لماذا تحيد الأصوات منخفضة التردد أكثر؟ فيزياء HSC

قف عند زاوية بعيدة عن مكبر صوت يشغّل الموسيقى. قد تخفت النغمات الحادة بسرعة مدهشة، لكن صوت الجهير غالبًا ما يبدو وكأنه يتبعك حول الزاوية.

قبل أن تتابع القراءة، توقّع السبب. هل صوت الجهير أفضل في الانحناء لأن الصوت منخفض التردد ينتقل ببطء أكبر، أم لأن لديه طاقة أكبر، أم لأن طوله الموجي أكبر؟

الفكرة المهمة هي الطول الموجي. للصوت منخفض التردد طول موجي أكبر، ويصبح الحيود أكثر وضوحًا عندما يكون الطول الموجي كبيرًا مقارنة بحجم العائق أو الفتحة.

وهذه المقارنة الواحدة، بين الطول الموجي وحجم العائق، تفسر معظم أسئلة HSC عن حيود الصوت.

01ماذا يعني أن “ينحني” الصوت؟

تخيّل موجات مائية مستقيمة تنتقل نحو عمود بارز من الماء. بعد أن تمر الموجات بالعمود، فإنها لا تترك خلفه ظلًا حادًا تمامًا وخاليًا من الموجات. ينتشر جزء من الموجة إلى المنطقة الواقعة خلفه.

ويحدث الشيء نفسه مع الصوت.

الحيود هو انتشار الموجة عندما تمر بجانب حافة، أو تلتف حول عائق، أو تمر عبر فتحة.

من المفيد وصف ذلك بأنه “انحناء”، لكن لا تتخيل جزيئات الهواء الفردية وهي تسلك مسارات منحنية حول العائق. فجزيئات الهواء تهتز أساسًا ذهابًا وإيابًا حول مواضع اتزانها. الذي ينتشر إلى المنطقة خلف العائق هو اضطراب الموجة وطاقتها.

وهذا التمييز مهم.

02حجم الطول الموجي هو العامل الأساسي

افترض أن موجة صوتية تصل إلى عائق عرضه متر واحد.

والآن قارن بين طولين موجيين:

• أحد الصوتين طوله الموجي \(2\text{ m}\)
• والآخر طوله الموجي \(0.10\text{ m}\)

أيّهما تتوقع أن يتأثر بدرجة أكبر بالشكل الدقيق لعائق عرضه متر واحد؟

تستطيع الموجة ذات الطول الموجي القصير أن “تميّز” العائق بوضوح أكبر بكثير. فجسم عرضه متر واحد يساوي عشرة أطوال موجية بالنسبة إلى الموجة ذات الطول الموجي \(0.10\text{ m}\)، ولذلك يمكن أن يتكوّن خلفه ظل صوتي واضح نسبيًا.

أما بالنسبة إلى الموجة ذات الطول الموجي \(2\text{ m}\)، فإن عرض العائق كله لا يساوي سوى نصف طول موجي. وتنتشر الموجة بقوة حول حافتيه، لذلك يكون الظل أقل وضوحًا بكثير.

قاعدة مفيدة هي:

يكون الحيود أكثر وضوحًا عندما يكون الطول الموجي مقاربًا للحجم ذي الصلة للعائق أو الفتحة، أو أكبر منه.

هذه ليست قاعدة تعمل بنظام التشغيل أو الإيقاف. فلا يوجد طول موجي محدد يبدأ عنده الحيود فجأة. جميع الموجات يمكن أن تحيد. ومقدار الانتشار يتغير تدريجيًا.

03لماذا يعني التردد الأقل طولًا موجيًا أكبر؟

لأي موجة منتقلة،

\[
v = f\lambda
\]

حيث:

• \(v\) هي سرعة الموجة بوحدة المتر لكل ثانية، \(\text{m s}^{-1}\)
• \(f\) هو التردد بوحدة الهرتز، \(\text{Hz}\)
• \(\lambda\) هو الطول الموجي بوحدة المتر، \(\text{m}\)

وبإعادة ترتيب العلاقة،

\[
\lambda = \frac{v}{f}
\]

في الظروف نفسها، تنتقل الترددات المسموعة المختلفة خلال الهواء بسرعات متقاربة تقريبًا. وباستخدام \(340\text{ m s}^{-1}\) باعتبارها قيمة تقريبية مناسبة للسرعة:

إذن، خفض التردد يجعل الطول الموجي أكبر.

ولهذا يمكن لنغمات الجهير، التي تكون تردداتها منخفضة نسبيًا، أن تحيد بقوة حول أجسام بحجم يقارب المتر، مثل الجدران والأعمدة ومداخل الأبواب وحتى جسم الإنسان.

أما الأصوات عالية التردد فلها أطوال موجية أقصر بكثير. وتكون الأجسام نفسها بعرض يساوي عدة أطوال موجية، لذلك قد تحتوي المنطقة خلفها على ظل صوتي أكثر حدة بكثير.

04طريقة مفيدة لمقارنة العائق بالموجة

بدلًا من أن تسأل فقط: “هل هذا تردد منخفض؟”، قارن الطول الموجي بحجم العائق.

افترض أن \(D\) هو العرض ذي الصلة لعائق. تكون النسبة

\[
\frac{\lambda}{D}
\]

مفيدة عند التفكير في الحيود.

إذا كانت \(\lambda/D\) كبيرة، يميل الحيود إلى أن يكون أكثر وضوحًا.

أما إذا كانت \(\lambda/D\) صغيرة، فيمكن أن يتكوّن ظل هندسي أكثر وضوحًا.

هذه المقارنة أقوى من مجرد حفظ عبارة “الترددات المنخفضة تحيد أكثر”، لأن التردد وحده لا يكفي. فحجم العائق مهم أيضًا.

قد يحيد صوت بتردد \(500\text{ Hz}\) بقوة حول عمود رفيع، لكنه قد يحيد بدرجة أقل بكثير حول مبنى ضخم.

06ماذا يحدث عند الحافة؟

هناك طريقة مفيدة أخرى لتصوّر الحيود.

وفقًا لنموذج الجبهة الموجية، يمكن اعتبار النقاط الواقعة على امتداد جبهة موجية مصادر لمويجات جديدة. وفي موجة لا يعترضها شيء، تتجمع مساهمات هذه المويجات لتنتج الجبهة الموجية المتقدمة المعتادة.

ضع عائقًا في المسار، فيختفي جزء من تلك الجبهة الموجية. وبالقرب من الحواف، تنتشر المويجات المتبقية إلى المنطقة التي كان الانتشار الهندسي في خطوط مستقيمة سيعدّها منطقة ظل.

يساعد هذا النموذج على تفسير كيفية وصول الصوت إلى المنطقة خلف العائق أصلًا.

عندما يكون الطول الموجي كبيرًا، يشغل الانتشار المرتبط بالحافة نطاقًا أكبر مقارنة بحجم العائق. أما عندما يكون الطول الموجي قصيرًا جدًا، فقد يساوي عرض العائق عدة أطوال موجية، مما يترك ظلًا مركزيًا أكثر وضوحًا بكثير.

صورة موجات الماء مفيدة هنا، لكنها لها حدود. فموجات سطح الماء تتضمن حركة سطح، بينما الصوت في الهواء موجة ضغط طولية تنتقل خلال وسط ثلاثي الأبعاد. والسمة المشتركة هي سلوك الموجات، لا تطابق حركة الجسيمات.

07تتصرف الفتحات بالطريقة نفسها المعتمدة على الطول الموجي

يحدث الحيود أيضًا عندما ينتقل الصوت عبر مدخل باب أو فتحة أخرى.

تخيّل مدخل باب واسعًا. إذا كانت الفتحة أعرض بكثير من الطول الموجي، فإن معظم الموجة يستمر إلى الأمام تقريبًا، ويظهر الانتشار الملحوظ أساسًا بالقرب من الحواف.

والآن صغّر مدخل الباب حتى يصبح عرضه مقاربًا للطول الموجي. عندئذ تنتشر الموجة الخارجة من المدخل عبر نطاق أكبر بكثير من الاتجاهات.

وهذا يعطينا صيغة أخرى للقاعدة نفسها:

كلما كانت الفتحة أصغر مقارنة بالطول الموجي، زاد الحيود بعد الفتحة.

ومرة أخرى، المقصود بـ”أصغر” هو بالنسبة إلى الطول الموجي، وليس مجرد كونها صغيرة عند قياسها بالأمتار.

09التصور الخاطئ المغري: الجهير يحيد لأنه يتحرك ببطء أكبر

قد يفكر طالب بهذه الطريقة:

“الصوت منخفض التردد يستغرق وقتًا أطول لإكمال الاهتزاز، لذلك ربما ينتقل ببطء أكبر، ومن ثم يكون لديه وقت أطول للانحناء حول الجدار.”

يبدو ذلك معقولًا، لكنه يخلط بين التردد وسرعة الموجة.

بالنسبة إلى الموجات الصوتية العادية التي تنتقل خلال الهواء نفسه وتحت الظروف نفسها، لا يغير التردد سرعة انتشارها إلا بدرجة ضئيلة جدًا. فنغمة بتردد \(200\text{ Hz}\) وأخرى بتردد \(2000\text{ Hz}\) تنتقلان كلتاهما تقريبًا بسرعة الصوت نفسها.

ما يتغير بدرجة كبيرة هو الطول الموجي.

عند \(340\text{ m s}^{-1}\)،

\[
\lambda_{200}
= \frac{340}{200}
= 1.7\text{ m}
\]

بينما

\[
\lambda_{2000}
= \frac{340}{2000}
= 0.17\text{ m}
\]

يحيد الصوت الأقل ترددًا بدرجة أكثر وضوحًا لأن طوله الموجي أكبر بعشر مرات، وليس لأنه ينتقل ببطء أكبر.

10فخ ثانٍ: “التردد المنخفض يحيد دائمًا أكثر”

تحتاج هذه العبارة إلى إضافة مهمة:

حول العائق نفسه، وفي الوسط نفسه.

تأمل صوتًا بتردد \(200\text{ Hz}\) يحاول المرور حول بنية عرضها أربعة أمتار، وصوتًا بتردد \(800\text{ Hz}\) يمر حول عمود رفيع عرضه \(0.20\text{ m}\).

للصوت ذي التردد \(200\text{ Hz}\) الطول الموجي الأكبر، لكن العائق أيضًا أكبر بكثير.

لذلك لا تقارن الترددات بصورة منفصلة. قارن

\[
\text{الطول الموجي} \quad \text{مع} \quad \text{حجم العائق أو الفتحة}.
\]

وهذا هو نوع الاستدلال الذي تختبره أسئلة HSC كثيرًا.

11الحيود ليس السبب الوحيد في سماع الجهير

الغرف الحقيقية معقدة.

إذا سمعت موسيقى منخفضة التردد من غرفة أخرى، فقد تسهم عدة تأثيرات في ذلك:

• الحيود حول مداخل الأبواب والزوايا
• الانعكاس عن الجدران والأسقف
• الانتقال عبر الجدران
• الامتصاص الذي يعتمد على التردد

لذلك فإن عبارة “يمكنني سماع الجهير عبر الجدار” لا تُعد، بمفردها، دليلًا على الحيود.

ومن الأمثلة الأوضح على الحيود وصول الصوت إليك حول زاوية مفتوحة أو خلف عائق، حيث تكون الموجة قد انتقلت إلى منطقة كانت ستُعد لولا ذلك ظلًا هندسيًا.

12أسئلة وحلول

السؤال 1

ينتقل صوت بتردد \(250\text{ Hz}\) خلال الهواء بسرعة \(340\text{ m s}^{-1}\). احسب طوله الموجي. هل يُتوقع أن ينتج عمود عرضه \(0.50\text{ m}\) ظلًا صوتيًا قويًا وحاد الحدود؟

الحل 1

الطول الموجي هو \(1.36\text{ m}\)، لذلك لا يُتوقع أن ينتج العمود ذو العرض \(0.50\text{ m}\) ظلًا صوتيًا شديد الحدة، لأن الطول الموجي أكبر من العائق.

استخدم

\[
\lambda=\frac{v}{f}
\]

ثم عوّض:

\[
\lambda
= \frac{340\text{ m s}^{-1}}{250\text{ Hz}}
= 1.36\text{ m}
\]

والمقارنة هي

\[
\frac{\lambda}{D}
= \frac{1.36}{0.50}
= 2.72
\]

الطول الموجي يساوي نحو 2.7 مرة عرض العمود. ولذلك يُتوقع حدوث حيود ملحوظ حول العمود.

والاستدلال المهم ليس مجرد أن \(250\text{ Hz}\) تردد “منخفض”. بل إن طوله الموجي، وهو \(1.36\text{ m}\)، كبير مقارنة بهذا العائق بالتحديد.

السؤال 2

تصل نغمة بتردد \(680\text{ Hz}\) وأخرى بتردد \(170\text{ Hz}\) إلى العائق نفسه، الذي يبلغ عرضه \(1.0\text{ m}\). سرعة الصوت هي \(340\text{ m s}^{-1}\).

احسب الطول الموجي لكل نغمة، وحدد أيهما ينبغي أن تُسمع بقوة أكبر في الظل الهندسي خلف العائق.

الحل 2

يُفترض أن تُسمع النغمة ذات التردد \(170\text{ Hz}\) بقوة أكبر في الظل لأن طولها الموجي أكبر بكثير بالنسبة إلى حجم العائق.

بالنسبة إلى \(680\text{ Hz}\)،

\[
\lambda
= \frac{340}{680}
= 0.50\text{ m}
\]

وبالنسبة إلى \(170\text{ Hz}\)،

\[
\lambda
= \frac{340}{170}
= 2.0\text{ m}
\]

عرض العائق، وهو \(1.0\text{ m}\)، يساوي ضعف الطول الموجي للنغمة ذات التردد \(680\text{ Hz}\)، لكنه لا يساوي سوى نصف الطول الموجي للنغمة ذات التردد \(170\text{ Hz}\).

ولذلك تنتشر الموجة ذات الطول الموجي الأكبر، \(170\text{ Hz}\)، بدرجة أكبر حول حافتي العائق وإلى داخل منطقة الظل.

ومن الأخطاء الشائعة القول إن النغمة ذات التردد \(170\text{ Hz}\) تلتف حول العائق لأنها تنتقل ببطء أكبر. فكلتا النغمتين تنتقلان خلال الهواء نفسه بسرعة تقارب \(340\text{ m s}^{-1}\). الاختلاف بينهما هو في الطول الموجي.

السؤال 3

يفتح ممر عبر مدخل باب عرضه \(1.7\text{ m}\). قدّر التردد الذي يكون عنده الطول الموجي للصوت مساويًا لعرض مدخل الباب. اعتبر سرعة الصوت \(340\text{ m s}^{-1}\).

هل تصف هذا التردد بأنه النقطة التي يحدث الحيود تحتها ويتوقف فوقها؟

الحل 3

تردد المقارنة هو \(200\text{ Hz}\)، لكنه ليس تردد قطع. فالحيود يحدث على جانبي هذا التردد.

باستخدام

\[
f=\frac{v}{\lambda}
\]

مع \(\lambda=1.7\text{ m}\)،

\[
f
= \frac{340\text{ m s}^{-1}}{1.7\text{ m}}
= 200\text{ Hz}
\]

عند \(200\text{ Hz}\)، يكون الطول الموجي مساويًا لعرض مدخل الباب، ولذلك يُتوقع انتشار ملحوظ.

تحت \(200\text{ Hz}\)، يصبح الطول الموجي أكبر بالنسبة إلى مدخل الباب، ولذلك يصبح الحيود عمومًا أكثر وضوحًا.

فوق \(200\text{ Hz}\)، يصبح الطول الموجي أقصر بالنسبة إلى مدخل الباب، ولذلك يصبح الصوت عمومًا أكثر اتجاهية.

ومع ذلك، لا يتوقف الحيود فوق \(200\text{ Hz}\). والخطأ هو التعامل مع حالة تساوي الطول الموجي وعرض الفتحة على أنها حد صارم بدلًا من كونها مقياسًا مفيدًا للمقارنة.

السؤال 4

يقول طالب:

“سرعة الصوت هي \(340\text{ m s}^{-1}\). إذا كان صوت بتردد \(100\text{ Hz}\) يحيد حول جدار أكثر من صوت بتردد \(1000\text{ Hz}\)، فلا بد أن الموجة ذات التردد \(100\text{ Hz}\) تتباطأ أثناء انحنائها.”

قيّم هذا الادعاء باستخدام معادلة الموجة.

الحل 4

الادعاء غير صحيح. فالحيود الأكبر لا يتطلب أن تتباطأ الموجة ذات التردد \(100\text{ Hz}\).

في الهواء نفسه، ينتقل كلا الترددين تقريبًا بالسرعة نفسها. باستخدام

\[
\lambda=\frac{v}{f},
\]

يكون الطول الموجي للتردد \(100\text{ Hz}\)

\[
\lambda
= \frac{340}{100}
= 3.4\text{ m}
\]

ويكون الطول الموجي للتردد \(1000\text{ Hz}\)

\[
\lambda
= \frac{340}{1000}
= 0.34\text{ m}
\]

إذن، للصوت منخفض التردد طول موجي أكبر بعشر مرات.

وينتج حيوده الأقوى حول الجدار عن هذا الطول الموجي الأكبر مقارنة بأبعاد الجدار أو الحافة، وليس عن انخفاض سرعة الانتشار.

وقد تسبب كلمة “ينحني” هذا التصور الخاطئ. فهي تصف انتشار نمط الموجة إلى منطقة الظل. ولا تعني أن الموجة الصوتية يجب أن تتباطأ لكي تلتف حول زاوية.

السؤال 5

تُجرى تجربتان للحيود في الهواء عند سرعة \(340\text{ m s}^{-1}\).

في التجربة A، يواجه صوت بتردد \(200\text{ Hz}\) عائقًا عرضه \(4.0\text{ m}\).

وفي التجربة B، يواجه صوت بتردد \(800\text{ Hz}\) عائقًا عرضه \(0.50\text{ m}\).

يجادل طالب بأن التجربة A يجب أن تُظهر حيودًا أقوى لأن \(200\text{ Hz}\) هو التردد الأقل.

استخدم مقارنات الطول الموجي بحجم العائق لتقييم استدلال الطالب.

الحل 5

يمكن أن تُظهر التجربة B حيودًا أكثر وضوحًا رغم أنها تستخدم التردد الأعلى، لأن عائقها أصغر بكثير بالنسبة إلى الطول الموجي.

بالنسبة إلى التجربة A،

\[
\lambda_A
= \frac{340}{200}
= 1.7\text{ m}
\]

ومن ثم

\[
\frac{\lambda_A}{D_A}
= \frac{1.7}{4.0}
= 0.425
\]

وبالنسبة إلى التجربة B،

\[
\lambda_B
= \frac{340}{800}
= 0.425\text{ m}
\]

ومن ثم

\[
\frac{\lambda_B}{D_B}
= \frac{0.425}{0.50}
= 0.85
\]

يمثل الطول الموجي جزءًا أكبر من حجم العائق في التجربة B:

\[
0.85 > 0.425
\]

ولذلك تمتلك التجربة B نسبة طول موجي إلى عائق أكثر ملاءمة لظهور حيود ملحوظ.

تفترض قاعدة الطالب، “التردد الأقل يعني حيودًا أكبر”، ضمنيًا أن العائق لم يتغير. أما إذا تغير حجم العائق أيضًا، فلا يعود التردد وحده كافيًا.

السؤال 6

يُبنى إعدادان تجريبيان متشابهان هندسيًا. كل طول في الإعداد B، بما في ذلك عرض العائق والمسافة من العائق إلى الكاشف، يساوي ضعف الطول المناظر له في الإعداد A.

يستخدم الإعداد A صوتًا بتردد \(800\text{ Hz}\). وتستخدم كلتا التجربتين الهواء نفسه وبسرعة الصوت نفسها.

ما التردد الذي ينبغي استخدامه في الإعداد B إذا أُريد لنمط الحيود أن يحتفظ بالشكل نفسه بالنسبة إلى الجهاز المكبّر أبعاده؟ فسّر استدلالك.

الحل 6

ينبغي أن يستخدم الإعداد B ترددًا مقداره \(400\text{ Hz}\)، لأن مضاعفة كل طول هندسي تتطلب مضاعفة الطول الموجي للحفاظ على نسب الطول الموجي إلى الحجم نفسها.

بالنسبة إلى الإعداد A،

\[
\lambda_A
= \frac{340}{800}
= 0.425\text{ m}
\]

كل بُعد فيزيائي في الإعداد B أكبر بمرتين، ولذلك، للحصول على نمط حيود مشابه هندسيًا، ينبغي أن يتضاعف الطول الموجي أيضًا:

\[
\lambda_B
= 2(0.425)
= 0.850\text{ m}
\]

وباستخدام

\[
f=\frac{v}{\lambda},
\]

\[
f_B
= \frac{340\text{ m s}^{-1}}{0.850\text{ m}}
= 400\text{ Hz}
\]

الفكرة الأساسية هي أن الحيود يعتمد على المقياس النسبي. للإعداد B تردد أقل، لكن هذا ليس السبب الأعمق لتطابق النمطين. فقد زاد الطول الموجي وكل طول ذي صلة بالعامل نفسه، ولذلك تبقى النسب مثل \(\lambda/D\) دون تغيير.

وهذه هي الصياغة الأدق للقاعدة “الصوت منخفض التردد يحيد أكثر”: فالتردد الأقل ينتج طولًا موجيًا أكبر، والطول الموجي مقارنة بحجم العائق أو الفتحة هو الذي يتحكم في مدى وضوح الحيود.

وفكرة مقارنة الطول الموجي بالحجم نفسها تمثل الجسر إلى السلوك الموجي التالي الذي يستحق الدراسة. فعندما تتراكب الموجات القادمة من أجزاء مختلفة من جبهة موجية محيدة، تحدد فروق الطور بينها ما إذا كانت ستعزز بعضها بعضًا أم تلغي بعضها بعضًا. وهذا يقود مباشرة إلى التداخل.