رسوم الإزاحة مقابل الزمن: كيفية قراءة الحركة في فيزياء HSC
تعلّم كيفية قراءة الإزاحة والميل والاتجاه والسكون وتغيّر السرعة المتجهة من رسوم الإزاحة مقابل الزمن، مع أمثلة محلولة وشرح لأكثر المفاهيم الخاطئة شيوعًا.
قد يبدو رسم الإزاحة مقابل الزمن بسيطًا، لكن من السهل جدًا قراءته بطريقة معكوسة تمامًا.
لنفترض أن شخصًا يمشي مبتعدًا عن نقطة البداية، ثم يتوقف لمدة خمس ثوانٍ، وبعد ذلك يعود ماشيًا ليتجاوز النقطة التي بدأ منها. كيف ينبغي أن يبدو الرسم البياني؟
أحد التخمينات الشائعة في البداية هو أن الخط على الرسم يجب أن يتتبع مسار الشخص بطريقة ما. لكنه لا يفعل ذلك. فالرسم البياني ليس صورة للرحلة، بل يسجل مكان وجود الشخص بالنسبة إلى نقطة الأصل في كل لحظة زمنية.
هذه الفكرة الواحدة تجعل فهم كل ما يتعلق تقريبًا برسم الإزاحة مقابل الزمن أسهل بكثير.
01ما الذي يخبرك به المحوران فعليًا؟
في رسم الإزاحة مقابل الزمن:
- المحور الأفقي هو الزمن، ويُقاس عادةً بالثواني (s)
- المحور الرأسي هو الإزاحة، وتُقاس عادةً بالأمتار (m)
تخبرك الإزاحة بموضع الجسم بالنسبة إلى نقطة أصل مختارة، مع أخذ الاتجاه في الاعتبار.
على سبيل المثال:
- \(x = +6\text{ m}\) يعني أن الجسم يقع على بُعد 6 m في الجانب الموجب من نقطة الأصل
- \(x = 0\text{ m}\) يعني أن الجسم عند نقطة الأصل
- \(x = -4\text{ m}\) يعني أن الجسم يقع على بُعد 4 m في الجانب السالب من نقطة الأصل
هنا، تمثل \(x\) الإزاحة.
إذا كان الفرق بين المسافة والإزاحة لا يزال غير واضح تمامًا، فمن المفيد توضيحه أولًا في شرح المسافة والإزاحة في فيزياء HSC بوضوح.
توقّع: ماذا تعني نقطة على الرسم البياني؟
تخيل أن الرسم البياني يحتوي على النقطة \((3\text{ s}, 8\text{ m})\).
هل يعني هذا أن الجسم قطع مسافة 8 m خلال الثانية الثالثة؟
لا. بل يعني أنه عند \(t = 3\text{ s}\)، تكون إزاحة الجسم \(+8\text{ m}\).
تخبرك نقطة واحدة بموضع الجسم في لحظة واحدة. ولمعرفة كيفية حركة الجسم، يجب أن تنظر إلى كيفية تغير الرسم البياني مع الزمن.
02الميل يخبرك بالسرعة المتجهة
لننظر إلى جسم يتحرك من \(x = 2\text{ m}\) عند \(t = 1\text{ s}\) إلى \(x = 10\text{ m}\) عند \(t = 5\text{ s}\).
تغيرت إزاحته بمقدار:
\[
\Delta x = 10 – 2 = 8\text{ m}
\]
خلال فترة زمنية مقدارها:
\[
\Delta t = 5 – 1 = 4\text{ s}
\]
إذن سرعته المتجهة المتوسطة هي:
\[
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
= \frac{8}{4}
= 2\text{ m s}^{-1}
\]
هذا الحساب هو نفسه تمامًا حساب ميل الخط.
بالنسبة إلى رسم الإزاحة مقابل الزمن:
\[
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
\]
حيث:
- \(v\) هي السرعة المتجهة بوحدة متر لكل ثانية (\(\text{m s}^{-1}\))
- \(\Delta x\) هو التغير في الإزاحة بوحدة المتر (m)
- \(\Delta t\) هو التغير في الزمن بوحدة الثانية (s)
إذن القاعدة الأساسية هي:
يمثل ميل رسم الإزاحة مقابل الزمن السرعة المتجهة.
وهذا ليس مجرد حيلة رياضية. فإذا تغيرت الإزاحة بسرعة، فإن الجسم يتحرك بسرعة كبيرة. وإذا تغيرت الإزاحة ببطء، فإن الجسم يتحرك ببطء.
سؤال: أي الجسمين يتحرك بسرعة أكبر؟
يرتفع رسم الجسم A بمقدار 12 m خلال 3 s.
ويرتفع رسم الجسم B بمقدار 10 m خلال 5 s.
أي الجسمين له سرعة أكبر؟
الإجابة
بالنسبة إلى A:
\[
v_A = \frac{12}{3} = 4\text{ m s}^{-1}
\]
وبالنسبة إلى B:
\[
v_B = \frac{10}{5} = 2\text{ m s}^{-1}
\]
يتحرك الجسم A بسرعة أكبر لأن رسمه البياني له ميل أشد انحدارًا.
المقارنة المهمة ليست أي الخطين أعلى على الصفحة، بل أيهما تتغير إزاحته بمعدل أكبر مع الزمن.
03الميل الموجب والميل السالب والاتجاه
السرعة المتجهة كمية متجهة، ولذلك فإن إشارتها تخبرك بالاتجاه.
الخط الذي يميل إلى أعلى من اليسار إلى اليمين له ميل موجب. وهذا يعني سرعة متجهة موجبة.
أما الخط الذي يميل إلى أسفل من اليسار إلى اليمين فله ميل سالب. وهذا يعني سرعة متجهة سالبة.
وهذه إحدى أكثر المعلومات فائدة التي يمكن أن يوضحها رسم الإزاحة مقابل الزمن.
| شكل الرسم البياني | السرعة المتجهة | الحركة |
|---|---|---|
| خط مستقيم يميل إلى أعلى | موجبة وثابتة | حركة في الاتجاه الموجب |
| خط أفقي | صفر | ساكن |
| خط مستقيم يميل إلى أسفل | سالبة وثابتة | حركة في الاتجاه السالب |
| منحنى يزداد انحدارًا | مقدار السرعة المتجهة يزداد | السرعة تزداد |
| منحنى يصبح أكثر تسطحًا | مقدار السرعة المتجهة يتناقص | السرعة تتناقص |
الخطأ المغري: “الاتجاه إلى أسفل” يعني أن الجسم يتحرك إلى أسفل
يرى طالب خطًا يميل إلى أسفل فيفكر: “لا بد أن الجسم يتحرك إلى أسفل منحدر.”
قد يبدو ذلك منطقيًا لأن الرسم يشبه تلًا.
لكن تذكر أن الرسم البياني ليس خريطة.
إذا انخفضت الإزاحة من \(+8\text{ m}\) إلى \(+3\text{ m}\)، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه السالب على أي محور أحادي البعد اخترناه. وقد يعني ذلك الغرب، أو اليسار، أو إلى الخلف، أو نحو نقطة الأصل.
لا يوجد في الرسم ما يخبرنا بأن الجسم يتحرك فعليًا إلى أسفل.
فكر في الرسم البياني باعتباره سجلًا زمنيًا لا صورة فوتوغرافية. كل نقطة تقول: “في هذا الزمن، كان الجسم هنا.” والخط يصل بين سجلات الموضع هذه.
لكن لهذا التشبيه حدود. فالرسم البياني الحقيقي يمكن أن يمثل حركة تتغير باستمرار، وليس مجرد مجموعة من السجلات المنفصلة.
04الخط الأفقي يعني أن الجسم ساكن
تخيل أن الرسم يظل عند \(x = 5\text{ m}\) من \(t = 2\text{ s}\) إلى \(t = 7\text{ s}\).
خلال هذه الثواني الخمس، يستمر الزمن في المرور، لكن الإزاحة لا تتغير.
إذن:
\[
\Delta x = 0
\]
وبالتالي:
\[
v = \frac{0}{\Delta t} = 0
\]
الجسم ساكن.
لاحظ ما الذي لا يعنيه الخط الأفقي. فهو لا يعني أن الجسم قد عاد إلى نقطة الأصل.
إذا كان الخط أفقيًا عند \(+5\text{ m}\)، فإن الجسم ساكن على بُعد 5 m من نقطة الأصل.
سؤال: ماذا لو كان الرسم البياني منطبقًا على محور الزمن؟
لنفترض أن الإزاحة تظل \(0\text{ m}\) لمدة أربع ثوانٍ.
ماذا يفعل الجسم؟
الإجابة
إنه ساكن عند نقطة الأصل.
أي خط أفقي يعني سرعة متجهة تساوي صفرًا. ويخبرك موضعه الرأسي فقط بمكان سكون الجسم.
05مثال محلول: قراءة السرعة المتجهة الثابتة من رسم بياني
تتغير إزاحة جسم من \(-3\text{ m}\) عند \(t = 2\text{ s}\) إلى \(+9\text{ m}\) عند \(t = 8\text{ s}\). والجزء من رسم الإزاحة مقابل الزمن بين هاتين النقطتين هو خط مستقيم.
احسب السرعة المتجهة للجسم وصِف حركته.
الخطوة 1أوجد التغير في الإزاحة
\[
\Delta x = x_f – x_i
= 9 – (-3)
= 12\text{ m}
\]
تغيرت إزاحة الجسم بمقدار \(+12\text{ m}\).
الخطوة 2أوجد التغير في الزمن
\[
\Delta t = t_f – t_i
= 8 – 2
= 6\text{ s}
\]
الخطوة 3احسب الميل
\[
v = \frac{\Delta x}{\Delta t}
= \frac{12}{6}
= 2.0\text{ m s}^{-1}
\]
الخطوة 4فسّر النتيجة
السرعة المتجهة هي:
\[
\boxed{v = +2.0\text{ m s}^{-1}}
\]
تعني الإشارة الموجبة أن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب.
ولأن الرسم البياني خط مستقيم، فإن الميل ثابت، ولذلك تكون السرعة المتجهة للجسم ثابتة طوال هذه الفترة.
كون الجسم يبدأ عند \(-3\text{ m}\) لا يعني أن سرعته المتجهة سالبة. فالموضع والسرعة المتجهة كميتان مختلفتان.
06عبور محور الإزاحة لا يعني بالضرورة تغيير الاتجاه
لنفترض أن جسمًا يتحرك من \(-5\text{ m}\) إلى \(+5\text{ m}\) في خط مستقيم على الرسم البياني.
عند نقطة ما، يعبر الخط \(x = 0\).
ماذا حدث فعليًا؟
مر الجسم عبر نقطة الأصل.
هل غيّر اتجاهه عندها؟
لا.
إذا ظل الميل موجبًا قبل عبور \(x = 0\) وبعده، فإن السرعة المتجهة تظل موجبة. فهو ببساطة يمر عبر نقطة الأصل ويواصل الحركة.
وهذا يقود إلى قاعدة مهمة:
تغير إشارة الإزاحة لا يعني بالضرورة تغير الاتجاه. الذي يعني تغير الاتجاه هو تغير إشارة السرعة المتجهة.
يمكنك رؤية ذلك بصورة أوضح عندما تفصل بين الإزاحة والسرعة والسرعة المتجهة. يوضح السرعة والسرعة المتجهة: شرح واضح لفيزياء HSC هذا الفرق بمزيد من التفصيل.
07كيفية التعرف على تغير الاتجاه
يغير الجسم اتجاهه عندما تتغير إشارة سرعته المتجهة.
وبما أن السرعة المتجهة هي ميل رسم الإزاحة مقابل الزمن، فابحث عن تغير الميل من:
- موجب إلى سالب، أو
- سالب إلى موجب
تخيل رسمًا يرتفع، ثم يصل إلى أقصى إزاحة، ثم ينخفض.
قبل أعلى نقطة:
- الميل موجب
- السرعة المتجهة موجبة
عند أعلى نقطة:
- المماس أفقي
- السرعة المتجهة اللحظية تساوي صفرًا
بعد أعلى نقطة:
- الميل سالب
- السرعة المتجهة سالبة
إذن يكون الجسم قد توقف لحظيًا ثم عكس اتجاهه.
قد تتخيل شخصًا يمشي نحو صديق، ثم يدرك أنه اقترب من الشخص الخطأ، فيتوقف للحظة، ثم يعود ماشيًا في الاتجاه الآخر بحرج. يسجل الرسم موضعه، لا الإحراج الاجتماعي الناتج عن الموقف.
سؤال: هل تعني كل نقطة تكون عندها السرعة المتجهة صفرًا أن الجسم يظل متوقفًا؟
الإجابة
لا.
المقطع الأفقي يعني أن الجسم يظل متوقفًا خلال فترة زمنية.
أما نقطة واحدة لها مماس أفقي فقد تعني أن الجسم ساكن لحظيًا فقط قبل أن يعكس اتجاهه.
ويصبح هذا الفرق مهمًا في الرسوم المنحنية.
08الرسوم المنحنية للإزاحة مقابل الزمن تعني أن السرعة المتجهة تتغير
حتى الآن، استخدمنا في الغالب خطوطًا مستقيمة.
للخط المستقيم ميل ثابت، وهذا يعني سرعة متجهة ثابتة.
أما الخط المنحني فهو مختلف. فميله يتغير من لحظة إلى أخرى، ولذلك تتغير سرعته المتجهة.
على سبيل المثال، تخيل منحنى للإزاحة مقابل الزمن يصبح أكثر انحدارًا إلى أعلى تدريجيًا.
في بداية الحركة، قد يكون ميله:
\[
1\text{ m s}^{-1}
\]
ثم يصبح لاحقًا:
\[
3\text{ m s}^{-1}
\]
ثم يصبح بعد ذلك:
\[
5\text{ m s}^{-1}
\]
إذن الجسم تزداد سرعته في الاتجاه الموجب.
توقّع: ماذا لو كان الرسم يرتفع لكنه يصبح أكثر تسطحًا؟
لنفترض أن الإزاحة لا تزال تزداد، لكن المنحنى يصبح تدريجيًا أقل انحدارًا.
هل يتحرك الجسم إلى الأمام أم إلى الخلف؟
لا يزال يتحرك في الاتجاه الموجب، لأن الميل لا يزال موجبًا.
لكن سرعته المتجهة تصبح أصغر. أي إنه يتباطأ.
وهنا كثيرًا ما يخلط الطلاب بين الاتجاه الذي يتحرك نحوه الرسم ومدى انحداره.
الارتفاع الرأسي يخبرك بالإزاحة.
والميل يخبرك بالسرعة المتجهة.
09السرعة المتجهة المتوسطة والسرعة المتجهة اللحظية
في مقطع مستقيم من رسم الإزاحة مقابل الزمن، يكون الميل نفسه في كل موضع. فلا توجد مشكلة.
أما في الرسم المنحني، فإن الميل يتغير باستمرار.
إذا رسمت خطًا مستقيمًا بين نقطتين على المنحنى، فإن ميله يعطي السرعة المتجهة المتوسطة خلال تلك الفترة الزمنية:
\[
v_{\text{avg}} = \frac{\Delta x}{\Delta t}
\]
أما إذا أردت معرفة السرعة المتجهة عند لحظة معينة، فأنت تحتاج إلى ميل المماس للمنحنى عند تلك النقطة.
وهذا يعطي السرعة المتجهة اللحظية.
المماس هو خط مستقيم يطابق اتجاه المنحنى عند اللحظة المختارة.
تُشرح هذه الفكرة بمزيد من التفصيل في السرعة المتجهة المتوسطة واللحظية في فيزياء HSC.
10مثال محلول: قراءة رحلة متعددة المراحل
تُوصف إزاحة طالب بالمعلومات التالية من رسم الإزاحة مقابل الزمن:
- عند \(t = 0\text{ s}\)، \(x = 0\text{ m}\)
- عند \(t = 4\text{ s}\)، \(x = 12\text{ m}\)
- من \(t = 4\text{ s}\) إلى \(t = 7\text{ s}\)، تظل الإزاحة عند \(12\text{ m}\)
- عند \(t = 13\text{ s}\)، \(x = -6\text{ m}\)
كل مقطع عبارة عن خط مستقيم.
أوجد السرعة المتجهة خلال كل مرحلة، وحدد متى يكون الطالب ساكنًا، وحدد ما إذا كان الطالب يمر بنقطة الأصل خلال المرحلة الأخيرة.
الخطوة 1احسب السرعة المتجهة من 0 s إلى 4 s
\[
v_1
= \frac{12 – 0}{4 – 0}
= \frac{12}{4}
= +3.0\text{ m s}^{-1}
\]
يتحرك الطالب في الاتجاه الموجب بسرعة متجهة ثابتة مقدارها \(3.0\text{ m s}^{-1}\).
الخطوة 2حلّل المقطع من 4 s إلى 7 s
تظل الإزاحة عند \(12\text{ m}\)، ولذلك:
\[
\Delta x = 0
\]
إذن:
\[
v_2 = 0\text{ m s}^{-1}
\]
يكون الطالب ساكنًا لمدة 3 s عند إزاحة مقدارها \(+12\text{ m}\).
الخطوة 3احسب السرعة المتجهة من 7 s إلى 13 s
تتغير الإزاحة من \(+12\text{ m}\) إلى \(-6\text{ m}\):
\[
\Delta x = -6 – 12 = -18\text{ m}
\]
والفترة الزمنية هي:
\[
\Delta t = 13 – 7 = 6\text{ s}
\]
إذن:
\[
v_3
= \frac{-18}{6}
= -3.0\text{ m s}^{-1}
\]
يتحرك الطالب في الاتجاه السالب بسرعة متجهة ثابتة مقدارها \(3.0\text{ m s}^{-1}\).
الخطوة 4حدد ما إذا كان الطالب يمر بنقطة الأصل
نعم.
تتغير الإزاحة بصورة مستمرة من \(+12\text{ m}\) إلى \(-6\text{ m}\)، ولذلك لا بد أن تمر عبر \(x = 0\).
ويمكننا حتى إيجاد زمن حدوث ذلك.
بدءًا من \(+12\text{ m}\)، ومع الحركة بسرعة متجهة مقدارها \(-3.0\text{ m s}^{-1}\)، يستغرق الوصول إلى نقطة الأصل:
\[
t = \frac{12\text{ m}}{3.0\text{ m s}^{-1}}
= 4.0\text{ s}
\]
تبدأ رحلة العودة عند \(t = 7\text{ s}\)، ولذلك يصل الطالب إلى نقطة الأصل عند:
\[
7 + 4 = 11\text{ s}
\]
وبالتالي، سيعبر الرسم \(x = 0\) عند:
\[
\boxed{t = 11\text{ s}}
\]
لاحظ أن الطالب لا يغير اتجاهه عند \(t = 11\text{ s}\). فالميل لا يزال سالبًا. إنه ببساطة يمر عبر نقطة الأصل.
11الميل الأكبر يعني حركة أسرع، لكن انتبه إلى الإشارة
لنفترض أن مقطعين مستقيمين لهما الميلان:
\[
+4\text{ m s}^{-1}
\]
و
\[
-7\text{ m s}^{-1}
\]
أيهما يمثل الحركة الأسرع؟
الثاني.
السرعة هي مقدار السرعة المتجهة:
\[
|-7| = 7\text{ m s}^{-1}
\]
لذلك فإن جسمًا يتحرك بسرعة متجهة \(-7\text{ m s}^{-1}\) يتحرك بسرعة أكبر من جسم يتحرك بسرعة متجهة \(+4\text{ m s}^{-1}\).
على الرسم البياني، سيكون مقطع \(-7\text{ m s}^{-1}\) أكثر انحدارًا، رغم أنه يميل إلى أسفل.
سؤال: قارن بين هذه الميول الثلاثة
لثلاثة أجسام السرعات المتجهة التالية:
\[
v_A = +2\text{ m s}^{-1}, \qquad
v_B = -5\text{ m s}^{-1}, \qquad
v_C = 0\text{ m s}^{-1}
\]
أي الرسوم أكثر انحدارًا، وأي جسم ساكن؟
الإجابة
رسم الجسم B هو الأكثر انحدارًا لأن سرعته هي:
\[
|v_B| = 5\text{ m s}^{-1}
\]
الجسم C ساكن لأن:
\[
v_C = 0\text{ m s}^{-1}
\]
ورسم الإزاحة مقابل الزمن له أفقي.
12طريقة مفيدة لقراءة أي رسم للإزاحة مقابل الزمن
عندما تواجه رسمًا غير مألوف، لا تحاول فهمه كله دفعة واحدة.
اقرأه من اليسار إلى اليمين، واسأل الأسئلة نفسها لكل مقطع:
أين يوجد الجسم؟
اقرأ الإزاحة من المحور الرأسي.هل الإزاحة تزداد أم تتناقص أم تظل ثابتة؟
يخبرك ذلك بإشارة السرعة المتجهة.ما مدى انحدار الرسم؟
يخبرك ذلك بمقدار السرعة المتجهة.هل الميل ثابت أم يتغير؟
الميل الثابت يعني سرعة متجهة ثابتة. والميل المتغير يعني سرعة متجهة متغيرة.هل تتغير إشارة الميل؟
إذا حدث ذلك، فإن الجسم يغير اتجاهه.
هذه الطريقة أكثر أمانًا بكثير من محاولة حفظ أشكال الرسوم البيانية.
13الفهم الخاطئ الذي يسبب أكبر قدر من المشكلات
فكر في رسم للإزاحة مقابل الزمن يرتفع بشدة، ثم يصبح أفقيًا.
قد يقول طالب:
“تحرك الجسم بسرعة، ثم أصبحت إزاحته ثابتة، ولذلك ظلت سرعته المتجهة ثابتة.”
النصف الأول صحيح. أما النصف الثاني فيخلط بين الإزاحة والسرعة المتجهة.
الإزاحة الثابتة تعني أن موضع الجسم لا يتغير.
إذن:
\[
\Delta x = 0
\]
وبالتالي:
\[
v = 0
\]
لقد توقف الجسم.
ولإظهار سرعة متجهة ثابتة غير صفرية، يجب أن يكون للرسم ميل ثابت غير صفري، ويظهر ذلك على شكل خط مستقيم مائل إلى أعلى أو إلى أسفل.
افصل بين هاتين الفكرتين:
- الإزاحة الثابتة تعني سرعة متجهة تساوي صفرًا
- الميل الثابت يعني سرعة متجهة ثابتة
14من رسوم الإزاحة مقابل الزمن إلى التسارع
لا يُظهر رسم الإزاحة مقابل الزمن التسارع مباشرة، لكنه يمنحك الدليل الذي تحتاج إليه.
التسارع يعني أن السرعة المتجهة تتغير.
وبما أن الميل يمثل السرعة المتجهة، فإن رسم الإزاحة مقابل الزمن ذي الميل المتغير يخبرك بأن الجسم يتسارع.
الخط المستقيم يعني أن الميل ثابت، ولذلك تكون السرعة المتجهة ثابتة ويكون التسارع صفرًا.
أما المنحنى فيعني أن الميل يتغير، ولذلك تتغير السرعة المتجهة ويكون التسارع غير صفري.
وهذه هي الصلة التي تقود إلى الرسم البياني الأساسي التالي في علم الحركة: رسم السرعة المتجهة مقابل الزمن. وبمجرد أن تتمكن من النظر إلى رسم الإزاحة مقابل الزمن وقراءة ميله ذهنيًا باعتباره السرعة المتجهة، يصبح تفسير رسوم السرعة المتجهة مقابل الزمن أسهل بكثير.