منحنيات التسارع-الزمن: المساحة والتغير في السرعة المتجهة

تتسارع سيارة بمقدار \(3.0\ \text{m s}^{-2}\) لمدة 4 ثوانٍ، ثم ينخفض تسارعها إلى الصفر. ما الذي تغيّر بالتأكيد بعد تلك الثواني الأربع: موضعها، أم سرعتها المتجهة، أم كلاهما؟

لقد تغيّر موضعها، لكن منحنى التسارع-الزمن لا يخبرك مباشرةً بمقدار هذا التغير. ما يعطيك إياه مباشرةً هو التغير في السرعة المتجهة. في هذه الحالة،

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

لاحظ ما حسبناه للتو: التسارع مضروبًا في الزمن. على منحنى التسارع-الزمن، يظهر هذا الضرب على هيئة مساحة.

وهذه هي الفكرة الأساسية في هذا الدليل:

المساحة الموقَّعة بين منحنى التسارع-الزمن ومحور الزمن تعطي التغير في السرعة المتجهة.

كلمة الموقَّعة مهمة. فالمساحة الواقعة فوق محور الزمن موجبة، والمساحة الواقعة تحته سالبة.

01ما الذي يوضحه منحنى التسارع-الزمن فعليًا؟

يتضمن منحنى التسارع-الزمن:

• الزمن \(t\)، ويُقاس بالثواني (s)، على المحور الأفقي
• التسارع \(a\)، ويُقاس بالمتر لكل ثانية مربعة (\(\text{m s}^{-2}\))، على المحور الرأسي

لنفترض أن المنحنى خط أفقي عند \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\).

قبل أن نتابع، حاول التنبؤ. هل يعني ذلك أن الجسم يتحرك بسرعة متجهة ثابتة؟

لا. بل يعني أن سرعته المتجهة تتغير بمعدل ثابت.

التسارع البالغ \(2.0\ \text{m s}^{-2}\) يعني أن السرعة المتجهة تتغير كل ثانية بمقدار \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

لذلك، إذا بدأت السرعة المتجهة عند \(5.0\ \text{m s}^{-1}\):

• بعد 1 s، تصبح \(7.0\ \text{m s}^{-1}\)
• بعد 2 s، تصبح \(9.0\ \text{m s}^{-1}\)
• بعد 3 s، تصبح \(11.0\ \text{m s}^{-1}\)

لهذا ترتبط منحنيات التسارع-الزمن ارتباطًا وثيقًا بـمنحنيات السرعة المتجهة-الزمن. فالتسارع يخبرك بكيفية تغيّر منحنى السرعة المتجهة.

02لماذا تعطي المساحة التغير في السرعة المتجهة؟

ابدأ بالمعادلة المألوفة للتسارع الثابت:

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

حيث:

• \(a\) هو التسارع بوحدة \(\text{m s}^{-2}\)
• \(\Delta v\) هو التغير في السرعة المتجهة بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
• \(\Delta t\) هو الزمن المنقضي بالثواني

بإعادة ترتيب المعادلة،

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

تخيّل الآن تسارعًا ثابتًا على منحنى التسارع-الزمن. تكون المنطقة الواقعة تحته مستطيلًا.

للمستطيل:

• ارتفاع مقداره \(a\)
• عرض مقداره \(\Delta t\)

ومن ثم تكون مساحته

\[
\text{المساحة} = a\Delta t
\]

لكن \(a\Delta t = \Delta v\).

إذن فالمساحة ليست مجرد حيلة مفيدة للتعامل مع المنحنيات، بل تنشأ مباشرةً من تعريف التسارع.

وتؤكد الوحدات ذلك:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

وهذه هي وحدات السرعة المتجهة.

03المنحنى يعطي تغيرًا، وليس السرعة المتجهة النهائية تلقائيًا

من السهل خسارة درجات في هذه النقطة.

لنفترض أن المساحة تحت منحنى التسارع-الزمن تساوي \(+8\ \text{m s}^{-1}\). يكتب أحد الطلاب:

السرعة المتجهة النهائية \(= 8\ \text{m s}^{-1}\).

لا يكون ذلك صحيحًا إلا إذا بدأ الجسم من السكون.

فالمنحنى أخبرنا أن

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

وليس بالضرورة أن \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\).

بوجه عام،

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

فإذا كان \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\)، مثلًا،

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

غيّر التسارع عبر الزمن السرعة المتجهة بمقدار \(+8\ \text{m s}^{-1}\)، وكان ذلك كافيًا في هذه الحالة لعكس اتجاه حركة الجسم.

04المساحات الواقعة أسفل محور الزمن سالبة

تخيّل أن منحنى التسارع يقع عند

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

لمدة 2.0 s.

مساحته الموقَّعة هي

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

إذن تنخفض السرعة المتجهة بمقدار \(8.0\ \text{m s}^{-1}\).

انتبه لعبارة «تنخفض السرعة المتجهة». فهي لا تعني دائمًا أن الجسم يتباطأ.

لنفترض أن جسمًا يبدأ بسرعة متجهة

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

ثم يتعرض لتغير في السرعة المتجهة مقداره

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

عندئذٍ

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

أصبحت سرعته المتجهة أكثر سلبية، لكن مقدار سرعته ازداد من \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(13\ \text{m s}^{-1}\).

التسارع السالب لا يعني التباطؤ.

يعتمد ما إذا كان الجسم يزداد سرعةً أو يتباطأ على إشارات كل من السرعة المتجهة والتسارع. إذا أردت مراجعة هذا الفرق، فراجع السرعة ومقدار السرعة: شرح واضح لفيزياء HSC.

05قاعدة مفيدة لتحديد ازدياد السرعة والتباطؤ

قارن بين إشارتي السرعة المتجهة والتسارع.

لماذا؟

تخبرك السرعة المتجهة بالاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم. ويخبرك التسارع بالاتجاه الذي تُدفَع نحوه سرعته المتجهة.

تخيّل السرعة المتجهة والتسارع كشخصين يتجادلان حول الاتجاه الذي ينبغي الذهاب نحوه. إذا اتفقا على الاتجاه، يزداد مقدار السرعة المتجهة. وإذا اختلفا، ينخفض مقدارها في البداية.

لكن هذا التشبيه يتوقف عن العمل عندما تصل السرعة المتجهة إلى الصفر. فقد يعكس الجسم اتجاهه بعد ذلك، وعندها يمكن للتسارع نفسه أن يجعله يزداد سرعةً من جديد.

06التسارع المتغير يعني أشكالًا مختلفة للمساحة

ليس من الضروري أن يكون التسارع ثابتًا.

لنفترض أن التسارع يزداد بانتظام من \(0\) إلى \(6.0\ \text{m s}^{-2}\) خلال 4.0 s.

تكون المنطقة الواقعة أسفل المنحنى مثلثًا، لذا

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

حيث \(b\) هو الفترة الزمنية و\(h\) هو التسارع الأقصى.

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

مع أن التسارع كان يتغير باستمرار، فإن المساحة لا تزال تعطي التغير الكلي في السرعة المتجهة.

وبصورة أعم،

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

تعني علامة التكامل «جمع جميع المساهمات الصغيرة \(a\,dt\) عبر الفترة الزمنية». وفي مسائل منحنيات HSC ذات المقاطع المستقيمة، يمكنك عادةً إيجاد تلك المساحة باستخدام المستطيلات والمثلثات وأشباه المنحرف بدلًا من إجراء حساب تفاضل وتكامل.

07يمكن أن تلغي المساحات الموجبة والسالبة بعضها بعضًا

فكر الآن في جسم له سجل التسارع الآتي:

• من \(0\) إلى \(4.0\ \text{s}\)، يزداد التسارع بانتظام من \(0\) إلى \(4.0\ \text{m s}^{-2}\)
• من \(4.0\) إلى \(6.0\ \text{s}\)، يكون التسارع \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\)

تنبأ بما يحدث للسرعة المتجهة خلال فترة الـ 6.0 s كاملة. هل تزداد، أم تنخفض، أم تعود إلى قيمتها الابتدائية؟

استخدم المساحات الموقَّعة.

من \(0\) إلى \(4.0\ \text{s}\)، تكون المساحة المثلثية الموجبة

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

ومن \(4.0\) إلى \(6.0\ \text{s}\)، تكون المساحة المستطيلة السالبة

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

لذلك،

\[
\Delta v_{\text{الكلي}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

تنتهي السرعة المتجهة بقيمة أعلى من بدايتها بمقدار \(2.0\ \text{m s}^{-1}\).

لم «يمحُ» الجزء السالب الحركة. بل أزال جزءًا من الزيادة السابقة في السرعة المتجهة.

08التسارع الصفري لا يعني سرعة متجهة صفرية

قد يبدو مقطع أفقي من منحنى التسارع-الزمن عند \(a = 0\) وكأن «لا شيء يحدث».

لكن شيئًا ما يحدث بالفعل. فقد يظل الجسم متحركًا.

إذا كان

\[
a = 0
\]

فإن السرعة المتجهة لا تتغير.

لذلك، فإن جسمًا يتحرك بسرعة متجهة \(18\ \text{m s}^{-1}\) مع تسارع صفري يستمر في الحركة بسرعة متجهة \(18\ \text{m s}^{-1}\)، بافتراض انطباق النموذج أحادي البعد.

كما أن الجسم الذي يكون ساكنًا أصلًا يظل ساكنًا.

لا يستطيع منحنى التسارع وحده أن يخبرك بأي من هاتين الحالتين لديك، إلا إذا كنت تعرف أيضًا سرعة الجسم المتجهة عند نقطة ما.

09منحنى التسارع-الزمن لا يعطي الإزاحة مباشرةً

هناك قاعدتان مختلفتان «للمساحة» يخلط الطلاب بينهما كثيرًا:

لماذا لا تعطي المساحة تحت منحنى التسارع-الزمن الإزاحة؟

تحقق من الوحدات:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

هذه وحدة سرعة متجهة، وليست إزاحة.

لإيجاد الإزاحة من سجل التسارع، تحتاج أولًا إلى معلومات كافية لتحديد السرعة المتجهة بدلالة الزمن. ثم تجد المساحة تحت منحنى السرعة المتجهة-الزمن المقابل.

ولهذا أيضًا تكون السرعة المتجهة الابتدائية مهمة. فقد يكون لجسمين منحنيَا تسارع-زمن متطابقان تمامًا، ومع ذلك تكون إزاحتاهما مختلفتين تمامًا لأنهما بدآ بسرعتين متجهتين مختلفتين.

10كيفية الانتقال بين منحنيات التسارع-الزمن والسرعة المتجهة-الزمن

يخبرك منحنى التسارع-الزمن عن سلوك ميل منحنى السرعة المتجهة-الزمن.

تذكر أن

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

لذلك فإن التسارع هو ميل منحنى السرعة المتجهة-الزمن.

ومن ذلك نحصل على الروابط الآتية:

هناك نقطة دقيقة هنا. إن ارتفاع منحنى التسارع-الزمن يخبرك بميل منحنى السرعة المتجهة-الزمن. أما مساحة منحنى التسارع-الزمن فتخبرك بمقدار التغير في السرعة المتجهة نفسها.

وهاتان وظيفتان مختلفتان.

11طريقة موثوقة لمسائل منحنيات HSC

عندما يُعطى لك منحنى تسارع-زمن، اتبع هذا الترتيب:

1. اختر اتجاهًا موجبًا. عادةً يكون المنحنى قد حدده بالفعل من خلال إشاراته.
2. سجّل السرعة المتجهة الابتدائية. إذا لم تكن معطاة، فانتبه إلى ما يمكن تحديده فعليًا.
3. قسّم المنحنى إلى مناطق بسيطة. استخدم المستطيلات أو المثلثات أو أشباه المنحرف حيثما كان ذلك مناسبًا.
4. أعطِ كل مساحة إشارتها. ما فوق محور الزمن موجب، وما تحته سالب.
5. اجمع المساحات الموقَّعة. يعطيك ذلك \(\Delta v\).
6. استخدم \(v_f = v_i + \Delta v\).
7. إذا طُلب منك تحديد مقدار السرعة أو الاتجاه، فانظر إلى السرعة المتجهة بدلًا من التسارع وحده.
8. تحقق من الوحدات. يجب أن تكون وحدة المساحة تحت منحنى التسارع-الزمن هي \(\text{m s}^{-1}\).

يكشف هذا الفحص الأخير للوحدات عددًا كبيرًا ومفاجئًا من الأخطاء.

12الأسئلة والحلول

السؤال 1

يتسارع راكب دراجة بمقدار \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) لمدة 4.0 s. وتكون سرعته المتجهة في بداية الفترة \(6.0\ \text{m s}^{-1}\).

أوجد سرعته المتجهة بعد 4.0 s.

الحل 1

السرعة المتجهة النهائية لراكب الدراجة هي \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\).

تعطي المساحة أسفل منحنى التسارع-الزمن التغير في السرعة المتجهة:

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

أضف الآن هذا التغير إلى السرعة المتجهة الابتدائية:

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

الخطأ الشائع هو كتابة \(6.0\ \text{m s}^{-1}\)، أي المساحة، باعتبارها السرعة المتجهة النهائية. لكنها ليست سوى التغير في السرعة المتجهة.

السؤال 2

يتحرك جسم في البداية بسرعة متجهة \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\). ثم يتعرض لتسارع ثابت مقداره \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) لمدة 5.0 s.

احسب سرعته المتجهة النهائية، وحدد ما إذا كان اتجاه حركته قد تغير.

الحل 2

السرعة المتجهة النهائية هي \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\)، ولذلك يكون الجسم قد غيّر اتجاهه.

التغير في السرعة المتجهة هو

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

ومن ثم،

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

ولأن السرعة المتجهة تغيرت من سالبة إلى موجبة، فلا بد أنها مرّت بالصفر خلال الفترة. في تلك اللحظة كان الجسم ساكنًا مؤقتًا، ثم عكس اتجاهه.

الخطأ المغري هو القول إن التسارع الموجب يعني أن الجسم كان يتحرك في الاتجاه الموجب طوال فترة الـ 5.0 s. فالتسارع يصف كيفية تغير السرعة المتجهة، وليس بالضرورة اتجاه الحركة الحالي.

السؤال 3

يتغير تسارع جسم بانتظام من \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) عند \(t=0\) إلى \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\) عند \(t=4.0\ \text{s}\).

وتكون سرعته المتجهة الابتدائية \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

أوجد سرعته المتجهة عند \(t=4.0\ \text{s}\).

الحل 3

سرعة الجسم المتجهة عند \(4.0\ \text{s}\) هي \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\).

لأن التسارع يتغير خطيًا، فإن المساحة أسفل المنحنى تكون شبه منحرف. ومساحتها هي

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

حيث \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\)، و\(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\)، و\(\Delta t = 4.0\ \text{s}\).

بالتعويض،

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

ثم

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

التسارع ليس ثابتًا عند \(6.0\ \text{m s}^{-2}\)، لذا فإن ضرب \(6.0\) في كامل فترة الـ 4.0 s سيعطي تقديرًا أكبر من اللازم للتغير في السرعة المتجهة.

السؤال 4

يتحرك روبوت على طول سكة مستقيمة. من \(t=0\) إلى \(t=3.0\ \text{s}\)، يكون تسارعه \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\). ومن \(t=3.0\) إلى \(t=7.0\ \text{s}\)، يكون تسارعه \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\).

يقول أحد الطلاب:

«للجزأين الموجب والسالب تأثيران متساويان لأن \(4\times3 = 3\times4\)، لذلك لا بد أن ينهي الروبوت حركته في الموضع الذي بدأ منه.»

السرعة المتجهة الابتدائية للروبوت هي \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\).

حدد السرعة المتجهة النهائية للروبوت، وقيّم استنتاج الطالب بشأن موضعه النهائي.

الحل 4

السرعة المتجهة النهائية للروبوت هي \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\)، لكن الادعاء بأنه لا بد أن ينهي حركته في الموضع الذي بدأ منه غير صحيح.

بالنسبة إلى الفترة الأولى،

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

وبالنسبة إلى الفترة الثانية،

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

لذلك،

\[
\Delta v_{\text{الكلي}}
= +12 -12
= 0
\]

و

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{الكلي}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

إذن الطالب محق في أن السرعة المتجهة تعود إلى قيمتها الابتدائية.

لكن انعدام التغير الصافي في السرعة المتجهة لا يعني انعدام الإزاحة. فقد كان الروبوت يتحرك طوال الفترة، وكانت سرعته المتجهة خلال جزء كبير من الحركة أكبر من \(5.0\ \text{m s}^{-1}\).

تعطي المساحة تحت منحنى التسارع-الزمن التغير في السرعة المتجهة، وليس الإزاحة. ولتحديد التغير في موضع الروبوت، سنحتاج إلى إنشاء منحنى السرعة المتجهة-الزمن أو إجراء الحسابات اعتمادًا على سلوك سرعته المتجهة مع الزمن.

السؤال 5

تتحرك عربتان، A وB، على مسارين مستقيمين متوازيين.

وللعربتين منحنى التسارع-الزمن نفسه تمامًا من \(t=0\) إلى \(t=8.0\ \text{s}\). وتبلغ المساحة الموقَّعة الكلية تحت ذلك المنحنى \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\).

تبدأ العربة A بسرعة متجهة \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\)، بينما تبدأ العربة B بسرعة متجهة \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\).

يدعي أحد الطلاب أنه بما أن للعربتين منحنى التسارع نفسه، فلا بد أن تكون لهما السرعة المتجهة النهائية نفسها وأن تقطعا الإزاحة نفسها.

قيّم كلا الجزأين من هذا الادعاء.

الحل 5

كلا جزأي الادعاء غير صحيح. تنهي العربة A الحركة بسرعة متجهة \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\)، وتنهي العربة B الحركة بسرعة متجهة \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\)، كما أن إزاحتيهما خلال فترة الـ 8.0 s ليستا متساويتين.

يعطي سجل التسارع المشترك كلتا العربتين التغير نفسه في السرعة المتجهة:

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

بالنسبة إلى العربة A،

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

وبالنسبة إلى العربة B،

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

إذن لا تؤدي سجلات التسارع المتطابقة إلى سرعات متجهة نهائية متطابقة إلا إذا كانت السرعات المتجهة الابتدائية متطابقة أيضًا.

كما أن إزاحتيهما مختلفتان. ففي كل لحظة، تكون السرعة المتجهة للعربة B أكبر من السرعة المتجهة للعربة A بمقدار \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)، لأن الفرق بين سرعتيهما المتجهتين عند البداية هو \(8.0\ \text{m s}^{-1}\)، ثم تتعرضان بعد ذلك للتسارع نفسه تمامًا.

وخلال 8.0 s، يؤدي هذا الفرق الثابت في السرعة المتجهة إلى فرق في الإزاحة مقداره

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

إذن تقطع العربة B مسافة إضافية مقدارها \(64\ \text{m}\) في الاتجاه الموجب مقارنةً بالعربة A خلال هذه الفترة.

الفكرة الأعمق هي أن منحنى التسارع-الزمن يخبرك بكيفية تغير السرعة المتجهة. ولمعرفة السرعة المتجهة الفعلية، تحتاج أيضًا إلى سرعة متجهة ابتدائية. وبعد معرفة سجل السرعة المتجهة مع الزمن، يمكن لمساحته أن تخبرك بالإزاحة. وهذه السلسلة من التسارع إلى السرعة المتجهة إلى الموضع هي الصلة المفيدة التالية التي ينبغي إتقانها عند تفسير منحنيات الحركة.