عزم الدوران على ملف يمر فيه تيار لفيزياء HSC

يوضع ملف مستطيل بين قطبين مغناطيسيين. يمر فيه تيار كهربائي. يُدفع أحد جانبي الملف إلى أعلى، بينما يُدفع الجانب المقابل إلى أسفل.

إذا كانت هاتان القوتان المغناطيسيتان متساويتين ومتعاكستين، فما الذي تتوقع حدوثه: لا شيء، أم حركة جانبية، أم دوران؟

القوة المحصلة تساوي صفرًا، لذلك لا يتسارع الملف جانبيًا. لكن القوتين تؤثران على خطي عمل مختلفين. ومعًا تُنتجان تأثيرًا دورانيًا، أي عزم دوران.

والآن ضع توقعًا ثانيًا. عندما يتجه الوجه المسطح للملف مباشرة نحو المجال المغناطيسي، هل تتوقع أن يكون عزم الدوران عند أكبر قيمة؟ قد يبدو ذلك منطقيًا، فالمجال يمر مباشرة عبر الملف. لكن في الواقع يكون عزم الدوران صفرًا في هذا الوضع.

إن فهم السبب يقودك إلى معادلة المحرك

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

من دون الحاجة إلى التعامل معها باعتبارها صيغة يجب حفظها.

01لماذا يمكن لقوتين متساويتين ومتعاكستين أن تُديرا جسمًا

تخيل أنك تحاول لف غطاء مرطبان محكم. يمكن ليديك أن تدفعا في اتجاهين متعاكسين. وقد تتلاشى القوتان من حيث القوة المحصلة، ومع ذلك يدور الغطاء لأن القوتين تؤثران عند موضعين مختلفين.

هذا ما يسمى ازدواجًا: قوتان متساويتان ومتعاكستان ومتوازيتان تفصل بين خطي عملهما مسافة.

يتصرف الملف الذي يمر فيه تيار داخل مجال مغناطيسي بطريقة مشابهة. فعلى جانبين متقابلين من الملف، يسري التيار في اتجاهين متعاكسين. ولذلك يُنتج المجال المغناطيسي قوتين مغناطيسيتين في اتجاهين متعاكسين.

لكن تشبيه غطاء المرطبان له حدوده. يمكنك وضع يديك حيث تشاء واختيار طريقة الدفع. أما في المحرك، فتُحدَّد القوة بواسطة اتجاه التيار والمجال المغناطيسي. لذلك نحتاج إلى معادلة تأثير المحرك لتحديد ما يحدث بدقة.

بالنسبة إلى موصل مستقيم طوله \(l\) ويمر فيه تيار \(I\) داخل مجال مغناطيسي \(B\)،

\[ F=BIl\sin\phi \]

حيث \(\phi\) هي الزاوية بين اتجاه التيار والمجال المغناطيسي.

بالنسبة إلى الجانبين الفعالين في ملف محرك مستطيل بسيط، يكون التيار عموديًا على المجال، ولذلك \(\phi=90^\circ\). ومن ثم،

\[ F=BIl \]

على كل جانب فعال.

02من القوة المغناطيسية إلى عزم الدوران

افترض أن الملف المستطيل له:

• طول الجانب الفعال \(l\)،
• عرض \(w\)،
• تيار \(I\)، و
• شدة مجال مغناطيسي \(B\).

يتعرض كل جانب فعال لقوة مقدارها \(BIl\).

لا يعتمد عزم الدوران على القوة وحدها، بل يعتمد أيضًا على المسافة العمودية بين خطي عمل القوتين.

بالنسبة إلى الازدواج،

\[ \tau=Fd \]

حيث \(d\) هي المسافة العمودية الفاصلة بين خطي العمل.

وهنا تظهر أهمية الهندسة. نعرّف \(\theta\) بأنها الزاوية بين المجال المغناطيسي والعمودي على مستوى الملف.

والعمودي هو خط تخيلي يخرج مباشرة من الوجه المسطح للملف بزاوية قائمة.

عندما يصنع العمودي زاوية \(\theta\) مع المجال، تكون المسافة الفعالة بين القوتين

\[ d=w\sin\theta \]

ومن ثم

\[ \tau=(BIl)(w\sin\theta) \]

وبما أن مساحة الملف المستطيل هي \(A=lw\)،

\[ \tau=IAB\sin\theta \]

للفة واحدة.

إذا كان الملف يحتوي على \(n\) لفات متماثلة، فإن كل لفة تسهم بعزم دوران في الاتجاه نفسه:

\[ \boxed{\tau=nIAB\sin\theta} \]

حيث:

تعطي المعادلة مقدار عزم الدوران. أما اتجاه الدوران فيجب تحديده من اتجاهي التيار والمجال المغناطيسي.

03الزاوية هي الجزء الذي يختلط على معظم الطلاب

إن \(\theta\) في

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

ليست عادةً الزاوية بين مستوى الملف والمجال المغناطيسي.

بل هي الزاوية بين المجال والخط العمودي على الملف.

وهذا يغيّر النتيجة تمامًا.

إذن يحدث أكبر عزم دوران عندما

\[ \theta=90^\circ \]

لأن \(\sin90^\circ=1\).

وعندئذ

\[ \tau_{\max}=nIAB \]

ومن الأفضل تصور ذلك بدلًا من حفظه. فعندما يكون مستوى الملف موازيًا للمجال، تكون المسافة الفعالة بين القوتين المغناطيسيتين أكبر ما يمكن. وبذلك يكون لهما أكبر ذراع عزم ممكن، فتنتجان أكبر عزم دوران.

وعندما يكون مستوى الملف عموديًا على المجال، تظل القوتان موجودتين على الجانبين الفعالين، لكن خطي عملهما لا يمتلكان أي فصل فعال حول محور الدوران. لذلك يكون عزم الدوران صفرًا.

إذا أعطاك السؤال زاوية مستوى الملف

افترض أن مستوى الملف يصنع زاوية \(\alpha\) مع المجال المغناطيسي.

بالنسبة إلى الزوايا بين \(0^\circ\) و\(90^\circ\)،

\[ \theta=90^\circ-\alpha \]

ومن ثم

\[ \tau=nIAB\sin(90^\circ-\alpha) \]

أو

\[ \tau=nIAB\cos\alpha \]

تصف المعادلتان الفيزياء نفسها. وعادةً ما تكون الطريقة الأكثر أمانًا في الاختبار هي تحويل الزاوية المعطاة إلى الزاوية \(\theta\) بين العمودي والمجال، ثم استخدام الصيغة كما هي معطاة تمامًا.

04لماذا يحتاج المحرك إلى مبدّل تيار

توجد مشكلة كامنة داخل معادلة عزم الدوران.

تخيل أن الملف يدور نحو الوضع الذي يصبح فيه عموده موازيًا للمجال المغناطيسي. وكلما اقترب من هذا الوضع،

\[ \theta\rightarrow0^\circ \]

ولذلك

\[ \tau\rightarrow0 \]

إذا تُرك اتجاه التيار دون تغيير وتحرك الملف متجاوزًا هذا الوضع، فإن عزم الدوران المغناطيسي سيؤثر في الاتجاه المعاكس. وبدلًا من إنتاج دوران مستمر، يميل التفاعل المغناطيسي إلى إعادة الملف نحو وضع الاصطفاف.

يتجنب محرك التيار المستمر البسيط ذلك باستخدام مبدّل ذي حلقة مشقوقة. يعكس المبدّل اتجاه التيار في الملف كل نصف دورة. ويؤدي عكس التيار إلى عكس القوتين المغناطيسيتين على الجانبين الفعالين، ولذلك يستمر عزم الدوران في التأثير بالاتجاه الدوراني المطلوب.

ومع ذلك، تظل هناك لحظة يكون فيها عزم الدوران صفرًا. فعكس اتجاه التيار لا يجعل \(\sin0^\circ\) غير صفري بطريقة سحرية. يستطيع نظام دوّار حقيقي تجاوز هذا الوضع بفضل حركته الدورانية، كما يمكن للمحركات العملية استخدام عدة ملفات مرتبة بزوايا مختلفة بحيث لا تكون جميعها عند عزم دوران صفري في الوقت نفسه.

ولهذا أيضًا يجب فهم

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

على أنها معادلة لعزم الدوران اللحظي. فالمحرك الدوّار لا يتعرض عمومًا لعزم الدوران نفسه عند كل زاوية.

05طريقة ثانية مفيدة لتصور الملف

يتصرف ملف التيار كما لو كان له اتجاه مغناطيسي عمودي على مستواه. ويوصف ذلك بعزم ثنائي القطب المغناطيسي.

ومقداره هو

\[ \mu=nIA \]

ولذلك يمكن أيضًا كتابة معادلة عزم الدوران بالشكل

\[ \tau=\mu B\sin\theta \]

يميل المجال المغناطيسي إلى تدوير العزم المغناطيسي للملف نحو الاصطفاف مع المجال.

يشرح هذا التصور الحالتين الطرفيتين بوضوح:

• إذا كان العزم المغناطيسي موازيًا أو معاكسًا للمجال بالفعل، يكون عزم الدوران صفرًا؛
• إذا كان عموديًا على المجال، يكون مقدار عزم الدوران عند أكبر قيمة.

ويؤدي عكس التيار إلى عكس اتجاه العزم المغناطيسي للملف. وهذه طريقة أخرى لفهم وظيفة المبدّل.

06ما الافتراضات التي تعتمد عليها الصيغة

صيغة المحرك المألوفة قوية، لكنها ليست سحرًا. فهي تعتمد على نموذج محدد.

نفترض عادةً أن المجال المغناطيسي منتظم تقريبًا عبر الملف، وأن لكل لفة المساحة نفسها، وأن التيار نفسه يمر في كل لفة، وأن الملف صلب ومستوي.

وهذا مهم لأن حجة القوتين المتساويتين والمتعاكستين قد لا تنطبق داخل مجال مغناطيسي شديد عدم الانتظام. فقد يتعرض أحد الجانبين لقوة أكبر من الجانب الآخر. وعندها يمكن أن يتعرض الملف لكل من عزم دوران وقوة محصلة.

ويهم ذلك أيضًا عند مقارنة تصميمات المحركات. تقول المعادلة إنه، إذا بقي كل شيء آخر ثابتًا، فإن مضاعفة \(n\) تضاعف عزم الدوران. لكن في ملف حقيقي، يمكن أن يؤدي تغيير عدد اللفات أيضًا إلى تغيير مقاومته ومن ثم تياره. لذلك لا يمكنك دائمًا تغيير رمز واحد مع افتراض بقاء الرموز الأخرى من دون تغيير.

07الأسئلة والحلول

السؤال 1

ملف محرك مكوّن من 80 لفة له مساحة \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\). يحمل تيارًا مقداره \(1.2\text{ A}\) داخل مجال مغناطيسي شدته \(0.40\text{ T}\). يصنع العمودي على الملف زاوية \(30^\circ\) مع المجال.

احسب عزم الدوران.

الحل 1

عزم الدوران هو

\[ \boxed{4.8\times10^{-2}\text{ N m}} \]

والمعادلة الحاكمة هي

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

حيث إن الزاوية المعطاة \(30^\circ\) هي بالفعل الزاوية بين العمودي والمجال، لذلك لا حاجة إلى تحويل الزاوية.

بالتعويض،

\[ \begin{aligned} \tau &=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)\sin30^\circ\\ &=(80)(1.2)(2.5\times10^{-3})(0.40)(0.5)\\ &=4.8\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]

الخطأ المغري هو افتراض أن \(30^\circ\) تعني أن عزم الدوران يساوي ثلث قيمته العظمى لأن \(30^\circ\) تساوي ثلث \(90^\circ\). لكن عزم الدوران لا يتغير خطيًا مع الزاوية، بل يتغير وفق \(\sin\theta\).

وعند \(30^\circ\)، يكون عزم الدوران نصف قيمته العظمى تمامًا.

السؤال 2

يحمل ملف مكوّن من 200 لفة تيارًا مقداره \(0.80\text{ A}\). مساحة كل لفة \(1.5\times10^{-3}\text{ m}^2\)، وشدة المجال المغناطيسي \(0.50\text{ T}\).

في لحظة معينة، كان مقدار عزم الدوران المقاس \(0.096\text{ N m}\).

أوجد جميع القيم الممكنة لـ \(\theta\) بين \(0^\circ\) و\(180^\circ\)، حيث \(\theta\) هي الزاوية بين العمودي على الملف والمجال. واشرح لماذا لا يكفي مقدار عزم الدوران وحده لتحديد اتجاه وضعي فريد للملف.

الحل 2

الزوايا الممكنة تساوي تقريبًا

\[ \boxed{\theta=53.1^\circ\text{ أو }126.9^\circ} \]

ولا يمكن لمقدار عزم الدوران وحده التمييز بينهما.

احسب أولًا أكبر عزم دوران ممكن:

\[ \begin{aligned} \tau_{\max} &=nIAB\\ &=(200)(0.80)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.120\text{ N m} \end{aligned} \]

الآن استخدم عزم الدوران المقاس:

\[ \begin{aligned} 0.096&=0.120\sin\theta\\ \sin\theta&=0.800 \end{aligned} \]

تعطي الآلة الحاسبة الحل الأول،

\[ \theta=\sin^{-1}(0.800)=53.1^\circ \]

لكن للجيب القيمة الموجبة نفسها عند \(180^\circ-\theta\). لذلك،

\[ 180^\circ-53.1^\circ=126.9^\circ \]

ممكنة أيضًا.

الطريقة المغرية هي التوقف بعد الضغط على دالة الجيب العكسي مرة واحدة. وهذا يتجاهل هندسة المجال الكامل من \(0^\circ\) إلى \(180^\circ\).

وهنا توجد محدودية أعمق أيضًا. فالمعادلة القياسية \( \tau=nIAB\sin\theta \) تعطي مقدار عزم الدوران. ولتحديد اتجاه الدوران الفعلي، تحتاج أيضًا إلى معرفة وضع الملف واتجاهي التيار والمجال المغناطيسي.

السؤال 3

ملف مكوّن من 60 لفة ومساحته \(4.0\times10^{-3}\text{ m}^2\) يحمل تيارًا مقداره \(1.5\text{ A}\) داخل مجال مغناطيسي شدته \(0.25\text{ T}\).

يدور الملف نحو الوضع الذي يكون فيه عموده موازيًا للمجال. انظر إلى الملف عندما يكون عموده على بعد \(10^\circ\) من الاصطفاف.

احسب مقدار عزم الدوران في هذا الوضع. ثم اشرح ما يحدث مباشرة بعد أن يمر الملف عبر وضع الاصطفاف:

a. إذا لم يُعكس التيار، و
b. إذا عكس مبدّل ذو حلقة مشقوقة ومضبوط التوقيت اتجاه التيار.

واشرح أيضًا ما يحدث في اللحظة الدقيقة للاصطفاف.

الحل 3

مقدار عزم الدوران على بعد \(10^\circ\) من الاصطفاف يساوي تقريبًا

\[ \boxed{1.56\times10^{-2}\text{ N m}} \]

من دون عكس التيار، ينعكس التأثير الدوراني لعزم الدوران بعد أن يتجاوز الملف وضع الاصطفاف. أما مع التبديل الصحيح، فينعكس التيار بحيث يستمر عزم دوران المحرك في الاتجاه الدوراني المطلوب. وعند الاصطفاف الدقيق، يكون عزم الدوران صفرًا في الحالتين.

احسب المقدار أولًا:

\[ \begin{aligned} \tau &=nIAB\sin\theta\\ &=(60)(1.5)(4.0\times10^{-3})(0.25)\sin10^\circ\\ &=1.56\times10^{-2}\text{ N m} \end{aligned} \]

قبل الاصطفاف مباشرة، تُنتج القوى المغناطيسية عزم دوران يميل إلى تدوير الملف نحو وضع الاصطفاف.

إذا تجاوز الملف هذا الوضع بينما بقي التيار دون تغيير، تكون الهندسة قد انتقلت إلى الجانب الآخر من الاصطفاف. وعندها يميل التفاعل المغناطيسي إلى تدوير الملف عائدًا نحو الاصطفاف. لذلك يصبح عزم الدوران معارضًا للحركة التي حملت الملف عبر هذا الوضع.

قد يبدو من المغري القول إن عزم الدوران يجب أن يبقى دون تغيير لأن \(\sin10^\circ\) له المقدار نفسه على جانبي الاصطفاف. لكن المعلومة الناقصة هي الاتجاه. فالمعادلة القياسية تخبرنا بالمقدار، لا بإشارة التأثير الدوراني.

مع المبدّل ذي الحلقة المشقوقة، ينعكس التيار المار في الملف عند النقطة المناسبة. ولذلك تنعكس القوة المغناطيسية على كل جانب فعال. وهذا يغيّر اتجاه عزم الدوران بالنسبة إلى الملف ويسمح للعزم بمواصلة دفع الدوران الكلي نفسه.

عند الاصطفاف الدقيق،

\[ \theta=0^\circ \]

ومن ثم

\[ \tau=nIAB\sin0^\circ=0 \]

وحتى عكس التيار في تلك اللحظة يظل يعطي عزم دوران صفريًا. ويلزم القصور الذاتي أو وجود ملفات إضافية بمواضع زاوية مختلفة لكي يتمكن محرك عملي من اجتياز هذا الوضع الميت بصورة موثوقة.

السؤال 4

ملف مستطيل مكوّن من 40 لفة موجود في مجال مغناطيسي غير منتظم. طول كل جانب فعال \(0.050\text{ m}\)، وتفصل بين الجانبين الفعالين مسافة \(0.030\text{ m}\). التيار \(2.0\text{ A}\).

يوضع الملف بحيث يكون ذراع العزم عند قيمته العظمى. شدة المجال المغناطيسي عند الجانب الفعال الأيسر هي \(0.60\text{ T}\)، بينما تبلغ عند الجانب الفعال الأيمن \(0.40\text{ T}\). وللمجال الاتجاه نفسه عند الجانبين.

افترض أن كل جانب فعال عمودي على المجال المحلي.

a. احسب مقدار القوة المغناطيسية الكلية على كل جانب فعال.
b. أوجد القوة المحصلة على الملف.
c. احسب عزم الدوران حول مركز الملف.
d. يستخدم طالب \(B=0.50\text{ T}\)، أي متوسط المجالين، في \( \tau=nIAB \) ويحصل على عزم الدوران نفسه. اشرح لماذا لا يعني ذلك أن نموذج المجال المنتظم القياسي يصف الموقف وصفًا كاملًا.

الحل 4

قوتا الجانبين الفعالين هما

\[ \boxed{2.4\text{ N و }1.6\text{ N}} \]

وللملف قوة محصلة مقدارها

\[ \boxed{0.80\text{ N}} \]

في اتجاه القوة الأكبر على أحد الجانبين، ويبلغ عزم الدوران حول مركزه

\[ \boxed{6.0\times10^{-2}\text{ N m}} \]

يصادف أن حساب المجال المتوسط يعيد إنتاج عزم الدوران نفسه لهذه الهندسة المتماثلة، لكنه يفشل تمامًا في إظهار القوة المحصلة غير الصفرية.

بالنسبة إلى الجانب الأيسر،

\[ \begin{aligned} F_L &=nB_LIl\\ &=(40)(0.60)(2.0)(0.050)\\ &=2.4\text{ N} \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى الجانب الأيمن،

\[ \begin{aligned} F_R &=nB_RIl\\ &=(40)(0.40)(2.0)(0.050)\\ &=1.6\text{ N} \end{aligned} \]

تشير القوتان في اتجاهين متعاكسين لأن التيارين على الجانبين الفعالين متعاكسان.

ومقداراهما غير متساويين، لذلك لا تتلاشيان:

\[ F_{\text{net}}=2.4-1.6=0.80\text{ N} \]

الآن احسب عزم الدوران. تؤثر كل قوة على بعد \(0.015\text{ m}\) من المركز لأن

\[ \frac{0.030}{2}=0.015\text{ m} \]

وعلى الرغم من أن القوتين تتجهان في اتجاهين متعاكسين، فإن كلتيهما تُنتجان عزم دوران بالاتجاه الدوراني نفسه:

\[ \begin{aligned} \tau &=F_L(0.015)+F_R(0.015)\\ &=(2.4)(0.015)+(1.6)(0.015)\\ &=0.060\text{ N m} \end{aligned} \]

والآن انظر إلى طريقة الطالب التي تستخدم المجال المتوسط.

مساحة الملف هي

\[ A=(0.050)(0.030)=1.5\times10^{-3}\text{ m}^2 \]

وباستخدام \(B_{\text{avg}}=0.50\text{ T}\)،

\[ \begin{aligned} \tau &=nIAB_{\text{avg}}\\ &=(40)(2.0)(1.5\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.060\text{ N m} \end{aligned} \]

إذن تتفق القيمة العددية لعزم الدوران.

والاستنتاج المغري هو أن استبدال المجال غير المنتظم بمتوسطه قد حل المسألة بأكملها. لكنه لم يفعل ذلك. تفترض الصورة القياسية البسيطة للمحرك وجود قوتين متساويتين ومتعاكستين على الجانبين، فتكون القوة المحصلة صفرًا. أما هنا فللملف قوة محصلة مقدارها \(0.80\text{ N}\).

والطريقة الأعمق الصحيحة هي حساب القوة المغناطيسية على كل جزء من الملف، ثم إيجاد كل من القوة المحصلة وعزم الدوران المحصل. وينجح المجال المتوسط في حساب عزم الدوران في هذه الحالة الخاصة لأن للجانبين ذراعي عزم متساويين. لكن هذه المصادفة لا تجعل المجال منتظمًا.

السؤال 5

يستخدم ملفا محرك متوقفان الإطار المستطيل نفسه، ولذلك تكون مساحة كل لفة في كليهما \(A=2.0\times10^{-3}\text{ m}^2\). ويوضع كلاهما عند وضع عزم الدوران الأقصى داخل المجال نفسه ذي الشدة \(0.50\text{ T}\)، ويوصل كل منهما على حدة بمصدر مثالي جهده \(12\text{ V}\).

يحتوي الملف A على 100 لفة ومقاومته \(4.0\,\Omega\).

أُعيد لف الملف B ليحتوي على 200 لفة، لكنه يستخدم الحجم الكلي نفسه من النحاس المستخدم في الملف A. افترض أن لكل لفة الطول نفسه لأن الإطار لم يتغير.

استخدم

\[ R=\rho\frac{L}{S} \]

حيث \(\rho\) هي مقاومية النحاس، و\(L\) هو الطول الكلي للسلك، و\(S\) هي مساحة المقطع العرضي للسلك.

a. حدّد مقاومة الملف B وتياره.
b. احسب أكبر عزم دوران لكل ملف.
c. اشرح لماذا أدت مضاعفة عدد اللفات إلى تقليل عزم الدوران في هذه الحالة.
d. إذا أجبر مصدر تيار مثالي بدلًا من ذلك تيارًا مقداره \(3.0\text{ A}\) على المرور في كلا الملفين، فقارن بين أكبر عزمي دوران لهما.

أهمل تغيرات المقاومة بسبب التسخين والقوة الدافعة الكهربائية العكسية.

الحل 5

مع مصدر الجهد الثابت، تكون للملف B القيم

\[ \boxed{R_B=16\,\Omega,\qquad I_B=0.75\text{ A}} \]

ولا ينتج سوى

\[ \boxed{0.15\text{ N m}} \]

مقارنةً بقيمة الملف A البالغة

\[ \boxed{0.30\text{ N m}} \]

وعلى الرغم من أن الملف B يحتوي على ضعف عدد اللفات، فإنه ينتج نصف عزم الدوران. أما مع مصدر تيار مثالي مقداره \(3.0\text{ A}\)، فسوف ينتج الملف B ضعف عزم دوران الملف A.

القيد الأساسي هنا هو ثبات كمية النحاس.

يحتوي الملف B على ضعف عدد اللفات على الإطار نفسه، ولذلك يتضاعف الطول الكلي للسلك:

\[ L_B=2L_A \]

وللحفاظ على حجم النحاس دون تغيير، استخدم

\[ V_{\text{copper}}=LS \]

إذا تضاعف \(L\)، فيجب أن تنخفض مساحة المقطع العرضي للسلك إلى النصف:

\[ S_B=\frac{S_A}{2} \]

والآن قارن المقاومتين:

\[ R=\rho\frac{L}{S} \]

ومن ثم

\[ \frac{R_B}{R_A} = \frac{2L_A/(S_A/2)}{L_A/S_A} =4 \]

لذلك،

\[ R_B=4(4.0)=16\,\Omega \]

عند التوقف، ومع إهمال القوة الدافعة الكهربائية العكسية، يعطي قانون أوم تيار الملف A:

\[ I_A=\frac{V}{R_A}=\frac{12}{4.0}=3.0\text{ A} \]

وبالنسبة إلى الملف B،

\[ I_B=\frac{12}{16}=0.75\text{ A} \]

والآن احسب أكبر عزم دوران للملف A:

\[ \begin{aligned} \tau_A &=nIAB\\ &=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.30\text{ N m} \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى الملف B،

\[ \begin{aligned} \tau_B &=(200)(0.75)(2.0\times10^{-3})(0.50)\\ &=0.15\text{ N m} \end{aligned} \]

والحجة المغرية هي ببساطة

\[ \tau\propto n \]

ومن ثم يجب أن تؤدي مضاعفة \(n\) إلى مضاعفة عزم الدوران.

لكن هذه العلاقة التناسبية لا تكون صحيحة إلا عندما تبقى \(I\) و\(A\) و\(B\) و\(\theta\) ثابتة. وهنا لا يحدث ذلك. فمضاعفة عدد اللفات مع الحفاظ على كمية النحاس نفسها تزيد المقاومة بمعامل أربعة. ومع وجود جهد ثابت، ينخفض التيار بمعامل أربعة.

والحاصل المهم هو \(nI\):

\[ (nI)_A=(100)(3.0)=300 \]

بينما

\[ (nI)_B=(200)(0.75)=150 \]

لذلك لا يملك الملف B سوى نصف أكبر عزم دوران للملف A.

والآن غيّر القيد. افترض أن مصدر تيار مثاليًا يجبر تيارًا مقداره \(3.0\text{ A}\) على المرور في أي من الملفين.

عندئذ

\[ \tau_A=(100)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.30\text{ N m} \]

بينما

\[ \tau_B=(200)(3.0)(2.0\times10^{-3})(0.50)=0.60\text{ N m} \]

ولذلك ينتج الملف B الآن ضعف عزم الدوران.

لم تتناقض الفيزياء مع نفسها. الذي تغير هو شرط مصدر التغذية. فالعبارة «المزيد من اللفات يعطي عزم دوران أكبر» لا تكون آمنة إلا عندما يمكن بالفعل اعتبار التيار ثابتًا.

08ما الذي يتيح لك هذا فهمه بعد ذلك

إن المعادلة

\[ \tau=nIAB\sin\theta \]

تفعل أكثر من مجرد حساب رقم واحد. فهي تشرح لماذا يتغير عزم دوران المحرك أثناء دوران العضو الدوار، ولماذا توجد للملف أوضاع ميتة، ولماذا يجب على المبدّل عكس اتجاه التيار، ولماذا يمكن أن يؤثر تغيير لفّات المحرك في أكثر من متغير واحد في الوقت نفسه.

والخطوة المفيدة التالية هي ربط هذا التغير في عزم الدوران بالحث الكهرومغناطيسي. فعندما يدور المحرك بالفعل، يولد الملف المتحرك أيضًا قوة دافعة كهربائية مستحثة تعاكس جهد المصدر. وتغيّر هذه القوة الدافعة الكهربائية العكسية التيار، فيتغير عزم الدوران مرة أخرى. لذلك فإن المحرك الحقيقي عبارة عن نظام تغذية راجعة بين الحركة، والقوة الدافعة الكهربائية المستحثة، والتيار، وعزم الدوران، وليس مجرد ملف له قيمة ثابتة لـ \(nIAB\).