تردد الخفقان في فيزياء HSC: كيف تعمل الخفقات

تحاول آلتان موسيقيتان عزف النغمة نفسها تمامًا. في البداية تبدوان قريبتين جدًا من الصواب، لكن بدلًا من سماع صوت ثابت واحد، تسمع علو الصوت يزداد، ثم ينخفض، ثم يزداد، ثم ينخفض. لا أحد يغيّر مستوى الصوت. فمن أين يأتي هذا النبض المتكرر؟

قبل متابعة القراءة، توقّع ما سيحدث. إذا أصدرت إحدى الآلتين ترددًا قدره \(440\text{ Hz}\) وأصدرت الأخرى ترددًا قدره \(443\text{ Hz}\)، فكم خفقة مرتفعة الصوت تتوقع سماعها في كل ثانية؟

الإجابة هي 3 خفقات في الثانية. تنشأ هذه الخفقات من التداخل بين موجتين تردداهما متقاربان، لكنهما غير متساويين تمامًا.

01لماذا يمكن لصوتين ثابتين أن يُنتجا علوًا متغيرًا للصوت

ابدأ بشيء أسهل في التصور من الموجات الصوتية. تخيل شخصين يصفقان بمعدلين متقاربين جدًا.

للحظة، تتزامن تصفيقاتهما. وبعد قليل، يتقدم أحدهما على الآخر، فتبتعد التصفيقات كثيرًا عن التزامن. وإذا واصلت الاستماع، فستتزامن من جديد في النهاية.

لم يغيّر أي منهما معدل التصفيق. ظهر النمط المتغير لأن معدليهما مختلفان قليلًا.

تتصرف موجتان صوتيتان ذواتا ترددين متقاربين بطريقة مشابهة.

عندما تتطابق التضاغطات والتخلخلات في الموجتين، تعزز كل منهما الأخرى. ويكون للموجة المحصلة سعة أكبر. وعندما يتطابق تضاغط من إحدى الموجتين مع تخلخل من الأخرى، تلغي الموجتان بعضهما جزئيًا، فتنتج سعة أصغر.

هذا مجرد تراكب: عندما تتداخل الموجات، تُجمع إزاحاتها.

لكن النقطة المهمة هي أن الموجات ذات الترددات المختلفة قليلًا لا تحافظ على علاقة الطور نفسها. فهي تنزاح مرارًا لتصبح متوافقة في الطور ثم غير متوافقة.

وهذا يسبب التغير المتكرر في السعة الذي نسميه الخفقات.

02تردد الخفقان

لنفترض أن لدينا صوتين بترددين \(f_1\) و\(f_2\)، ويُقاسان بالهرتز.

يُعطى تردد الخفقان بالعلاقة

\[
f_b = |f_1-f_2|
\]

حيث:

• \(f_b\) هو تردد الخفقان بالهرتز،
• \(f_1\) هو تردد الموجة الأولى بالهرتز،
• \(f_2\) هو تردد الموجة الثانية بالهرتز.

علامتا القيمة المطلقة مهمتان لأن التردد لا يمكن أن يكون سالبًا. ما يهمنا هو مقدار الفرق فقط.

لذلك، إذا كان الترددان \(440\text{ Hz}\) و\(443\text{ Hz}\)، فإن

\[
f_b=|440-443|=3\text{ Hz}
\]

فتسمع ثلاث دورات من ارتفاع علو الصوت وانخفاضه في كل ثانية.

ومن الطرق المفيدة لتذكر ذلك:

تحدد الترددات المتقاربة حدة الصوت. أما الفرق بينها فيحدد مدى سرعة حدوث الخفقات.

03ما الذي يتغير فعليًا؟

من الأخطاء الشائعة تخيل أن كل مصدر يصبح صوته أعلى ثم أخفض.

هذا لا يحدث.

يمكن لكل مصدر أن ينتج موجة ذات سعة ثابتة. السعة المتغيرة تخص الموجة المحصلة التي تتكون عندما تتراكب الموجتان.

فكر في طالبين يمشيان حول مضمار جري دائري بسرعتين متقاربتين جدًا. أحيانًا يكونان بجوار بعضهما. وبعد فترة يصبحان على جانبين متقابلين من المضمار. وفي النهاية يلحق الطالب الأسرع بالآخر ويعودان معًا من جديد.

بالنسبة إلى الموجات الصوتية، فإن وجودهما «معًا» يقابل تقريبًا كونهما في الطور نفسه. أما وجودهما على جانبين متقابلين فيقابل كونهما خارج الطور.

لكن لهذا التشبيه حدود. فالموجات الصوتية ليست أجسامًا صغيرة تتحرك حول مسار دائري. تتغير علاقة الطور بينها بصورة مستمرة لأن الموجتين تهتزان بترددين مختلفين.

04لماذا يعطي فرق التردد تردد الخفقان

خذ موجتين بترددين \(100\text{ Hz}\) و\(103\text{ Hz}\).

خلال ثانية واحدة:

• تكمل الموجة الأولى 100 دورة،
• تكمل الموجة الثانية 103 دورات.

تتقدم الموجة الثانية على الأولى بثلاث دورات كاملة خلال تلك الثانية.

وفي كل مرة تتقدم فيها بدورة كاملة واحدة، تعود الموجتان إلى علاقة الطور نفسها. وهذا يعني أن نمط التعزيز القوي يتكرر ثلاث مرات في الثانية.

إذًا يكون تردد الخفقان

\[
f_b=|103-100|=3\text{ Hz}
\]

وهذا يعطينا تصورًا أكثر فائدة من مجرد حفظ القانون. يخبرك تردد الخفقان بمدى سرعة اكتساب إحدى الموجتين دورات إضافية بالنسبة إلى الأخرى.

05وصف موجي أكثر دقة

التصور السابق كافٍ لمعظم مسائل تردد الخفقان، لكن يمكننا جعله أكثر دقة.

لموجتين لهما السعة نفسها \(A\)،

\[
y_1=A\cos(2\pi f_1t)
\]

و

\[
y_2=A\cos(2\pi f_2t)
\]

حيث \(t\) هو الزمن بالثواني.

يعطي التراكب

\[
y=y_1+y_2
\]

وباستخدام متطابقة مثلثية،

\[
y=2A\cos\left(\pi(f_1-f_2)t\right)
\cos\left(\pi(f_1+f_2)t\right)
\]

لا تدع المعادلة تحجب الفيزياء.

يهتز حد جيب التمام الثاني بسرعة. وهو يصف اهتزاز الصوت نفسه، بتردد يتمركز حول متوسط الترددين الأصليين.

أما حد جيب التمام الأول فيتغير ببطء أكبر بكثير. وهو يتحكم في مقدار سعة الموجة المحصلة.

وهذا التغير البطيء هو ما ينتج الخفقات.

هناك نقطة دقيقة هنا. يحتوي عامل السعة على \((f_1-f_2)/2\) إذا فسّرت تردد اهتزاز جيب التمام المعتاد مباشرةً. فلماذا لا يساوي تردد الخفقان نصف فرق التردد؟

لأننا نسمع خفقة مرتفعة الصوت كلما أصبح مقدار السعة كبيرًا. فكل من القمم الموجبة والسالبة للغلاف تقابل سعات اهتزاز كبيرة. وتحدث قمم علو الصوت هذه عند تردد الفرق الكامل:

\[
\boxed{f_b=|f_1-f_2|}
\]

وفهم هذا التمييز مهم لأنه يمنع خطأ شائعًا بصورة مفاجئة يتمثل في عامل مقداره اثنان.

06زمن دورة الخفقان

يمكن أيضًا وصف الخفقات باستخدام الزمن بين قمتي علو صوت متتاليتين.

وهذا هو زمن دورة الخفقان، \(T_b\).

وكما في أي حركة دورية،

\[
T_b=\frac{1}{f_b}
\]

حيث يُقاس \(T_b\) بالثواني.

لذلك، إذا كان تردد الخفقان \(4\text{ Hz}\)، فإن

\[
T_b=\frac{1}{4}=0.25\text{ s}
\]

فتحدث قمة لعلو الصوت كل \(0.25\text{ s}\).

07استخدام الخفقات في الضبط

الخفقات مفيدة لأن اكتشاف خفقان بطيء أسهل بكثير من اكتشاف فرق صغير بين ترددين مرتفعين.

لنفترض أن مصدرًا مرجعيًا ينتج ترددًا مقداره بالضبط \(500\text{ Hz}\).

إذا أنتج مصدر آخر \(506\text{ Hz}\)، فإنك تسمع

\[
f_b=|506-500|=6\text{ Hz}
\]

ومع ضبط المصدر المجهول ليقترب من \(500\text{ Hz}\)، تصبح الخفقات أبطأ:

\[
6\text{ Hz}\rightarrow4\text{ Hz}\rightarrow2\text{ Hz}\rightarrow1\text{ Hz}
\]

وعندما يصبح الترددان متساويين،

\[
f_b=|500-500|=0
\]

فتختفي الخفقات.

إذًا قاعدة الضبط العملية بسيطة:

انتبه إلى الصف الأخير. عدم سماع خفقات لا يثبت أن مصدرين حقيقيين لهما ترددان متطابقان تمامًا من الناحية الرياضية. بل يعني أن أي فرق متبقٍ صغير جدًا بحيث لا ينتج خفقانًا يمكن اكتشافه خلال فترة الملاحظة.

08أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً: جمع الترددين أو أخذ متوسطهما

لنفترض أن مصدرين ينتجان \(700\text{ Hz}\) و\(704\text{ Hz}\).

قد يأخذ طالب متوسطهما:

\[
\frac{700+704}{2}=702\text{ Hz}
\]

هذا العدد ليس عديم الفائدة. فهو قريب من التردد المرتبط بالصوت المحصل سريع الاهتزاز.

لكنه ليس تردد الخفقان.

يصف تردد الخفقان التغير البطيء في السعة:

\[
f_b=|704-700|=4\text{ Hz}
\]

إذًا لدينا هنا فكرتان مختلفتان:

• تهتز الموجات الفردية مئات المرات في الثانية،
• يتغير علو الصوت المحصل أربع مرات فقط في الثانية.

لا تخلط بين معدل الاهتزاز ومعدل تكرار نمط السعة.

09تحتاج الخفقات إلى ترددات متقاربة

من الناحية الرياضية، يمكن للموجات ذات الترددات المختلفة أن تتداخل أيضًا.

لكن تأثير الخفقان البطيء المألوف، «واه-واه-واه»، يكون أوضح عندما تكون الترددات متقاربة. وإذا أصبح الفاصل بين الترددات كبيرًا، فقد تبدأ الأذن في تمييز الترددين كلًا على حدة بدلًا من سماع نغمة واحدة يرتفع علوها وينخفض ببطء.

في حسابات HSC المتعلقة بالخفقات، يكون النموذج المقصود عادةً ترددين متقاربين، مع

\[
f_b=|f_1-f_2|
\]

لذلك فإن كلمة «متقاربين» تؤدي دورًا مهمًا فعلًا. فهي تخبرك بالموقف الفيزيائي الذي تُستخدم المعادلة لوصفه.

10هل يجب أن تكون سعتا الموجتين متساويتين؟

لا.

يمكن لموجتين ذواتي سعتين مختلفتين أن تنتجا خفقات أيضًا إذا كان تردداهما متقاربين.

تجعل السعتان المتساويتان التأثير واضحًا بصورة خاصة لأن التداخل الهدّام يمكن أن يجعل السعة المحصلة صغيرة جدًا. وإذا كانت إحدى الموجتين أقوى بكثير من الأخرى، يظل علو الصوت يتغير دوريًا، لكن القيم الدنيا لا تكون منخفضة بالقدر نفسه.

ويظل تردد الخفقات محددًا بالعلاقة

\[
f_b=|f_1-f_2|
\]

تغيير السعة يغير مدى وضوح الخفقات، وليس معدل حدوثها.

11أسئلة وحلول

السؤال 1

لمصدرين صوتيين ترددان مقدارهما \(315\text{ Hz}\) و\(321\text{ Hz}\). حدّد تردد الخفقان والزمن بين خفقتين متتاليتين.

الحل 1

تردد الخفقان هو \(\boxed{6\text{ Hz}}\)، وتفصل بين الخفقات المتتالية مدة تقارب \(\boxed{0.167\text{ s}}\).

تردد الخفقان هو الفرق بين ترددي المصدرين:

\[
f_b=|f_1-f_2|
\]

بالتعويض،

\[
f_b=|321-315|=6\text{ Hz}
\]

زمن دورة الخفقان هو

\[
T_b=\frac{1}{f_b}
=\frac{1}{6}
=0.167\text{ s}
\]

إذًا يصل الصوت المحصل إلى قمة في علو الصوت كل نحو \(0.167\text{ s}\).

السؤال 2

تُشغّل نغمة مرجعية مقدارها \(500\text{ Hz}\) مع نغمة مجهولة. تفصل بين قمم علو الصوت المتتالية مدة \(0.20\text{ s}\).

حدّد القيم الممكنة لتردد النغمة المجهولة.

الحل 2

يمكن أن يكون التردد المجهول \(\boxed{495\text{ Hz}}\) أو \(\boxed{505\text{ Hz}}\).

أوجد أولًا تردد الخفقان من زمن دورة الخفقان:

\[
f_b=\frac{1}{T_b}
=\frac{1}{0.20}
=5.0\text{ Hz}
\]

إذًا يجب أن يختلف التردد المجهول عن \(500\text{ Hz}\) بمقدار \(5\text{ Hz}\):

\[
|f-500|=5
\]

ومن ثم،

\[
f=500-5=495\text{ Hz}
\]

أو

\[
f=500+5=505\text{ Hz}
\]

الفخ المهم هو افتراض أن تردد الخفقان يخبرك أي المصدرين تردده أعلى. لكنه لا يفعل ذلك. نحتاج إلى ملاحظة ثانية لحسم هذا الغموض.

السؤال 3

ينتج وتر \(4\) خفقات في الثانية عند تشغيله مع مهتز مرجعي تردده \(600\text{ Hz}\). ثم يُزاد شد الوتر قليلًا. فيزداد تردده، ويصبح تردد الخفقان في البداية \(6\text{ Hz}\).

هل كان التردد الأصلي للوتر \(596\text{ Hz}\) أم \(604\text{ Hz}\)؟ وضّح.

الحل 3

كان التردد الأصلي للوتر \(\boxed{604\text{ Hz}}\).

يعطي تردد خفقان مقداره \(4\text{ Hz}\) في البداية احتمالين:

\[
|f-600|=4
\]

أي

\[
f=596\text{ Hz}
\]

أو

\[
f=604\text{ Hz}
\]

تؤدي زيادة الشد إلى زيادة تردد الوتر.

لو بدأ الوتر عند \(596\text{ Hz}\)، فإن زيادة تردده كانت ستحركه في البداية نحو \(600\text{ Hz}\). وكان فرق التردد، وبالتالي تردد الخفقان، سينخفض.

لكن تردد الخفقان يزداد بدلًا من ذلك من \(4\text{ Hz}\) إلى \(6\text{ Hz}\). لذلك لا بد أن الوتر كان بالفعل أعلى من التردد المرجعي ثم ابتعد عنه أكثر.

إذًا كان تردده الابتدائي

\[
\boxed{604\text{ Hz}}
\]

المفتاح هنا ليس الحساب. بل ربط اتجاه تغير التردد بالتغير الملحوظ في تردد الخفقان.

السؤال 4

ينتج مكبرا صوت ترددين مقدارهما \(800\text{ Hz}\) و\(803\text{ Hz}\). سعة مكبر الصوت A أكبر بكثير من سعة مكبر الصوت B.

يقول طالب: «لأن السعتين غير متساويتين، سيكون تردد الخفقان أقل من \(3\text{ Hz}\).»

قيّم هذا الادعاء.

الحل 4

الادعاء غير صحيح. يظل تردد الخفقان \(\boxed{3\text{ Hz}}\).

يعتمد تردد الخفقان على الفرق بين الترددين:

\[
f_b=|f_1-f_2|
\]

بالتعويض،

\[
f_b=|803-800|=3\text{ Hz}
\]

تؤثر السعتان غير المتساويتين في عمق الخفقات. ولأن الموجة الأقوى لا يمكن أن تلغيها الموجة الأضعف تمامًا، فلن تنخفض السعة المحصلة الدنيا إلى مستوى منخفض بقدر ما يمكن أن يحدث مع موجتين متساويتين في السعة.

ومع ذلك، يظل الطور النسبي يتكرر بالمعدل نفسه. لذلك يبقى تردد الخفقان \(3\text{ Hz}\).

ينشأ المفهوم الخاطئ من الخلط بين خاصيتين منفصلتين: تتحكم السعة في قوة التغير، بينما يتحكم فرق التردد في سرعة تكرار هذا التغير.

السؤال 5

تنتج نغمة مرجعية ترددها \(450\text{ Hz}\) ونغمة مجهولة \(2\) خفقة في الثانية. يُضبط المصدر المجهول باستمرار بحيث يزداد تردده. ينخفض تردد الخفقان إلى الصفر، ثم يبدأ في الازدياد من جديد.

اشرح ما حدث لتردد المصدر المجهول. وحدّد أيضًا تردده الابتدائي.

الحل 5

بدأ المصدر المجهول عند \(\boxed{448\text{ Hz}}\)، ثم ارتفع إلى \(450\text{ Hz}\)، وبعد ذلك استمر في الارتفاع فوق \(450\text{ Hz}\).

في البداية،

\[
|f-450|=2
\]

إذًا الترددان المحتملان هما

\[
f=448\text{ Hz}
\]

أو

\[
f=452\text{ Hz}
\]

نعلم أن التردد المجهول يزداد.

في البداية ينخفض تردد الخفقان. لذلك يجب أن يكون التردد المجهول في البداية متجهًا نحو \(450\text{ Hz}\). ولا يكون ذلك ممكنًا إلا إذا بدأ تحت التردد المرجعي، عند

\[
\boxed{448\text{ Hz}}
\]

وعندما يصل التردد المجهول إلى \(450\text{ Hz}\)،

\[
f_b=|450-450|=0
\]

فتختفي الخفقات.

يستمر الضبط، لذلك يرتفع التردد المجهول فوق \(450\text{ Hz}\). ثم يبدأ الفرق بين الترددين في الازدياد من جديد، مما يؤدي إلى زيادة تردد الخفقان.

الخطأ المغري هو افتراض أن وصول تردد الخفقان إلى الصفر يعني أن عملية الضبط لا بد أن تكون قد توقفت. هذا غير صحيح. يشير انعدام الخفقات إلى اللحظة التي يتساوى فيها الترددان. وإذا استمر التردد المجهول في التغير، تعود الخفقات.

12إلى أين تقودنا الخفقات بعد ذلك؟

الخفقات نتيجة محددة لفكرة أوسع بكثير: التراكب.

بمجرد أن تتمكن من تصور ترددين متقاربين ينتقلان مرارًا إلى حالة توافق في الطور ثم يخرجان منها، يصبح التداخل أقل غموضًا بكثير. ويساعد المبدأ نفسه في تفسير التداخل البنّاء والهدّام، والموجات الواقفة، وقياسات الرنين، وسبب قدرة القائمين على التجارب على اكتشاف فروق صغيرة جدًا في التردد دون قياس كل تردد مرتفع مباشرةً.

المعادلة

\[
f_b=|f_1-f_2|
\]

قصيرة. أما الفيزياء المفيدة فتكمن في فهم ما يعنيه هذا الفرق: فهو يقيس مدى سرعة فقدان موجتين متقاربتين جدًا في التردد لعلاقة الطور نفسها، ثم استعادتهما لها.