معامل الانكسار: استخدام n = c/v في فيزياء HSC
تعرّف على المعنى الفيزيائي لمعامل الانكسار، وكيفية استخدام n = c/v، وكيف تؤثر تغيّرات معامل الانكسار في سرعة الضوء داخل وسط.
تعبر نبضة ليزر مسافة 30 cm في الفراغ، ثم 30 cm في الزجاج. أي الجزأين يستغرق وقتًا أطول؟
الجزء الزجاجي. لا يزال الضوء يتحرك بسرعة هائلة في الزجاج، لكنه لا يتحرك بالسرعة نفسها التي يتحرك بها في الفراغ. معامل الانكسار هو العدد الذي يوضح لنا مقدار انخفاض سرعة الضوء في مادة ما مقارنة بسرعته في الفراغ.
قبل النظر إلى المعادلة، حاول التنبؤ. لنفترض أن للمادة A معامل انكسار \(1.3\)، وللمادة B معامل انكسار \(1.8\). في أي مادة ينتقل الضوء بسرعة أكبر؟
المادة A. فكلما زاد معامل الانكسار، انخفضت سرعة الضوء. وستوضح المعادلة السبب بدقة.
01ابدأ بمقارنة السرعات
في الفراغ، ينتقل الضوء بسرعة
\[
c = 3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
حيث إن \(c\) هي سرعة الضوء في الفراغ.
تخيل الآن أن الضوء يدخل الزجاج. تصبح سرعته \(v\)، حيث إن \(v\) هي سرعة الضوء في ذلك الوسط تحديدًا.
يقارن معامل الانكسار بين هاتين السرعتين:
\[
n = \frac{c}{v}
\]
حيث:
- \(n\) هو معامل انكسار الوسط
- \(c\) هي سرعة الضوء في الفراغ، \(3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\)
- \(v\) هي سرعة الضوء في الوسط، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)
المعادلة تسأل في جوهرها:
كم مرة تكون سرعة الضوء في الفراغ أكبر من سرعته في هذه المادة؟
إذا كان الضوء ينتقل بسرعة \(2.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\) في نوع معين من الزجاج، فإن
\[
n = \frac{3.00 \times 10^8}{2.00 \times 10^8} = 1.50
\]
إذن سرعة الضوء في الفراغ تساوي 1.50 مرة سرعته في ذلك الزجاج.
لاحظ أن \(n\) ليس له وحدة. فالبسط والمقام كلاهما سرعتان، لذلك تُختصر وحدتاهما.
02لماذا يعني معامل الانكسار الأكبر ضوءًا أبطأ؟
تحتوي المعادلة
\[
n = \frac{c}{v}
\]
على علاقة عكسية بين \(n\) و\(v\).
وبما أن \(c\) ثابتة، فإن زيادة \(n\) تتطلب انخفاض \(v\).
ويمكن توضيح ذلك أكثر بإعادة ترتيب المعادلة:
\[
v = \frac{c}{n}
\]
لنفترض أن معامل انكسار إحدى المادتين هو \(n=1.2\)، بينما معامل انكسار الأخرى هو \(n=1.5\).
عندما \(n=1.2\)،
\[
v = \frac{3.00 \times 10^8}{1.2} = 2.50 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
وعندما \(n=1.5\)،
\[
v = \frac{3.00 \times 10^8}{1.5} = 2.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
المادة ذات معامل الانكسار الأكبر لها سرعة ضوء أقل.
من الصور الذهنية المفيدة تخيل عدّاء يتحرك فوق أسطح مختلفة. الفراغ يشبه أسرع مضمار ممكن. أما المادة ذات معامل الانكسار الأكبر فتشبه سطحًا يقطع عليه العدّاء مسافة أقل في كل ثانية.
لكن لهذا التشبيه حدود. فالضوء لا يتباطأ حرفيًا بسبب الاحتكاك، والفوتونات ليست عدّائين صغارًا يتعبون داخل الزجاج. يصف معامل الانكسار كيفية انتشار موجة كهرومغناطيسية عبر مادة. وفي حسابات HSC، النتيجة المهمة هي أن سرعة انتشارها في الوسط أقل من \(c\).
03ماذا يعني \(n=1\)؟
عوّض \(n=1\) في
\[
v = \frac{c}{n}
\]
فتحصل على
\[
v=c
\]
لذلك فإن معامل انكسار الفراغ يساوي \(1\).
بالنسبة إلى المواد الشفافة العادية، يكون معامل الانكسار أكبر من \(1\)، ولذلك تكون سرعة الضوء أقل من \(c\).
على سبيل المثال، إذا كان لمادة ما \(n=1.50\)،
\[
v=\frac{c}{1.50}
\]
فإن الضوء ينتقل بسرعة تساوي ثلثي سرعته في الفراغ.
يجدر فهم هذه الفكرة بدلًا من حفظها فقط. فمعامل الانكسار \(1.50\) لا يعني أن الضوء ينتقل بسرعة تساوي 1.50 مرة سرعة الضوء. بل يعني أن سرعة الضوء في الفراغ تساوي 1.50 مرة سرعته في المادة.
04مثال محلول: أوجد معامل الانكسار
ينتقل الضوء عبر مادة شفافة بسرعة \(2.25 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\). احسب معامل انكسار المادة.
الخطوة 1
\[
n=\frac{c}{v}
\]
هنا، \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\) و\(v=2.25\times10^8\ \text{m s}^{-1}\).
الخطوة 2
\[
n=\frac{3.00\times10^8}{2.25\times10^8}
=1.33
\]
الخطوة 3
معامل الانكسار هو
\[
\boxed{n=1.33}
\]
ولا توجد له وحدة. ينتقل الضوء في هذه المادة بسرعة أقل من سرعته في الفراغ، وتبلغ سرعة الضوء في الفراغ نحو \(1.33\) مرة سرعته في المادة.
05انتبه إلى عبارة “يتباطأ الضوء”
على مستوى HSC، من المفيد والصحيح، بالنسبة إلى الكميات التي تحسبها، القول إن الضوء ينتقل بسرعة أقل في الوسط.
ومع ذلك، هناك تفصيل مهم يجب فهمه بدقة. لا ينبغي أن تتصور شعاعًا ضوئيًا منفردًا يعبر حدًا فاصلًا ويفقد طاقة بطريقة ما لأنه أصبح أبطأ.
عندما ينتقل الضوء إلى وسط شفاف:
- يظل تردده ثابتًا
- تتغير سرعة انتشاره
- ولذلك يتغير طوله الموجي
علاقة السرعة لأي موجة هي
\[
v=f\lambda
\]
حيث إن \(f\) هو التردد بالهرتز و\(\lambda\) هو الطول الموجي بالأمتار.
إذا انخفضت \(v\) بينما ظل \(f\) ثابتًا، فلا بد أن تنخفض \(\lambda\) أيضًا.
ويربط هذا معامل الانكسار بالموضوع الأوسع، وهو الانكسار. فتغير السرعة هو ما يؤدي في النهاية إلى تغير الاتجاه عندما يدخل الضوء وسطًا جديدًا بزاوية.
06أكثر المفاهيم الخاطئة إغراءً
يرى طالب أن \(n=1.6\) ويفكر: “لا بد أن هذه المادة تجعل الضوء يتحرك بسرعة أكبر بمقدار 1.6 مرة.”
قد يبدو ذلك معقولًا لأن الأعداد الأكبر تعني غالبًا “أكثر”. لكن انظر إلى موضع \(v\):
\[
n=\frac{c}{v}
\]
سرعة الضوء في الوسط موجودة في المقام.
كلما صغرت \(v\)، كبر الكسر. لذلك:
| معامل الانكسار | سرعة الضوء في الوسط |
|---|---|
| \(n\) أصغر | \(v\) أكبر |
| \(n\) أكبر | \(v\) أصغر |
يمنحك هذا قاعدة مفيدة للمقارنة حتى عندما لا تكون هناك حاجة إلى إجراء حساب.
إذا كان للألماس معامل انكسار أعلى من الماء، فيمكنك أن تستنتج مباشرة أن الضوء ينتقل في الألماس بسرعة أقل من سرعته في الماء.
07مثال محلول: الجمع بين معامل الانكسار وزمن الانتقال
تنتقل نبضة ضوئية عبر \(4.00\ \text{m}\) من مادة شفافة معامل انكسارها \(1.60\). احسب سرعة الضوء في المادة والزمن الذي تستغرقه النبضة لعبورها.
الخطوة 1
\[
v=\frac{c}{n}
\]
الخطوة 2
\[
v=\frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.60}
=1.875\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
إلى ثلاث خانات معنوية،
\[
v=1.88\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
الخطوة 3
تذكر:
\[
v=\frac{d}{t}
\]
حيث إن \(d\) هي المسافة بالأمتار و\(t\) هو الزمن بالثواني.
وبإعادة الترتيب نحصل على
\[
t=\frac{d}{v}
\]
الخطوة 4
\[
t=\frac{4.00\ \text{m}}{1.875\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
=2.13\times10^{-8}\ \text{s}
\]
إذن،
\[
\boxed{v=1.88\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
\]
و
\[
\boxed{t=2.13\times10^{-8}\ \text{s}}
\]
الزمن لا يتجاوز نحو \(21.3\) نانوثانية، لكنه أطول من الزمن الذي يحتاجه الضوء لقطع المسافة نفسها في الفراغ.
08مقارنة مادتين دون حساب كل شيء
لنفترض أن للوسط X معامل انكسار \(n=1.40\)، وللوسط Y معامل انكسار \(n=1.70\).
أي الوسطين تكون فيه سرعة الضوء أقل؟
يمكنك حساب السرعتين، لكنك لست بحاجة إلى ذلك. بما أن
\[
v=\frac{c}{n},
\]
فإن القيمة الأكبر لـ\(n\) تعطي القيمة الأصغر لـ\(v\).
لذلك ينتقل الضوء بسرعة أقل في الوسط Y.
ويمكنك حتى مقارنة سرعتيهما مباشرة:
\[
v_X=\frac{c}{1.40}
\]
و
\[
v_Y=\frac{c}{1.70}
\]
إذن،
\[
\frac{v_X}{v_Y}
=
\frac{c/1.40}{c/1.70}
=
\frac{1.70}{1.40}
\approx1.21
\]
ينتقل الضوء في X بسرعة تساوي نحو \(1.21\) مرة سرعته في Y.
هذه العلاقة العكسية مفيدة في الأسئلة الأصعب لأنها تتيح لك الاستدلال من معامل الانكسار قبل استخدام الآلة الحاسبة.
09يمكن أن يعتمد معامل الانكسار على الطول الموجي
غالبًا ما يكون التعامل مع المادة على أنها ذات معامل انكسار ثابت واحد نموذجًا أوليًا مفيدًا، لكنه لا يروي القصة كاملة.
بالنسبة إلى كثير من المواد الشفافة، يتغير معامل الانكسار قليلًا مع الطول الموجي. لذلك يمكن لأطوال موجية مختلفة من الضوء المرئي أن تنتقل بسرعات مختلفة قليلًا داخل المادة نفسها.
يُسمى هذا التأثير التشتت. وهو يساعد على تفسير سبب قدرة المنشور على فصل الضوء الأبيض إلى ألوان مختلفة.
أما في سؤال يعطيك قيمة واحدة لـ\(n\)، فاستخدم هذه القيمة المعطاة للضوء الذي يجري تناوله. لا تضف تصحيحًا من عندك ما لم يقدم السؤال معلومات تستلزم ذلك.
10الأسئلة والحلول
السؤال 1
ينتقل الضوء عبر بوليمر شفاف بسرعة \(2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}\). احسب معامل انكساره.
الحل 1
معامل الانكسار هو \(\boxed{1.25}\).
استخدم
\[
n=\frac{c}{v}
\]
حيث \(c=3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}\) و\(v=2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}\):
\[
n
=
\frac{3.00\times10^8}{2.40\times10^8}
=
1.25
\]
تُختصر وحدات السرعة، لذلك لا توجد وحدة لمعامل الانكسار. والقيمة الأكبر من \(1\) تتفق مع كون الضوء ينتقل في البوليمر بسرعة أقل من سرعته في الفراغ.
السؤال 2
بلورة شفافة معامل انكسارها \(1.80\). احسب سرعة الضوء عبر البلورة.
الحل 2
سرعة الضوء في البلورة هي \(\boxed{1.67\times10^8\ \text{m s}^{-1}}\).
ابدأ بـ
\[
n=\frac{c}{v}
\]
ثم أعد ترتيبها:
\[
v=\frac{c}{n}
\]
عوّض بالقيم:
\[
v
=
\frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.80}
=
1.67\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
النتيجة أقل من \(c\)، كما هو متوقع لمادة لها \(n>1\).
السؤال 3
لمادتين شفافتين، P وQ، معاملا انكسار يساويان \(1.25\) و\(1.50\)، على الترتيب.
يدّعي طالب: “لا بد أن الضوء ينتقل بسرعة أكبر بنسبة 20% في Q لأن معامل انكسارها أكبر بنسبة 20%.”
اشرح الخطأ واحسب سرعة الضوء في كل مادة.
الحل 3
استنتاج الطالب معكوس: ينتقل الضوء بسرعة أقل في Q لأن معامل انكسار Q أكبر.
يرتبط معامل الانكسار بالسرعة بالعلاقة
\[
v=\frac{c}{n},
\]
لذلك فهما يتغيران بصورة عكسية.
بالنسبة إلى P:
\[
v_P
=
\frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.25}
=
2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
بالنسبة إلى Q:
\[
v_Q
=
\frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}{1.50}
=
2.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
إذن،
\[
\boxed{v_P=2.40\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
\]
و
\[
\boxed{v_Q=2.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
\]
يكمن الخطأ في التعامل مع معامل الانكسار كما لو كان يتناسب طرديًا مع السرعة. وهذا غير صحيح. فوجود \(n\) أكبر في مقام \(v=c/n\) يعطي سرعة أصغر.
كذلك، فإن زيادة معامل الانكسار بنسبة 20% لا تؤدي إلى انخفاض السرعة بنسبة 20%. فالعلاقة عكسية وليست مجرد طرح بسيط للنسب المئوية.
السؤال 4
يتكون مسار ضوئي طوله \(6.00\ \text{m}\) من \(3.00\ \text{m}\) من المادة A، يتبعها \(3.00\ \text{m}\) من المادة B. معاملا انكسارهما هما \(1.20\) و\(1.80\)، على الترتيب.
احسب الزمن الكلي الذي يستغرقه الضوء للانتقال عبر الجزأين.
الحل 4
زمن الانتقال الكلي هو \(\boxed{3.00\times10^{-8}\ \text{s}}\).
الفكرة المهمة هي أن للضوء سرعة مختلفة في كل جزء، لذلك لا يمكن التعامل مع المسافة الكاملة البالغة \(6.00\ \text{m}\) كما لو كان لها معامل انكسار واحد.
بالنسبة إلى المادة A:
\[
v_A
=
\frac{c}{n_A}
=
\frac{3.00\times10^8}{1.20}
=
2.50\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
زمن انتقاله فيها هو
\[
t_A
=
\frac{d_A}{v_A}
=
\frac{3.00}{2.50\times10^8}
=
1.20\times10^{-8}\ \text{s}
\]
بالنسبة إلى المادة B:
\[
v_B
=
\frac{c}{n_B}
=
\frac{3.00\times10^8}{1.80}
=
1.67\times10^8\ \text{m s}^{-1}
\]
زمن انتقاله فيها هو
\[
t_B
=
\frac{d_B}{v_B}
=
\frac{3.00}{1.67\times10^8}
=
1.80\times10^{-8}\ \text{s}
\]
إذن،
\[
t_{\text{total}}
=
t_A+t_B
=
1.20\times10^{-8}+1.80\times10^{-8}
=
3.00\times10^{-8}\ \text{s}
\]
إذًا،
\[
\boxed{t_{\text{total}}=3.00\times10^{-8}\ \text{s}}
\]
يسهم الجزء الثاني ذو معامل الانكسار الأعلى بزمن انتقال أكبر، رغم أن الجزأين متساويا الطول، لأن الضوء يتحرك فيه بسرعة أقل.
السؤال 5
يقيس طالب سرعة الضوء في مادة شفافة مجهولة فيجدها \(1.50\times10^8\ \text{m s}^{-1}\). ثم يذكر أن معامل انكسارها يساوي \(0.50\)، بحجة أن الضوء ينتقل بنصف سرعته في الفراغ.
حدّد الخطأ وأوجد معامل الانكسار الصحيح.
الحل 5
معامل الانكسار الصحيح هو \(\boxed{2.00}\)، وليس \(0.50\).
لقد عكس الطالب النسبة.
يُعرَّف معامل الانكسار بالعلاقة
\[
n=\frac{c}{v},
\]
وليس \(v/c\).
بالتعويض بالسرعة المقاسة نحصل على
\[
n
=
\frac{3.00\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
{1.50\times10^8\ \text{m s}^{-1}}
=
2.00
\]
كون سرعة الضوء في الوسط تساوي نصف سرعته في الفراغ يعني أن سرعة الضوء في الفراغ تساوي ضعف سرعته في الوسط. وهذا بالضبط ما تخبرنا به \(n=2.00\).
ومن طرق التحقق المفيدة أن الوسط الشفاف العادي الذي ينتقل فيه الضوء بسرعة أقل من \(c\) ينبغي أن تكون له \(n>1\). لذلك كان يجب أن تثير قيمة الطالب البالغة \(0.50\) الشك.
السؤال 6
لوحان لهما السُّمك نفسه. معامل انكسار اللوح R هو \(1.40\)، بينما معامل انكسار اللوح S هو \(1.60\).
تستغرق نبضة ضوئية \(7.00\ \text{ns}\) لعبور اللوح R. ومن دون حساب سُمك أي من اللوحين أولًا، حدّد الزمن الذي تستغرقه النبضة لعبور اللوح S.
الحل 6
تستغرق النبضة \(\boxed{8.00\ \text{ns}}\) لعبور اللوح S.
بالنسبة إلى لوح سُمكه \(d\)،
\[
t=\frac{d}{v}
\]
وبما أن
\[
v=\frac{c}{n},
\]
فيمكننا التعويض:
\[
t
=
\frac{d}{c/n}
=
\frac{dn}{c}
\]
عندما يكون السُّمك متساويًا، تكون \(d\) و\(c\) متماثلتين، ولذلك يتناسب زمن الانتقال طرديًا مع معامل الانكسار:
\[
\frac{t_S}{t_R}
=
\frac{n_S}{n_R}
\]
عوّض بالقيم:
\[
t_S
=
t_R\frac{n_S}{n_R}
=
7.00\ \text{ns}\times\frac{1.60}{1.40}
=
8.00\ \text{ns}
\]
إذًا،
\[
\boxed{t_S=8.00\ \text{ns}}
\]
النقطة الدقيقة هنا هي أن السرعة تتناسب عكسيًا مع معامل الانكسار، لكن الزمن اللازم لعبور مسافة ثابتة يتناسب طرديًا مع معامل الانكسار. فالقيمة الأكبر لـ\(n\) تعني سرعة أقل، وبالتالي زمن انتقال أطول.
11إلى أين تقودنا هذه الفكرة بعد ذلك؟
تمنح المعادلة \(n=c/v\) معامل الانكسار معنى فيزيائيًا: فهو مقارنة بين سرعة الضوء في الفراغ وسرعته في وسط ما.
ويُعد هذا التغير في السرعة نقطة البداية لفهم الانكسار. فعندما يصل الضوء إلى حد فاصل بزاوية، يدخل جزء من جبهة الموجة إلى الوسط الجديد قبل جزء آخر. فتتغير سرعته أولًا، وتدور جبهة الموجة، ويتغير اتجاه الشعاع.
لذلك، عندما تستخدم قانون سنيل لاحقًا، لا تتعامل مع معامل الانكسار على أنه مجرد رقم غامض بجوار دالة جيب. فهو يخبرك بشيء فيزيائي عن كيفية انتشار الضوء عبر كل وسط.