ولكي تتساوى قيمتا الشغل:

\[ \begin{aligned} Fs&=2Fs\cos\theta\\ 1&=2\cos\theta\\ \cos\theta&=\frac{1}{2}\\ \theta&=60^\circ \end{aligned} \]

يؤثر الطالب B بضعف القوة الكلية، لكن نصف هذه القوة فقط يكون موازيًا للإزاحة عندما تكون الزاوية \(60^\circ\):

\[ F_{\parallel}=2F\cos60^\circ=F \]

أما المركبة المتبقية، فهي عمودية على الإزاحة ولا تسهم في الشغل.

يكمن الخطأ المحتمل في مقارنة المقدارين \(F\) و\(2F\) مباشرة. فالشغل يعتمد على المركبة الموازية، وليس على القوة الكلية وحدها.

السؤال 6

يتحرك قرص صغير نحو اليمين على سطح مستوٍ. وتؤثر فيه قوة ثابتة بزاوية \(120^\circ\) بالنسبة إلى إزاحته.

يجادل أحد الطلاب بأن القوة لا بد أن تبذل شغلًا موجبًا لأنها تمتلك «مركبة أفقية ما».

حدّد ما إذا كان الطالب على صواب، ثم احسب الشغل المبذول إذا كان مقدار القوة 18 N وتحرك القرص مسافة 7.0 m.

الحل 6

الطالب مخطئ. تبذل القوة شغلًا سالبًا مقداره \(\boxed{-63\text{ J}}\).

السؤال المهم ليس ما إذا كانت هناك مركبة أفقية، بل إلى أي اتجاه أفقي تشير هذه المركبة.

بما أن الزاوية \(120^\circ\)، فإن:

\[ \cos120^\circ=-0.5 \]

لذلك، تكون المركبة الموازية للإزاحة:

\[ F_{\parallel}=18\cos120^\circ=-9.0\text{ N} \]

تعني الإشارة السالبة أن هذه المركبة تتجه عكس إزاحة القرص.

وبالتالي:

\[ \begin{aligned} W&=Fs\cos\theta\\ &=(18)(7.0)\cos120^\circ\\ &=-63\text{ J} \end{aligned} \]

تسحب القوة 63 J من الطاقة الميكانيكية للقرص خلال هذه الإزاحة.

يتمثل الخطأ المغري هنا في الاعتقاد بأن الاتجاه «الأفقي» يعني تلقائيًا «مع اتجاه الحركة». فقد تكون المركبة موازية لمحور معين، لكنها تتجه في أي من الاتجاهين على امتداد ذلك المحور.

12إلى أين تقودنا هذه الفكرة لاحقًا؟

السؤال الأساسي في كل مسألة تتعلق بالشغل الناتج عن قوة ثابتة ليس ببساطة «ما مقدار القوة؟»، بل هو:

ما مقدار هذه القوة الذي يؤثر على امتداد الإزاحة؟

وهذا يعطينا:

\[ W=(F\cos\theta)s=Fs\cos\theta \]

بمجرد فهم هذه العلاقة جيدًا، تكون الخطوة التالية هي مبرهنة الشغل والطاقة. فبدلًا من حساب أثر كل قوة لمجرد تحديد الطاقة المنقولة، يمكنك ربط الشغل الكلي مباشرة بالتغير في الطاقة الحركية:

\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]

وهنا تتضح الفائدة الكبيرة للشغل. فالقوى تصف التفاعل، بينما يتيح لك الشغل تتبّع ما تفعله هذه القوى بطاقة الجسم.