معادلة الموجة v = fλ: السرعة والتردد والطول الموجي
تعرّف على العلاقة بين سرعة الموجة وترددها وطولها الموجي، وكيفية تحديد الكمية التي تتغير عندما تدخل الموجة وسطًا جديدًا.
تنتقل موجة من وسط إلى وسط آخر، فتتباطأ فجأة. ما الذي يتغير معها؟
من التوقعات الأولية الشائعة أن نقول: «إذا كانت الموجة تتحرك ببطء أكبر، فربما يجب أن ينخفض ترددها أيضًا». يبدو هذا منطقيًا لأن السرعة والتردد يظهران معًا في المعادلة \(v = f\lambda\).
لكن هذا يغفل سؤالًا جوهريًا واحدًا: ما الذي يتحكم في كل كمية؟
إذا استمر المصدر في الاهتزاز بالمعدل نفسه، فسيبقى التردد ثابتًا. أما الوسط الجديد فيغيّر سرعة الموجة. ثم يتكيف الطول الموجي بحيث تبقى الكميات الثلاث متوافقة معًا.
إن التمييز بين تأثير المصدر وتأثير الوسط هو المفتاح لاستخدام معادلة الموجة دون الوقوع في الالتباس.
01ابدأ بصورة يمكنك تخيلها فعلًا
تخيّل أنك تهز أحد طرفي حبل طويل إلى أعلى وأسفل.
لنفترض أن يدك تكمل 3 اهتزازات كاملة كل ثانية. أنت مصدر الموجة، ولذلك تنتج موجة بتردد مقداره 3 هرتز.
والآن تخيّل أن جزءًا من الحبل استُبدل بجزء مختلف يجعل الموجات تنتقل ببطء أكبر.
قبل إجراء أي حسابات، توقّع ما سيحدث عندما تدخل الموجة ذلك الجزء:
- هل ستبدأ يدك فجأة بالاهتزاز بمعدل مختلف؟
- هل ستصل قمم الموجة إلى نقاط متتالية تفصل بينها مسافة أصغر أم أكبر؟
لا تعرف يدك أن الحبل قد تغيّر في جزء أبعد منها. فهي تواصل الحركة 3 مرات في الثانية، ولذلك يبقى التردد 3 Hz.
لكن الموجة تقطع الآن مسافة أقصر خلال كل دورة. ولذلك تصبح المسافات بين القمم أصغر. أي إن الطول الموجي ينخفض.
هذا هو المعنى الفيزيائي الأساسي الكامن وراء معادلة الموجة.
02ما الذي تقوله \(v = f\lambda\) فعلًا؟
معادلة الموجة هي
\[ v = f\lambda \]
حيث:
- \(v\) هي سرعة الموجة بوحدة المتر لكل ثانية، \(\text{m s}^{-1}\)
- \(f\) هو التردد بوحدة الهرتز، \(\text{Hz}\)
- \(\lambda\) هو الطول الموجي بوحدة المتر، \(\text{m}\)
يسهل تذكّر المعادلة إذا فهمتها باعتبارها علاقة بين المسافة والزمن.
يخبرك التردد بعدد الموجات الكاملة التي تُنتَج كل ثانية.
ويخبرك الطول الموجي بالمسافة التي تشغلها موجة كاملة واحدة.
لذلك، إذا مرّت 5 موجات كل ثانية وكان طول كل موجة 2 m، فإن نمط الموجة يتقدم مسافة
\[ 5 \times 2 = 10\text{ m} \]
كل ثانية.
إذن،
\[ v = 10\text{ m s}^{-1} \]
ليست المعادلة صيغة اعتباطية تربط ثلاثة رموز. بل إنها تحسب مقدار نمط الموجة الذي يمر خلال زمن معين.
03التردد مرتبط بالاهتزاز
لنفترض أن يدك تهز حبلًا 6 مرات كل ثانية.
وهذا يعطينا
\[ f = 6\text{ Hz} \]
يصف التردد مدى سرعة اهتزاز المصدر.
في الموجة الصوتية، قد يكون المصدر هو الغشاء المخروطي لمكبر صوت يهتز.
وفي الموجة المائية، قد يكون المصدر مجدافًا يتحرك إلى أعلى وأسفل.
أما في الموجة الكهرومغناطيسية، فيرتبط التردد بالمجالين الكهربائي والمغناطيسي المتذبذبين اللذين ينتجهما المصدر.
في مسائل حدود الموجات المعتادة في شهادة HSC، عندما تدخل موجة وسطًا جديدًا، لا يغيّر المصدر معدل اهتزازه فجأة. ولذلك يبقى التردد دون تغيير عبر الحد الفاصل بين الوسطين.
وهذا يعطينا قاعدة مفيدة جدًا:
يمكن لتغيّر الوسط أن يغيّر سرعة الموجة وطولها الموجي، لكنه لا يغيّر التردد بحد ذاته.
توجد حالات، مثل تأثير دوبلر، يقيس فيها الراصد ترددًا مختلفًا بسبب حركة المصدر أو الراصد. لكن هذه آلية مختلفة. فلا تخلط بينها وبين انتقال موجة من وسط إلى آخر عندما يكون المصدر ساكنًا.
04تعتمد سرعة الموجة على الوسط
يحدد الوسط مدى سرعة انتقال الاضطراب من موضع إلى الموضع المجاور.
تخيّل موجة جمهور في ملعب. يقف شخص، ثم يستجيب الشخص التالي، ثم الذي يليه. إذا استجاب الجميع بسرعة، انتقلت الموجة حول الملعب بسرعة. أما إذا كان رد فعل الجميع بسرعة شخص يحاول التحقق من خمس محادثات جماعية في الوقت نفسه، فستتحرك الموجة ببطء أكبر.
يمثل الأشخاص أجزاء الوسط. وتساعد استجابتهم لحركة جيرانهم في تحديد سرعة انتقال الاضطراب.
وهذا التشبيه مفيد لأن الأشخاص أنفسهم لا ينتقلون حول الملعب. بل الذي ينتقل هو النمط.
لكن للتشبيه حدودًا. فالموجات الميكانيكية الحقيقية تعتمد على خصائص فيزيائية مثل الشد والمرونة والكثافة والقصور الذاتي، لا على أشخاص يتعمدون مراقبة جيرانهم.
النقطة المهمة هي أن تغيير الوسط يمكن أن يغيّر \(v\)، حتى مع بقاء تردد المصدر ثابتًا.
05الطول الموجي هو الكمية التي تتكيف
الطول الموجي هو المسافة بين نقطتين متماثلتين متتاليتين على موجتين متعاقبتين، مثل المسافة من قمة إلى القمة التي تليها.
من المعادلة
\[ v = f\lambda \]
يمكننا إعادة ترتيبها لنحصل على
\[ \lambda = \frac{v}{f} \]
إذا بقي \(f\) ثابتًا، فإن الطول الموجي يتناسب طرديًا مع سرعة الموجة.
إذن:
- زيادة \(v\) تعني زيادة \(\lambda\)
- انخفاض \(v\) يعني انخفاض \(\lambda\)
وهذا أحد أكثر التوقعات السريعة فائدة التي يمكنك التوصل إليها قبل إجراء أي حساب.
لنفترض أن موجة دخلت وسطًا انخفضت فيه سرعتها إلى النصف. إذا لم يتغير المصدر، فماذا يحدث للطول الموجي؟
يبقى التردد ثابتًا، ولذلك ينخفض الطول الموجي إلى النصف أيضًا.
ينبغي أن تتمكن من توقع ذلك دون الحاجة إلى استخدام الآلة الحاسبة.
06مثال محلول: إيجاد الطول الموجي من السرعة والتردد
تنتقل موجة على طول حبل بسرعة \(18\text{ m s}^{-1}\). ويهتز المصدر بتردد \(6.0\text{ Hz}\). احسب الطول الموجي.
الخطوة 1
يحدد الوسط سرعة الموجة:
\[ v = 18\text{ m s}^{-1} \]
ويحدد المصدر التردد:
\[ f = 6.0\text{ Hz} \]
نريد إيجاد الطول الموجي، \(\lambda\).
الخطوة 2
نبدأ من
\[ v = f\lambda \]
ونقسم الطرفين على \(f\):
\[ \lambda = \frac{v}{f} \]
الخطوة 3
\[ \lambda = \frac{18\text{ m s}^{-1}}{6.0\text{ s}^{-1}} = 3.0\text{ m} \]
الخطوة 4
الطول الموجي هو
\[ \boxed{3.0\text{ m}} \]
تفصل مسافة 3.0 m بين كل قمتين متتاليتين.
لاحظ أن \(1\text{ Hz} = 1\text{ s}^{-1}\)، ولذلك تُختزل وحدات الثواني بصورة صحيحة وتتبقى وحدة المتر.
07عبور الحد الفاصل بين الوسطين
لنتأمل الآن موجة تنتقل من الوسط 1 إلى الوسط 2.
تتغير سرعتها من \(v_1\) إلى \(v_2\).
ويبقى التردد \(f\) كما هو على جانبي الحد الفاصل، لأن المصدر لا يزال ينتج اهتزازات بالمعدل نفسه.
لذلك،
\[ v_1 = f\lambda_1 \]
و
\[ v_2 = f\lambda_2 \]
وبما أن \(f\) نفسه يظهر في المعادلتين،
\[ \frac{v_1}{\lambda_1} = \frac{v_2}{\lambda_2} \]
أو، بصورة أكثر فائدة،
\[ \frac{v_2}{v_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \]
وهذا يعني أنه عندما يبقى التردد ثابتًا، فإن نسبة السرعتين تساوي نسبة الطولين الموجيين.
انتبه إلى هذا الاستنتاج. فهو ليس قاعدة عامة تنطبق على كل حالة يمكن تخيلها. وإنما يصح هنا لأن المصدر الموجي نفسه ينتج التردد نفسه على جانبي الحد الفاصل.
مثال محلول: دخول موجة إلى وسط أبطأ
تنتقل موجة ترددها \(12\text{ Hz}\) في الوسط A بسرعة \(30\text{ m s}^{-1}\). ثم تدخل الوسط B، حيث تصبح سرعتها \(18\text{ m s}^{-1}\).
احسب الطول الموجي في كل وسط، واشرح ما الذي يتغير عند الحد الفاصل.
الخطوة 1
باستخدام
\[ \lambda_A = \frac{v_A}{f} \]
نحصل على
\[ \lambda_A = \frac{30\text{ m s}^{-1}}{12\text{ s}^{-1}} = 2.5\text{ m} \]
الخطوة 2
دخلت الموجة وسطًا مختلفًا، لكن مصدرها لم يتغير.
لذلك،
\[ f_B = 12\text{ Hz} \]
الخطوة 3
\[ \lambda_B = \frac{v_B}{f} \]
إذن،
\[ \lambda_B = \frac{18\text{ m s}^{-1}}{12\text{ s}^{-1}} = 1.5\text{ m} \]
الخطوة 4
في الوسط A،
\[ \boxed{\lambda_A = 2.5\text{ m}} \]
وفي الوسط B،
\[ \boxed{\lambda_B = 1.5\text{ m}} \]
تتباطأ الموجة من \(30\text{ m s}^{-1}\) إلى \(18\text{ m s}^{-1}\)، بينما يبقى ترددها \(12\text{ Hz}\). ولأنها تقطع مسافة أقل خلال كل دورة، فإن طولها الموجي ينخفض.
08المفهوم الخاطئ: «إذا تغيّرت \(v\)، فلا بد أن يتغيّر \(f\)»
ينشأ هذا الخطأ عادةً من التعامل مع
\[ v = f\lambda \]
كما لو أن أي تغيّر في إحدى الكميات يفرض تغيّر الكميتين الأخريين معًا.
تخبرك المعادلة بكيفية ارتباط الكميات بعضها ببعض. لكنها لا تخبرك، بمفردها، أي سبب فيزيائي قد تغيّر.
لنفترض أن
\[ v = 20\text{ m s}^{-1}, \qquad f = 5\text{ Hz} \]
إذن،
\[ \lambda = 4\text{ m} \]
والآن تدخل الموجة وسطًا آخر وتتباطأ إلى \(10\text{ m s}^{-1}\).
لا يمكنك ببساطة أن تقرر أن التردد ينخفض إلى النصف لأن السرعة انخفضت إلى النصف. فالمصدر هو الذي يحدد التردد.
بدلًا من ذلك،
\[ \lambda = \frac{10}{5} = 2\text{ m} \]
تنخفض السرعة إلى النصف، وينخفض الطول الموجي إلى النصف، بينما يبقى التردد عند \(5\text{ Hz}\).
من العادات المفيدة أن تطرح هذا السؤال قبل البدء بأي عمليات جبرية:
هل تغيّر المصدر أم تغيّر الوسط؟
غالبًا ما يخبرك هذا السؤال بالكمية التي ينبغي أن تبقى ثابتة.
09قاعدة لاتخاذ القرار في مسائل HSC
عندما ترى \(v = f\lambda\)، افصل بين الفيزياء والحسابات.
| ما الذي يتغير؟ | الكمية التي تتأثر مباشرةً عادةً | ما الذي يبقى ثابتًا غالبًا؟ |
|---|---|---|
| يتغير معدل اهتزاز المصدر | التردد \(f\) | خصائص الوسط |
| تدخل الموجة وسطًا مختلفًا | السرعة \(v\) | التردد \(f\) |
| تتغير السرعة بينما يبقى التردد ثابتًا | لا بد أن يتغير الطول الموجي \(\lambda\) | التردد \(f\) |
| يتغير التردد في الوسط نفسه، بافتراض ثبات سرعة الموجة | لا بد أن يتغير الطول الموجي \(\lambda\) | السرعة \(v\) |
يستحق الصف الأخير الانتباه.
إذا انتقلت موجتان في الوسط نفسه وتحت الظروف نفسها، فمن المعقول غالبًا، على مستوى HSC، اعتبار سرعة الموجة واحدة في الحالتين. وإذا كان تردد إحداهما أعلى، فلا بد أن يكون طولها الموجي أقصر.
من المعادلة
\[ \lambda = \frac{v}{f} \]
تؤدي زيادة \(f\) مع إبقاء \(v\) ثابتًا إلى انخفاض \(\lambda\).
10مثال محلول: مقارنة ترددين في الوسط نفسه
تنتقل موجتان في الوسط نفسه بسرعة \(24\text{ m s}^{-1}\).
تردد الموجة P هو \(4.0\text{ Hz}\)، بينما تردد الموجة Q هو \(10.0\text{ Hz}\).
احسب طول كل موجة، ثم قارن بين الموجتين.
الخطوة 1
تنتقل الموجتان في الوسط نفسه وتحت الظروف المذكورة نفسها، ولذلك
\[ v = 24\text{ m s}^{-1} \]
لكل منهما.
الخطوة 2
\[ \lambda_P = \frac{v}{f_P} = \frac{24\text{ m s}^{-1}}{4.0\text{ s}^{-1}} = 6.0\text{ m} \]
الخطوة 3
\[ \lambda_Q = \frac{v}{f_Q} = \frac{24\text{ m s}^{-1}}{10.0\text{ s}^{-1}} = 2.4\text{ m} \]
الخطوة 4
\[ \boxed{\lambda_P = 6.0\text{ m}} \]
و
\[ \boxed{\lambda_Q = 2.4\text{ m}} \]
تردد الموجة Q أعلى، ولذلك يجب أن يتسع كل متر تقطعه لعدد أكبر من الموجات الكاملة. ولهذا يكون طولها الموجي أقصر.
11يرتبط التردد أيضًا بالزمن الدوري
قد يُعطى لك الزمن الدوري، \(T\)، بدلًا من التردد.
الزمن الدوري هو الزمن اللازم لإكمال اهتزازة واحدة، ويُقاس بالثواني.
التردد والزمن الدوري مقلوبان أحدهما للآخر:
\[ f = \frac{1}{T} \]
حيث:
- \(f\) هو التردد بوحدة \(\text{Hz}\)
- \(T\) هو الزمن الدوري بالثواني، \(\text{s}\)
يمكنك دمج هذه العلاقة مع معادلة الموجة:
\[ v = f\lambda = \frac{\lambda}{T} \]
وهذا له تفسير بسيط. فإذا مرّ طول موجي كامل بنقطة معينة خلال زمن دوري واحد، فإن السرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن:
\[ v = \frac{\lambda}{T} \]
مثال محلول: البدء بالزمن الدوري
للموجة زمن دوري مقداره \(0.040\text{ s}\) وطول موجي مقداره \(0.80\text{ m}\). احسب ترددها وسرعتها.
الخطوة 1
\[ f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.040\text{ s}} = 25\text{ Hz} \]
الخطوة 2
\[ v = f\lambda \]
بالتعويض،
\[ v = (25\text{ s}^{-1})(0.80\text{ m}) = 20\text{ m s}^{-1} \]
الخطوة 3
التردد هو
\[ \boxed{25\text{ Hz}} \]
وسرعة الموجة هي
\[ \boxed{20\text{ m s}^{-1}} \]
يكمل المصدر 25 اهتزازة كل ثانية، وينتج عن كل اهتزازة طول موجي مقداره 0.80 m. ولذلك ينتقل النمط مسافة 20 m كل ثانية.
12ما الذي لا تخبرك به المعادلة؟
لا تفسّر المعادلة
\[ v = f\lambda \]
سبب امتلاك وسط معين سرعة موجية محددة.
إنها تربط السرعة بتردد الموجة وطولها الموجي فحسب.
على سبيل المثال، يمكن لتغيير الشد في خيط أن يغيّر سرعة الموجات على ذلك الخيط. ويمكن لمعادلة الموجة عندئذٍ أن تحدد الطول الموجي المقابل إذا كان التردد معلومًا، لكنك تحتاج إلى نموذج آخر لحساب كيفية تحديد الشد نفسه للسرعة.
وبالمثل، تنتقل الموجات الكهرومغناطيسية بسرعات مختلفة في المواد المختلفة. تربط معادلة الموجة تلك السرعة بالتردد والطول الموجي، لكنها لا تمثل تفسيرًا كاملًا للسلوك الكهرومغناطيسي للمادة.
وهذا مهم لأن لكل صيغة دورًا محددًا. فالمعادلة \(v = f\lambda\) تصف علاقة بين كميات الموجة، وليست نظرية كاملة لكل العوامل التي تحدد \(v\).
13الأسئلة والحلول
السؤال 1
تنتقل موجة مائية بسرعة \(2.4\text{ m s}^{-1}\)، ويبلغ ترددها \(3.0\text{ Hz}\). احسب طولها الموجي.
الحل 1
الطول الموجي هو \(\boxed{0.80\text{ m}}\).
معادلة الموجة هي
\[ v = f\lambda \]
لذلك
\[ \lambda = \frac{v}{f} \]
بالتعويض بالقيم،
\[ \lambda = \frac{2.4\text{ m s}^{-1}}{3.0\text{ s}^{-1}} = 0.80\text{ m} \]
وهذا يعني أن المسافة بين كل قمتين متتاليتين هي 0.80 m.
السؤال 2
ينتج مصدر موجات بتردد \(8.0\text{ Hz}\). وفي الوسط X، تنتقل الموجات بسرعة \(12\text{ m s}^{-1}\).
ثم تدخل الموجات الوسط Y، حيث تصبح سرعتها \(7.2\text{ m s}^{-1}\).
احسب الطول الموجي في كل وسط.
الحل 2
ينخفض الطول الموجي من \(\boxed{1.5\text{ m}}\) في الوسط X إلى \(\boxed{0.90\text{ m}}\) في الوسط Y.
يبقى التردد عند \(8.0\text{ Hz}\)، لأن تغيير الوسط لا يغيّر معدل اهتزاز المصدر.
في الوسط X،
\[ \lambda_X = \frac{v_X}{f} = \frac{12\text{ m s}^{-1}}{8.0\text{ s}^{-1}} = 1.5\text{ m} \]
وفي الوسط Y،
\[ \lambda_Y = \frac{v_Y}{f} = \frac{7.2\text{ m s}^{-1}}{8.0\text{ s}^{-1}} = 0.90\text{ m} \]
تنتقل الموجة ببطء أكبر في الوسط Y، ولذلك تقطع مسافة أقصر خلال كل دورة. ومن ثم ينخفض طولها الموجي.
السؤال 3
يرسل مولّدان للموجات موجات عبر الوسط المتجانس نفسه.
يعمل المولّد A بتردد \(15\text{ Hz}\)، وينتج طولًا موجيًا مقداره \(0.40\text{ m}\).
أما المولّد B فيعمل بتردد \(24\text{ Hz}\).
بافتراض أن سرعة الموجة واحدة في الحالتين، احسب الطول الموجي الذي ينتجه المولّد B.
الحل 3
ينتج المولّد B موجة طولها الموجي \(\boxed{0.25\text{ m}}\).
أولًا، أوجد سرعة الموجة باستخدام المولّد A:
\[ v = f_A\lambda_A \]
إذن،
\[ v = (15\text{ s}^{-1})(0.40\text{ m}) = 6.0\text{ m s}^{-1} \]
ذُكر أن الوسط نفسه يعطي سرعة الموجة نفسها للمولّد B، ولذلك
\[ \lambda_B = \frac{v}{f_B} = \frac{6.0\text{ m s}^{-1}}{24\text{ s}^{-1}} = 0.25\text{ m} \]
للموجة ذات التردد الأعلى طول موجي أقصر، لأن الموجتين تنتقلان بالسرعة نفسها.
الافتراض المهم مذكور في السؤال: سرعة الموجة واحدة للترددين. ولا ينبغي افتراض ذلك في كل نظام فيزيائي دون مبرر.
السؤال 4
يراقب طالب موجة تعبر من المنطقة P إلى المنطقة Q. ويُقاس الطول الموجي، فينخفض من \(1.2\text{ m}\) إلى \(0.80\text{ m}\).
يقول الطالب:
«لا بد أن التردد قد ازداد لأن القمم أصبحت الآن أقرب بعضها إلى بعض».
يبقى المصدر دون تغيير.
قيّم عبارة الطالب، وحدّد النسبة \(v_Q/v_P\).
الحل 4
عبارة الطالب غير صحيحة. يبقى التردد ثابتًا، وتنخفض سرعة الموجة إلى \(\boxed{\frac{2}{3}}\) من قيمتها الأصلية.
ينشأ الخطأ المغري هنا من الربط المباشر بين تقارب القمم وارتفاع التردد. ولا يصح ذلك إلا عندما تكون سرعة الموجة ثابتة.
في هذه الحالة، تعبر الموجة إلى منطقة مختلفة، ولذلك يمكن أن تتغير سرعتها.
بما أن المصدر لم يتغير،
\[ f_P = f_Q \]
وباستخدام
\[ v = f\lambda \]
لكل منطقة،
\[ v_P = f\lambda_P \]
و
\[ v_Q = f\lambda_Q \]
بقسمة المعادلتين،
\[ \frac{v_Q}{v_P} = \frac{f\lambda_Q}{f\lambda_P} = \frac{\lambda_Q}{\lambda_P} \]
إذن،
\[ \frac{v_Q}{v_P} = \frac{0.80}{1.2} = \frac{2}{3} \]
وعليه،
\[ \boxed{\frac{v_Q}{v_P} = \frac{2}{3}} \]
أصبحت القمم أقرب بعضها إلى بعض لأن الموجة تقطع مسافة أقل خلال كل دورة للمصدر، وليس لأن المصدر يُكمل دوراته بسرعة أكبر.
السؤال 5
ينتج مصدر مهتز موجات في الوسط A. وتُظهر القياسات أن سرعة الموجة \(16\text{ m s}^{-1}\) وطولها الموجي \(0.80\text{ m}\).
من دون تغيير المصدر، تدخل الموجة الوسط B. ويُقاس طولها الموجي في هذا الوسط فيكون \(1.1\text{ m}\).
يجادل طالب آخر بأنه لا توجد معلومات كافية لحساب السرعة في الوسط B، لأن التردد في الوسط B لم يُقَس.
هل الطالب محق؟ احسب السرعة في الوسط B، وبرّر أي افتراض تستخدمه.
الحل 5
الطالب غير محق. سرعة الموجة في الوسط B هي \(\boxed{22\text{ m s}^{-1}}\)، لأن المصدر الذي لم يتغير يحدد التردد.
أولًا، احسب التردد في الوسط A:
\[ f = \frac{v_A}{\lambda_A} \]
بالتعويض،
\[ f = \frac{16\text{ m s}^{-1}}{0.80\text{ m}} = 20\text{ Hz} \]
ثم تدخل الموجة الوسط B من دون أي تغيير في المصدر. ولذلك يبقى ترددها في الوسط B مساويًا
\[ f_B = 20\text{ Hz} \]
والآن استخدم
\[ v_B = f_B\lambda_B \]
إذن،
\[ v_B = (20\text{ s}^{-1})(1.1\text{ m}) = 22\text{ m s}^{-1} \]
وعليه،
\[ \boxed{v_B = 22\text{ m s}^{-1}} \]
الفكرة الأساسية هنا هي أنه لا حاجة إلى قياس التردد بصورة مستقلة في الوسط B. فالمصدر الذي لم يتغير يخبرنا مسبقًا بأن التردد لا يزال \(20\text{ Hz}\).
السؤال 6
ينتج مصدر موجات ذات زمن دوري مقداره \(0.050\text{ s}\). وتنتقل الموجات عبر الوسط R بطول موجي يبلغ \(1.5\text{ m}\).
ثم تدخل الوسط S.
في الوسط S، تسجّل تجربة سرعة موجة مقدارها \(18\text{ m s}^{-1}\) وطولًا موجيًا مقداره \(0.60\text{ m}\).
افترض أن المصدر والوسطين ساكنون بالنسبة إلى بعضهم بعضًا.
هل تتوافق جميع هذه القياسات مع موجة واحدة تنتقل من R إلى S؟ ادعم استنتاجك بحسابات كمية.
الحل 6
لا. لا تتوافق القياسات مع موجة واحدة صادرة عن مصدر لم يتغير وتعبر من الوسط R إلى الوسط S.
أولًا، احسب تردد المصدر من الزمن الدوري:
\[ f = \frac{1}{T} \]
إذن،
\[ f = \frac{1}{0.050\text{ s}} = 20\text{ Hz} \]
بما أن المصدر لم يتغير، فمن المفترض أن يبقى التردد \(20\text{ Hz}\) عندما تدخل الموجة الوسط S.
ولذلك فإن السرعة المتوقعة استنادًا إلى الطول الموجي المقاس في الوسط S هي
\[ v_S = f\lambda_S \]
إذن،
\[ v_S = (20\text{ s}^{-1})(0.60\text{ m}) = 12\text{ m s}^{-1} \]
لكن التجربة تسجّل سرعة مقدارها
\[ 18\text{ m s}^{-1} \]
وبطريقة أخرى، فإن السرعة والطول الموجي المسجلين في الوسط S يدلان على تردد مقداره
\[ f = \frac{v_S}{\lambda_S} = \frac{18\text{ m s}^{-1}}{0.60\text{ m}} = 30\text{ Hz} \]
وهذا يتعارض مع تردد المصدر البالغ \(20\text{ Hz}\).
إذن، لا بد أن يكون هناك افتراض واحد على الأقل غير صحيح، أو أن تكون إحدى القياسات خاطئة. ومن التفسيرات المحتملة وجود خطأ في القياس، أو تحديد غير صحيح للطول الموجي، أو حدوث تغيير غير مذكور في المصدر.
الفكرة الأساسية أهم من الحسابات: لا ينبغي أن تُجبر الأرقام المقاسة على التوافق مع \(v = f\lambda\) كلٌّ على حدة وتتجاهل الفيزياء. فإذا أرسل مصدر واحد لم يتغير موجة عبر حد فاصل ساكن، فلا بد أن يكون ترددها متوافقًا على جانبي ذلك الحد.
14إلى أين تقودك هذه الفكرة بعد ذلك؟
عندما تتمكن من التمييز بين تأثير المصدر وتأثير الوسط، يصبح فهم العديد من أفكار الموجات اللاحقة أسهل بكثير.
عندما تتغير سرعة موجة عند حد فاصل، يتغير طولها الموجي بينما يبقى ترددها ثابتًا. ويصبح ذلك مهمًا عند تفسير الانكسار، لأن التغير في سرعة الموجة يمكن أن يغيّر اتجاه انتشارها أيضًا.
يساعدك المنطق نفسه على فهم الموجات الكهرومغناطيسية التي تنتقل بين المواد، والموجات الواقفة ذات الأطوال الموجية المسموح بها، وتأثير دوبلر، حيث يجب أن تميّز بعناية بين تردد المصدر والتردد الذي يقيسه الراصد.
المعادلة \(v = f\lambda\) بسيطة. أما المهارة الحقيقية المطلوبة في HSC فهي معرفة كيفية تغيّر الرموز وما الذي يُسمح لها بتغييره في الموقف الفيزيائي.