شدة الضوء وقانون التربيع العكسي لفيزياء HSC
تعرّف على سبب انخفاض شدة الضوء مع الابتعاد عن مصدر شبيه بالنقطة، وكيف يعمل قانون التربيع العكسي، وكيفية تطبيقه في حسابات انتقال الطاقة.
يبدو المصباح اليدوي ساطعًا عندما يكون قريبًا من جدار، ويبدو أخفت بكثير عندما تتراجع إلى الخلف. لم يتغير شيء داخل المصباح. فهو ما يزال ينقل الطاقة بالمعدل نفسه تقريبًا. فأين ذهب السطوع إذن؟
قبل أن تتابع القراءة، توقّع النتيجة. إذا ابتعدت إلى ضعف المسافة عن مصدر ضوء صغير، فهل تصبح الشدة نصف قيمتها، أم ربعها، أم شيئًا آخر؟
بالنسبة إلى مصدر مثالي شبيه بالنقطة ينشر الطاقة بالتساوي في جميع الاتجاهات، تصبح الشدة ربع قيمتها. والسبب ليس أن الضوء «ينفد» أثناء انتقاله. بل إن الطاقة نفسها تتوزع على مساحة أكبر.
هذه الفكرة الهندسية هي قانون التربيع العكسي.
01ابدأ بالطاقة، لا بالصيغة
تخيّل مصباحًا صغيرًا يطفو في فضاء فارغ. إنه يصدر الضوء بالتساوي في جميع الاتجاهات.
بعد وقت قصير، يكون بعض هذا الضوء قد قطع مسافة 1 m من المصباح. تخيّل جميع أشعة الضوء هذه وهي تمر عبر سطح كرة غير مرئية نصف قطرها 1 m.
وبعد قليل، يصل الضوء إلى كرة غير مرئية نصف قطرها 2 m.
وهنا الجزء المهم: لا تستقبل الكرة الثانية طاقة كلية أقل لمجرد أنها أبعد. فإذا لم يحدث امتصاص، فإن الضوء الذي يعبر الكرة الأولى يواصل طريقه ليعبر الكرة الثانية أيضًا.
ما يتغير هو المساحة التي تتوزع عليها تلك الطاقة.
مساحة سطح الكرة هي
\[
A = 4\pi r^2
\]
حيث:
- \(A\) هي مساحة السطح بالمتر المربع (\(\mathrm{m^2}\))
- \(r\) هي المسافة من المصدر بالمتر (\(\mathrm{m}\))
إذا تضاعفت المسافة من \(r\) إلى \(2r\)، تصبح المساحة الجديدة
\[
A = 4\pi(2r)^2 = 16\pi r^2
\]
كانت المساحة الأصلية \(4\pi r^2\)، لذا فإن المساحة الجديدة تساوي أربعة أمثالها.
أصبحت الطاقة نفسها الآن موزعة على مساحة أكبر بأربع مرات. ولذلك لا يستقبل كل متر مربع إلا ربع مقدار الطاقة في كل ثانية.
ومن هنا يأتي التربيع العكسي.
02ما الذي تقيسه الشدة فعليًا؟
تخبرنا شدة الضوء بمعدل انتقال الطاقة عبر كل وحدة مساحة.
إذا كانت قدرة المصدر \(P\)، فإنه ينقل الطاقة بمعدل \(P\) جول في الثانية.
وبالنسبة إلى مصدر مثالي شبيه بالنقطة يشع بالتساوي في جميع الاتجاهات، تتوزع هذه القدرة على مساحة السطح \(4\pi r^2\). لذلك،
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
حيث:
- \(I\) هي الشدة بوحدة الواط لكل متر مربع (\(\mathrm{W\,m^{-2}}\))
- \(P\) هي قدرة المصدر بالواط (\(\mathrm{W}\))
- \(r\) هي المسافة من المصدر بالمتر (\(\mathrm{m}\))
تعبّر المعادلة عن فكرة فيزيائية بسيطة:
الشدة هي القدرة مقسومة على المساحة التي انتشرت عليها تلك القدرة.
ومن الطرق المفيدة لتصور ذلك أن تتخيل بيتزا مشتركة بين مجموعة من الأشخاص. إذا أصبح أربعة أشخاص فجأة ستة عشر شخصًا، فالبيتزا لم تنكمش بطريقة غامضة. كل شخص يحصل فقط على حصة أصغر.
بالنسبة إلى الضوء، تمثل «البيتزا» القدرة المنبعثة، ويمثل «الأشخاص» رقع المساحة على سطح كرة تتمدد. ولا تكون هذه المقارنة دقيقة تمامًا لأن الضوء لا يُقسَّم إلى شرائح ثابتة مخصصة لرقع منفصلة، لكنها توضّح السبب الهندسي لانخفاض الشدة.
03لماذا يسمى قانون التربيع العكسي؟
افترض أن القدرة تظل ثابتة.
عندئذٍ
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
تحتوي على عدة كميات لا تتغير. ويمكننا كتابة العلاقة بصورة أكثر اختصارًا:
\[
I \propto \frac{1}{r^2}
\]
الرمز \(\propto\) يعني «يتناسب مع».
إذًا، إذا ازدادت المسافة، تقل الشدة بحسب مربع تلك المسافة.
| التغير في المسافة | التغير في الشدة |
|---|---|
| \(r \to 2r\) | \(I \to \frac{I}{4}\) |
| \(r \to 3r\) | \(I \to \frac{I}{9}\) |
| \(r \to 4r\) | \(I \to \frac{I}{16}\) |
| \(r \to \frac{r}{2}\) | \(I \to 4I\) |
| \(r \to \frac{r}{3}\) | \(I \to 9I\) |
لاحظ أن المسافة والشدة ليستا متناسبتين عكسيًا بالمعنى البسيط \(1/r\).
مضاعفة المسافة لا تجعل الشدة نصف قيمتها، بل تجعلها ربع قيمتها.
وهذا أحد أكثر الأخطاء شيوعًا في هذا الموضوع.
04طريقة أسرع للمقارنة بين مسافتين
لن تعرف دائمًا قدرة المصدر.
ولحسن الحظ، إذا كنت تقارن المصدر نفسه عند مسافتين، فإن القدرة و\(4\pi\) تُختصران.
ابدأ بـ
\[
I_1 = \frac{P}{4\pi r_1^2}
\]
و
\[
I_2 = \frac{P}{4\pi r_2^2}
\]
بقسمة المعادلة الثانية على الأولى نحصل على
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\frac{r_1^2}{r_2^2}
\]
أو
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
\]
وغالبًا ما تكون صيغة النسبة هذه أسرع طريقة عندما يطلب السؤال تحديد كيفية تغير الشدة مع المسافة.
مثال محلول: شدة الضوء من مصباح صغير
يصدر مصباح صغير 36 W من الضوء بالتساوي تقريبًا في جميع الاتجاهات. احسب الشدة على مسافة 3.0 m من المصباح.
الخطوة 1
يُعامل المصباح باعتباره مصدرًا شبيهًا بالنقطة يشع بالتساوي في جميع الاتجاهات، لذا
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
الخطوة 2
\[
I
=
\frac{36}{4\pi(3.0)^2}
=
\frac{36}{36\pi}
\]
الخطوة 3
\[
I \approx 0.318\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\]
إذًا،
\[
\boxed{I \approx 0.32\ \mathrm{W\,m^{-2}}}
\]
على مسافة 3.0 m، يستقبل كل متر مربع من سطح كروي مركزه المصباح نحو 0.32 J من طاقة الضوء في كل ثانية.
05الشدة وانتقال الطاقة مرتبطان، لكنهما ليسا الشيء نفسه
الشدة هي معدل انتقال الطاقة لكل وحدة مساحة.
افترض أن كاشفًا مساحته \(A_d\) يواجه الضوء الساقط مباشرة. إذا كانت الشدة على امتداد الكاشف منتظمة تقريبًا، فإن القدرة المستقبلة هي
\[
P_{\text{received}} = IA_d
\]
حيث \(A_d\) هي مساحة الكاشف بوحدة \(\mathrm{m^2}\).
إذا استُقبل هذا الضوء لمدة \(t\)، فإن
\[
E = P_{\text{received}}t
\]
ومن ثم
\[
E = IA_dt
\]
حيث \(E\) هي الطاقة بالجول (\(\mathrm{J}\)) و\(t\) هو الزمن بالثواني (\(\mathrm{s}\)).
وهذا يعطينا سلسلة مفيدة من الأفكار:
\[
\text{قدرة المصدر}
\rightarrow
\text{الانتشار على مساحة}
\rightarrow
\text{الشدة}
\rightarrow
\text{الطاقة التي يستقبلها الكاشف}
\]
تعني الشدة الأقل أن الكاشف نفسه يستقبل الطاقة بمعدل أبطأ.
مثال محلول: إبعاد كاشف عن المصدر
يوضع مستشعر مساحته \(2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}\) على مسافة 2.0 m من مصدر شبيه بالنقطة. يصدر المصدر 50 W بالتساوي في جميع الاتجاهات.
ثم يُنقل المستشعر إلى مسافة 5.0 m من المصدر. احسب الشدة عند 5.0 m والطاقة الساقطة على المستشعر خلال 30 s.
افترض أن المستشعر يواجه الضوء الساقط مباشرة وأن كامل مساحته مضاءة.
الخطوة 1
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
بالتعويض بـ \(P = 50\ \mathrm{W}\) و\(r = 5.0\ \mathrm{m}\)،
\[
I
=
\frac{50}{4\pi(5.0)^2}
=
\frac{50}{100\pi}
\approx 0.159\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\]
الخطوة 2
\[
P_{\text{received}} = IA_d
\]
\[
P_{\text{received}}
=
(0.159)(2.0\times10^{-3})
=
3.18\times10^{-4}\ \mathrm{W}
\]
الخطوة 3
\[
E = P_{\text{received}}t
\]
\[
E
=
(3.18\times10^{-4})(30)
=
9.55\times10^{-3}\ \mathrm{J}
\]
إذًا،
\[
\boxed{I \approx 0.159\ \mathrm{W\,m^{-2}}}
\]
و
\[
\boxed{E \approx 9.5\times10^{-3}\ \mathrm{J}}
\]
لا يستقبل المستشعر سوى نحو \(9.5\ \mathrm{mJ}\) خلال فترة 30 s. فمعظم قدرة المصدر البالغة 50 W لا تصيب المستشعر الصغير لأن الطاقة تنتشر على مساحة كروية هائلة.
06التصور الخاطئ المغري: يضعف الضوء لأنه يستهلك طاقته
قد يقول طالب: «لقد قطع الضوء مسافة أكبر، ولذلك لا بد أنه فقد طاقة».
يبدو هذا منطقيًا. فكثير من الأجسام المتحركة تتباطأ أو تفقد طاقة بسبب الاحتكاك أو المقاومة.
لكن الانتشار الهندسي مختلف.
في الفراغ المثالي، لا يتخلى الفوتون تدريجيًا عن طاقته لمجرد أنه قطع مسافة أكبر. يحدث انخفاض الشدة لأن الطاقة المنبعثة تتوزع على مساحة كروية أكبر.
تخيّل كرتين كاملتين تحيطان بالمصدر نفسه. إذا لم يُمتص أي ضوء بينهما، فإن القدرة الكلية نفسها تعبر كلتا الكرتين.
ما يتغير هو القدرة لكل متر مربع.
وهذا التمييز مهم لأن المواقف الواقعية قد تتضمن كلا التأثيرين:
- الانتشار الهندسي، وهو الذي ينتج عنه اعتماد التربيع العكسي
- الامتصاص أو التشتت، اللذان يمكن أن يقللا القدرة الكلية المنقولة أثناء انتقال الإشعاع عبر المادة
أما قانون التربيع العكسي نفسه فيصف التأثير الأول.
07لماذا يجب أن يكون المصدر شبيهًا بالنقطة؟
المعادلة
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
لا تنطبق تلقائيًا على كل مصباح أو ليزر أو شاشة أو جسم متوهج.
فهي تعتمد على نموذج محدد.
ينبغي أن يكون المصدر شبيهًا بالنقطة تقريبًا، أي إن حجمه الفيزيائي صغير مقارنة بالمسافة التي تراقبه منها.
افترض أنك تبعد 100 m عن مصباح ضوئي صغير جدًا. من المرجح أن تكون معاملة المصباح على أنه نقطة واحدة تقريبًا معقولًا.
والآن افترض أن عينك تبعد 2 cm عن شاشة كبيرة متوهجة. تكون أجزاء مختلفة من الشاشة على مسافات واتجاهات مختلفة بوضوح بالنسبة إليك. لذا ستكون معاملة الشاشة كلها على أنها نقطة واحدة نموذجًا ضعيفًا.
إذًا، لا يعني «المصدر النقطي» أن الجسم يجب أن يكون حجمه صفرًا حرفيًا. بل يعني أن أبعاده صغيرة بما يكفي مقارنة بالمسافات المعنية بحيث تكون معاملته كنقطة تقريبًا مفيدًا.
08لماذا يجب أن ينشر المصدر الطاقة بالطريقة المناسبة؟
ينشأ الحد \(4\pi r^2\) في الصيغة من مساحة سطح الكرة.
وهذا يفترض أن المصدر يشع بالتساوي في جميع الاتجاهات. والمصطلح العلمي لذلك هو متساوي الخواص.
كثير من المصادر الحقيقية ليست متساوية الخواص بصورة مثالية.
يوجّه المصباح اليدوي جزءًا كبيرًا من ضوئه إلى الأمام عمدًا. أما الليزر فهو أكثر اتجاهية بكثير. بالنسبة إلى هذه المصادر، فإن وضع القدرة الكلية في
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
سيعني، بصورة غير صحيحة، افتراض أن القدرة قد توزعت على كرة كاملة.
قد تجد مع ذلك علاقة تربيع عكسي في بعض الحالات، لكن لا يمكنك افتراض الصيغة الكروية من دون التحقق من الهندسة ونموذج المصدر.
09اختبار مفيد: هل تزداد المساحة وفق \(r^2\)؟
عند تحديد ما إذا كان نموذج التربيع العكسي مناسبًا، اسأل عن السطح الذي تنتشر الطاقة عبره.
بالنسبة إلى مصدر نقطي في فضاء ثلاثي الأبعاد، يكون سطح الانتشار كرويًا:
\[
A = 4\pi r^2
\]
وبما أن المساحة تزداد وفق \(r^2\)، فإن الشدة تنخفض وفق \(1/r^2\).
هذا هو السبب الأعمق للقانون. فهو نتيجة هندسية، وليس قاعدة خاصة يصادف أن الضوء يتبعها.
ويظهر الاستدلال نفسه في مواقف فيزيائية أخرى تتضمن مصادر شبيهة بالنقطة وانتشارًا في ثلاثة أبعاد.
10لا تخلط بين الشدة والقدرة الكلية
افترض أن طالبين يقفان على مسافتين مختلفتين من المصدر نفسه.
يقيس الطالب الأبعد شدة أقل. فهل تغيرت قدرة المصدر؟
لا.
بالنسبة إلى مصدر مثالي، تظل القدرة المنبعثة \(P\). والفرق هو مدى انتشار هذه القدرة وتوزعها بحلول الوقت الذي تصل فيه إلى كل مسافة.
فكّر في العبارتين الآتيتين:
- «يصدر المصدر 60 J كل ثانية.»
- «في موقعي، يستقبل كل متر مربع 0.20 J كل ثانية.»
تصف العبارة الأولى القدرة.
وتصف العبارة الثانية الشدة.
يساعد إبقاء هاتين الفكرتين منفصلتين على تجنب كثير من الأخطاء.
11استخدام النسب دون قلب الكسر
افترض أن الشدة هي \(I_1\) عند المسافة \(r_1\). ثم تبتعد إلى المسافة \(r_2\).
لدينا
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
\]
إذا كان \(r_2 > r_1\)، فإن \(r_1/r_2 < 1\)، وبالتالي \(I_2/I_1 < 1\).
وهذا منطقي فيزيائيًا: الابتعاد عن المصدر المتساوي الخواص نفسه يجب أن يقلل الشدة.
وهذا يمنحك وسيلة سريعة للتحقق من الخطأ. إذا أظهرت حساباتك أن الشدة ازدادت بعد الابتعاد عن المصدر المتساوي الخواص نفسه، فمن المحتمل أنك قلبت النسبة.
مثال محلول: إيجاد مسافة مجهولة
على مسافة 4.0 m من مصدر ضوء صغير متساوي الخواص، تكون الشدة \(2.5\ \mathrm{W\,m^{-2}}\). وعند موقع آخر، تكون الشدة \(0.40\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).
احسب المسافة الثانية.
الخطوة 1
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
\]
الخطوة 2
\[
\frac{0.40}{2.5}
=
\left(\frac{4.0}{r_2}\right)^2
\]
\[
0.16
=
\left(\frac{4.0}{r_2}\right)^2
\]
الخطوة 3
\[
0.40 = \frac{4.0}{r_2}
\]
الخطوة 4
\[
r_2 = \frac{4.0}{0.40} = 10\ \mathrm{m}
\]
إذًا،
\[
\boxed{r_2 = 10\ \mathrm{m}}
\]
توجد الشدة الأضعف على مسافة أبعد من المصدر، كما هو متوقع.
لاحظ لماذا يعد أخذ الجذر التربيعي مهمًا. انخفاض الشدة بمعامل \(6.25\) لا يتطلب زيادة المسافة بمعامل \(6.25\). بل تزداد المسافة بمعامل \(\sqrt{6.25} = 2.5\).
12متى لا يعود النموذج البسيط كافيًا؟
في مسائل HSC، غالبًا ما تُعطى لك شروط تجعل نموذج التربيع العكسي مناسبًا. أما في القياسات الواقعية، فقد تظهر عدة تعقيدات.
تعمل العلاقة البسيطة
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
على أفضل نحو عندما:
- يمكن معاملة المصدر على أنه شبيه بالنقطة
- يصدر المصدر الطاقة بالتساوي تقريبًا في جميع الاتجاهات
- يكون الامتصاص أو التشتت بين المصدر والمراقب مهملًا
- تُقاس المسافة \(r\) من الموضع الفعال للمصدر
- يكون الكاشف صغيرًا بما يكفي بحيث لا تتغير الشدة تغيرًا ملحوظًا عبر مساحته
إذا فشل أحد هذه الافتراضات، فلا تتخلَّ تلقائيًا عن الفيزياء. بل حدّد الجزء من النموذج الذي يحتاج إلى تعديل.
فعلى سبيل المثال، قد يشتت الهواء المحتوي على الدخان بعض الضوء. يظل الانتشار الهندسي قائمًا، لكن قد تصل إلى كرة بعيدة قدرة أقل مما يصل إلى كرة أقرب.
13الأسئلة والحلول
السؤال 1
ينتج مصدر صغير متساوي الخواص شدة مقدارها \(12\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) على مسافة 2.0 m. ما الشدة التي ستُقاس على مسافة 4.0 m؟
الحل 1
الشدة هي \(\boxed{3.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}}\).
بالنسبة إلى المصدر نفسه،
\[
\frac{I_2}{I_1}
=
\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2
\]
بالتعويض بالقيم،
\[
\frac{I_2}{12}
=
\left(\frac{2.0}{4.0}\right)^2
=
\frac{1}{4}
\]
إذًا
\[
I_2 = 12\times\frac{1}{4}
=3.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\]
تؤدي مضاعفة المسافة إلى نشر القدرة نفسها على مساحة كروية أكبر بأربع مرات، ولذلك تصبح الشدة ربع قيمتها. والخطأ المغري هو تنصيف الشدة لأن المسافة تضاعفت، لكن الاعتماد يكون على \(r^2\)، لا على \(r\).
السؤال 2
يصدر مصدر شبيه بالنقطة 80 W بصورة متساوية الخواص. احسب الشدة على مسافة 2.5 m من المصدر.
الحل 2
الشدة تساوي تقريبًا \(\boxed{1.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}}\).
بالنسبة إلى مصدر نقطي متساوي الخواص،
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
بالتعويض بـ \(P = 80\ \mathrm{W}\) و\(r = 2.5\ \mathrm{m}\)،
\[
I
=
\frac{80}{4\pi(2.5)^2}
=
\frac{80}{25\pi}
\approx 1.02\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\]
إذًا،
\[
\boxed{I \approx 1.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}}
\]
وهذا يعني أن نحو 1.0 J من الطاقة يعبر كل متر مربع من كرة تخيلية تقع على مسافة 2.5 m من المصدر في كل ثانية.
السؤال 3
يوضع كاشف مساحته \(4.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}\) على مسافة 6.0 m من مصدر متساوي الخواص يصدر 120 W. افترض أن الكاشف يواجه الإشعاع الساقط مباشرة.
احسب:
a. الشدة عند الكاشف
b. القدرة الساقطة على الكاشف
c. الطاقة الساقطة على الكاشف خلال 2.0 دقيقة
الحل 3
الشدة هي \(\boxed{0.265\ \mathrm{W\,m^{-2}}}\)، والقدرة الساقطة هي \(\boxed{1.06\times10^{-3}\ \mathrm{W}}\)، والطاقة المستقبلة خلال 2.0 دقيقة هي \(\boxed{0.127\ \mathrm{J}}\).
أولًا، احسب الشدة:
\[
I
=
\frac{P}{4\pi r^2}
=
\frac{120}{4\pi(6.0)^2}
=
\frac{120}{144\pi}
\approx 0.265\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\]
بالنسبة إلى الجزء b، يعترض الكاشف جزءًا صغيرًا فقط من الإشعاع المنتشر:
\[
P_{\text{received}} = IA_d
\]
\[
P_{\text{received}}
=
(0.265)(4.0\times10^{-3})
=
1.06\times10^{-3}\ \mathrm{W}
\]
بالنسبة إلى الجزء c، حوّل أولًا 2.0 دقيقة إلى ثوانٍ:
\[
t = 120\ \mathrm{s}
\]
ثم
\[
E
=
P_{\text{received}}t
=
(1.06\times10^{-3})(120)
=
0.127\ \mathrm{J}
\]
يصدر المصدر 120 J كل ثانية، لكن الكاشف الصغير لا يعترض إلا جزءًا ضئيلًا جدًا من هذه القدرة.
السؤال 4
يوضع كاشفان متماثلان على مسافتين \(r\) و\(3r\) من المصدر النقطي المتساوي الخواص نفسه.
يستقبل الكاشف A، الموجود على المسافة \(r\)، مقدارًا قدره 0.72 J من الطاقة خلال فترة زمنية معينة. وللكاشفين المساحة نفسها ويواجهان المصدر بالطريقة نفسها.
كم من الطاقة يستقبل الكاشف B خلال الفترة الزمنية نفسها؟
الحل 4
يستقبل الكاشف B مقدارًا قدره \(\boxed{0.080\ \mathrm{J}}\).
عند \(3r\)، تكون الشدة
\[
\frac{I_B}{I_A}
=
\left(\frac{r}{3r}\right)^2
=
\frac{1}{9}
\]
ولأن الكاشفين لهما المساحة نفسها ويجمعان الضوء للمدة الزمنية نفسها،
\[
E = IAt
\]
تبين أن الطاقة المستقبلة تتناسب طرديًا مع الشدة.
إذًا،
\[
E_B
=
\frac{0.72}{9}
=
0.080\ \mathrm{J}
\]
ومن الطرق المغرية الخاطئة أن تقسم على 3 لأن الكاشف B أبعد بثلاث مرات. وهذا يتجاهل أن المساحة الكروية ازدادت بمقدار \(3^2 = 9\).
السؤال 5
يقيس طالب شدة الضوء الصادر من مصباح عند عدة مسافات ويحصل على النتائج الآتية.
| المسافة من المصباح (\(\mathrm{m}\)) | الشدة (\(\mathrm{W\,m^{-2}}\)) |
|---|---|
| 1.0 | 20 |
| 2.0 | 5.0 |
| 3.0 | 2.2 |
يقول الطالب: «لا بد أن المصباح يفقد طاقة أثناء انتقال الضوء لأن الشدة المقاسة تصبح أصغر».
قيّم هذا الادعاء باستخدام البيانات.
الحل 5
لا تدعم هذه القياسات الادعاء. فالبيانات تتوافق تقريبًا مع الانتشار وفق قانون التربيع العكسي، الذي يمكن أن يقلل الشدة حتى إذا ظلت القدرة الكلية التي تعبر كل سطح كروي ثابتة.
إذا كانت الشدة عند 1.0 m هي \(20\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)، فإن قانون التربيع العكسي يتنبأ عند 2.0 m بما يلي:
\[
I_2
=
20\left(\frac{1.0}{2.0}\right)^2
=
5.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\]
وعند 3.0 m يتنبأ بما يلي:
\[
I_3
=
20\left(\frac{1.0}{3.0}\right)^2
=
2.22\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\]
تتطابق القيمتان المقاسَتان \(5.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) و\(2.2\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) بصورة وثيقة مع هذه التنبؤات.
لذلك يمكن تفسير تناقص الشدة بالانتشار الهندسي وحده. ولا تُظهر التجربة أن الإشعاع نفسه يفقد الطاقة تدريجيًا أثناء انتقاله.
ولإثبات وجود امتصاص ملحوظ، سيحتاج الطالب إلى دليل على أن الشدة المقاسة تنخفض بسرعة أكبر مما هو متوقع من الانتشار الهندسي، إلى جانب التحكم المناسب في التأثيرات الأخرى.
السؤال 6
يوصف مصدر بأنه يصدر 40 W من الضوء. يستخدم طالب
\[
I = \frac{P}{4\pi r^2}
\]
لحساب الشدة على مسافة 5.0 m مباشرة أمام المصدر.
يعلم الطالب لاحقًا أن المصدر عبارة عن مصباح شديد التركيز يرسل معظم ضوئه تقريبًا في حزمة ضيقة متجهة إلى الأمام.
اشرح لماذا قد يكون حساب الطالب غير صحيح، رغم أن المصدر صغير مقارنة بمسافة 5.0 m.
الحل 6
قد يكون الحساب غير صحيح لأن كون المصدر شبيهًا بالنقطة لا يكفي. فالمعادلة \(\boxed{I=P/(4\pi r^2)}\) تفترض أيضًا أن المصدر يوزع قدرته بصورة متساوية الخواص على كرة كاملة.
يعطي حساب الطالب
\[
I
=
\frac{40}{4\pi(5.0)^2}
=
\frac{40}{100\pi}
\approx 0.127\ \mathrm{W\,m^{-2}}
\]
لكن هذا يعامل قدرة 40 W كما لو كانت موزعة بالتساوي في جميع الاتجاهات.
يرسل المصباح شديد التركيز قدرة أكبر بكثير في بعض الاتجاهات مقارنة بغيرها. ولذلك قد تكون الشدة الفعلية أمامه مباشرة أكبر بكثير مما يتنبأ به النموذج الكروي.
الافتراض الخفي هو الجزء المهم في السؤال. فقد يكون المصدر صغيرًا بما يكفي لتقريبه كنقطة، ومع ذلك يظل شديد الاتجاهية. وتتطلب صيغة التربيع العكسي التي تحتوي على \(4\pi r^2\) كلًا من تقريب مناسب للمصدر النقطي وإصدارًا متساوي الخواص تقريبًا.
14ما الذي تتيح لك هذه الفكرة فعله بعد ذلك؟
يمنحك قانون التربيع العكسي أكثر من مجرد صيغة للسطوع. فهو يمنحك طريقة عامة للتفكير في الطاقة التي تنتشر عبر فضاء ثلاثي الأبعاد.
بمجرد أن تتمكن من الفصل بين القدرة الكلية والقدرة لكل وحدة مساحة، يمكنك تحليل الكواشف وقياسات الإشعاع وغيرها من المواقف التي يوزع فيها مصدر الطاقة عبر سطح آخذ في الاتساع.
والسؤال المفيد التالي هو: ماذا يحدث عندما يزيل الوسط نفسه الطاقة عن طريق الامتصاص أو التشتت؟ عندئذٍ يظل الانتشار الهندسي موجودًا، لكنه لا يعود القصة كاملة.