قانون نيوتن الثاني في فيزياء HSC: القوة المحصلة والتسارع
تعرّف على العلاقة بين القوة المحصلة والكتلة والتسارع من خلال قانون نيوتن الثاني، مع أمثلة محلولة ومفاهيم خاطئة شائعة وأسئلة تدريبية بأسلوب HSC.
عند دفع عربة إلى اليمين، ثم التوقف عن دفعها، تلاحظ أنها تستمر في التدحرج لبعض الوقت. فهل يعني ذلك أنه لا بد من وجود قوة ما تزال تدفعها إلى الأمام؟
قد يبدو من المغري الإجابة بنعم. ففي النهاية، ما تزال العربة تتحرك إلى اليمين. لكن قانون نيوتن الثاني يقدم لنا فكرة أكثر فائدة: القوة المحصلة تتحكم في التسارع، لا في الحركة نفسها. يمكن لجسم أن يتحرك إلى اليمين بينما تكون القوة المحصلة المؤثرة فيه صفرًا، أو حتى بينما تكون القوة المحصلة متجهة إلى اليسار.
هذا التمييز هو المفتاح لاستخدام العلاقة
\[ F_{\text{net}} = ma \]
على نحو صحيح.
01ابدأ بفهم ما الذي تغيّره القوة فعليًا
تخيّل عربة تسوق فارغة وأخرى محمّلة بمشتريات كتلتها \(40\text{ kg}\).
تدفع كلتا العربتين بالقوة نفسها. أيّهما تتغير حركتها بسرعة أكبر؟
العربة الفارغة. فالدفع نفسه ينتج تسارعًا أكبر لأن كتلتها أقل، وبالتالي تتطلب تسارعًا أقل كتلةً أقل.
والآن، أبقِ العربة نفسها، لكن ادفعها بضعف القوة. ماذا يحدث؟
يتضاعف تسارعها، بشرط بقاء القوى الأخرى على حالها.
توضح هاتان الملاحظتان النمط الأساسي الذي يقوم عليه قانون نيوتن الثاني:
- زيادة القوة المحصلة تعني زيادة التسارع.
- زيادة الكتلة تعني انخفاض التسارع عند ثبات القوة المحصلة.
لكلمة المحصلة أهمية كبيرة هنا.
02القوة المحصلة هي القوة المتبقية بعد جمع القوى
لنفترض أنك تدفع عربة إلى الأمام بقوة مقدارها \(40\text{ N}\)، بينما يؤثر الاحتكاك إلى الخلف بقوة مقدارها \(15\text{ N}\).
لا ينبغي أن تعوّض مباشرةً عن \(40\text{ N}\) في العلاقة \(F = ma\).
عليك أولًا جمع جميع القوى مع مراعاة اتجاهاتها:
\[ F_{\text{net}} = 40 - 15 = 25\text{ N} \]
إذن، تتصرف العربة كما لو أن قوة واحدة غير متزنة مقدارها \(25\text{ N}\) تؤثر إلى الأمام.
هذا لا يعني أن القوى الأخرى قد اختفت. بل يعني أن تأثيرها المشترك في تسارع العربة يعادل تأثير قوة واحدة مقدارها \(25\text{ N}\).
يمكن الاستعانة ذهنيًا بصورة لعبة شد الحبل. يسحب أحد الفريقين بقوة \(500\text{ N}\)، ويسحب الفريق الآخر بقوة \(450\text{ N}\). قد يبلغ مجموع قوى السحب \(950\text{ N}\)، لكن الحبل لا يتسارع كما لو أن قوة مقدارها \(950\text{ N}\) تؤثر في اتجاه واحد. القوة ذات الصلة هي الفرق بين القوتين، أي \(50\text{ N}\).
لكن هذا التشبيه لا يعود دقيقًا إذا تخيلت أن القوة المحصلة قوة فيزيائية مستقلة. فهي ليست كذلك. القوة المحصلة هي المجموع المتجهي للقوى الحقيقية المؤثرة في الجسم.
03قانون نيوتن الثاني
في الحالات ذات الكتلة الثابتة التي نتناولها في ميكانيكا المرحلة الثانوية العليا (HSC)،
\[ \vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a} \]
حيث:
- \(\vec{F}_{\text{net}}\) هي القوة المحصلة المؤثرة في الجسم، وتقاس بالنيوتن (\(\text{N}\)).
- \(m\) هي كتلة الجسم، وتقاس بالكيلوغرام (\(\text{kg}\)).
- \(\vec{a}\) هو تسارع الجسم، ويقاس بالمتر لكل ثانية مربعة (\(\text{m s}^{-2}\)).
تذكّرنا الأسهم بأن القوة والتسارع كميتان متجهتان، أي إن لكل منهما مقدارًا واتجاهًا.
يُعرَّف النيوتن الواحد بحيث يكون
\[ 1\text{ N} = 1\text{ kg m s}^{-2}. \]
لذلك، إذا أثرت قوة محصلة مقدارها \(1\text{ N}\) في جسم كتلته \(1\text{ kg}\)، فإن تسارعه يكون \(1\text{ m s}^{-2}\).
ما الذي تقوله المعادلة فعليًا؟
بإعادة ترتيب قانون نيوتن الثاني، نحصل على
\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m}. \]
وهذا يجعل العلاقات أوضح.
| التغيير | التأثير في التسارع |
|---|---|
| مضاعفة \(F_{\text{net}}\) مع ثبات \(m\) | يتضاعف \(a\) |
| تقليل \(F_{\text{net}}\) إلى النصف مع ثبات \(m\) | ينخفض \(a\) إلى النصف |
| مضاعفة \(m\) مع ثبات \(F_{\text{net}}\) | ينخفض \(a\) إلى النصف |
| \(F_{\text{net}} = 0\) | \(a = 0\) |
يؤدي الصف الأخير إلى أحد أكثر الأخطاء شيوعًا في الميكانيكا.
04انعدام القوة المحصلة لا يعني انعدام السرعة المتجهة
لنفترض أن قرص هوكي ينزلق إلى اليمين بسرعة \(6\text{ m s}^{-1}\). تخيّل أنه يتحرك على سطح مثالي لا يوجد عليه احتكاك.
إذا أصبحت القوة المحصلة صفرًا، فماذا يحدث بعد ذلك؟
من التوقعات الشائعة أن القرص سيتباطأ لأن «لا شيء يدفعه بعد الآن».
لكن قانون نيوتن الثاني يعطينا إجابة مختلفة:
\[ F_{\text{net}} = 0 \]
ومن ثم
\[ a = 0. \]
انعدام التسارع يعني أن السرعة المتجهة لا تتغير. لذلك يستمر القرص في الحركة إلى اليمين بسرعة \(6\text{ m s}^{-1}\).
نحتاج إلى قوة محصلة لتغيير السرعة المتجهة، لا للمحافظة على سرعة متجهة ثابتة.
وهذا يقودنا إلى ثلاث حالات مهمة:
- سرعة متجهة تساوي صفرًا وقوة محصلة تساوي صفرًا: يمكن للجسم أن يبقى ساكنًا.
- سرعة متجهة غير صفرية وقوة محصلة تساوي صفرًا: يمكن للجسم أن يتحرك بسرعة متجهة ثابتة.
- قوة محصلة غير صفرية: تتغير السرعة المتجهة للجسم.
قد يعني هذا التغير زيادة السرعة، أو انخفاضها، أو تغير الاتجاه، أو حدوث مزيج من هذه التغيرات.
05يتجه تأثير القوة في اتجاه التسارع، وليس بالضرورة في اتجاه السرعة المتجهة
إليك حالة أخرى يجدر بك التنبؤ بنتيجتها.
تتحرك سيارة شرقًا، لكنها تستخدم المكابح. فما اتجاه تسارعها؟
السرعة المتجهة للسيارة نحو الشرق، لكن مقدار سرعتها يتناقص. لذلك يكون تسارعها متجهًا نحو الغرب.
ويخبرنا قانون نيوتن الثاني أن القوة المحصلة يجب أن تتجه أيضًا نحو الغرب.
إذن، العبارة الآتية صحيحة:
تتجه القوة المحصلة والتسارع دائمًا في الاتجاه نفسه.
أما العبارة الآتية فليست صحيحة:
تتجه القوة المحصلة دائمًا في اتجاه حركة الجسم.
يمكن للجسم أن يتحرك في اتجاه بينما يكون تسارعه في الاتجاه المعاكس.
وهذا ما يحدث تحديدًا كلما تباطأ جسم يتحرك في خط مستقيم.
06كيفية استخدام \(F_{\text{net}} = ma\) دون أن تختلط عليك الخطوات
تصبح معظم أسئلة قانون نيوتن الثاني أسهل بكثير إذا اتبعت التسلسل نفسه في كل مرة.
1. حدّد الجسم
قرّر بدقة ما النظام الذي تحلله.
إذا كان السؤال يتعلق بتسارع صندوق، فارسم القوى المؤثرة في الصندوق، لا القوى التي يؤثر بها الصندوق في أجسام أخرى.
2. حدّد القوى المؤثرة فيه
بحسب الحالة، قد تشمل هذه القوى:
- الوزن
- القوة العمودية
- قوة الشد
- قوة الاحتكاك
- مقاومة المائع
- قوة الدفع
- قوة دفع أو سحب مطبقة
3. اختر اتجاهًا موجبًا
في الحركة ذات البعد الواحد، يمكنك اختيار اليمين اتجاهًا موجبًا أو الأعلى اتجاهًا موجبًا.
ثم أعطِ كل قوة إشارةً وفقًا لاتجاهها.
4. اجمع القوى لإيجاد \(F_{\text{net}}\)
افعل ذلك قبل استخدام قانون نيوتن الثاني.
على سبيل المثال، إذا اخترت اليمين اتجاهًا موجبًا،
\[ F_{\text{net}} = F_{\text{push}} - F_{\text{friction}}. \]
5. طبّق \(F_{\text{net}} = ma\)
ثم أوجد الكمية المجهولة بحل المعادلة.
هذا الترتيب مهم. فالقوة المذكورة في السؤال ليست بالضرورة القوة المحصلة.
07مثال محلول: تسارع عربة
تُدفع عربة كتلتها \(10.0\text{ kg}\) أفقيًا نحو اليمين بقوة مقدارها \(42\text{ N}\). ويؤثر الاحتكاك نحو اليسار بقوة مقدارها \(12\text{ N}\). احسب تسارع العربة.
الخطوة 1
اعتبر اليمين اتجاهًا موجبًا.
الخطوة 2
تؤثر القوة المطبقة والاحتكاك في اتجاهين متعاكسين:
\[ F_{\text{net}} = 42 - 12 = 30\text{ N}. \]
إذن، القوة المحصلة مقدارها \(30\text{ N}\) نحو اليمين.
لا تؤثر القوى الرأسية في التسارع الأفقي. فعلى سطح أفقي، وفي غياب التسارع الرأسي، تتوازن القوة العمودية المتجهة إلى الأعلى مع الوزن المتجه إلى الأسفل.
الخطوة 3
\[ F_{\text{net}} = ma \]
ومن ثم
\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{30}{10.0} = 3.0\text{ m s}^{-2}. \]
إذن، تسارع العربة هو
\[ \boxed{3.0\text{ m s}^{-2}\text{ to the right}}. \]
وهذا يعني أن سرعتها المتجهة تتغير بمقدار \(3.0\text{ m s}^{-1}\) نحو اليمين كل ثانية.
لاحظ أننا استخدمنا \(30\text{ N}\)، وليس القوة المطبقة البالغة \(42\text{ N}\). فقانون نيوتن الثاني يستخدم القوة المحصلة.
08أحيانًا تحتاج إلى حساب التسارع قبل القوة
غالبًا ما تجمع أسئلة قانون نيوتن الثاني بين هذا القانون ومعادلات الحركة.
إذا أعطاك السؤال التغير في السرعة المتجهة والزمن المستغرق، فقد تحتاج أولًا إلى استخدام
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t}, \]
حيث تمثل \(\Delta v\) التغير في السرعة المتجهة، وتمثل \(\Delta t\) الفترة الزمنية.
بعد ذلك، يمكنك استخدام \(F_{\text{net}} = ma\).
مثال محلول: إيجاد قوة الدفع
تزداد سرعة سيارة كتلتها \(1200\text{ kg}\) في خط مستقيم من \(8.0\text{ m s}^{-1}\) إلى \(14.0\text{ m s}^{-1}\) خلال \(3.0\text{ s}\). وتؤثر قوة مقاومة كلية مقدارها \(900\text{ N}\) عكس اتجاه الحركة. احسب قوة الدفع التي تولدها السيارة.
الخطوة 1
التغير في السرعة المتجهة هو
\[ \Delta v = 14.0 - 8.0 = 6.0\text{ m s}^{-1}. \]
إذن،
\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{6.0}{3.0} = 2.0\text{ m s}^{-2}. \]
الخطوة 2
\[ F_{\text{net}} = ma = 1200(2.0) = 2400\text{ N}. \]
إذن، تحتاج السيارة إلى قوة محصلة مقدارها \(2400\text{ N}\) نحو الأمام.
الخطوة 3
لتكن \(F_{\text{drive}}\) قوة الدفع المتجهة إلى الأمام.
باعتبار الاتجاه إلى الأمام موجبًا،
\[ F_{\text{net}} = F_{\text{drive}} - F_{\text{resistive}}. \]
بالتعويض،
\[ 2400 = F_{\text{drive}} - 900. \]
إذن،
\[ F_{\text{drive}} = 3300\text{ N}. \]
قوة الدفع هي
\[ \boxed{3.3\times10^3\text{ N forwards}}. \]
النقطة المهمة هي أن \(2400\text{ N}\) تمثل القوة المحصلة، لا قوة دفع المحرك. إذ يجب أن يولّد المحرك قوة مقدارها \(3300\text{ N}\)، لأن المقاومة تعاكس \(900\text{ N}\) منها.
09توازن القوى الرأسية لا يعني توازن جميع القوى
تأمل العربة في المثال الأول.
يؤثر وزنها إلى الأسفل، بينما تؤثر القوة العمودية للأرضية إلى الأعلى. إذا تساوت القوتان، فإن القوة المحصلة الرأسية تساوي صفرًا.
وفي الوقت نفسه، قد تكون محصلة القوى الأفقية المؤثرة في العربة غير صفرية.
لذلك، ينبغي التفكير في قانون نيوتن الثاني بصورة مستقلة في كل اتجاه:
\[ \sum F_x = ma_x \]
و
\[ \sum F_y = ma_y. \]
ليس من الضروري أن يكون الجسم «متزنًا» أو «غير متزن» في جميع الاتجاهات في الوقت نفسه.
فعلى سبيل المثال، عندما تتسارع سيارة على طريق مستوٍ:
- قد تكون محصلة القوى الرأسية صفرًا.
- قد تكون محصلة القوى الأفقية متجهة إلى الأمام.
وبالتالي، يكون تسارع السيارة الرأسي صفرًا، بينما يكون تسارعها الأفقي غير صفري.
10الكتلة هي مقياس مقاومة التسارع
في هذا السياق، تخبرك الكتلة بمدى صعوبة تغيير السرعة المتجهة للجسم.
لنفترض أن قوة محصلة مقدارها \(20\text{ N}\) تؤثر في جسمين.
بالنسبة إلى جسم كتلته \(2.0\text{ kg}\)،
\[ a = \frac{20}{2.0} = 10\text{ m s}^{-2}. \]
أما بالنسبة إلى جسم كتلته \(10.0\text{ kg}\)،
\[ a = \frac{20}{10.0} = 2.0\text{ m s}^{-2}. \]
القوة متطابقة في الحالتين، لكن الجسم الأكبر كتلة يتسارع بدرجة أقل.
تُسمى هذه الخاصية القصور الذاتي. فكلما زادت الكتلة، زادت مقاومة الجسم للتغير في سرعته المتجهة.
انتبه إلى طريقة التعبير عن الفكرة. فالجسم الأكبر كتلة لا «يستهلك» القوة بطريقة ما. بل إن القوة المحصلة نفسها تنتج تسارعًا أقل فحسب.
11الخطأ الأكثر إغراءً: اعتبار كل قوة مساوية لـ \(ma\)
لنفترض أن صندوقًا كتلته \(5.0\text{ kg}\) يُدفع نحو اليمين بقوة مقدارها \(30\text{ N}\)، بينما يؤثر الاحتكاك نحو اليسار بقوة مقدارها \(10\text{ N}\).
يكتب أحد الطلاب
\[ 30 = 5a. \]
لماذا هذا خطأ؟
لأن قوة الدفع البالغة \(30\text{ N}\) ليست سوى قوة واحدة من القوى المؤثرة في الصندوق.
المعادلة الصحيحة هي
\[ 30 - 10 = 5a, \]
ومن ثم
\[ a = 4.0\text{ m s}^{-2}. \]
من العادات المفيدة أن تقرأ قانون نيوتن الثاني ذهنيًا على النحو الآتي:
مجموع جميع القوى المؤثرة في الجسم = الكتلة × التسارع
بدلًا من الاكتفاء بعبارة «القوة تساوي الكتلة مضروبة في التسارع».
في بُعد واحد، ستكتب غالبًا هذه العلاقة صراحةً على الصورة
\[ \sum F = ma. \]
12الإشارات تدل على الاتجاه
لنفترض أنك اخترت اليمين اتجاهًا موجبًا، ثم حسبت
\[ a = -2.5\text{ m s}^{-2}. \]
لا تعني الإشارة السالبة أن تسارعك «أقل من انعدام التسارع» بطريقة ما.
بل تعني أن التسارع يتجه عكس الاتجاه الذي اخترته موجبًا. وفي هذه الحالة، يكون مقداره \(2.5\text{ m s}^{-2}\) نحو اليسار.
وينطبق الأمر نفسه على القوة المحصلة.
إذا كان
\[ F_{\text{net}} = -18\text{ N}, \]
فإن القوة المحصلة مقدارها \(18\text{ N}\) في الاتجاه السالب.
لا تتجاهل الإشارة السالبة لمجرد أن السؤال يطلب المقدار. فسّر الاتجاه أولًا.
13الأسئلة والحلول
السؤال 1
يُسحب صندوق كتلته \(6.0\text{ kg}\) أفقيًا نحو اليمين بقوة مقدارها \(25\text{ N}\). ويؤثر الاحتكاك نحو اليسار بقوة مقدارها \(7.0\text{ N}\).
احسب مقدار تسارع الصندوق واتجاهه.
الحل 1
تسارع الصندوق هو \(\boxed{3.0\text{ m s}^{-2}}\) نحو اليمين.
باعتبار اليمين اتجاهًا موجبًا، تكون القوة المحصلة
\[ F_{\text{net}} = 25 - 7.0 = 18\text{ N}. \]
وباستخدام قانون نيوتن الثاني،
\[ F_{\text{net}} = ma \]
نحصل على
\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{18}{6.0} = 3.0\text{ m s}^{-2}. \]
يتسارع الصندوق نحو اليمين لأن قوة السحب المتجهة إلى اليمين أكبر من قوة الاحتكاك المتجهة إلى اليسار.
الخطأ المغري هو استخدام \(25\text{ N}\) مباشرةً في العلاقة \(F = ma\)، وهذا من شأنه تجاهل الاحتكاك. يتطلب قانون نيوتن الثاني استخدام القوة المحصلة.
السؤال 2
تبلغ الكتلة الكلية لراكب دراجة ودراجته \(80\text{ kg}\). ويتسارعان إلى الأمام بمقدار \(1.5\text{ m s}^{-2}\). وتبلغ محصلة قوى مقاومة الهواء وغيرها من القوى المقاومة \(40\text{ N}\) نحو الخلف.
احسب قوة الدفع الأمامية المؤثرة في راكب الدراجة ودراجته.
الحل 2
قوة الدفع الأمامية هي \(\boxed{160\text{ N}}\).
أوجد أولًا القوة المحصلة اللازمة:
\[ F_{\text{net}} = ma = 80(1.5) = 120\text{ N}. \]
إذن، يجب أن تكون القوة المحصلة \(120\text{ N}\) نحو الأمام.
لتكن \(F_{\text{prop}}\) قوة الدفع الأمامية. وباعتبار الاتجاه إلى الأمام موجبًا،
\[ F_{\text{net}} = F_{\text{prop}} - F_{\text{resistive}}. \]
بالتعويض،
\[ 120 = F_{\text{prop}} - 40, \]
ومن ثم
\[ F_{\text{prop}} = 160\text{ N}. \]
يجب أن تكون قوة الدفع أكبر من القوة المحصلة لأن جزءًا منها تعاكسه قوى المقاومة.
السؤال 3
تؤثر القوة المحصلة نفسها في عربتين مخبريتين. كتلة العربة A هي \(0.50\text{ kg}\)، بينما كتلة العربة B هي \(1.5\text{ kg}\).
تتسارع العربة A بمقدار \(6.0\text{ m s}^{-2}\).
حدّد تسارع العربة B دون أن تُعطى القوة المحصلة أولًا.
الحل 3
تتسارع العربة B بمقدار \(\boxed{2.0\text{ m s}^{-2}}\).
عندما تكون القوة المحصلة ثابتة،
\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m}. \]
كتلة العربة B تساوي ثلاثة أمثال كتلة العربة A:
\[ \frac{1.5}{0.50} = 3. \]
لذلك، يجب أن يكون تسارعها ثلث تسارع العربة A:
\[ a_B = \frac{6.0}{3} = 2.0\text{ m s}^{-2}. \]
يمكنك أيضًا التحقق من النتيجة بإيجاد القوة المحصلة المشتركة باستخدام بيانات العربة A:
\[ F_{\text{net}} = ma = 0.50(6.0) = 3.0\text{ N}. \]
ثم
\[ a_B = \frac{3.0}{1.5} = 2.0\text{ m s}^{-2}. \]
الفكرة الأساسية هي أن التسارع يتناسب عكسيًا مع الكتلة عندما تكون القوة المحصلة ثابتة. فمضاعفة الكتلة ثلاث مرات لا تتطلب قانونًا جديدًا لنيوتن، بل تنتج ثلث التسارع فحسب.
السؤال 4
يتحرك متزلج على لوح تزلج نحو اليمين بسرعة \(5.0\text{ m s}^{-1}\). وفي لحظة معينة، تؤثر في المتزلج واللوح قوتان أفقيتان: \(100\text{ N}\) نحو اليمين و\(140\text{ N}\) نحو اليسار.
تبلغ الكتلة الكلية للمتزلج واللوح \(50\text{ kg}\).
احسب التسارع، واذكر ما إذا كان المتزلج يزيد سرعته أم يتباطأ في تلك اللحظة.
الحل 4
التسارع هو \(\boxed{0.80\text{ m s}^{-2}}\) نحو اليسار، والمتزلج يتباطأ.
باعتبار اليمين اتجاهًا موجبًا،
\[ F_{\text{net}} = 100 - 140 = -40\text{ N}. \]
يعطينا قانون نيوتن الثاني
\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{-40}{50} = -0.80\text{ m s}^{-2}. \]
تشير الإشارة السالبة إلى أن التسارع يتجه نحو اليسار.
السرعة المتجهة للمتزلج حاليًا نحو اليمين، بينما يتجه تسارعه نحو اليسار. ولأن التسارع يعاكس السرعة المتجهة، فإن مقدار سرعة المتزلج يتناقص.
يكمن الخطأ في افتراض أن القوة لا بد أن تتجه نحو اليمين لأن المتزلج يتحرك نحو اليمين. فقانون نيوتن الثاني يربط القوة المحصلة بالتسارع، لا بالسرعة المتجهة مباشرةً.
السؤال 5
يقف راكب كتلته \(70\text{ kg}\) على ميزان داخل مصعد. وفي لحظة معينة، يؤثر الميزان في الراكب بقوة عمودية إلى الأعلى مقدارها \(720\text{ N}\).
استخدم \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\).
احسب تسارع الراكب، مع تحديد اتجاهه. هل يمكنك تحديد ما إذا كان المصعد يتحرك إلى الأعلى أم إلى الأسفل اعتمادًا على هذه المعلومات وحدها؟
الحل 5
تسارع الراكب يساوي تقريبًا \(\boxed{0.49\text{ m s}^{-2}}\) نحو الأعلى، لكن لا يمكن تحديد اتجاه حركة المصعد اعتمادًا على هذه المعلومات وحدها.
وزن الراكب هو
\[ F_g = mg = 70(9.8) = 686\text{ N}. \]
تؤثر القوة العمودية للميزان إلى الأعلى بمقدار \(720\text{ N}\).
باعتبار الأعلى اتجاهًا موجبًا،
\[ F_{\text{net}} = 720 - 686 = 34\text{ N}. \]
يعطينا قانون نيوتن الثاني
\[ a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{34}{70} \approx 0.49\text{ m s}^{-2}. \]
إذن، يكون التسارع نحو الأعلى.
لكن التسارع نحو الأعلى لا يثبت أن المصعد يتحرك إلى الأعلى. فقد يكون:
- يتحرك إلى الأعلى وتزداد سرعته.
- يتحرك إلى الأسفل وتتناقص سرعته.
يخبرنا التسارع بكيفية تغير السرعة المتجهة، وليس بالضرورة بالاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم حاليًا.
ولهذا السبب، لا يكفي تحديد اتجاه التسارع من القوى لتحديد اتجاه السرعة المتجهة.
السؤال 6
يتسارع جسم كتلته \(4.0\text{ kg}\) بمقدار \(2.0\text{ m s}^{-2}\) نحو الشرق.
تؤثر فيه ثلاث قوى:
- \(12\text{ N}\) نحو الشرق.
- \(8.0\text{ N}\) نحو الغرب.
- \(5.0\text{ N}\) نحو الشمال.
وتؤثر في الجسم قوة رابعة أيضًا.
حدّد مقدار القوة الرابعة واتجاهها.
الحل 6
مقدار القوة الرابعة هو \(\boxed{6.4\text{ N}}\)، واتجاهها تقريبًا \(\boxed{51^\circ\text{ south of east}}\).
تُحدَّد القوة المحصلة المطلوبة باستخدام قانون نيوتن الثاني.
بما أن التسارع مقداره \(2.0\text{ m s}^{-2}\) نحو الشرق،
\[ \vec{F}_{\text{net}} = m\vec{a}. \]
إذن،
\[ F_{\text{net}} = 4.0(2.0) = 8.0\text{ N east}. \]
والآن، اجمع القوى الثلاث المعروفة.
أفقيًا،
\[ F_x = 12 - 8.0 = 4.0\text{ N east}. \]
رأسيًا،
\[ F_y = 5.0\text{ N north}. \]
لكن يجب أن تكون القوة المحصلة النهائية \(8.0\text{ N}\) نحو الشرق، من دون أي مركبة في اتجاه الشمال أو الجنوب.
لذلك، يجب أن تضيف القوة الرابعة \(4.0\text{ N}\) أخرى نحو الشرق، وأن تلغي القوة المتجهة إلى الشمال ومقدارها \(5.0\text{ N}\). وتكون مركبتا القوة الرابعة
\[ F_{4x} = 4.0\text{ N east} \]
و
\[ F_{4y} = 5.0\text{ N south}. \]
مقدارها هو
\[ F_4 = \sqrt{(4.0)^2 + (5.0)^2} = \sqrt{41} \approx 6.4\text{ N}. \]
واتجاهها بالنسبة إلى الشرق هو
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5.0}{4.0}\right) \approx 51^\circ. \]
إذن، القوة الرابعة تساوي تقريبًا
\[ \boxed{6.4\text{ N at }51^\circ\text{ south of east}}. \]
تكمن الصعوبة في ملاحظة أن قانون نيوتن الثاني معادلة متجهة. فلا يكفي أن يساوي مجموع مقادير القوى \(ma\)، بل يجب أن يكون مجموعها المتجهي في اتجاه التسارع نفسه.
14إلى أين يقودك قانون نيوتن الثاني بعد ذلك؟
عندما تتقن العلاقة \(F_{\text{net}} = ma\)، تتوقف كثير من مسائل الميكانيكا عن الظهور وكأنها موضوعات منفصلة.
تصبح مسائل الاحتكاك أسئلةً عن القوى التي تسهم في القوة المحصلة. وتصبح مسائل المصاعد تطبيقات رأسية للمعادلة نفسها. أما الحركة الدائرية فتضيف فكرة جديدة: يمكن أن يوجد تسارع حتى عندما تبقى السرعة ثابتة المقدار، لأن اتجاه السرعة المتجهة يتغير. وتستخدم مسائل مجالات الجاذبية والمجالات الكهربائية قوى قد تتغير بتغير الموضع، لكن الأثر المباشر يظل يُحدَّد بطرح السؤال نفسه:
ما القوة المحصلة المؤثرة في الجسم، وما التسارع الذي يجب أن ينتج عنها؟
هذه هي العادة التي تستحق أن تتمسك بها. لا تبدأ بالبحث عن معادلة تحفظها. حدّد الجسم، وحدّد القوى، واجمعها بوصفها متجهات، ثم اربط القوة المحصلة الناتجة بالتسارع.