شرح افتراضات حركة المقذوفات في فيزياء HSC

يمكن أن تكون الآلة الحاسبة صحيحة تمامًا ومع ذلك تتنبأ بنقطة هبوط خاطئة. أطلق كرة، واستخدم معادلات المقذوفات، وقد تحسب مدى مقداره 50 m. في الواقع، قد تهبط الكرة قبل ذلك بعدة أمتار.

إذن أي جزء أخفق: الجبر، أم المعادلة، أم النموذج الذي تستند إليه؟

قبل متابعة القراءة، ضع توقعًا. إذا أطلقت الكرة نفسها بسرعة أكبر بكثير، فهل سيصبح نموذج المقذوف البسيط عادةً أكثر دقة أم أقل دقة؟ بالنسبة إلى جسم يتحرك خلال الهواء، يكون عادةً أقل دقة. فكلما زادت سرعته، ازدادت أهمية مقاومة الهواء في الغالب.

وهذه هي الفكرة الأساسية وراء افتراضات حركة المقذوفات. فالمعادلات لا تدّعي أن المقذوفات الحقيقية تتعرض حرفيًا لجاذبية ثابتة ولمقاومة هواء تساوي صفرًا. بل تصف نموذجًا فيزيائيًا مبسطًا. ومهمتك في فيزياء HSC هي أن تعرف ما الذي يتنبأ به هذا النموذج، ولماذا يعمل بهذه الجودة في كثير من الحالات، ومتى ينبغي أن تتوقف عن الاعتماد عليه.

01ما الذي يفترضه نموذج المقذوف القياسي؟

بعد إطلاق جسم وتوقفه عن تلقي دفع من أداة الإطلاق، يفترض أبسط نموذج أن الجاذبية هي القوة الوحيدة المهمة المؤثرة عليه.

وهذا يعطينا افتراضين رئيسيين:

كما نتعامل عادةً مع سطح الأرض على أنه مستوٍ محليًا، ومع المقذوف على أنه جسيم لا يهم حجمه.

هذه الافتراضات هي التي تجعل معادلات المقذوفات المألوفة ممكنة. فإذا أزلناها، فقد لا تعود المعادلات تصف الحركة.

02ابنِ النموذج من حركتين تحدثان في الوقت نفسه

تخيّل أنك تصوّر مقذوفًا وتحدد موضعه كل \(0.1\text{ s}\).

أفقيًا، ستكون العلامات متباعدة بالتساوي إذا لم توجد مقاومة للهواء. وهذا يخبرنا بأن السرعة الأفقية ثابتة.

رأسيًا، يتغير التباعد لأن الجاذبية تغيّر السرعة الرأسية باستمرار.

والفكرة المفيدة هي التعامل مع هاتين الحركتين على أنهما مركبتان لحركة واحدة:

• حركة أفقية بتسارع يساوي صفرًا،
• حركة رأسية بتسارع ثابت نحو الأسفل.

وهما تشتركان في الزمن نفسه. فإذا ظل المقذوف يتحرك أفقيًا لمدة \(2\text{ s}\)، فإنه يكون قد تحرك أيضًا رأسيًا تحت تأثير الجاذبية لمدة \(2\text{ s}\) بالضبط.

يشبه ذلك قليلًا طالبين يدرسان مادتين مختلفتين خلال فترة الاختبارات نفسها. أحدهما يدرس الرياضيات والآخر يدرس الفيزياء، ولذلك يتطور عملهما بصورة مختلفة، لكن الساعة على الحائط هي نفسها لكليهما. وينهار هذا التشبيه لأن الحركتين ليستا جسمين منفصلين فعلًا؛ بل هما مركبتان لمتجه سرعة واحد.

لنفترض أن مقذوفًا أُطلق بسرعة \(u\) وبزاوية \(\theta\) فوق الأفقي. تكون مركبتا سرعته الابتدائية:

\[
u_x=u\cos\theta
\]

و

\[
u_y=u\sin\theta
\]

حيث:

• \(u\) هي سرعة الإطلاق بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)،
• \(u_x\) هي السرعة الأفقية الابتدائية بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)،
• \(u_y\) هي السرعة الرأسية الابتدائية بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)،
• \(\theta\) هي زاوية الإطلاق فوق الأفقي.

في النموذج القياسي،

\[
a_x=0
\]

و

\[
a_y=-g
\]

إذا اعتُبر الاتجاه إلى أعلى موجبًا.

ومن ذلك نحصل على

\[
x=u_x t
\]

و

\[
y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2
\]

عندما يبدأ المقذوف عند \(x=0\) و\(y=0\).

أما مركبتا سرعته لاحقًا فهما

\[
v_x=u_x
\]

و

\[
v_y=u_y-gt
\]

حيث \(t\) هو الزمن بالثواني.

لاحظ ما حدث. لم نبدأ بحفظ أربع معادلات. بل بدأنا بادعاءين فيزيائيين: لا توجد قوة أفقية، والجاذبية نحو الأسفل ثابتة تقريبًا. والمعادلات تنتج عن هذين الادعاءين.

03الافتراض 1: الجاذبية ثابتة

من الأخطاء الشائعة سماع عبارة “جاذبية ثابتة” والاعتقاد أن سرعة المقذوف نحو الأسفل يجب أن تكون ثابتة.

ليست كذلك.

ثبات الجاذبية يعني أن التسارع ثابت. ولذلك تتغير السرعة بالمقدار نفسه كل ثانية.

قرب سطح الأرض،

\[
g\approx9.8\text{ m s}^{-2}
\]

ولذلك، عند إهمال مقاومة الهواء، تتغير السرعة الرأسية بمقدار يقارب \(9.8\text{ m s}^{-1}\) نحو الأسفل كل ثانية.

إذا كانت لكرة في البداية

\[
v_y=+15\text{ m s}^{-1},
\]

فبعد نحو ثانية واحدة تصبح

\[
v_y=+5.2\text{ m s}^{-1}.
\]

وبعد ثانية أخرى تكون قد بدأت تتحرك نحو الأسفل، وتصبح

\[
v_y\approx-4.6\text{ m s}^{-1}.
\]

ظل التسارع كما هو. أما السرعة فلم تظل ثابتة.

لماذا تكون \(g\) ثابتة على نحو تقريبي فقط؟

تضعف الجاذبية في الواقع كلما ابتعدت عن الأرض.

عند مسافة \(r\) من مركز الأرض،

\[
g(r)=\frac{GM_E}{r^2}
\]

حيث:

• \(G\) هو ثابت الجاذبية العام،
• \(M_E\) هي كتلة الأرض،
• \(r\) هي المسافة من مركز الأرض.

عند سطح الأرض، تكون \(r\) مساوية تقريبًا لنصف قطر الأرض \(R_E\). وعند ارتفاع \(h\)،

\[
g(h)=g_0\left(\frac{R_E}{R_E+h}\right)^2
\]

حيث \(g_0\) هو تسارع الجاذبية عند السطح.

بالنسبة إلى كرة قدم تتحرك على ارتفاع بضع عشرات من الأمتار فوق ملعب، فإن \(h\) صغير للغاية مقارنة بنصف قطر الأرض الذي يبلغ نحو \(6.37\times10^6\text{ m}\). ولذلك فإن اعتبار \(g\) ثابتة تقريب ممتاز جدًا.

لكن لنفترض أن شيئًا ما يرتفع \(100\text{ km}\).

باستخدام \(R_E=6370\text{ km}\)،

\[
g=9.8\left(\frac{6370}{6470}\right)^2
\approx9.50\text{ m s}^{-2}.
\]

وهذا أقل بنحو 3% من قيمتها عند السطح. عندها لا يعود افتراض ثبات \(g\) بريئًا تمامًا.

وهناك مسألة أخرى أيضًا. فالجاذبية تتجه دائمًا نحو مركز الأرض. وعلى امتداد عرض ملعب مدرسي، يكون اتجاه “الأسفل” عمليًا هو نفسه في كل مكان. أما عبر مئات أو آلاف الكيلومترات، فليس كذلك.

إذن يحتوي نموذج الجاذبية الثابتة على تقريبين:

• مقدار \(g\) لا يتغير تغيرًا ملحوظًا،
• اتجاه \(g\) لا يتغير تغيرًا ملحوظًا.

وكلاهما ممتاز لمسائل المقذوفات المعتادة في HSC قرب سطح الأرض.

04الافتراض 2: مقاومة الهواء مهملة

أسقط ورقة مسطحة ثم نسخة من الورقة نفسها بعد تكويرها بإحكام.

هل يتنبأ نموذج المقذوف البسيط بتسارعين مختلفين؟

لا. فلهما تسارع الجاذبية نفسه لأن الجاذبية، في النموذج، هي القوة المهمة الوحيدة.

لكن الواقع يختلف بصورة واضحة. فالورقة المسطحة تتعرض لمقاومة هواء أكبر بكثير نسبةً إلى وزنها.

وهذا يخبرنا بشيء مهم: عبارة “مقاومة الهواء مهملة” لا تعني أن الهواء قد اختفى حرفيًا. بل تعني أن القوة الناتجة من الهواء صغيرة بما يكفي بحيث يعطينا تجاهلها تنبؤًا مقبولًا للسؤال الذي نحاول الإجابة عنه.

ماذا تفعل مقاومة الهواء فعليًا؟

في هواء ساكن، تؤثر قوة السحب في اتجاه معاكس لسرعة الجسم بالنسبة إلى الهواء.

إذا كان المقذوف يتحرك إلى أعلى وإلى اليمين، فإن السحب يؤثر إلى أسفل وإلى اليسار.

وإذا كان يتحرك إلى أسفل وإلى اليمين، فإن السحب يؤثر إلى أعلى وإلى اليسار.

وهذا يهدم فورًا إحدى أجمل خصائص نموذج المقذوف البسيط. فمع وجود السحب، لا تعود السرعة الأفقية ثابتة.

من النماذج التقريبية الشائعة لقوة السحب عند السرعات العالية بما يكفي:

\[
F_D=\frac{1}{2}\rho C_D A v^2
\]

حيث:

• \(F_D\) هي قوة السحب بالنيوتن،
• \(\rho\) هي كثافة الهواء بوحدة \(\text{kg m}^{-3}\)،
• \(C_D\) هو معامل سحب عديم الأبعاد يرتبط بالشكل،
• \(A\) هي مساحة المقطع العرضي بوحدة \(\text{m}^2\)،
• \(v\) هي سرعة الجسم بالنسبة إلى الهواء بوحدة \(\text{m s}^{-1}\).

لا تحتاج إلى هذا التعبير في حسابات المقذوفات العادية في HSC. لكنه مفيد هنا لأنه يوضح لماذا لا يكون “إضافة مقاومة الهواء” مجرد تصحيح صغير للمعادلات المعتادة. فالقوة تتغير مع تغير السرعة، واتجاهها يتغير مع تغير اتجاه السرعة.

ولذلك لا يكون التسارع ثابتًا.

السرعة الأكبر لا تعني ببساطة “القطع المكافئ نفسه، لكنه أقصر”

هذه صورة مغرية: احسب القطع المكافئ من دون سحب، ثم اضغطه قليلًا.

لكن هذا غير صحيح عمومًا.

يمكن لمقاومة الهواء أن:

• تقلل السرعة الأفقية طوال زمن الحركة،
• تغيّر الزمن اللازم للوصول إلى أقصى ارتفاع،
• تقلل أقصى ارتفاع،
• تقلل السرعة عند نقطة لاحقة معينة،
• تزيل التناظر بين الصعود والهبوط،
• تجعل المسار غير مكافئ.

كما تصبح معادلات المقذوف الأفقية والرأسية مترابطة بفعل قوة السحب، لأن اتجاه السحب يعتمد على متجه السرعة كاملًا.

ولهذا يكون نموذج HSC البسيط مفيدًا جدًا. فإهمال مقاومة الهواء يحوّل مسألة معقدة ذات قوة متغيرة إلى مسألتين بتسارع ثابت.

05ما الذي تمنحك إياه هذه الافتراضات رياضيًا؟

لمقذوف أُطلق بسرعة \(u\) وزاوية \(\theta\)،

\[
u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta.
\]

ومع ثبات \(g\) وإهمال مقاومة الهواء،

\[
x=(u\cos\theta)t
\]

و

\[
y=(u\sin\theta)t-\frac{1}{2}gt^2.
\]

إذا هبط المقذوف عند الارتفاع نفسه الذي أُطلق منه، فإن زمن طيرانه الكلي هو

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

ويكون مداه الأفقي عندئذ

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}.
\]

انتبه إلى المعادلة الأخيرة. فهي ليست “معادلة مدى المقذوف” العامة في جميع الحالات. بل تفترض:

• سرعة إطلاق ثابتة،
• أن الإطلاق والهبوط عند الارتفاع نفسه،
• تسارع جاذبية ثابتًا،
• مقاومة هواء مهملة،
• إطارًا مرجعيًا مستويًا محليًا.

إذا غيّرت أحد هذه الشروط، فقد تحتاج إلى الرجوع إلى معادلات المركبات بدلًا من ذلك.

06كيف تعرف ما إذا كان من الآمن إهمال مقاومة الهواء؟

لا توجد سرعة سحرية تختفي مقاومة الهواء تحتها فجأة.

من المقارنات المفيدة مقارنة قوة الهواء بوزن الجسم \(mg\).

إذا كان

\[
F_{\text{air}}\ll mg,
\]

فإن التسارع الناتج عن الهواء يكون أصغر بكثير من تسارع الجاذبية، على الأقل في تلك اللحظة.

لكن مدة التأثير مهمة أيضًا. فقد يؤدي تسارع إضافي صغير يعمل لفترة طويلة إلى تغير ملحوظ في السرعة أو الموضع.

تصبح مقاومة الهواء أكثر إثارة للشك عندما يكون الجسم:

• سريعًا،
• خفيفًا بالنسبة إلى حجمه،
• عريضًا أو غير منتظم الشكل،
• في الهواء مدة طويلة،
• يتحرك خلال هواء كثيف،
• متأثرًا بالرياح بدرجة كبيرة،
• يدور بدرجة تكفي لإحداث قوة رفع هوائية ملحوظة.

قد تكون الكرة الكثيفة التي تقطع مسافة قصيرة ممثلة جيدًا بنموذج إهمال السحب. أما الريشة المستخدمة في الريشة الطائرة فهي تكاد تكون العكس تمامًا: فسلوكها تهيمن عليه القوى الديناميكية الهوائية، ولذلك فإن افتراض ثبات سرعتها الأفقية يكون ضعيفًا حتى خلال رحلة قصيرة نسبيًا.

07متى يبدأ افتراض ثبات الجاذبية في الانهيار؟

بالنسبة إلى رمية عادية، يكون كل من الارتفاع والمدى صغيرين جدًا مقارنة بنصف قطر الأرض. ولذلك يعمل نموذج \(g\) الثابتة المحلي بكفاءة ممتازة.

ومع زيادة المقياس، قد تصبح عدة تأثيرات مهمة.

أولًا، تقل شدة الجاذبية مع الارتفاع:

\[
g(r)=\frac{GM_E}{r^2}.
\]

ثانيًا، يتغير اتجاه الجاذبية لأن “الأسفل” يتجه دائمًا نحو مركز الأرض.

ثالثًا، لا يعود من الممكن التعامل مع سطح الأرض المنحني على أنه خط أفقي مستوٍ لا نهائي.

وعند أزمنة طيران ومديات كبيرة جدًا، قد يصبح دوران الأرض مهمًا أيضًا.

هذه مسائل منفصلة. فقد يتعرض مقذوف لمقاومة هواء مهملة لكنه يسافر مسافة كبيرة إلى درجة تجعل افتراض \(g\) ثابتة نحو الأسفل نموذجًا ضعيفًا.

والفضاء هو المثال الواضح. فإزالة الغلاف الجوي لا تجعل معادلات المقذوفات المدرسية دقيقة إلى الأبد بطريقة سحرية.

08الافتراضات مستقلة

أحيانًا يضم الطلاب الافتراضين الرئيسيين معًا:

“نموذج المقذوف غير دقيق لأن الجاذبية تتغير ولأن هناك مقاومة للهواء.”

لكن هذا قد يخفي ما يحدث فعلًا.

فالافتراضان مستقلان.

قد يتعرض مقذوف على ارتفاع منخفض إلى \(g\) ثابتة عمليًا، بينما تكون مقاومة الهواء مهمة جدًا. والريشة المستخدمة في الريشة الطائرة مثال جيد.

وقد يكون جسم على ارتفاع كبير وفي شبه فراغ متأثرًا بمقاومة هواء مهملة، بينما تتغير شدة الجاذبية بدرجة ملحوظة.

عندما يفشل نموذج ما، اسأل أي افتراض أصبح ضعيفًا بدلًا من الاكتفاء بقول إن “العالم الحقيقي أكثر تعقيدًا”.

09خمسة تصورات خاطئة مغرية

ومن المهم بشكل خاص تذكر النقطة الأخيرة. فعندما تصبح مقاومة الهواء مهمة، لا تعود زاوية المدى الأقصى مضطرة عمومًا إلى أن تكون \(45^\circ\). وعندما يختلف ارتفاع الإطلاق عن ارتفاع الهبوط، تتغير حتى نتيجة إهمال السحب.

10أسئلة وحلول

السؤال 1

تتدحرج كرة أفقيًا من حافة ارتفاعها \(19.6\text{ m}\) بسرعة \(12.0\text{ m s}^{-1}\). افترض \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) وإهمال مقاومة الهواء.

احسب:

• الزمن اللازم للوصول إلى الأرض،
• المسافة الأفقية المقطوعة،
• المركبة الرأسية لسرعة الاصطدام،
• سرعة الاصطدام.

اذكر الافتراض الفيزيائي الذي يسمح لك بإبقاء السرعة الأفقية عند \(12.0\text{ m s}^{-1}\).

الحل 1

تستغرق الكرة \(2.00\text{ s}\)، وتقطع \(24.0\text{ m}\) أفقيًا، وتكون سرعة اصطدامها الرأسية \(-19.6\text{ m s}^{-1}\)، وتصل بسرعة مقدارها \(23.0\text{ m s}^{-1}\). وينتج ثبات السرعة الأفقية من إهمال مقاومة الهواء.

بالنسبة إلى الحركة الرأسية، تكون السرعة الرأسية الابتدائية صفرًا:

\[
u_y=0.
\]

وباعتبار الاتجاه إلى أعلى موجبًا،

\[
\Delta y=-19.6\text{ m}
\]

و

\[
a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}.
\]

استخدم

\[
\Delta y=u_yt+\frac{1}{2}a_yt^2.
\]

بالتعويض،

\[
\begin{aligned}
-19.6&=0+\frac{1}{2}(-9.8)t^2\\
t^2&=4.00\\
t&=2.00\text{ s}.
\end{aligned}
\]

أفقيًا،

\[
\begin{aligned}
x&=v_xt\\
&=(12.0)(2.00)\\
&=24.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

وتكون السرعة الرأسية عند الاصطدام

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y+a_yt\\
&=0+(-9.8)(2.00)\\
&=-19.6\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

أما سرعة الاصطدام الكلية فهي

\[
\begin{aligned}
v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\
&=\sqrt{(12.0)^2+(-19.6)^2}\\
&=23.0\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

من الأخطاء المغرية القول إن السرعة الأفقية تبقى ثابتة “لأن الحركتين الأفقية والرأسية مستقلتان”. فهذا يتجاوز السبب الفيزيائي الفعلي. فهي تبقى ثابتة لأنه، بعد إهمال مقاومة الهواء، لا توجد قوة أفقية وبالتالي لا يوجد تسارع أفقي.

السؤال 2

أُطلق مقذوفان من أرض مستوية بالسرعة نفسها، وهي \(30.0\text{ m s}^{-1}\). أُطلق المقذوف A بزاوية \(35.0^\circ\)، والمقذوف B بزاوية \(55.0^\circ\).

مع افتراض ثبات \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) وإهمال مقاومة الهواء:

1. احسب مدى كل مقذوف،
2. احسب زمن طيران كل منهما،
3. احسب أقصى ارتفاع لكل منهما.

تعطي تجربة حقيقية مديين مختلفين بشكل ملحوظ لزاويتي الإطلاق رغم تساوي سرعتي الإطلاق المقاساتين. هل تثبت هذه الملاحظة وحدها أن مقاومة الهواء سببت الفرق؟

الحل 2

وفق النموذج البسيط، يقطع كلا المقذوفين \(86.3\text{ m}\)، لكن المقذوف ذي الزاوية \(55.0^\circ\) يبقى في الهواء مدة أطول ويصل إلى ارتفاع أكبر بكثير. ويُظهر اختلاف المدى المقاس أن النموذج المثالي لا يصف التجربة وصفًا كاملًا، لكن اختلاف المدى وحده لا يثبت أن مقاومة الهواء هي السبب.

عندما يتساوى ارتفاعا الإطلاق والهبوط،

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}.
\]

بالنسبة إلى المقذوف A،

\[
\begin{aligned}
R_A&=\frac{(30.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8}\\
&=86.3\text{ m}.
\end{aligned}
\]

وبالنسبة إلى المقذوف B،

\[
\begin{aligned}
R_B&=\frac{(30.0)^2\sin110.0^\circ}{9.8}.
\end{aligned}
\]

وبما أن

\[
\sin110.0^\circ=\sin70.0^\circ,
\]

فنحصل على

\[
R_B=86.3\text{ m}.
\]

هذه النتيجة الخاصة بالزاويتين المتتامتين هي نتيجة للنموذج المثالي.

والآن احسب زمني الطيران:

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

بالنسبة إلى A،

\[
\begin{aligned}
T_A&=\frac{2(30.0)\sin35.0^\circ}{9.8}\\
&=3.51\text{ s}.
\end{aligned}
\]

وبالنسبة إلى B،

\[
\begin{aligned}
T_B&=\frac{2(30.0)\sin55.0^\circ}{9.8}\\
&=5.02\text{ s}.
\end{aligned}
\]

ولإيجاد أقصى ارتفاع،

\[
H=\frac{(u\sin\theta)^2}{2g}.
\]

إذن،

\[
\begin{aligned}
H_A&=\frac{[(30.0)\sin35.0^\circ]^2}{2(9.8)}\\
&=15.1\text{ m},
\end{aligned}
\]

بينما

\[
\begin{aligned}
H_B&=\frac{[(30.0)\sin55.0^\circ]^2}{2(9.8)}\\
&=30.8\text{ m}.
\end{aligned}
\]

والاستنتاج المغري هو: “لم تكن المديات الحقيقية متساوية، إذن ثبت وجود مقاومة الهواء.”

لكن هذا يتجاوز ما تسمح به الأدلة. فمقاومة الهواء تفسير معقول لأن المقذوف ذي زمن الطيران الأطول يتعرض للقوى الديناميكية الهوائية مدة أطول، ولأن السحب يهدم نتيجة تساوي مدى الزاويتين المتتامتين. لكن أخطاء قياس زاوية الإطلاق، أو عدم تساوي سرعتي الإطلاق، أو الرياح، أو الدوران، أو تأثيرات تجريبية أخرى قد تؤدي أيضًا إلى مديات غير متساوية.

الاستنتاج الصحيح أضيق من ذلك: نموذج \(g\) الثابتة مع إهمال مقاومة الهواء لا يستطيع تفسير جميع الملاحظات باستخدام الشروط الابتدائية المذكورة.

السؤال 3

يُقاس موضع مقذوف كل \(0.50\text{ s}\). الإحداثيات هي:

افترض أن القياسات دقيقة تمامًا.

1. استخدم الفواصل الزمنية المتساوية لتحديد التسارعين الأفقي والرأسي.
2. هل يمكن أن تمثل هذه البيانات حركة مقذوف مثالية مع مقاومة هواء مهملة؟
3. لنفترض أن شخصًا يدّعي بدلًا من ذلك أن السحب العادي في هواء ساكن يفسر البيانات. هل يتفق هذا الادعاء مع الجدول كاملًا بينما يكون المقذوف في مرحلة الصعود؟

الحل 3

تشير البيانات إلى \(a_x=-4.0\text{ m s}^{-2}\) و\(a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}\). ولذلك لا يمكنها وصف حركة مقذوف مثالية بلا سحب، كما أن السحب العادي في هواء ساكن لا يفسرها بصورة جيدة أيضًا.

بالنسبة إلى قياسات يفصل بينها فاصل زمني متساوٍ \(\Delta t\)، فإن التسارع الثابت يعطي فرقًا ثانيًا في الموضع:

\[
x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}=a_x(\Delta t)^2.
\]

هنا،

\[
\Delta t=0.50\text{ s}.
\]

بالنسبة إلى أول ثلاثة مواضع أفقية،

\[
\begin{aligned}
18.0-2(9.5)+0&=-1.0\text{ m}.
\end{aligned}
\]

إذن،

\[
\begin{aligned}
-1.0&=a_x(0.50)^2\\
a_x&=\frac{-1.0}{0.25}\\
&=-4.0\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

وتعطي النقاط الثلاث التالية النتيجة نفسها:

\[
25.5-2(18.0)+9.5=-1.0\text{ m}.
\]

إذن يتباطأ المقذوف أفقيًا بوضوح.

والآن استخدم الإحداثيات الرأسية:

\[
11.100-2(6.775)+0=-2.450\text{ m}.
\]

إذن،

\[
\begin{aligned}
-2.450&=a_y(0.50)^2\\
a_y&=\frac{-2.450}{0.25}\\
&=-9.8\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

وتعطي المواضع الرأسية الثلاثة التالية النتيجة نفسها:

\[
12.975-2(11.100)+6.775=-2.450\text{ m}.
\]

إذن التسارع الرأسي يساوي تمامًا تسارع الجاذبية المحلي، في حين أن التسارع الأفقي غير صفري.

يتطلب نموذج المقذوف المثالي

\[
a_x=0,
\]

ولذلك يفشل فورًا.

لكن توجد عقبة ثانية. فقد يبدو طبيعيًا أن نقول: “حسنًا، لا بد أن التباطؤ الأفقي هو مجرد سحب.”

بينما يتحرك المقذوف إلى أعلى وإلى اليمين خلال هواء ساكن، ينبغي أن يتجه السحب العادي إلى أسفل وإلى اليسار. ولذلك ينبغي أن يضيف مركبة إلى اليسار ومركبة إلى الأسفل.

لكن البيانات تُظهر بدلًا من ذلك تسارعًا أفقيًا كبيرًا بينما يظل التسارع الرأسي مساويًا تمامًا لـ \(-g\).

إذن فالسحب البسيط المعاكس للسرعة في هواء ساكن لا يتفق مع النمط الكامل أيضًا. ولا بد من وجود عامل إضافي، مثل قوة ديناميكية هوائية مختلفة، أو هواء متحرك، أو قوة خارجية أخرى، أو ادعاء غير صحيح بشأن القياسات.

والدرس الأعمق هو أن ملاحظة سمة واحدة تشبه السحب لا تكفي. فلا بد أن تفسر القوة المقترحة كل مركبة من مركبات التسارع المقاس.

السؤال 4

أُطلق مسبار رأسيًا إلى أعلى من سطح الأرض بسرعة \(3.00\times10^3\text{ m s}^{-1}\). أهمل الغلاف الجوي ودوران الأرض.

يفترض طالب أولًا أن \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) ثابتة.

1. احسب أقصى ارتفاع يتنبأ به نموذج \(g\) الثابتة.
2. ثم خذ في الحسبان تغير شدة الجاذبية باستخدام طاقة الوضع الجاذبية

\[
U=-\frac{GM_Em}{r}.
\]

استخدم \(R_E=6.37\times10^6\text{ m}\) والعلاقة

\[
GM_E=gR_E^2.
\]

احسب أقصى ارتفاع المحسّن.
3. فسّر لماذا يكون تنبؤ \(g\) الثابتة أصغر وليس أكبر.

الحل 4

يتنبأ نموذج \(g\) الثابتة بنحو \(459\text{ km}\)، بينما يتنبأ نموذج الجاذبية المتغيرة بنحو \(495\text{ km}\). ويقلل افتراض \(g\) الثابتة من الارتفاع المتوقع لأنه يفترض أن الجاذبية تظل بقوة قيمتها السطحية طوال الصعود.

في نموذج \(g\) الثابتة، تكون السرعة عند أقصى ارتفاع مساوية للصفر. باستخدام

\[
v^2=u^2+2a\Delta y,
\]

نحصل على

\[
\begin{aligned}
0&=(3.00\times10^3)^2+2(-9.8)h\\
h&=\frac{(3.00\times10^3)^2}{2(9.8)}\\
&=4.59\times10^5\text{ m}.
\end{aligned}
\]

إذن،

\[
h\approx459\text{ km}.
\]

والآن استخدم حفظ الطاقة الميكانيكية مع مجال الجاذبية المتغير.

عند الإطلاق،

\[
E_i=\frac{1}{2}mu^2-\frac{GM_Em}{R_E}.
\]

وعند أقصى ارتفاع، تكون السرعة صفرًا، ولذلك إذا كانت المسافة النهائية من مركز الأرض هي \(r_{\max}\)، فإن

\[
E_f=-\frac{GM_Em}{r_{\max}}.
\]

وبمساواة \(E_i=E_f\)،

\[
\frac{1}{2}mu^2-\frac{GM_Em}{R_E}
=
-\frac{GM_Em}{r_{\max}}.
\]

اختصر \(m\):

\[
\frac{u^2}{2}-\frac{GM_E}{R_E}
=
-\frac{GM_E}{r_{\max}}.
\]

وباستخدام

\[
GM_E=gR_E^2,
\]

نحصل على

\[
\frac{1}{r_{\max}}
=
\frac{1}{R_E}
–
\frac{u^2}{2gR_E^2}.
\]

يعطي التعويض بالقيم تقريبًا

\[
r_{\max}=6.865\times10^6\text{ m}.
\]

إذن،

\[
\begin{aligned}
h&=r_{\max}-R_E\\
&=(6.865-6.370)\times10^6\\
&=4.95\times10^5\text{ m}\\
&\approx495\text{ km}.
\end{aligned}
\]

والفرق هو نحو

\[
495-459=36\text{ km},
\]

أي قرابة 8% من تنبؤ نموذج \(g\) الثابتة.

الحجة المغرية هي أن ضعف الجاذبية ينبغي أن يجعل الحساب “يفقد” شيئًا، وبالتالي يعطي ارتفاعًا أصغر. لكن الذي يحدث هو العكس. فعندما يرتفع المسبار، يصبح تسارعه الحقيقي إلى أسفل أضعف من \(9.8\text{ m s}^{-2}\). ولذلك يبطئ نموذج \(g\) الثابتة المسبار بسرعة أكبر من الواقع ويتنبأ بأنه يتوقف في وقت أبكر مما ينبغي.

عند ارتفاعات المقذوفات العادية، يكون هذا التأثير ضئيلًا جدًا. أما عند مئات الكيلومترات، فإن المقياس نفسه يخبرنا بأن هذا التقريب يحتاج إلى فحص.

السؤال 5

أُطلقت كرة من أرض مستوية بسرعة \(25.0\text{ m s}^{-1}\) وبزاوية \(40.0^\circ\) فوق الأفقي. ثم عادت في النهاية إلى الارتفاع نفسه.

لكن هذه المرة، مقاومة الهواء كبيرة. افترض هواءً ساكنًا، وشدة جاذبية ثابتة على امتداد المسار، وقوة سحب تعاكس دائمًا السرعة اللحظية للكرة بالنسبة إلى الهواء.

من دون محاولة حل معادلات السحب كاملة:

1. قارن سرعة اصطدام الكرة بسرعة إطلاقها،
2. قارن سرعتها الأفقية عند القمة بمركبتها الأفقية الابتدائية،
3. يقترح طالب إهمال السحب لكن استبدال \(g\) بثابت أكبر \(g_{\text{eff}}\)، يُختار بحيث يعطي نموذج إهمال السحب المعدّل زمن الطيران المقاس الصحيح. هل يمكن لذلك النموذج أيضًا أن يعيد إنتاج السرعة الأفقية الفعلية عند القمة وسرعة الاصطدام الفعلية؟ فسّر.

الحل 5

يجب أن تكون سرعة الاصطدام أقل من \(25.0\text{ m s}^{-1}\)، ويجب أن تكون السرعة الأفقية عند القمة أقل من قيمتها الابتدائية التي تبلغ نحو \(19.2\text{ m s}^{-1}\)، ولا يمكن لأي اختيار لـ \(g_{\text{eff}}\) الثابتة أن يجعل نموذجًا بلا سحب يعيد إنتاج جميع هذه الملاحظات.

احسب أولًا المركبة الأفقية الابتدائية:

\[
\begin{aligned}
u_x&=u\cos\theta\\
&=(25.0)\cos40.0^\circ\\
&=19.2\text{ m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

مع وجود سحب ملحوظ، تبذل قوة الهواء شغلًا سالبًا على الكرة. فهي تزيل طاقة ميكانيكية.

ولأن نقطة الإطلاق ونقطة الهبوط لهما طاقة وضع جاذبية متساوية لأنهما عند الارتفاع نفسه، فلا بد أن تكون الطاقة الحركية النهائية أصغر من الطاقة الحركية الابتدائية:

\[
K_f<K_i.
\]

وبما أن

\[
K=\frac{1}{2}mv^2,
\]

فلا بد أن يكون

\[
v_{\text{impact}}<25.0\text{ m s}^{-1}.
\]

وهذا يكشف خطأً شائعًا. كثيرًا ما يتذكر الطلاب أن المقذوف من دون سحب يعود إلى السرعة نفسها عندما يعود إلى الارتفاع نفسه، ثم يتعاملون مع ذلك بالخطأ على أنه قانون عام. وهذا لا يكون صحيحًا إلا عندما لا توجد قوة تبديدية تزيل الطاقة الميكانيكية.

والآن انظر إلى القمة.

عند القمة،

\[
v_y=0,
\]

لكن الكرة لا تزال تتحرك أفقيًا. وقد كان للسحب مركبة إلى اليسار طوال الحركة إلى اليمين، ولذلك انخفضت السرعة الأفقية.

إذن،

\[
v_{x,\text{apex}}<19.2\text{ m s}^{-1}.
\]

والآن انظر إلى “إصلاح الجاذبية الفعالة” الذي اقترحه الطالب.

لنفترض أنه اختار قيمة أكبر ما لـ \(g_{\text{eff}}\) بحيث يصادف أن يعيد حساب بلا سحب إنتاج زمن الطيران المقاس. هذا يطابق ملاحظة واحدة، لكن بنية النموذج نفسها ما تزال خاطئة.

من دون مقاومة هواء، لا بد أن يحقق النموذج المعدّل

\[
a_x=0.
\]

ولذلك يتنبأ بأن

\[
v_x=19.2\text{ m s}^{-1}
\]

طوال زمن الحركة، بما في ذلك عند القمة. لكن المقذوف الحقيقي لا يفعل ذلك.

وهناك تناقض أقوى. ففي أي نموذج ذي جاذبية ثابتة ومن دون سحب، لا بد أن يعود المقذوف الذي يرجع إلى ارتفاع إطلاقه بسرعة مساوية لسرعته الأصلية، بصرف النظر عن قيمة \(g_{\text{eff}}\) المختارة.

لذلك يصر النموذج المعدّل على أن

\[
v_{\text{impact}}=25.0\text{ m s}^{-1},
\]

بينما يجب أن تصل الكرة الحقيقية بطاقة حركية أقل، وبالتالي بسرعة أقل.

وهذه هي الفكرة المفصلية: مطابقة قيمة مقاسة واحدة لا تثبت صحة نموذج. فقد يمكن أحيانًا ضبط نموذج خاطئ بحيث يعيد إنتاج نتيجة واحدة. أما اختبار النماذج الجيد فيبحث عن عدة تنبؤات مستقلة، ولا سيما التنبؤات التي لا يستطيع النموذج تعديلها كلٌّ على حدة.

وتصبح هذه الفكرة مهمة في مسائل تتجاوز بكثير حركة المقذوفات. ففي مسائل الميكانيكا اللاحقة، لا يكون أقوى اختبار للنموذج غالبًا هو ما إذا كان من الممكن جعله يطابق نتيجة واحدة، بل ما إذا كانت الافتراضات نفسها تتنبأ بصورة صحيحة بعدة خصائص مختلفة للحركة في الوقت نفسه.